专题27.8相似单元测试（培优卷）-2020-2021学年九年级数学下册尖子生培优题典

20202021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】专题27.8相似单元测试（培优卷）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共26题，其中选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•和平区期末）如果ab=cd=15（bA．15 B．25 C．110 D．【分析】根据和比的性质即可求解．【解析】∵ab=cd=15∴a+故选：A．2．（2019秋•肥西县期末）如图，已知△ABC，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．ACAP=ABAC【分析】由图可得∠A＝∠A，又由有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确，又由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，即可得C正确，利用排除法即可求得答案．【解析】∵∠A＝∠A，∴当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC，故A选项正确；∴当∠APC＝∠ACB时，△ACP∽△ABC，故B选项正确；∴当ACAP=ABAC时，△ACP∽△∵若ACAB=CPBC，还需知道∠ACP＝∠B，∴不能判定△ACP∽△故选：D．3．（2019秋•万州区期末）如图，DE是△ABC的中位线，则S△A．12 B．13 C．14 【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．【解析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DEAC∴△BDE∽△BCA，∴S△BDES△BCA=∴S△故选：B．4．（2019秋•肥城市期中）如图，AD是∠BAC的平分线，AD⊥BD，AC⊥DC，若AB＝8，AC＝6，则AD的长为（）A．43 B．7 C．10 D．42【分析】根据角平分线的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠DAC，∵AD⊥BD，AC⊥DC，∴∠ADB＝∠C＝90°，∴△ABD∽△ADC，∴ABAD∴8AD∴AD=8×6=4故选：A．5．（2020•安阳模拟）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是（）A．（4，2） B．（1，12）C．（1，12）或（﹣1，-12） D．（4，2）或（﹣4【分析】先根据图形求出点B的坐标，根据以原点O为位似中心的位似图形的性质计算．【解析】由图可知，点B的坐标为（2，1），∵以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，∴点B的对应点B1的坐标是（2×2，1×2）或（﹣2×2，﹣1×2），即（4，2）或（﹣4，﹣2），故选：D．6．（2019秋•建邺区期末）下列说法正确的是（）A．所有等边三角形都相似 B．有一个角相等的两个等腰三角形相似 C．所有直角三角形都相似 D．所有矩形都相似【分析】根据等边三角形各内角为60°的性质、矩形边长的性质、直角三角形、等腰三角形的性质可以解题．【解析】（A）等边三角形各内角为60°，各边长相等，所以所有的等边三角形均相似，故本选项正确；（B）一对等腰三角形中，若底角和顶角相等且不等于60°，则该对三角形不相似，故本选项错误；（C）直角三角形中的两个锐角的大小不确定，无法判定三角形相似，故本选项错误；（D）矩形的邻边的关系不确定，所以并不是所有矩形都相似，故本选项错误．故选：A．7．（2020•锡山区校级模拟）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为（）A．23 B．852 C．3152 D【分析】过G作GN⊥AB于N，依据△ABE∽△GNH，即可得到GH的长；以AG，AE为邻边作平行四边形AEMG，可得AG+HE＝ME+HE，当H，E，M在同一直线上时，AG+HE的最小值等于HM的长，再根据勾股定理求得HM的长，即可得到EH+AG的最小值．【解析】如图所示，过G作GN⊥AB于N，则∠ANG＝90°，GN＝AD＝2，∵GH⊥AE，∴∠ANG＝∠AFG＝90°，∴∠BAE＝∠NGH，∴△ABE∽△GNH，∴AEGH∵Rt△ABE中，AE=A∴17GH∴GH=17如图所示，以AG，AE为邻边作平行四边形AEMG，则AG＝ME，GM＝AE=17，∠HGM＝∠AFG＝90∴AG+HE＝ME+HE，当H，E，M在同一直线上时，AG+HE的最小值等于HM的长，此时，Rt△GHM中，HM=H∴EH+AG的最小值为852故选：B．8．（2020春•江阴市期中）如图，AC⊥BC，AC：BC＝3：4，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交于点E，连接AE，若S△ADE=83，S△BCE=32A．43 B．8 C．53 D．10【分析】过点E作BC，AC的垂线，垂足分别为F，G，设BC＝4x，则AC＝3x，根据角平分线的性质得到EF＝EG，根据三角形的面积得到CD＝2x，根据正方形的性质得到EF＝FC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】过点E作BC，AC的垂线，垂足分别为F，G，设BC＝4x，则AC＝3x，∵CE是∠ACB的平分线，EF⊥BC，EG⊥AC，∴EF＝EG，又S△BCE=323，S△ADE∴AD=14BC＝∴CD＝2x，∵四边形EFCG是正方形，∴EF＝FC，∵EF∥CD，∴△BEF∽△BDC，∴EFCD=BF解得，EF=43则12×4x×4解得，x＝2，则BC＝4x＝8，故选：B．9．（2020春•常熟市期末）如图，已知▱ABCD，AB＝2，AD＝6，将▱ABCD绕点A顺时针旋转得到▱AEFG，且点G落在对角线AC上，延长AB交EF于点H，则FH的长为（）A．92 B．163 C．5 【分析】先利用平行四边形的性质得到CD＝AB＝2，BC＝AD＝6，∠D＝∠ABC，再根据旋转的性质得到∠DAG＝∠BAE，AE＝AB＝2，EF＝BC＝6，∠E＝∠ABC，接着证明△ADC∽△AEH，然后利用相似比求出EH，从而得到FH的长．【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝2，BC＝AD＝6，∠D＝∠ABC，∵▱ABCD绕点A顺时针旋转得到▱AEFG，且点G落在对角线AC上，∴∠DAG＝∠BAE，AE＝AB＝2，EF＝BC＝6，∠E＝∠ABC，∴∠E＝∠D，而∠DAC＝∠HAE，∴△ADC∽△AEH，∴AD：AE＝DC：EH，即6：2＝2：EH，解得EH=2∴FH＝EF﹣EH＝6-2故选：B．10．（2019•兴业县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC=5，BC＝2．现分别任作△ABC的内接矩形P1Q1M1N1，P2Q2M2N2，P3Q3M3N3，设这三个内接矩形的周长分别为c1、c2，c3，则c1+c2+c3A．6 B．6+35 C．12 D．【分析】首先过点A作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质，可得BD＝CD=12BC＝1，∠B＝∠C，由勾股定理可求得AD的长，又可证得△BN1P1∽△BAD，利用相似三角形的对应边成比例，可证得N1P1＝2BP1，又由△BP1N1≌△CQ1M1（AAS），BP1＝CQ1，则可求得c1的值，同理可求得c2，c【解析】过点A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC=5，BC＝2∴BD＝CD=12BC＝1，∠B＝∠∴AD=AB2∵四边形P1Q1M1N1是矩形，∴P1Q1＝M1N1，N1P1＝M1Q1，N1P1⊥BC，∴N1P1∥AD，∴△BN1P1∽△BAD，∴BP1：BD＝N1P1：AD，∴N1P1＝2BP1，在△BP1N1和△CQ1M1中，∵∠B∴△BP1N1≌△CQ1M1（AAS），∴BP1＝CQ1，∴c1＝N1P1+P1Q1+M1Q1+M1N1＝2BP1+2P1Q1+2BP1＝2（BP1+P1Q1+BP1）＝2（BP1+P1Q1+CQ1）＝2BC＝2×2＝4，同理：c2＝c3＝c1＝4．∴c1+c2+c3＝12．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•海淀区校级月考）为测量附中国旗杆的高度，小宇的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.6米，到旗杆的水平距离DC＝18米，按此方法，可计算出旗杆的高度为10.6米．【分析】根据题意证出△ACD∽△FED，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．【解析】∵CD⊥AB，△DEF为直角三角形，∴∠DEF＝∠ACD，∵∠ADC＝∠FDE，∴△ACD∽△FED，∴DECD∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DC＝18米，∴0.518∴AC＝9米，∵DG＝1.6米，∴BC＝1.6米，∴AB＝10.6米，故答案为：10.6．12．（2020•镇江二模）如图，DE交△ABC边AC、BC的延长线分别于D、E两点，且DE∥AB，若CDAC=23，则△CDE与△ABC的面积比为4【分析】由DE∥AB可判定△CDE∽△CAB，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得答案．【解析】∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∵CDAC∴S△故答案为：4：9．13．（2017秋•叙州区期中）如图，D、E是△ABC的边AB、AC上的点，DE与BC不平行，请填上一个你认为合适的条件∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或ADAC=AEAB．使得△【分析】由于△ADE和△ACB有一个公共角，所以根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可添加∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或ADAC=AEAB，使△【解析】∵∠DAE＝∠CAB∴当∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或ADAC=AEAB时，△故答案是：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或ADAC14．（2020秋•大东区期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝2，则CD的长为22．【分析】根据射影定理列式计算即可．【解析】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝2，∴CD2＝AD•BD＝2×4＝8，∴CD＝22，故答案为：22．15．（2020秋•松江区期中）已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是12．【分析】根据相似三角形的性质得到两相似三角形的面积比是4：9，根据题意列式计算即可．【解析】∵两相似三角形的对应中线的比是2：3，∴两相似三角形的相似比是2：3，∴两相似三角形的面积比是4：9，∵较大的三角形的面积为27，∴较小的三角形的面积为：27×49故答案为：12．16．（2020秋•浦东新区期中）如图，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR，△BOP，△CRQ的面积分别为S1＝1，S2＝3，S3＝1，那么正方形OPQR的边长＝2．【分析】在PQ上取一点E，使得PE＝QC，连接OE，利用正方形的性质得出条件，判定△OPE≌△RQC（SAS），再利用有两个角分别相等的三角形相似判定△BOE∽△OAR，然后利用相似三角形的性质得出S△ABC的值，则可求得正方形OPQR的面积，最后求得其算术平方根即可．【解析】在PQ上取一点E，使得PE＝QC，连接OE，如图：∵四边形OPQR为正方形，∴OP＝RQ，∠OPE＝∠RQP＝90°，∴∠RQC＝90°，∴∠OPE＝∠RQC．在△OPE和△RQC中，PE=∴△OPE≌△RQC（SAS），∴S△BOE＝S2+S3＝4．∠OEP＝∠C，∵正方形OPQR中OR∥PQ，∴∠B＝∠AOR，∠C＝∠ARO，∴∠OEP＝∠ARO，∴△BOE∽△OAR，∴OAOB∴OABA又∵OR∥PQ，∴△ABC∽△AOR，∴S△ABC=(BAAO)2•S△∴S正方形OPQR＝S△ABC﹣S1﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣3﹣1＝4．∴正方形OPQR的边长为2．故答案为：2．17．（2019•通州区模拟）如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC＝15cm，BC＝20cm．若将斜边上的高CD分成n等分，然后裁出（n﹣1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n﹣1）张纸条的面积和是150(n-1)n【分析】先利用勾股定理计算出AB＝25，再利用面积法计算出CD＝12，接着证明△CEF∽△CAB，则可计算出EF=1n•25，同理可得从上往下数，第2个矩形的长为2n•25，…，从上往下数，第（n﹣1）个矩形的长为n-1n•【解析】如图，∵∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20，∴AB=AC∵12CD•AB=12AC∴CD＝12，∵斜边上的高CD分成n等分，∴CH=12∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴EFAB=CHCD，即EF25=即从上往下数，第1个矩形的长为1n•25同理可得从上往下数，第2个矩形的长为2n•25…从上往下数，第（n﹣1）个矩形的长为n-1n而所有矩形的宽都为1n•12∴这（n﹣1）张纸条的面积和是＝[1n•25+2n•25+⋯+n-1=25n（1+2+…+n﹣1）•1=150(n-1)故答案为150(n18．（2020春•莱州市期末）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为8.4或2或12．【分析】设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，根据垂直的定义得到∠B＝∠D＝90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当ABCD=BPDP时，△ABP∽△CDP，即64=14-xx；当AB【解析】设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，∴∠B＝∠D＝90°，∴当ABCD=BPDP时，△ABP∽△解得x=28BP＝14-285当ABDP=BPDC时，△ABP∽△整理得x2﹣14x+24＝0，解得x1＝2，x2＝12，BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2，∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．故答案为：8.4或2或12．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•梁溪区校级期中）如图，在正方形格中，每一个小正方形的边长都为1，△ABC的项点分别为A（2，3），B（2，1），C（5，4）．（1）写出△ABC的外心P的坐标（4，2）．（2）以（1）中的外心P为位似中心，按位似比2：1在位似中心的同侧将△ABC放大为△A′B′C′，放大后点A、B、C的对应点分别为A′、B′，C′，请在图中画出△ABC．【分析】（1）利用网格特点作AB和BC的垂直平分线，它们的交点即为P点；（2）延长PA到A′使AA′＝PA，延长PB到B′使BB′＝PB，延长PC到C′使CC′＝PC，则可得到△A′B′C′．【解析】（1）如图．P点坐标为（4，2）；故答案为（4，2）；（2）如图，△A′B′C′为所作．20．（2020秋•宝应县月考）如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，且AEAF（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）若点D在BC上，AD与EF交于点G，求证：EGBD【分析】（1）根据题目中的条件和∠EAF＝∠BAC，即可得到结论成立；（2）根据（1）中的结论可以得到∠AEF＝∠ABC，从而可以得到EF∥BC，则△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，然后即可得到所要证明的结论成立．【解答】（1）证明：在△AEF和△ABC中，∠EAF∴△AEF∽△ABC；（2）证明：∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF＝∠ABC，∴EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴EGBD=AG∴EGBD21．（2017秋•鼓楼区期末）如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4．求证：（1）△ABD∽△CBE；（2）△ABC∽△DBE．【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△CBE；（2）先利用得到∠1＝∠2得到∠ABC＝∠DBE，再利用△ABD∽△CBE得ABBC=BDBE，根据比例的性质得到ABBD【解析】（1）相似．理由如下：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4．∴△ABD∽△CBE；（2）相似．理由如下：∵△ABD∽△CBE，∴ABBC∴ABBD∵∠ABC＝∠DBE，∴△ABC∽△DBE．22．（2019秋•抚州期末）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△EGB；（2）若AB＝4，求CG的长．【分析】（1）由正方形的性质与已知得出∠A＝∠BEG，证出∠ABE＝∠G，即可得出结论；（2）由AB＝AD＝4，E为AD的中点，得出AE＝DE＝2，由勾股定理得出BE=AE2+AB2=25，由△ABE∽△【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，∴∠A＝∠BEG，∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°，∴∠ABE＝∠G，∴△ABE∽△EGB；（2）∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，∴AE＝DE＝2，在Rt△ABE中，BE=AE2由（1）知，△ABE∽△EGB，∴AEEB=BE∴BG＝10，∴CG＝BG﹣BC＝10﹣4＝6．23．（2014秋•滨海县期末）如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．（1）x为何值时，PQ∥BC；（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；（3）当S△BCQS【分析】（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．（2）由△APQ∽△CQB得出APCQ=AQ（3）当S△BCQS△ABC=13时得出CQ：AC＝1：3，那么CQ＝10cm，此时时间x正好是（1）的结果，那么此时PQ∥BC，由此可根据平行这个特殊条件，得出三角形APQ和ABC的面积比，然后再根据三角形【解析】（1）由题意知AP＝4x，CQ＝3x若PQ∥BC则△APQ∽△ABC，APAB∵AB＝BC＝20，AC＝30，∴AQ＝30﹣3x，∴4x∴x=∴当x=103时，PQ（2）存在∵△APQ∽△CQB则APCQ∴4x∴9x2﹣10x＝0，∴x1＝0（舍去）.x2∴当AP的长为409时，△APQ∽△CQB（3）∵S△∴CQAC又∵AC＝30，∴CQ＝10，即3x＝10x=此时，AP=4∴APAB∴S△24．（2018•莱芜）已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）得到△AD'E′，连接BD′、CE′，如图1．（1）求证：BD′＝CE'；（2）如图2，当α＝60°时，设AB与D′E′交于点F，求BFFA【分析】（1）首先依据旋转的性质和中点的定义证明AD′＝AE′，然后再利用SAS证明△BD′A≌△CE′A，最后，依据全等三角形的性质进行证明即可；（2）连接DD′，先证明△ADD′为等边三角形，然后再证明△ABD′为直角三角形，接下来，再证明△BFD′∽△AFE′，最后，依据相似三角形的性质求解即可．【解析】（1）证明：∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，∴AD＝BD＝AE＝EC．由旋转的性质可知：∠DAD′＝∠EAE′＝α，AD′＝AD，AE′＝AE．∴AD′＝AE′，∴△BD′A≌△CE′A，∴BD′＝CE′．（2）连接DD′．∵∠DAD′＝60°，AD＝AD′，∴△ADD′是等边三角形．∴∠ADD′＝∠AD′D＝60°，DD′＝DA＝DB．∴∠DBD′＝∠DD′B＝30°，∴∠BD′A＝90°．∵∠D′AE′＝90°，∴∠BAE′＝30°，∴∠BAE′＝∠ABD′，又∵∠BFD′＝∠AFE′，∴△BFD′∽△AFE′，∴BFAF∵在Rt△ABD′中，tan∠BAD′=BD∴BFAF25．（2019•六合区模拟）如图，AC、BD是以AB为直径的半圆的两条切线，AD与半圆交于点E，