2.2第3课时整式的加减（原卷版）2

七年级上册数学《第二章整式》2.2整式的加减第3课时整式的加减知识点知识点整式的加减◆1、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.◆2、整式的加减步骤及注意问题（1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．（2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．题型一题型一利用整式的加减计算【例题1】（2022秋•昆明期末）已知多项式M与a2+2ab的和是2a2﹣ab+3b2，其中，多项式M中的a＝﹣1，b＝1，则多项式M及多项式M的值分别为（）A．a2+2ab，﹣1 B．2a2﹣ab+3b2，6 C．3a2+ab+3b2，﹣1 D．a2﹣3ab+3b2，7解题技巧提炼用A、B表示的多项式分别是一个整体，先化简再代入求值时要把A、B加上括号后，然后去括号再进行化简.【变式11】（2022秋•未央区期中）已知（4x2﹣7x﹣3）﹣A＝3x2﹣2x+1，则A为（）A．x2﹣9x+2 B．x2﹣9x﹣4 C．x2﹣5x﹣2 D．x2﹣5x﹣4【变式12】（2022秋•五莲县期末）已知一个多项式的2倍与3x2+9x的和等于﹣x2+5x﹣2，则这个多项式是（）A．﹣4x2﹣4x﹣2 B．﹣2x2﹣2x﹣1 C．2x2+14x﹣2 D．x2+7x﹣1【变式13】（2022秋•庐江县期末）一个多项式减去﹣x2y﹣3xy2得2x2y﹣xy2，则这个多项式是（）A．3x2y﹣4xy2 B．x2y﹣4xy2 C．﹣3x2y+2xy2 D．﹣x2y+2xy2【变式14】（2022秋•清水县校级期末）计算：（1）﹣2y3﹣xy2﹣2（xy2﹣y3）；（2）5x2﹣[3x2﹣2（﹣x2+4x）]．【变式15】（2023春•青冈县期末）已知A＝2a2﹣a，B＝﹣5a+1．（1）化简：3A﹣2B+2；（2）当a=−12时，求3A﹣2题型二题型二整式的化简求值直接代入求值【例题2】（2022秋•渠县校级期末）先化简，再求值：（3x2y﹣xy2）﹣2（﹣2xy2+x2y），其中x＝2，y＝﹣1．解题技巧提炼进行整式的加减时先去括号然后合并同类项进行化简后，直接代入字母的值进行计算即可.（2022秋•灌云县期中）已知多项式M＝4x﹣1，N＝﹣2x﹣5，当x＝﹣1时，代数式4M﹣（2M+3N）的值为．值：2（2a2+3ab）﹣（4a2+4ab﹣9），其中a=1b＝﹣3．（2022秋•宣城期末）先化简，再求值：12其中x＝﹣2，y＝3．【变式24】（2022秋•南召县期末）先化简，再求值：2(32x2−3xy+y2)−3(x2−【变式25】（2022秋•茂南区期末）已知：A＝2a2+3ab﹣1，B＝a2+ab+1．（1）求A﹣2B的值；（2）若（a﹣1）2000+|b+2|＝0，求（1）中A﹣2B的值．题型三题型三整式的化简求值整体代入求值【例题3】求值：（1）已知5x﹣2y＝3，求15x﹣6y﹣8的值．（2）已知a﹣b＝5，﹣ab＝3，求(7a+4b+ab)−6(5解题技巧提炼先对原式进行去括号、合并同类项的化简，再把数值整体代入到化简后的式子求值即可．【变式31】已知代数式4a﹣5b的值为﹣3，则代数式2（2a+b）+4（a﹣4b+1）+4b的值为．【变式32】（2022秋•石狮市期末）已知a﹣2b=13，2b﹣c=−53，c﹣d=73，则代数式（a﹣c）+（2b+d）﹣（2b+2c﹣【变式33】（2022秋•市中区校级期末）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m+n＝﹣2，mn＝﹣4，则2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值为．【变式34】（2023春•平谷区期末）已知x2﹣5x﹣4＝0，求2x【变式35】我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x．类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．（1）若把（a﹣b）2看成一个整体，则合并3（a﹣b）2﹣8（a﹣b）2+6（a﹣b）2的结果是．（2）已知x2﹣2y＝3，求﹣8y+4x2﹣2的值．【变式36】（2023春•南宁期末）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b），“整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法，它在方程、多项式的求值中应用极为广泛．（1）尝试应用：把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2的结果是．（2）已知x﹣2y＝1，求3x﹣6y﹣5的值．（3）拓展探索：已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．题型四整式加减中的错看问题题型四整式加减中的错看问题【例题4】（2022秋•渠县校级期末）有一道题目是一个多项式A减去多项式2x2+5x﹣3，小胡同学将2x2+5x﹣3抄成了2x2+5x+3，计算结果是﹣x2+3x﹣7，这道题目的正确结果是（）A．x2+8x﹣4 B．﹣x2+3x﹣1 C．﹣3x2﹣x﹣7 D．x2+3x﹣7解题技巧提炼看错符号问题，先根据错误的运算方法求出原来的某个多项式，然后再按照正确的运算方法计算结果即可.【变式41】（2022秋•内江期末）黑板上有一道题，是一个多项式减去3x2﹣5x+1，某同学由于大意，将减号抄成加号，得出结果是5x2+3x﹣7，这道题的正确结果是（）A．8x2﹣2x﹣6 B．14x2﹣12x﹣5 C．2x2+8x﹣8 D．﹣x2+13x﹣9【变式42】（2022秋•离石区期末）小文在做多项式减法运算时，将减去2a2+3a﹣5误认为是加上2a2+3a﹣5，求得的答案是a2+a﹣4（其他运算无误），那么正确的结果是（）A．﹣a2﹣2a+1 B．﹣3a2+a﹣4 C．a2+a﹣4 D．﹣3a2﹣5a+6【变式43】（2022秋•渠县校级期末）有一道题目是一个多项式A减去多项式2x2+5x﹣3，小胡同学将2x2+5x﹣3抄成了2x2+5x+3，计算结果是﹣x2+3x﹣7，这道题目的正确结果是（）A．x2+8x﹣4 B．﹣x2+3x﹣1 C．﹣3x2﹣x﹣7 D．x2+3x﹣7【变式44】马小虎做一道题：“已知两个多项式A、B，计算2A+B”．他误将“2A+B”看成“A+2B，求得的结果为9x2+x﹣7．如果知道B＝x2﹣2x+6．（1）请根据现有条件求多项式A；（2）计算2A+B的正确答案．【变式45】（2023•任丘市校级模拟）复习整式的运算时，李老师在黑板上出了一道题：“已知A＝﹣x2+4x，B＝2x2+5x﹣4，当x＝﹣2时，求A+B的值．”（1）嘉嘉准确的计算出了正确答案﹣18，淇淇由于看错了B式中的一次项系数，比正确答案的值多了16，问淇淇把B式中的一次项系数看成了什么数？（2）小明把“x＝﹣2”看成了“x＝2”，在此时小明只是把x的值看错了，其余计算正确，那么小明的计算结果与嘉嘉的计算结果有什么关系？题型五整式加减中与某个字母无关问题题型五整式加减中与某个字母无关问题【例题5】（2022秋•硚口区期末）已知M＝2a2﹣ab+b﹣1，M﹣3N＝a2+3ab+2b+1．若计算M﹣[2N﹣（M﹣N）]的结果与字母b无关，则a的值是．解题技巧提炼整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法：在整式的加减运算的过程中，若涉及“不含某项”或“与某项无关”，其实质是指合并同类项后“不含项”或“无关项”的系数为0.【变式51】（2022秋•长沙期末）已知关于x，y的多项式mx2+2xy﹣x与3x2﹣2nxy+3y的差不含二次项，求nm的值（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【变式52】（2022秋•平城区校级期末）若多项式2（x2﹣xy﹣3y）﹣（3x2﹣axy+y2）中不含xy项，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．0 D．1【变式53】（2022秋•汉寿县期末）已知：关于x、y的多项式x2+ax﹣y+b与多项式bx2﹣3x+6y﹣3的和的值与字母x的取值无关，求代数式3（a2﹣2ab+b2）﹣[4a2﹣2（12a2+ab−32【变式54】（2022秋•雁塔区校级期末）已知：A＝3x2+2xy+10y﹣1，B＝x2﹣xy．（1）计算：A﹣3B；（2）若A﹣3B的值与y的取值无关，求x的值．【变式55】（2022秋•邗江区校级期末）已知关于x的代数式2x2−12bx2﹣y+6和ax+17x﹣5y﹣1的值都与字母（1）求a，b的值．（2）若A＝4a2﹣ab+4b2，B＝3a2﹣ab+3b2，求4A+[（2A﹣B）﹣3（A+B）]的值．题型六题型六整式加减与数轴、绝对值的结合【例题6】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a|﹣|a﹣b|+|b﹣a|的结果是（）A．﹣3a+2b B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a解题技巧提炼先由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【变式61】已知a，b，c是三个有理数，他们在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|c﹣a|﹣|b+c|得（）A．2c﹣2b B．﹣2a C．2a D．﹣2b【变式62】有理数a、b、c在数轴上的位置如图，则|c﹣a|﹣|a+b|+|b﹣c|的值为（）A．0 B．2a﹣2c+2b C．﹣2c D．2a【变式63】（2022秋•黔南州期中）如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c，则（1）b﹣a0，a﹣c0，b+c0（用“＞”“＜”或“＝”填空）．（2）化简：|b﹣a|﹣|a﹣c|+|b+c|【变式64】（2022秋•大安市期中）数a，b，c在数轴上的位置如图所示且|a|＝|c|；化简：|a+c|+|2b|﹣|b﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|．【变式65】数a，b，c在数轴上的位置如图所示且|a|＝|c|；（1）求：a+c与ca（2）化简：|a﹣c|﹣|b﹣a|+|a+c|．题型七利用整式加减解决数学问题题型七利用整式加减解决数学问题【例题7】一个三位数M，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．（1）用含a、b、c的式子表示这个数M为．（2）现在交换百位数字和个位数字，得到一个新的三位数N，请用含a、b、c的式子表示这个数N为．（3）请用含a、b、c的式子表示N﹣M，并回答N﹣M能被11整除吗？解题技巧提炼根据方框在日历中的不同位置寻找规律，并利用规律求值；解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7．【变式71】（2023•丰润区二模）一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”．（1）最小的三位“和谐数”是，最大的三位“和谐数”是；（2）若一个“和谐数”的个位数字为a（a≥0），十位数字为b（b≥1，b＞a且a、b都是自然数），请用含a，b的代数式表示该“和谐数”；（3）判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例．【变式72】（2022秋•雄县期中）如图1，图2是某月的日历．（1）如图1，小明用带阴影的长方形围住9个数字．①若设长方形围住的左上角的第一个数为x，则长方形围住的右下角的第9个数为（用含x的式子表示）；此时这9个数的和为（用含x的式子表示）；②若设长方形围住的正中间的数为a，请你试猜想围住的9个数之和与其正中间的数有什么关系，并说明理由；（2）若围住的数字由长方形中9个数字变成如图2所示的带阴影的数字，试判断是否还满足②中的结论，并说明理由．【变式73】（2022秋•东城区校级期中）如图1是2022年2月的日历表：（1）在图1中用优美的“”U形框框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为；（2）在图1中将U形框上下左右移动，框住日历表中的5个数字，设最小的数字为x，用代数式表示U形框框住的五个数字之和为；（3）在图1中移动U形框的位置，若U形框框住的五个数字之和为53，则这五个数字从小到大依次为；（4）在图1日历表的基础上，继续将连续的自然数排列成如图2的数表，在图2中U形框框住的5个数字之和能等于2023吗？若能，分别写出U形框框住的5个数字；若不能，请说明理由．【变式74】（2022秋•大丰区校级月考）生活与数学．（1）吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内四个数的和是32，则第一个数是；（2）玛丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则它们分别是；（3）莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是；（4）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是号；（5）若干个偶数按每行8个数排成图4：①图中方框内的9个数的和与中间的数有什么关系；②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是．题型八利用整式加减进行新定义运算题型八利用整式加减进行新定义运算【例题8】阅读材料：对于任何数，我们规定符号abcd的意义是ab例如：12（1）按照这个规定，请你计算1−2（2）按照这个规定，请你化简−3x解题技巧提炼将多项式作为整体代入新定义的运算中，切记将多项式要用括号括起来，再去括号．【变式81】（1）先化简再求值：当x=−12，y＝﹣3时，求代数式3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（xy+（2）我们定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab．①求2*（﹣3）的值；②求（﹣2）*[2*（﹣3）]的值．【变式82】（2022秋•东台市期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号abcd的意义为abcd（1）按此规定，计算2−5（2）按此规定，当|x﹣y﹣3|+|xy+1|＝0时，计算x1−2x【变式83】（2022秋•防城区期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号ab是abcd例如：12（1）按照这个规定，请你计算65（2）按照这个规定，请你计算当|x+y﹣2|+（xy+1）2＝0时，12xy+3y【变式84】（2022秋•锦江区校级期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是＝ad﹣bc，例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2．（1）按照这个规定，试计算的值．（2）按照这个规定，请你计算当|x+y+5|+（xy﹣2）2＝0时，求的值．【变式85】（2022秋•北京期末）我们规定：使得a﹣b＝2ab成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为（a，b）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，1）都是“有趣数对”．（1）数对（1，13），（1.5，3），（−12，﹣1）中，是“有趣数对”的是（2）若（k，﹣3）是“有趣数对”，求k的值；（3）若（m，n）是“有趣数对”，求代数式8[3mn−12m﹣2（mn﹣1）]﹣4（3m2﹣n）+12m题型九运用整式的加减解决实际问题题型九运用整式的加减解决实际问题【例题9】长方形的一边长等于3a+2b，另一边比它大a﹣b，那么这个长方形的周长是（）A．14a+6b B．7a+3b C．10a+10b D．12a+8b解题技巧提炼有关整式加减的实际问题，应先根据题目中的数量关系，正确列出关系式，再按照整式加减的运算法则计算出最后的结果.【变