二次根式01讲核心

考点1二次根式二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，如都是二次根式．考点2二次根式的性质1.的性质符号语言文字语言一个非负数的算数平方根是非负数提示有最小值，为02.根的方的性质符号语言____（）应用（1）正用：（2）逆用：若a≥0，则，如提示逆用可以再实数范围内分解因式：如3.方的根（）的性质符号语言文字语言任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值应用（1）正用：（2）逆用：考点3最简二次根式1.最简二次根式的概念（1）被开方数不含______（2）被开方数中不含能开方开得尽的______2.化简二次根式的一般方法方法举例将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方化去根号下的分母若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数若被开方数中含有小数，先将小数化成分数若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算(a＞0，b＞0，c＞0）被开方数时多项式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3分母有理化（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号．考点4二次根式的乘法法则1.二次根式的乘法法则：______（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）．2.二次根式的乘法法则逆用：积的算术平方根：_____．3.二次根式的乘法法则的推广（1（2），即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．考点5二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则____（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）2二次根式的除法法则逆用：商的算术平方根：______3.二次根式的除法法则的推广考点6同类二次根式同类二次根式概念：化简后被开方数______的二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）_____，根指数和被开方数______，合并的依据式乘法分配律，如考点7二次根式的加减1.二次根式加减法则：先将二次根式化成______，再将被开方数______的二次根式进行合并．2.二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式——将“系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变．考点8二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．二次根式的双重非负性：（1）时，二次根式有意义，时，二次根式无意义；（2）“0”+“0”型：三类非负数：，，；【例题】1.要使式子有意义，则x的取值范围是_______；【答案】且【解析】【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0；分母中有字母，分母不为0．【详解】解：若代数式有意义，则，解得：且．故答案为：且．【点睛】本题主要考查了二次根式的概念：式子叫二次根式，是一个非负数．注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．2.若，则的算术平方根是_________．【答案】3【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，先求出x，进而可求出y，即可得解．【详解】∵，，∴，∴，∴，∴，∴9的算术平方根为3，故答案为：3．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及求解算术平方根的知识，二次根式有意义的条件就是被开方数非负，掌握此知识是解答本题的关键．3.若实数m、n满足，求的平方根．【答案】【解析】【分析】先根据求出，然后求出的值，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，解得：，∴，的平方根为，即的平方根是．【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性和绝对值的非负性，求代数式的值，求平方根，解题的关键是根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性求出m、n的值．【练经典】4.若无意义，则x的取值范围是（）A.x＞0 B.x≤3 C.x＞3 D.x≥3【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数,可得出关于x的一元一次不等式,解出即可得出答案.【详解】解：∵无意义,∴3x＜0,解得:x＞3．

故选C．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件,解决本题的关键是掌握二次根式有意义则被开方数为非负数．5.要使式子有意义，则x的取值范围为________．【答案】x≥﹣3且x≠1且x≠2【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0，零指数幂的底数不等于0列式计算即可得解．【详解】解：根据题意，得．解得：x≥﹣3且x≠1且x≠2．故答案是：x≥﹣3且x≠1且x≠2．【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式与分式，零次幂有意义的条件是解题的关键．6.若，则_________．【答案】3【解析】【分析】首先根据二次根式的性质，可求得，，再把，代入，即可求得其值．【详解】解：，解得，，，，故答案为：3．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值问题，求得x、y的值是解决本题的关键．7.已知，则当______时，的最大值=________．【答案】①.②.【解析】【分析】首先根据，当时，取最大值，进而求出结果．【详解】当时，即：，时，取最大值，当时，．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式大于或等于0是解本题的关键．8.若，则________．【答案】12【解析】【分析】根据二次根式和绝对值的非负性，两个非负数相加等于0，则它们分别为0可得解得即可求得的值.【详解】由题意得解得∴故答案为：12【点睛】本题主要考查二次根式和绝对值得非负性，两个非负数相加等于0，则它们分别为0，初中阶段常用三个非负式，二次根式、绝对值和偶次幂.【练易错】易错点：判断二次根式有意义考虑不全造成答案不完整9.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A.且 B. C.且 D.【答案】A【解析】【分析】分式有意义，分母不等于零；二次根式的被开方数是非负数．【详解】依题意，得x1≥0且x2≠0，解得x≥1且x≠2．故选A．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10.若有意义，则的取值范围是_________．【答案】x>2##2＜x【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数和分式有意义的条件：分母不为0即可求出结论．【详解】解：由题意可得x2>0，解得：x>2，故答案为：x>2．【点睛】本题考查的是分式及二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0解题的关键．根的方与方的根（1）根的方：，被开方数a必须是非负数；（2）方的根：，结果必须是非负数．【例题】11.计算：．【答案】【解析】【分析】首先根据零指数幂运算法则、乘方运算、二次根式的性质，进行运算，再进行有理数的加减运算，即可求得其值．【详解】解：【点睛】本题考查了零指数幂运算法则、乘方运算、二次根式的性质，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．12.已知a、b、c是三角形的三边，化简：．【答案】【解析】【分析】根据三角形三边关系确定出每个括号内的正负，然后根据二次根式的性质去根号即可．【详解】解：∵a，b，c为三角形三边，∴，，，，∴．【点睛】本题主要考查二次根式的化简，整式加减运算，三角形的三边关系的应用，掌握三角形的三边关系，是解题的关键．【练经典】13.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据算式平方根的定义和二次根式的性质逐一化简即可得解．【详解】解：A、，此选项错误；

B、，此选项正确；

C、，此选项错误；

D、，此选项错误；

故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．14.对于实数a，如果，那么下列结论正确的是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质，分和两种情况讨论：当时，符合题意；当时，若，则x<0，得，求该不等式即可．【详解】当时，，符合题意；当时，根据题意有：∵又∵和互为相反数∴∴综上所述，故选D．【点睛】本题考查了二次根式的性质，若，则x≤0，若，则，熟记此性质是本题的关键．15.已知a，b，c在数轴上的位置如图，化简的结果为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据数轴判断和与0的关系，再根据化简式子，最后化简代数式即可得出答案.【详解】根据数轴可得：，∴故选：B.【点睛】本题考查的是代数式的化简，化简时注意.【练易错】易错点：运用时，忽略a≥016.已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．【详解】解：由图知：1＜a＜2，∴a−1＞0，a−2＜0，原式＝a−1＝a−1＋（a−2）＝2a−3．故选D．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键．17.若，，且，则__．【答案】【解析】【分析】根据，，且，得出，，代入求值即可．【详解】解：∵，，且，∴，，∴．故答案：．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，代数式求值，解题的关键是求出，．二次根式的化简（1）利用“根的方”和“方的根”把二次根式化为整式；（2）利用积的算术平方根和商的算术平方根把二次根式中开得尽方的因式开出来；（3）利用分母有理化把二次根式中分母的根号化去．【例题】18.化简_____．（其中<0，＞0）【答案】【解析】【分析】运用二次根式的性质，化简即可．【详解】解：∵，∴，，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质，的应用，熟练掌握性质是解题的关键．19.已经，化简：．【答案】【解析】【分析】首先利用二次根式的性质化简，再根据，去绝对值符号，再进行整式的加减运算，即可求解．【详解】解：，，，原式【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简，去绝对值符号法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．20.计算：．【答案】【解析】【分析】首先把每个式子分母有理化，化成根式的和、差形式即可化简求解．【详解】解：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确对二次根式进行分母有理化是解题的关键．【练经典】21.化简：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式乘法、商的算术平方根等概念分别判断．【详解】∵被开方数大于或等于0，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简、利用了二次根式的乘除法、二次根式的性质，注意a是负数是解题关键．22.把中根号前的（m－1）移到根号内得（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断出m1的符号，然后解答即可．【详解】∵被开方数，分母.∴，∴.∴原式．故选D．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．23.化简：__________．【答案】【解析】【分析】先根据二次根式的性质，判断出的符号，然后再将二次根式进行化简．【详解】解：由题意，知：；，；又，故．【点睛】主要考查了二次根式的意义及二次根式的化简．24.化简：【答案】2【解析】【分析】先逐一对每项分母有理化，并找出规律，最后合并同类二次根式即可得解；【详解】原式====2【点睛】本题考查了分母有理化和二次根式的加减，注意分母有理化常常是乘以二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．二次根式的混合运算（1）通常先将二次根式化简；（2）对于二次根式的乘法运算，可以参照整式的乘法进行运算；（3）对于二次根式的除法运算，通常先将其写成分式的形式，再通过分母有理化进行运算；（4）二次根式的加减法与整式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并被开方数相同的二次根式；（5）运算结果一般要化成整式或最简二次根式；【例题】25.计算：（1）（2）【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）首先对原式化简，然后利用二次根数乘法法则计算，再合并同类二次根式即可求解；（2）应用平方差公式对原式化简，然后利用乘法法则计算即可．【详解】（1）原式=====（2）原式===【点睛】本题考查平方差公式和二次根式的乘法运算，熟练掌握乘法法则和平方差公式是解题的关键．26（1）计算：．（2）化简：．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）把二次根式化为最简二次根式后，根据二次根式的乘、除法法则运算；（2）把二次根式化为最简二次根式后，根据二次根式的乘、除法法则运算，要注意分式形式的二次根式化简．【详解】（1）解：原式＝＝＝．（2）解：原式＝＝＝．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【练经典】27.下列运算正确的是（）A.＝ B.5＝5C.×＝ D.＝3【答案】C【解析】【分析】按照二次根式的加减法、二次根式的乘法、二次根式的性质逐项判断即可．【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；B．，故选项错误，不符合题意；C．，故选项正确，符合题意；D．，故选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法、二次根式的乘法、二次根式的性质等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．28.计算：=______________【答案】2【解析】【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【详解】解：原式=．故答案为2．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并是关键．29.（1）计算：（2）计算：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；（2）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简合并即可；【详解】（1）解：（2）解：【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除法运算，在合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．30.计算：【答案】【解析】【分析】根据二次根式混合运算法则进行计算即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确进行计算．二次根式的大小比较（1）利用平方法比较两个二次根式的大小（2）利用作差法比较两个二次根式的大小（3）利用作商法比较两个二次根式的大小（4）利用倒数法比较两个二次根式的大小【例题】31.比较和的大小（平方法）【答案】【解析】【分析】利用平方法，即可比较出大小．【详解】解：，，，，又，，．【点睛】本题考查了无理数大小的比较方法，积的乘方运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握和运用无理数大小的比较方法是解决本题的关键．32.比较和大小（作差法）【答案】【解析】【分析】利用作差法及无理数的估算，即可比较出大小．【详解】解：，，，，，．【点睛】本题考查了无理数大小的比较方法作差法，无理数的估算，熟练掌握和运用无理数大小的比较方法是解决本题的关键．33.比较与的大小（作商法）【答案】【解析】【分析】根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题．【详解】解：∵，又∵，，∴．【点睛】本题主要考查实数大小比较，二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则，准确进行计算．34.比较与的大小（倒数法）【答案】【解析】【分析】利用倒数法，即可比较出大小．【详解】解：，，，，．【点睛】本题考查了无理数大小的比较，熟练掌握和运用无理数大小的比较方法是解决本题的关键．【练经典】35.计算4＋×的结果估计在（）A.10与11之间 B.9与10之间 C.8与9之间 D.7与8之间【答案】D【解析】【分析】先根据二次根式的乘法计算得到原式，进而估算即可．【详解】解：，，∴，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是将原式进行计算，得出．36.比较大小：2______4（填“＞”或“=”或“＜”）【答案】＞【解析】【分析】先把2化为的形式,再根据负数大小的比较法则，比较出与的大小即可.【详解】解:2=,4=,12<16,＞,，2＞4故答案为:＞.【点睛】本题考查的是实数的大小比较,先根据题意把2化为的形式是解答此题的关键.37.比较和的大小；【答案】【解析】【分析】用作差法比较和的大小即可．【详解】解：∵，∵，，又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，解题的关键是求出，得出．38.比较与的大小．【答案】【解析】【分析】利用倒数法，即可比较出大小．【详解】解：，，，，，．【点睛】本题考查了无理数大小的比较，熟练掌握和运用无理数大小的比较方法是解决本题的关键．二次根式的化简求值（1）已知字母的值化简求值（2）已知条件式化简求值【例题】39.已知，求代数式．【答案】【解析】【分析】先根据求出，然后把，代入求值即可．【详解】解：∵，∴，把，代入得：．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确进行计算．40.已知且，请化简并求值：【答案】【解析】【分析】解方程得出，再分母有理化，化简得出原式=，最后代入x求值即可.【详解】解：∵∴∴【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题关键.【练经典】41.若实数，满足，则的值是______________．【答案】3【解析】【分析】求出()()=3，再分解因式，根据二次根式的性质得出，求出即可求解．【详解】解：∵实数a，b满足()()=3，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，二次根式的性质和解一元二次方程等知识点，能求出是解此题的关键．42.已知，且x为奇数，求（1+x）•的值．【答案】2【解析】【分析】由二次根式的非负性可确定x的取值范围，再根据x为奇数可确定x的值，然后对原式先化简再代入求值.【详解】解：∵，∴解得，6≤x＜9，∵x为奇数，∴x=7，∴（1+x）•=（1+x）•=（1+x）•====2．【点睛】本题考查了二次函数的非负性及二次根式的化简求值.43.先化简，再求值：已知a＝，求的值．【答案】，3【解析】【分析】先化简得，再将代入即可得．【详解】解：原式===当代入得：．【点睛】本题考查了整式化简求值，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．44.已知，，求式子的值．【答案】【解析】【分析】根据，，将化简为，然后代入求值即可．【详解】解：∵，，∴，把，代入得：原式．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确进行计算．【新定义小练】45.对于任意的正数m，n定义运算为：，计算的结果为______．【答案】或【解析】【分析】根据新定义把所求的式子化为二次根式运算，再进行二次根式的运算即可．【详解】解：∵3＞2,8＜12，∴．故答案为：或【点睛】本题考查了二次根式的计算，理解新定义，将式子转化为二次根式的计算，并正确进行二次根式计算是解题关键．46.我们规定运算符号“△”的意义是：当a＞b时，a△b＝a＋b；当a≤b时，a△b＝a－b，其它运算符号的意义不变，计算：(△)－(2△3)＝__________.【答案】－＋4【解析】【分析】根据题意，先比较出＞，2＜3，再代入相应的运算法则进行计算，再根据二次根式的混合运算进行化简.【详解】∵当a＞b时，a△b＝a＋b；当a≤b时，a△b＝a－b，＞，2＜3，∴(△)－(2△3)＝＋－(2－3)＝－＋4.【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是根据题意进行运算化简，再利用二次根式的运算法则进行计算.47.若a+b=2，则称a与b是关于1的平衡数．（1）3与是关于1的平衡数，5﹣与是关于1的平衡数；（2）若（m+）×（1﹣）=﹣5+3，判断m+与5﹣是否是关于1的平衡数，并说明理由．【答案】（1）﹣1，﹣3+；（2）不是，理由见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案．（2）根据所给的等式，解出m的值，进而再代入判断即可．试题解析：（1）由题意得，3+（﹣1）=2，5﹣+（﹣3+）=2，∴3与﹣1是关于1的平衡数，5﹣与﹣3+是关于1的平衡数；（2）不是．∵（m+）×（1﹣）=m﹣m+﹣3，又∵（m+）×（1﹣）=﹣5+3，∴m﹣m+﹣3=﹣5+3，∴m﹣m=﹣2+2．即m（1﹣）=﹣2（1﹣）．∴m=﹣2．∴（m+）+（5﹣）=（﹣2+）+（5﹣）=3，∴（﹣2+）与（5﹣）不是关于1的平衡数．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．【阅读材料类小练】48.阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8．（1）求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．【答案】（1）△ABC的面积为；（2）【解析】【分析】（1）根据题中所给公式可进行求解；（2）由（1）及利用等积法可进行求解．【详解】解：（1）∵a＝9，b＝7，c＝8，∴，∴；（2）由（1）及题意得：，∴．【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．49.在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：对于两个数a，b，称为a，b这两个数的算术平均数，称为a，b这两个数的几何平均数，称为a，b这两个数的平方平均数．小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：（1）若a=1，b=2，则M=，N=，P=；（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：（把M，N，P从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）．【答案】（1），，；（2）①见解析；②．【解析】【分析】（1）将分别代入求值即可得；（2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论．【详解】解：（1）当时，，，，故答案为：，，；（2）①，则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：，则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立，都是正数，都是正数，，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．50.【阅读学习】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中，，，均为整数），则有．∴，．这样小明就找到了一种把的式子化为平方式的方法．【解决问题】（1）当，，，均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得：______，______；（2）利用（1）的结论，找一组正整数，使得成立，且的值最小．请直接写出，，，的值；（3）若，且，，均为正整数，求的值．【答案】（1），（2）（3）14或46【解析】【分析】（1）利用完全平方公式计算，由此即可得；（2）先根据（1）的结论可得，再根据都是正整数，且可得当时，的值最小，即的值最小，然后代入求出的值即可；（3）先利用完全平方公式可得，，再根据均为正整数可得，或，，然后代入求出的值即可．【小问1详解】解：，，，∴，．【小问2详解】解：由（1）可知，，，，都是正整数，且，当时，的值最小，即的值最小，则，，综上，．【