概率论与数理统计教学课件2.2常见分布

“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个或几个区间.如“取到次品的个数”，非离散型随机变量非连续型随机变量概率论与数理统计§2.2常见分布一、几个常见的离散型随机变量的分布2.0—1分布（伯努利分布BernoulliDistibution）如果随机变量X

的分布律为

p

q

P

1

0

X其中0<p<1，q=1-p，则称随机变量X服从0—1分布。概率论与数理统计§2.2常见分布1.单点分布（退化分布）如果随机变量X

的分布律为则称随机变量X

服从单点分布。3.二项分布（BinomialDistibution）我们来求X的分布律。例5

设生男孩的概率为p,生女孩的概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.X=0X=1X=2X=3X=42-2例题\2-2例5.ppt概率论与数理统计§2.2常见分布

设随机试验E只有两种可能的结果：A与Ac则称E为伯努利试验。设P(A)=p，P(Ac)=1-p，将E独立地重复进行n次，称这一串重复的独立试验为n重贝努里概型.例如，E是抛掷一枚硬币观察得到正面或反面，A表示正面，这是一个伯努利试验。如果将硬币连续抛掷n次，就是n重伯努利试验。如果以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，X是一个随机变量，他所有可能的取值为0,1,2,3,…,n.若以Bk

表示n重伯努利试验中事件A正好出现k次这一事件，即Bk={X=k}怎么表示?概率论与数理统计§2.2常见分布称R.VX服从参数为n和p的二项分布，记作X~b(n,p).

定义2

如果随机变量X的分布律为当n=1时，X服从0—1分布,记作X～b(1,p)概率论与数理统计§2.2常见分布

例6

一条自动生产线上产品的次品率为0.2，假使各件产品是否为次品是相互独立的，连续生产10件，求①10件产品中次品数的分布律。②次品率不超过10%的概率。2-2例题\2-2例6.ppt例7

在例6中，若在10件产品中已发现至少1件是次品。求次品率不超过10%的概率。2-2例题\2-2例7.ppt

000000.030.090.20.30.270.11p109876

5

4

3

2

10X概率论与数理统计§2.2常见分布二项分布的图形特点：X~b(n,p)n=13,p=0.5Pkk0对于固定n及p，当k增随后单调减少.之增加直至达到最大值,加时,概率P(X=k)先是随概率论与数理统计§2.2常见分布

当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值.称k为二项分布的最可能值。其中[x]表示不超过x的最大整数部分。概率论与数理统计§2.2常见分布例8、设事件A在一次试验中发生的概率是0.3，当A发生次数不少于三次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次独立重复试验，信号灯发出信号的概率；（2）进行7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。概率论与数理统计§2.2常见分布4.泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,且分布律为：[注]1）概率论与数理统计§2.2常见分布其中>0是常数,则称X服从参数为

的泊松分布,记作X~。2）泊松分布可以用来描述一些在大量试验中偶然出现的事件的概率分布模型。一放射性源放射出的粒子数；某电话交换台收到的电话呼叫数；到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数;一台纺纱机的断头数;都服从泊松分布.概率论与数理统计§2.2常见分布单位时间例9

设某城市在一周内发生交通事故次数服从参数为0.3的泊松分布,试问:(1)在一周内恰好发生2次交通事故的概率为多少?(2)在一周内至少发生1次交通事故的概率为多少?2-2例题\2-2例8.ppt概率论与数理统计§2.2常见分布其中2-2例题\2-2定理1.ppt概率论与数理统计§2.2常见分布定理1（泊松定理）假设，则对任一整数有n为任意整数）例9

某保险公司发现索赔要求中有10%是因被盗而提出的，现知道某年中，该公司共收到

90个索赔要求,试求其中包含5个或5个以上被盗索赔的概率。2-2例题\2-2例9.ppt

概率论与数理统计§2.2常见分布例10

为保障设备正常工作，需要配备一些维修工，如果各台设备发生故障是相互独立的，而每台设备发生故障的概率都是0.01，在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率。（1）一名维修工负责20台设备；（2）3名维修工负责90台设备；（3）10名维修工负责500台设备；概率论与数理统计§2.2常见分布注意

此种情况下所求概率与(2)中基本上一样，而10名维修工负责500台设备相当于每个维修工负责50台设备，工作效率是(2)的1.67倍，是(1)中的2.5倍.

由此可知若干维修工共同负责大量设备的维修，将提高工作的效率.

概率论与数理统计§2.2常见分布（5）几何分布（6）超几何分布*（7）巴斯卡分布*二、几个常见的连续型随机变量若R.VX的概率密度为：则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：X

～U(a,b)1.均匀分布概率论与数理统计§2.2常见分布[注]1）均匀分布的分布函数为

此式说明，随机变量X在区间的任意的子区间上取值的概率，与它的长度成正比,与子区间的位置无关。这就是均匀分布的概率意义。2）

对于任意区间概率论与数理统计§2.2常见分布

公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.3）均匀分布常见于下列情形：

如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差；概率论与数理统计§2.2常见分布例5

某公共汽车站从上午7时分布,试求他候车时间少于5分钟的概率.时刻有汽车到达此站,如果7:00，7:15，7:30,7:45等起,每15分钟来一班车,即

乘客到达此站时刻X服从7:00到7:30之间的均匀例6设观测值X服从(2，5)上的均匀分布,

现对X进行三次独立观测，求至少两次观测值大于3的概率。概率论与数理统计§2.2常见分布则称X

服从参数为的指数分布.若R.VX具有概率密度2.指数分布[注]1）指数分布的分布函数为2）指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.概率论与数理统计§2.2常见分布

例7

一种电子元件的使用寿命X（单位：小时）求（1）该元件使用的寿命在2000小时没有服从参数为的指数分布，损坏的概率；（3）如果该元件使用了1000小时没有坏，问它可以继续再使用2000小时的概率。（2）该元件使用的寿命在2000到3000小时之间的概率；概率论与数理统计§2.2常见分布指数分布的性质对于，则有如果将X看成寿命，在已知寿命长于t年的条件下，再活s年的概率与年龄t无关。因此有时又将指数分布风趣地称为“永远年轻”。概率论与数理统计§2.2常见分布3.正态分布正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.德莫佛德莫佛最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.概率论与数理统计§2.2常见分布(1)正态分布的定义及图形特点f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.若R.V

X的概率密度为记作其中和都是常数，任意，>0，则称X服从参数为和的正态分布.概率论与数理统计§2.2常见分布

2）正态分布的图形特点正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线.X轴为的f(x)水平渐近线概率论与数理统计§2.2常见分布决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布的图形特点概率论与数理统计§2.2常见分布设X~,X的分布函数是3)正态分布的分布函数由此可见，计算正态分布的分布函数并不是一件容易的事情，为此我们有如下的研究。概率论与数理统计§2.2常见分布（2）标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数用表示.[注]1）的图形特点：概率论与数理统计§2.2常见分布3）标准正态分布表表中给的是x>0时,Φ(x)的值.当-x<0时,2）标准正态分布的分布函数用表示.概率论与数理统计§2.2常见分布若X～N(0,1),概率论与数理统计§2.2常见分布(3)一般正态分布与标准正态分布的关系定理1若随机变量X～，则其分布函数例8若X～N(0,1），查标准正态分布表求：2-4例题\2-4例8.ppt概率论与数理统计§2.2常见分布若[注]1）则

2）3准则若可以认为，X的取值几乎全部集中在区间内.这在统计学上称作“3准则”（三倍标准差原则）概率论与数理统计§2.2常见分布例9

若随机变量X～（2）试决定,使得（1）求例10

设某城市成年男子身高X近似服从正态分布N(170,36)