第25讲图形的相似单元综合检测-2023年新九年级数学暑假课（北师大版）

第25讲图形的相似单元综合检测一、单选题1．下列各组线段的长度成比例的是（

）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm，6cmC．5cm，10cm，15cm，20cm D．6cm，4cm，3cm，2cm【答案】D【分析】根据成比例线段的定义，把线段按照由大到小或由小到大的顺序排列，验证第一项×第四项是否与中间两项乘积相等即可．【解析】A、1×4≠2×3，因此不成比例；B、3×6≠4×5，因此不成比例；C、5×20≠10×15，因此不成比例；D、6×2＝4×3，因此成比例；故选D．【点睛】本题考查成比例线段的定义，属于基础题．2．若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把原式变形为，再代入，即可求解．【解析】解：∵，∴故选：D【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，根据题意，把原式变形为是解题的关键．3．下列命题中，正确的是（

）A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似C．边长相等的两个菱形都相似 D．对角线相等的两个矩形都相似【答案】A【分析】两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形，根据相似多边形的定义逐项判断即可．【解析】解：A.所有的正方形都相似，故选项正确，符合题意；B.菱形的边成比例，但角不一定相等，故选项错误，不符合题意；C.边长相等的两个菱形都不一定相似，故选项错误，不符合题意；D.对角线相等的两个矩形边不一定成比例，所以不一定相似，故选项错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查命题、相似多边形的定义，解题的关键是熟练掌握相似多边形的概念．4．在比例尺为1∶100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度约为（

）A．100km B．2000m C．10km D．20km【答案】B【分析】根据实际距离=图上距离÷比例尺列出算式，再进行计算即可．【解析】解：2÷=200000（cm）=2（km），答：甲、乙两地的实际距离是2000m．故选：B．【点睛】此题考查了比例线段，掌握图上距离、实际距离和比例尺的关系是解题的关键，注意单位的换算．5．一个四边形各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形最长边为15，则的最短边长为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】设四边形最短边长为x，根据相似多边形的性质列得2：x=5：15，，从而求出x．【解析】设四边形最短边长为x，∵四边形相似四边形，∴2：x=5：15，解得x=6，故选：C．【点睛】考查了相似多边形的性质，理解并掌握相似多边形的性质是解题的关键．6．如图，以点为位似中心，把放大2倍得到．下列说法错误的是(

)A． B．C． D．直线经过点【答案】B【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可．【解析】解：∵以点为位似中心，把放大2倍得到，∴，，直线经过点，，∴，∴A、C、D选项说法正确，不符合题意；B选项说法错误，符合题意．故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似三角形的性质是解题的关键．7．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是（

）A．＝＝ B．＝C．＝＝ D．＝【答案】A【分析】根据相似三角形的性质判断求解即可．【解析】解：∵△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，∴＝＝，故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答的关键．8．已知线段，点P是线段AB的黄金分割点，则线段AP的长为（

）A． B．－ C． D．【答案】D【分析】根据黄金分割的定义即可解答．【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴，故选：D．【点睛】此题考查了黄金分割，应该熟记黄金分割的公式：较长线段=原线段长的倍．9．如图，，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，根据题意，，进而求解．【解析】∵，∴．∵，∴，∵，，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用平行线分线段成比例定理是解本题的关键．10．如图，点P在的边上，下列条件中不能判断的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．【解析】解：A.∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，∴△ABP∽△ACB，故选项不符合题意；B.∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故选项不符合题意；C.∵∠A＝∠A，AB2＝AP•AC，即，∴△ABP∽△ACB，故选项不符合题意；D.根据和∠A＝∠A不能判断△ABP∽△ACB，故选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用．11．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处，设DE与BB交于点F，则EF＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等腰直角三角形的性质得到ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH＝B′HAB′，求得AH＝B′H＝1，根据勾股定理得到BB′，由折叠的性质得到BFBB′，DE⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．【解析】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH＝B′HAB′，∵AB′AC，∴AH＝B′H＝1，∴BH＝3，∴BB′，∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，∴BFBB′，DE⊥BB′，∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，∵∠EBF＝∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴，∴，∴EF，故答案为：．故选：C．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，折叠问题，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．12．如图，在矩形ABCD中，DE平分交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为DE上一动点，，将绕点P逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】D【分析】根据旋转的性质判断得，可判断③正确，证可判断④正确，从而得出结果.【解析】解：根据旋转的性质可知，，∵DE平分，∴，∴，∴PH=PD，∵∴在和中，∵∴∴∵∴∴故③正确；∵，∴∴即，故④正确；根据已知条件无法证明①DH=DE，②DP=DG.故选：D．【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的全等、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．二、填空题13．两个相似多边形的面积比是，则它们的周长比是_____________．【答案】【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比计算即可．【解析】∵两个相似多边形的面积比是，∴相似多边形的相似比为∴它们的周长比是．【点睛】本题考查了相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．14．若线段a＝4，b＝9，则线段a，b的比例中项为____________．【答案】6【分析】由四条线段a，x，x，b成比例，根据成比例线段的定义解答即可．【解析】解：设线段a，b的比例中项为c,c>0,根据比例中项原则：c2＝ab，∴c2＝4×9，∴c＝6故答案：6．【点睛】本题考查成比例线段、比例中项等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．15．已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，若AB=1，则AP的长为______．【答案】/【分析】根据P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，可得，即可求解．【解析】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了黄金分割，根据题意得到是解题的关键．16．如图，为估算河的宽度，在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD＝20m，然后又在垂直AB的直线上取点C，并量得BC＝40m．如果DE＝30m，A、E、C三点共线，则河宽AD为______．【答案】/60米【分析】根据平行得到△ADE∽△ABC，然后根据对应边成比例，得到答案．【解析】解：根据题意，在与中，∵，，，，∴△ADE∽△ABC,∴，∴，故答案是：m．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质和判定，理解相似三角形的对应线段成比例是解题的关键．17．如图，，若AC8，BD12，则EF___________．【答案】【分析】根据，可得△BEF∽△BCA，△AEF∽△ADB，从而得到，即可求解．【解析】解：∵，∴△BEF∽△BCA，∴，∵，∴△AEF∽△ADB，∴，∴，即，∴，∵AC8，BD12，∴，解得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．18．如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD：DC=1：2，点E是BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，BC=12，则BF=_________．【答案】3【分析】过E作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出DG：DC=1：2，根据已知和平行线分线段成比例得出EG：FC=2：3，再根据BC=12，即可得出BF的值．【解析】解：过E作EG∥BC，交AC于G，∵EG∥BC，E为BD中点，BC=12，∴DG=CG，，∴EG=6，又∵AD：DC=1：2，∴AG：AC=2：3，∵EG∥BC，∴，∴FC=9，∵BC=12，∴BF=BCFC=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．19．如图，正方形ABCD的边长为8，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当CN=2时，CM=______．【答案】4【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=8，∠B=∠C=90°，进而证明∠BAM=∠NMC，得△BAM∽△CMN，即可求得CM的值．【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=8，∠B=∠C=90°，∴∠BAM+∠BMA=90°，∵AM⊥MN，∴∠AMN=90°，∴∠BMA+∠NMC=90°，∴∠BAM=∠NMC，∴△BAM∽△CMN，∴，∴，解得MC=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．20．如图，菱形中，，对角线相交于点，点、分别是边、上的点，且，连接、分别交对角线于点、，若，，则的面积为__．【答案】【分析】根据菱形的性质可推导出，，，，再由可得：，根据相似三角形的性质列出式子，根据可以判定，故，再由，可得：，根据相似三角形的性质列出式子，即可得出答案．【解析】解：四边形为菱形，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．三、解答题21．（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．（2）已知x：y＝4：3，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．（2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论．【解析】解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，∵a＝3，b＝6，x2＝3×6＝18，x＝（负值舍去）．∴线段a，b的比例中项是3．（2）设x＝4k，y＝3k，∴＝＝．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．22．已知，x：y：z＝2：3：4，求：（1）的值；（2）若x+y+z＝18，求x，y，z．【答案】（1）；（2）x＝4，y＝6，z＝8．【分析】（1）根据比例设x=2k，y=3k，z=4k，然后代入比例式进行计算即可得解．（2）根据比例设x=2k，y=3k，z=4k，然后代入等式进行计算即可得到k的值，进而得出x，y，z的值．【解析】解：（1）设x＝2k，y＝3k，z＝4k，则＝＝；（2）设x＝2k，y＝3k，z＝4k，∵x+y+z＝18，∴2k+3k+4k＝18，解得k＝2，∴x＝4，y＝6，z＝8．【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z可以使运算更加简便．23．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝8，BC＝24，CD＝18，AD＝6，求AE、BE的长．【答案】AE=8，BE=10．【分析】由△ADE∽△ABC，且DE=8，BC=24，CD=18，AD=6，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解析】解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵DE=8，BC=24，CD=18，AD=6，∴AC=AD+CD=24，∴AE=8，AB=18，∴BE=ABAE=10．【点睛】本题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用是解此题的关键．24．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC依次交l1、l2、l3于A、B、C三点，直线DF依次交l1、l2、l3于D、E、F三点，若＝，DE＝2，求EF的长．【答案】1.5【解析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后把有关数据代入计算即可．解答：解：∵l1∥l2∥l3，直线AC依次交l1、l2、l3于A、B、C三点，直线DF依次交l1、l2、l3于D、E、F三点，∴，∵，DE＝2，∴，解得：DF＝3.5，∴EF＝DF﹣DE＝3.5﹣2＝1.5．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．25．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．(1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出，使得与位似，且相似比为2：1；(2)在（1）的条件下，分别写出点A、B、C的对应点D、E、F的坐标．【答案】(1)图见解析(2)，，【分析】（1）连接，延长至格点D，使，则D为A的对应点，同法确定的对应点E，C的对应点F，再顺次连接D，E，F即可；（2）根据对应格点的位置可得答案．【解析】（1）解：如图，即为所求作的三角形；（2）根据对应格点的位置可得：，，【点睛】本题考查的是画位似图形，求解位似对应点的坐标，掌握位似图形的性质再确定位似图形对应点的坐标是解本题的关键．26．如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿后退，当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离为1.2米；然后，苏海沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，求雕像的高度．

【答案】【分析】根据已知条件推出，求得与的关系，再根据题意易得四边形、四边形、四边形均为矩形，得到，根据，得，构造一元一次方程，解方程即可得出结论．【解析】解：设米，如图，

根据题意可得，，，∴，∴,∴，∵点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，，∴四边形、四边形、四边形均为矩形，∴，∵，∴，∴解得∴答：雕像的高度为16.8米．【点睛】本题考查相似三角形的判定、性质与实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．27．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点H在边BC上，且AH＝HC，交AC于点G，BD＝7，AD＝5，DH＝3．(1)求证：AH⊥BC；(2)求AG的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据条件求出AH的长，得出AH2+DH2＝AD2，证明△AHD是直角三角形即可；（2）利用勾股定理求出AC的长，设AG为x，则可用x表示CG的长，利用平行线分线段成比例列出比例式，即可求出x，即AG的长．【解析】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴DC＝BD＝7，∵DH+HC＝DC＝7，∴HC＝DC﹣DH＝7﹣3＝4．∵AH＝HC，∴AH＝CH＝4，∵AH2+DH2＝25，AD2＝25，∴AH2+DH2＝AD2，∴△AHD是直角三角形，∠AHD＝90°，∴AH⊥BC；（2）设AG＝x，由勾股定理得AC＝＝4，∴，∵HG∥AD，∴＝＝，即＝，解得x＝，∴AG的长为．【点睛】本题考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解题关键．28．如图，在中，，，CD是AB边上的高，点E为线段CD上一点（不与点C，点D重合），连接BE，作与AC的延长线交于点F，与BC交于点G，连接BF．(1)求证：；(2)求证：；(3)求的值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】(1)得出∠FCG=∠BEG=90°，∠CGF=∠EGB，则结论得证；(2)证明△CGE∽△FGB即可；(3)过点F作FH⊥CD交DC的延长线于点H，证明△FEH≌△EBD（AAS），得出FH=ED，则CH=FH，得出CF=DE，则得出答案．【解析】（1）证明：∵，∴又∵∴（2）解：由(1)得，∴，∴，又∵，∴，∴，即（3）解：过点作交的延长线于点，如下图所示，由(2)知，∠EFB=45°，EF⊥BE，∴是等腰直角三角形，∴∵，∴在和中∴（AAS），∴，∵，，∴，∴在中，，∴，∴.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．29．如图①，已知矩形和矩形，且，，连接，．

(1)发现：①线段与之间的数量关系是______；②直线与直线之间的位置关系是______．(2)探究：当矩形绕点A顺时针能转，，如图②，且，，（1）中结论还成立吗？并给出证明．(3)应用：在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条线上，则线段的长是多少？（直接写出结论）【答案】(1)①；②；(2)成立，证明见解析；(3)或．【分析】（1）如图，延长，交于点H，可证得，，，进一步证得，于是，；（2）延长BE交DG于H，如图①，求证，进一步证明，可得，，求证，于是；（3）存在两种情况：①当点B，E，F在同一条直线上，如图②，，中，根据勾股定理得，