概率论与数理统计教学课件2.1随机变量 (R.V)与分布函数

概率论与数理统计第二章、随机变量及其分布第二章随机变量及其分布

随机变量与分布函数常见分布随机变量函数的分布做一些随机试验:§2.1随机变量

(R.V)与分布函数1.掷一粒骰子，观察其点数。概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数一个产品，观察其质量。2.检查某批产品，其中有正品，废品，从中任取一、随机变量的概念3.袋中有四种颜色的球，红球，黄球，白球，蓝4.观察某商场某段时间到达顾客的人数。球，从中任取一只，观察其颜色。概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数例、在一袋中装有编号分别为1,2,3的三个球.从袋中任取一只球,放回,再取一只球,记录他们的编号.我们对抽取的两只球的号码之和感兴趣,而不关心各个球的号码.实验的样本空间S={(i，j)|i，j=1,2,3}

这里i，j

分别表示第一,第二个取到的球的号码.以X记两球的号码之和,对于样本空间的一个样本点w

=（i，j），X(w)=i+j.概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.RX().概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数定义1

设E是一个随机试验，它的样本空间是，如果对于每一个样本点，都有惟一的实数与它相对应，则称为定义在上的这个实值函数随机变量，简记为R.V.X。[注]

①

随机变量是定义在样本空间的一个实随机变量的随机性

随机变量的取值由试验结果而定，由于试验结果是随机的，故在试验之前，随机变量X究竟取何值事先无法确定,只有在试验之后，才知道确切值。而随机试验的各个结果出现有一定概率，故事机变量取各个值有一定的概率值函数，但和普通函数又有本质的差异：概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数例1

掷一枚骰子，用X表示出现的点数。例2

观察某储蓄所一天的储蓄额，用X

表示X是一个随机变量。X是一个随机变量。一天的储蓄额。例3

一射手向一目标射击，记X

表示直到命中目X

是一个随机变量。标为止所需要的射击次数。概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数二、

随机变量的分布函数1.基本概念概率论与数理统计§2.1

随机变量与分布函数随机变量X是定义在样本空间的一个实值函数，若由实数构成的集合，则可定义随机事件简记为,。例1、将一枚硬币连续抛掷3次，观察正反面出现的情况因此样本空间Ω={HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTT}，若以X记三次投掷中正面出现的次数。则我们有样本点HHHHHTHTHTHHTTHTHTHTTTTTX的值32221110{X=1}={TTH，THT，HTT};{X=2}={HHT，HTH，THH};{X=3}={HHH};{X=0}={TTT}概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数我们称P(A)=P({HHT，HTH，THH})

为{X=2}的概率，即P({X=2})=P(A)=3/8.

更一般的，若I是实数的集合，{XI}

记为事件B，即{XI}

=B={w

Ω|X(w)I}

于是

P(XI)=P(B)=P({w

Ω|X(w)I}).概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数为了研究随机变量的概率规律，必需且只需掌握X各种取值的概率。由于x|R称F(x)为X的分布函数.记作X～F(x)。定义1设X是一个随机变量，如果对于有1）若将X看作数轴上随机点的坐标，那的概率；么分布函数F(x)

的值就表示X落在区间[注]概率论与数理统计§2.1

随机变量与分布函数因此，只需要知道事件的概率就够了。3）在中，X是随机变量,x是参变量，F(x)是随机变量X取值不大于

x的概率；P(x1<Xx2

)=P(Xx2

)–P(Xx1

)4）对任意实数x1<x2，随机点落在区间(x1,x2

]的概率为：2）分布函数的定义域为，分布函数的值域为[0，1]；=F(x2)-F(x1)概率论与数理统计§2.1

随机变量与分布函数

分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用微积分的工具来研究随机变量.概率论与数理统计§2.1

随机变量与分布函数5）分布函数

F(x)的引进把对于随机变量的概率计算转化为对分布函数的数值计算。2.分布函数的性质性质2

分布函数关于是单调不减函数;性质4

至多有可列个间断点，且在间断点上右连续。即。性质1性质3概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数例2、验证函数满足分布函数的四个基本性质(该分布函数通常称为柯西分布)。

设随机变量X仅有有限或可数多个可能的取值，则称这种随机变量为离散型随机变量。要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率.三、离散型随机变量为了描述离散型随机变量X

，我们不仅需概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数

这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2例1且随机变量X取每个值的概率为概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数定义1

设离散型随机变量X所有可能取值为

,称为离散型随机变量X的分布律.1）其中(k=1,2,…)满足：

k=1,2,…（1）（2）用这两条性质判断一个函数是否是概率函数[注]概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数2）离散型随机变量X的分布率表示形式（1）列表法：（2）公式法再看例1任取3个球X为取到的白球数X可能取的值是0,1,2X~p210X概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数例1

设随机变量X的分布律为求X的分布函数。0.20.50.3p012X2-3例题\2-3例1.ppt概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数一般地随机变量X分布律为

……P

……X则它的分布函数为：

概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数

例2向一半径为2米的圆盘射击，设击中盘上任一同心圆的概率与该圆的面积成正比，并设射击都能击中圆盘,以X表示弹着点与圆心的距离，求：(1)随机变量X的分布函数；（2）2-3例题\2-3例2.ppt概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数例3.设随机变量X的概率函数为：k=0,1,2,…,求常数a.2-2例题\2-2例2.ppt概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数正品为止，求在取得正品以前已取出的废品例4

一批零件中有9个正品和3个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果取出的是废品不再放回，而再取一个零件，直到取到数X的分布律。2-2例题\2-2例3.ppt概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数四、连续型随机变量的概率密度通过给出所谓“概率密度函数”的方式.

下面我们就来介绍对连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是的描述方法.概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数一、基本概念定义1

对于随机变量X,如果存在非负可积函数,使得对任意的则称X为连续型R.V,称f(x)为X的概率密度函数，简称为密度函数或密度.说明：随机变量X概率密度不唯一.概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数[注]1）概率密度函数的简单性质1o2o这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某R.V的密度函数的充要条件.曲边梯形面积2）连续型随机变量X的分以直线，x轴以及曲线为边界的曲边梯形的面积.布函数

的几何意义是：概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数3)对连续型随机变量X，有

f(x)xo4）0≤F(x)≤1,表示概率，而f(x)不是，但f(x)的大小，反映R.V取值概率的大小.概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数

若x0是f(x)的连续点，则：6)密度函数f(x)与分布函数F(x)的关系5)连续型随机变量的分布函数F(x)是连续的注意：密度函数f(x)不一定连续.概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数7）连续型R.V取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值,这说明：（1）对于连续型随机变量X，有但对于非连续型随机变量X，在各种区间(如开区间或闭区间)上取值的概率一般地是不相同的。概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数8)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.可见，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=Ω概率论与数理统计§2.1随机变量与分布函数确定常数，并计算为任意常数）。例1

已知连续型随机变量X的密度函数为：例2

已知连续型随机变量X～