专题22平行与垂直重难点题型专训（7大题型）（原卷版）

专题22平行与垂直重难点题型专训（7大题型）【题型目录】题型一平面内两直线的位置关系题型二立体图形中平行的棱题型三用直尺、三角板画平行线题型四垂线的定义理解题型五画垂线题型六垂线段最短题型七点到直线的距离【知识梳理】知识点一：平行1、定义：同一平面内的两条直线的位置有两种：平行或相交．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．定义中的三个要点：（1）在同一平面内；（2）不相交，即没有公共点；（3）两条直线，而不是线段或射线．2、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。知识点二：垂直1．垂直的定义：如图，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b或者b⊥a，交点O就是垂足．其中a是b的垂线，b也是a的垂线．垂线是直线，且相对于另一条直线而言．aabOa图12．垂直定义的应用：（1）判定：若直线AB和CD相交，交点为O，∠BOC＝90°，则AB⊥CD．这个推理过程可表示为：∵∠BOC＝90°，∴AB⊥CD．（垂直的判定）．（2）性质：若两条直线AB⊥CD，垂足为点O，则∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°，这个推理过程可表示为：∵AB⊥CD∴∠BOC＝90°（垂直的定义）．CCBOa图2AD【经典例题一平面内两直线的位置关系】1．（2021上·四川甘孜·七年级统考期末）若整数a使关于x的方程有负整数解，且a是三条直线在同一平面内交点的个数，则满足条件的所有a的和为（

）A．8 B．7 C．5 D．32．（2022下·上海嘉定·七年级校联考期中）已知直线、、在同一平面内，且满足∥，，那么直线与的位置关系是：.（从“∥”或“”中选择）3．（2022下·江苏南京·七年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）在间一平面内，有2022条互不重合的直线，l1，l2，l3，…，l2022，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，以此类推，则l1和l2022的位置关系是．4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个“#”形？【经典例题二立体图形中平行的棱】1．（2022下·河北衡水·七年级校考阶段练习）有一正棱锥的底面为正三角形．若此正棱锥其中两个面的周长分别为27、15，则此正棱锥所有边的长度和为多少？（）A．36 B．42 C．45 D．482．（2021·上海·上海市实验学校校考二模）如图，在长方体ABCDEFGH中，与棱AD平行的平面共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2022下·七年级课时练习）观察如图所示的长方体.(1)用符号表示下列两棱的位置关系：ABA′B′，AA′AB，D′A′D′C′，ADBC．(2)A′B′与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们平行线.（填“是”或“不是”）4．（2022下·七年级课时练习）观察下图所示的长方体，回答下列问题．(1)用符号表示两棱的位置关系：，，，；(2)与所在的直线不相交，它们平行线(填“是”或“不是”)．由此可知，在内，两条不相交的直线才是平行线．5．（2021下·七年级课时练习）如图，在长方体中，（1）与棱平行的棱为；（2）与棱平行的平面为；（3）与平面垂直的平面为．【经典例题三用直尺、三角板画平行线】1．（2022下·北京·七年级北师大实验中学校考期末）如图，已知，请你按下列步骤画图：（用三角板、量角器等工其画图，不写画法，只保留画图痕迹）

①画的平分线交线段于点D；②过点C画的平行线交射线于点E；③过点E作的垂线段，垂足是F．2．（2023下·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校联考阶段练习）根据下列要求画图：

(1)过点点画线段的垂线；(2)以为顶点作，使；(3)连接，若格点（不与点重合），满足，则此网格中满足条件的格点有个．3．（2023上·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，分别是两条笔直的公路，是三个商店．

(1)如果经过点处建设一条公路，使这条公路与公路平行，且交于点，在图上画出这条公路．(2)一个人从处走最近的路线到达公路，画出这个人行走的路线．(3)一辆货车在公路上行驶，当停在处时，可以使两处的人到货车的距离之和最小，画出点的位置．这样画的依据是．4．（2022上·河南南阳·七年级统考期末）已知平面上有A、C、D三点，如图，请按要求完成下列问题．(1)画射线AD，线段AC；(2)利用圆规在射线AD上截取DB，使（保留作图痕迹），连接BC；(3)过点D画出AC的平行线DF，交BC于E；(4)通过测量猜测线段DE与AC之间的数量关系．5．（2022下·福建漳州·七年级福建省诏安县第二实验中学校考期中）已知：如图，点P为的边上一点，(1)求作：过点P作，使得；（要求保留作图痕迹）(2)直线CP和OA的位置关系是．【经典例题四垂线的定义理解】1．（2021上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，直线、相交于点，，，则的度数是（

）．

A． B． C． D．2．（2023下·天津·七年级校考期末）已知，直线经过点O且度，则等于（

）A． B． C．或 D．3．（2022下·新疆阿克苏·七年级统考期末）已知直线相交于点O，平分，且，射线，则．4．（2023上·湖北黄冈·八年级统考阶段练习）如图，直线与直线相交于点O，平分，若，且，则．

5．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）已知：如图，直线相交于点为射线，且平分．

(1)求的度数；(2)请直接写出图中4对相等的角（直角、平角除外）．【经典例题五画垂线】1．（2022上·福建泉州·七年级校考期末）如图，在平面内有A，B，C三点．

(1)画直线；画射线；画线段；过A点做垂直于于点D；并延长至点E，使；(2)点A到的距离为线段的长度．2．（2023下·河南郑州·七年级校考阶段练习）在如图所示的方格纸中，

(1)仅用无刻度的直尺，过点作的平行线、过点作的垂线，垂足为（其中D、E为格点）；(2)比较大小：______，理由是：______．3．（2023下·河南许昌·七年级校考期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．

(1)过点P画的垂线，交于点E；过点P画的垂线，垂足为F；(2)线段的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．4．（2022上·山西临汾·七年级统考期末）在方格纸上画图并回答问题．如图，已知A，B，C三个点．

(1)画射线；(2)过B点作的垂线，垂足为点；(3)过C作平行线，交于点；写出图中的对顶角：___________．5．（2023下·河北邯郸·七年级统考期末）如图，点P、Q分别是的边、上的点．

(1)过点P、Q分别画、的平行线，两直线相交于点M；(2)过点P、画的垂线，垂足为H，过点P画的垂线交于点G；(3)线段与的大小关系是什么？【经典例题六垂线段最短】1．（2023下·河北保定·七年级统考期末）如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上只存在一个点，记的长度为，则的值可以是（）

A．7 B．2 C．5 D．62．（2023下·湖北省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）直角三角形中，，，，，则点到直线上各点的所有线段中，最短的线段长为（

）A． B． C． D．3．（2023下·甘肃定西·七年级统考期末）如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得米，米，则点A到的距离d可能为米．（填一个你认为正确的答案）

4．（2023上·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考开学考试）如图，直角三角形中，，，，，点是边上一动点，作直线经过点．点，分别过点，作与垂直，与垂直．垂足分别为，，设线段，的长度分别为，则的最大值为．

5．（2023下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图是一条河是河边外一点，是河边上一码头．

(1)若要从走到码头，请在图1中作出最短路线示意图．(2)现欲用水管从河边将水引到处，请在图2上作出所需水管最短的铺设方案．【经典例题七点到直线的距离】1．（2023下·安徽池州·七年级统考期末）在同一个平面内，是直线外一点，分别是上三点，已知，，若点到的距离是，则（

）A． B． C． D．2．（2022下·福建厦门·七年级校考期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（）A．点A到直线l2的距离等于4B．点C到直线l1的距离等于4C．点C到AB的距离等于4D．点B到AC的距离等于33．（2023上·七年级课时练习）如图，，垂足为，则下面的结论正确有．①与互相垂直；②与互相垂直；③点到的垂线段是线段；④线段的长度是点到的距离；⑤线段是点到的距离．4．（2021下·广东珠海·七年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）如图所示，已知，若，，，则点到的距离是，点到的距离是．5．（2021上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，所有小正方形的边长都为1个单位长度，A、B、C都在格点上．

(1)过点A作直线的垂线，并注明垂足为G．(2)过点A作交于点H．(3)点A到直线的距离等于_______个单位长度．【培优检测】1．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（）A．21个 B．22个 C．23个 D．24个2．（2021上·四川甘孜·七年级统考期末）若整数a使关于x的方程有负整数解，且a是三条直线在同一平面内交点的个数，则满足条件的所有a的和为（

）A．8 B．7 C．5 D．33．（2021上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，直线、相交于点，，，则的度数是（

）．

A． B． C． D．4．（2023下·安徽池州·七年级统考期末）在同一个平面内，是直线外一点，分别是上三点，已知，，若点到的距离是，则（

）A． B． C． D．5．（2023下·内蒙古呼和浩特·七年级统考期末）如图，三条直线，，相交于点，且，，若平分．的度数为（

）

A． B． C． D．6．（2022上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）直线与直线相交于点，，射线，则的度数为．7．（2023上·湖北黄冈·八年级统考阶段练习）如图，直线与直线相交于点O，平分，若，且，则．

8．（2022下·六年级校考课时练习）空间两条不重合的直线的位置关系有、、三种．9．（2022下·上海嘉定·七年级校考期末）如图，直线交于O，且，，则．

10．（2021上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）已知，直线与直线相交于点O，，垂直于O，平分，则的度数为°．11．（2022下·北京·七年级北师大实验中学校考期末）如图，已知，请你按下列步骤画图：（用三角板、量角器等工其画图，不写画法，只保留画图痕迹）

①画的平分线交线段于点D；②过点C画的平行线交射线于点E；③过点E作的垂线段，垂足是F．12．（2023上·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，分别是两条笔直的公路，是三个商店．

(1)如果经过点处建设一条公路，使这条公路与公路平行，且交于点，在图上画出这条公路．(2)一个人从处走最近的路线到达公路，画出这个人行走的路线．(3)一辆货车在公路上行驶，当停在处时，可以使两处的人到货车的距离之和最小，画出点的位置．这样画的依据是．13．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）已知：如图，直线相交于点为射线，且平分．

(1)求