第15讲解二元一次方程组（知识解读题型精讲随堂检测）

第15讲解二元一次方程组知识点1解二元一次方程组（1）消元思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．（2）代入消元法把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．（3）加减消元法当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法.【题型1：二元一次方程组的解法：代入消元法】【典例1】（2023•惠阳区校级开学）用代入消元法解方程组：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1），将①代入②得：x+2（6﹣2x）＝6．解得x＝2．将x＝2代入①得：y＝6﹣2×2＝2．所以原方程组的解为：；（2），由②得：x＝5﹣y③，将③代入①得：5（5﹣y）﹣2y﹣4＝0．解得y＝3．将y＝3代入③得：x＝2．所以原方程组的解为．【变式11】（2023春•北湖区校级月考）用代入法解方程组：．【答案】．【解答】解：方程组，把②代入①得：2x+x+1＝4，解得：x＝1，把x＝1代入②得：y＝2，则方程组的解为．【变式12】（2023春•安达市期末）用代入法解方程组：．【答案】见试题解答内容【解答】解：由②得，y＝3x﹣5③③代入①得，2x+3（3x﹣5）＝7解得x＝2把x＝2代入③得，y＝6﹣5＝1所以，方程组的解是．【变式13】（2023春•泸州期中）代入法解方程组：．【答案】．【解答】解：，由①得：x＝2y+4③，把③代入②，得：5（2y+4）﹣3y＝﹣1，解得：y＝﹣3；把y＝﹣3代入③，得：x＝2×（﹣3）+4＝﹣2；∴方程组的解为：．【变式14】（2023春•南岗区期末）用代入法解方程组：．【答案】．【解答】解：，由①得：y＝2x﹣5③，把③代入②得：3x+4（2x﹣5）＝2，解得：x＝2，把x＝2代入③得：y＝4﹣5＝﹣1，故原方程组的解是：．【典例2】（2023•大连二模）解方程组（用代入法解二元一次方程组）．【答案】．【解答】解：把化简，原方程组变形为，将（1）代入（2），得；2（3y+11）﹣5y＝6y+22﹣5y＝﹣6，解得y＝﹣28，把y＝﹣28代入（1），得；x＝3×（﹣28）+11＝﹣73，∴原方程组的解是．【变式21】（2023春•高要区期末）用代入消元法解方程组将①代入②可得（）A．5x﹣4x﹣2＝7 B．5x﹣2x﹣1＝7 C．5x﹣4x+1＝7 D．5x﹣4x+2＝7【答案】A【解答】解：将①代入②得，5x﹣2（2x+1）＝7，整理得5x﹣4x﹣2＝7．故选：A．【变式22】（2023•平桥区校级开学）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（）A．3x+4x﹣3＝8 B．3x+4x﹣6＝8 C．3x﹣2x﹣3＝8 D．3x+2x﹣6＝8【答案】B【解答】解：，把①代入②得：3x+2（2x﹣3）＝8，去括号得：3x+4x﹣6＝8．故选：B．【变式23】（2023春•茌平区期末）已知二元一次方程组：①；②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是（）A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法【答案】B【解答】解：已知二元一次方程组：①；②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是：①③用代入法，②④用加减法．故选：B．【题型2：二元一次方程组的解法：加减消元法】【典例3】（2023春•北湖区校级月考）用加减法解方程组：．【答案】．【解答】解：，①×2+②×3得：13x＝﹣13，解得：x＝﹣1，把x＝﹣1代入①得：﹣2+3y＝7，解得：y＝3，则方程组的解为．【变式31】（2023春•集贤县期末）加减法解方程组：．【答案】．【解答】解：，①×3﹣②得：8y＝8，解得：y＝1；把y＝1，代入①，得：3x+1＝7，解得：x＝2；∴方程组的解为：．【变式32】（2023春•阆中市校级期末）用加减消元法解方程：（1）；（2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1），①﹣②得：12y＝﹣36，即y＝﹣3，把y＝﹣3代入①得：x＝，则方程组的解为；（2）方程组整理得：，①﹣②得：4y＝28，即y＝7，把y＝7代入①得：x＝5，则方程组的解为．【变式33】（2023春•大荔县期末）解方程组：（用加减消元法）．【答案】．【解答】解：，①×5+②×3得，26x＝78，解得：x＝3，把x＝3代入①，得12﹣3y＝15，解得：y＝﹣1，所以方程组的解是．【变式34】（2023春•丰满区期末）用加减法解方程组：【答案】．【解答】解：②×5+①得，44b＝880，解得b＝20，把b＝20代入①得，5a﹣20＝330，解得a＝70，故方程组的解为．【题型3：同解型】【典例4】（2022春•华龙区期中）已知方程组和有相同的解，求a2﹣2ab+b2的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：解方程组得，把代入第二个方程组得，解得，则a2﹣2ab+b2＝22﹣2×2×1+12＝1．【变式41】（2022春•柳南区校级期末）已知方程组与有相同的解，求m和n值．【答案】见试题解答内容【解答】解：由已知可得，解得，把代入剩下的两个方程组成的方程组，得，解得m＝﹣1，n＝﹣4．【变式42】（2022春•江苏校级期末）若与有相同的解，求a、b的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：，解得，代入，解得．【变式43】方程组与有相同的解，求a、b的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：依题意，得，解得，，则由，得到ax＝8，即a＝＝＝1，by＝﹣9，则b＝﹣＝﹣＝3．【题型4：错解型】【典例5】（2023春•灌云县期末）甲、乙两位同学在解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①，解得；乙看错了②，解得，求a、b的值．【答案】．【解答】解：把代入方程②得a﹣b＝7③．把代入方程①得﹣4a﹣3b＝﹣2④，联立方程③④可得方程组，解得：．【变式51】（2023春•沈丘县期末）甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求5a﹣2b的值．【答案】1．【解答】解：由题意，是bx+y＝12的解得5b+2＝12，解得b＝2．又是x+ay＝5的解得3+2a＝5，解得a＝1，∴5a﹣2b＝5×1﹣2×2＝1．【变式52】（2023春•宜阳县月考）在解方程组时，小明把方程①抄错了，得到错解，而小亮把方程②抄错了，得到错解，请你求出该方程组的正确解．【答案】．【解答】解：将代入②，得：b+7a＝19③，将代入①，得：﹣2a+4b＝16④，联立③④得：，解得：，则原方程组为：，解得：．【变式53】（2022春•雷州市校级期中）甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得；乙解题时看错了n，解得请你根据以上两种结果：（1）求m，n的值；（2）求出原方程组的正确解．【答案】（1）4，3；（2）．【解答】解：（1），把代入②，得7+2n＝13，解得：n＝3，把代入①，得3m﹣7＝5，解得：m＝4，即m＝4，n＝3；（2）方程组为，③×3+④，得14x＝28，解得：x＝2，把x＝2代入①，得8+y＝5，解得：y＝﹣3，所以方程组的解是．1．（2023春•美兰区校级期末）方程组的解是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：，①+②得：2x＝8，解得：x＝4，①﹣②得：2y＝2，解得：y＝1，则方程组的解为，故选：C．2．（2023•临沂模拟）已知二元一次方程组，则x﹣y的值为（）A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6【答案】A【解答】解：，②×2，得2x﹣4y＝2③，①﹣③，得3y＝3，解得y＝1，将y＝1代入①，得x＝3，∴方程组的解为，∴x﹣y＝2．故选：A．3．（2023春•文成县期中）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（）A．①×2﹣② B．①×（﹣2）+② C．①﹣②×3 D．①+②×3【答案】C【解答】解：A．，①×2﹣②，得7y＝7，能消元，故本选项不符合题意；B．，②×3+①，得7x＝7，能消元，故本选项不符合题意；C．，①﹣②×3，得﹣5x+6y＝1，不能消元，故本选项符合题意；D．，①×（﹣2）+②，得﹣7y＝﹣7，能消元，故本选项不符合题意．故选：C．4．（2023春•漳平市期末）用代入法解方程组时，代入正确的是（）A．x﹣2﹣x＝4 B．x﹣2﹣2x＝4 C．x﹣2+2x＝4 D．x﹣2+x＝4【答案】C【解答】解：，把①代入②得，x﹣2（1﹣x）＝4，去括号得，x﹣2+2x＝4．故选：C．5．（2023春•围场县期末）小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①×a+②×b消去x，则a、b的值可能是（）A．a＝2，b＝5 B．a＝3，b＝2 C．a＝﹣3，b＝2 D．a＝2，b＝﹣5【答案】D【解答】解：小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①×2+②×（﹣5）消去x，得：10x﹣4y﹣10x﹣15y＝8+9，即﹣19y＝17，则a、b的值可能是a＝2，b＝﹣5，故选：D．6．（2023春•确山县期末）如果方程组的解与方程组的解相同，则a、b的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由题意得：是的解，故可得：，解得：．故选：A．7．（2023•株洲三模）由方程组可得x与y的关系是（）A．2x+y＝4 B．2x+y＝﹣4 C．2x﹣y＝4 D．2x﹣y＝﹣4【答案】A【解答】解：，把②代入①得：2x+y﹣3＝1，整理得：2x+y＝4，故选：A．8．（2023春•平山县期末）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（）A．1、2 B．1、5 C．5、1 D．2、4【答案】C【解答】解：将x＝2代入第二个方程可得y＝1，将x＝2，y＝1代入第一个方程可得2x+y＝5∴被遮盖的前后两个数分别为：5，1故选：C．9．（2023春•宣化区期末）二元一次方程x+3y＝4有一组解互为相反数，则y的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2【答案】D【解答】解：∵x、y互为相反数，∴x+y＝0①．又x+3y＝4②，由①②组成方程组，解，得y＝2．故选：D．10．（2023春•兰陵县期末）已知关于x、y的二元一次方程组，求代数式4x+3y的值为（）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】C【解答】解：，令①+②得：4x+3y＝10，故选：C．11．（2023春•沧州期末）用代入法解方程组的简单方法是（）A．消x B．消y C．消x和y一样 D．无法确定【答案】B【解答】解：∵方程组中未知数y的系数是﹣1和3，∴方程组中第一个方程乘3和第二个方程相加即可消去未知数y，即用代入法解方程组的简单方法是消y，故选：B．12．（2023春•黔江区期末）用加减消元法解方程组，下列解法不正确的是（）A．①×3﹣②×2，消去x B．①×2﹣②×3，消去y C．①×（﹣3）+②×2，消去x D．①×2﹣②×（﹣3），消去y【答案】D【解答】解：①×3﹣②×2，消去x，A不符合题意；①×2﹣②×3，消去y，B不符合题意；①×（﹣3）+②×2，消去x，C不符合题意；应该是：①×2+②×（﹣3），消去y，不是：①×2﹣②×（﹣3），消去y，D符合题意．故选：D．13．（2023春•冷水滩区校级期末）对于有理数x，y，定义一种新运算：x⊕y＝ax+by，其中a，b为常数．已知1⊕2＝10，（﹣3）⊕2＝2，则a⊕b＝20．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题中的新定义化简得：，①﹣②得：4a＝8，解得：a＝2，把a＝2代入①得：2+2b＝10，解得：b＝4，则原式＝2⊕4＝4+16＝20．故答案为：20．14．（2023春•泗水县期末）甲、乙两人都解方程组，甲看错a解得，乙看错b解得，则方程组正确的解是．【答案】．【解答】解：由题意，将代入2x﹣by＝1中，2×1﹣2b＝1，解得：b＝；将代入ax+y＝2中，a×1+1＝2，解得：a＝1，∴原方程组为，②×2，得：4x﹣y＝2③，①+③，得：5x＝4，解得：x＝，把x＝代入①，得+y＝2，解得：y＝，∴方程组的解为，故答案为：．15．（2023春•新化县期末）定义一种新运算“※”，规定x※y＝ax+by2，其中a、b为常数，且1※2＝5，2※1＝3，则2※3＝11【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意，得：，解得：，则x※y＝x+y2，∴2※3＝2+32＝11，故答案为：11．16．（2023春•文登区期中）用指定的方法解下列方程组（1）（代入消元法）；（2）（加减消元法）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解答】解：