2022年北京某中学考考前最后一卷数学试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.若x-2y+l=0,则2”4yx8等于（

A.1B.4C.8D.-16

2.实数夜-1的相反数是（）

A.V2-1B.V2+1c.-72-1D.1-V2

3.下列运算正确的是（）

A.（-2a）3=-6a3B.-3a2»4a3=-12a5

C.-3a（2-a）=6a-3a2D.2a3-a2=2a

4.下列调查中，调查方式选择合理的是（）

A.为了解襄阳市初中每天锻炼所用时间，选择全面调查

B.为了解襄阳市电视台《襄阳新闻》栏目的收视率，选择全面调查

C.为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查

D.为了解一批节能灯的使用寿命，选择抽样调查

5.若代数式一匚+4有意义，则实数x的取值范围是（）

x-i

A.xWlB.x>0C.x/）D.xK）且对1

6.二次函数y=ax?+bx+c（a#））的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0,②当TWxW3时，yVO；③3a+c=0；④若（xi,

yi）（X2、y2）在函数图象上，当0Vxi〈X2时，yi<yz>其中正确的是（）

C.①②③D.①③④

7.如图,折叠矩形纸片ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，若AB=8,BC=10,则ACEF的周长为（）

D

8.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等.交易其

金轻十三两.问金、银一枚各重几何？”.意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银

11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等.两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计).问

黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得()

Jllx=9y

A，［(10y+x)-(8x+y)=13

10y+x=8%+y

B.《

9x+13=lly

J9x=lly

C1(8x+y)-(10y+x)=13

9x=1ly

D，(lOy+x)—(8x+y)=13

9.计算tan30。的值等于()

A.\3B.3y'3C.三D.于

32

10.如图，数轴上有M、N、P、Q四个点，其中点P所表示的数为a,则数-3a所对应的点可能是()

o

A.MB.NC.PD.Q

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11.已知a+.=3,贝！|，的值是_____.

T巾+亨

12.如图，QABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且AC_LBD,请你添加一个适当的条件,使ABCD成

为正方形.

13.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(-6,0),C(0,26).将矩形OABC绕点O顺时针方向旋

转，使点A恰好落在OB上的点Ai处，则点B的对应点Bi的坐标为

14.如果两个相似三角形对应边上的高的比为1：4,那么这两个三角形的周长比是一.

15.如图，将量角器和含30。角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的0c,〃刻度线与量角器的0。线在

同一直线上，且直径OC是直角边5c的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E,则点E在量角器上所

对应的度数是一.

16.如图，△ABC中，过重心G的直线平行于BC,且交边AB于点D,交边AC于点E,如果设海=9,AC=b»

用心6表示丽，那么壶=一.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）已知：如图，在正方形A3CZ）中，点E、尸分别是48、8c边的中点，AF与CE交点G,求证：AG=CG.

18.（8分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10000

元，第三天收到捐款12100元.

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；

（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？

19.（8分）某中学为了了解在校学生对校本课程的喜爱情况，随机调查了部分学生对AB,C,D,£五类校本课程

的喜爱情况，要求每位学生只能选择一类最喜欢的校本课程，根据调查结果绘制了如下的两个不完整统计图.请根据图

中所提供的信息，完成下列问题：

(1)本次被调查的学生的人数为;

(2)补全条形统计图

(3)扇形统计图中，。类所在扇形的圆心角的度数为；

(4)若该中学有2000名学生，请估计该校最喜爱C,。两类校本课程的学生约共有多少名.

20.(8分)在RtAABC中，NACB=90。，以点A为圆心，AC为半径，作。A交AB于点D,交CA的延长线于点

E,过点E作AB的平行线EF交。A于点F,连接AF、BF、DF

(1)求证：BF是。A的切线.(2)当NCAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明.

21.(8分)在某小学“演讲大赛”选拔赛初赛中，甲、乙、丙三位评委对小选手的综合表现，分别给出“待定”(用字母

W表示)或“通过”(用字母P表示)的结论.

(1)请用树状图表示出三位评委给小选手琪琪的所有可能的结论；

(2)对于小选手琪琪，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？

(3)比赛规定，三位评委中至少有两位给出“通过”的结论，则小选手可入围进入复赛，问琪琪进入复赛的概率是多少？

22.(10分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数旷=辰+可左。0)的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比

例函数V=—(m*0)的图象交于C、D两点.已知点C的坐标是(6,-1),D(n,3).求m的值和点D的坐标.求tanZBAO

的值.根据图象直接写出：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？

23.（12分）为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A,B两种型号的学习用品

共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元.若购买这批学习用品用了26000元，

则购买A,B两种学习用品各多少件？若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？

24.如图，AABC内接与0O,AB是直径，。。的切线PC交BA的延长线于点P,OF〃BC交AC于AC点E,交

PC于点F,连接AF.

判断AF与（DO的位置关系并说明理由;若。O的半径为4,AF=3,求AC

B\^^oAP

的长.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】

先把原式化为2522收23的形式，再根据同底数幕的乘法及除法法则进行计算即可.

【详解】

原式=2*+22丫'23,

=2*2+3,

=22,

故选：B.

【点睛】

本题考查的是同底数幕的乘法及除法运算，根据题意把原式化为2H2刀X23的形式是解答此题的关键.

2、D

【解析】

根据相反数的定义求解即可.

【详解】

V2-1的相反数是-及+1，

故选D.

【点睛】

本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.

3,B

【解析】

先根据同底数塞的乘法法则进行运算即可。

【详解】

A(2a>=-8/；故本选项错误；

B.-3a2«4a3=-12a5;故本选项正确；

C.一3a(2-a)=-6a+3a2;故本选项错误；

D.不是同类项不能合并；故本选项错误；

故选B.

【点睛】

先根据同底数塞的乘法法则，塞的乘方，积的乘方，合并同类项分别求出每个式子的值，再判断即可.

4、D

【解析】

A.为了解襄阳市初中每天锻炼所用时间，选择抽样调查，故A不符合题意；

B.为了解襄阳市电视台《襄阳新闻》栏目的收视率，选择抽样调查，故B不符合题意；

C.为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选普查，故C不符合题意；

D.为了解一批节能灯的使用寿命，选择抽样调查，故D符合题意；

故选D.

5、D

【解析】

试题分析：•.•代数式一、+4有意义，

X—1

,x-lwO

A{x>0'

解得x>0且x#l.

故选D.

考点：二次根式，分式有意义的条件.

6、B

【解析】

•函数图象的对称轴为：x=--=-/.b=-2a,即2a+b=0,①正确；

2a2

由图象可知，当-1VXV3时，yVO,②错误；

由图象可知，当x=l时,y=O,.\a-b+c=O,

*.'b=-2a,.*.3a+c=0,③正确；

•••抛物线的对称轴为x=l,开口方向向上，

...若（xi,yi）、（X2»yz）在函数图象上，当1VXIVX2时，yi<yi;当xiVx2Vl时，yi>y2；

故④错误；

故选B.

点睛：本题主要考查二次函数的相关知识，解题的关键是：由抛物线的开口方向判断a与。的关系，由抛物线与y轴

的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理.

7、A

【解析】

解：•.•四边形ABCD为矩形，

.*.AD=BC=1O,AB=CD=8,

•矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，

/.AF=AD=1O,EF=DE,

在RtAABF中，

22

VBF=>/AF-AB=6,

ACF=BC-BF=10-6=4,

/.△CEF的周长为：CE+EF+CF=CE+DE+CF=CD+CF=8+4=1.

故选A.

8、D

【解析】

根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的

重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可.

【详解】

设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，

9x=1ly

由题意得：、/。、

（10y+x）-（8x+y）=13

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.

9、C

【解析】

tan30°=_.故选C.

V?

10、A

【解析】

解：•••点产所表示的数为点尸在数轴的右边，...-3a一定在原点的左边，且到原点的距离是点尸到原点距离的3

倍，.•.数-3a所对应的点可能是M,故选A.

点睛：本题考查了数轴，解决本题的关键是判断-3a一定在原点的左边，且到原点的距离是点尸到原点距离的3倍.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11,7

【解析】

根据完全平方公式可得：原式=,

（C+^）;-2=3^-2=7

12、ZBAD=90°（不唯一）

【解析】

根据正方形的判定定理添加条件即可.

【详解】

解：•平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC_LBD,

二四边形ABCD是菱形，

当NBAD=90。时，四边形ABCD为正方形.

故答案为：NBAD=90。.

【点睛】

本题考查了正方形的判定：先判定平行四边形是菱形，判定这个菱形有一个角为直角.

13、（-273»6）

【解析】

分析：连接OB”作BiH_LOA于H,证明△AOBg^HBQ,得到为H=OA=6,OH=AB=26,得到答案.

详解：连接OBi,作BiHLOA于H,

由题意得，OA=6,AB=OC-2j5,

则tanZBOA=—=—

OA3

.,,ZBOA=30°,

，ZOBA=60°,

由旋转的性质可知，ZBiOB=ZBOA=30°,

.IZBiOH=60°,

在会AOB和会HB,O,

.NB\HO=NBAO

<Nq0H=NA80,

OB^OB

.,.△AOBg△HBiO,

.*.BiH=OA=6,OH=AB=2^,

二点%的坐标为（-2百，6）,

故答案为（-26，6）.

点睛：本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.

14、1:4

【解析】

,••两个相似三角形对应边上的高的比为1:4,

...这两个相似三角形的相似比是1：4

•••相似三角形的周长比等于相似比，

•••它们的周长比1：4,

故答案为：1:4.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高、相似三角形的周长比都等于相似比.

15、60.

【解析】

首先设半圆的圆心为O,连接OE,OA,由题意易得AC是线段的垂直平分线，即可求得NAOC=N45C=60。,

又由AE是切线，易证得R3AOE0R3AOC,继而求得NAOE的度数，则可求得答案.

【详解】

设半圆的圆心为。，连接OE,OA,

7CD=2OC=2BC,

：.OC=BC,

VZACB=90°,BPACLOB,

：.OA=BA,

；.ZAOC=ZABC,

VZBAC=30°,

：.ZAOC=ZABC=60°,

•.IE是切线，

：.ZAEO=9Q°,

：.ZAEO=ZACO=90°,

•..在RtAAOE和RtAAOC中，

AO^AO

OE=OC'

.'.RtAAOE义RtAAOC(HL),

：.ZAOE=ZAOC=60°,

：.NEOD=180。-ZAOE-NAOC=60。，

•••点E所对应的量角器上的刻度数是60。,

故答案为：60.

A

本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌

握数形结合思想的应用.

1-1-

16、——a+-b

33

【解析】

连接AG,延长AG交BC于F.首先证明DG=GE,再利用三角形法则求出瓦即可解决问题.

【详解】

连接AG,延长AG交BC于F.

.\BF=CF,

ADAEAG2

~AB~^C~~AF~3,

..DGADGEAE

'cF-AC*

.DGGE

••=9

BFCF

VBF=CF,

ADG=GE,

——2—•2—

AD=-G,AE=-b,

33

———•—•2—2

DE=DA+AE=-b——a,

33

：.GE=-DE=-b--a,

233

1-1

故答案为—b——a.

33

【点睛】

本题考查三角形的重心，平行线的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

三、解答题(共8题，共72分)

17、详见解析.

【解析】

先证明△AOFWZkCQE,由此可得NZMF=NOCE,NAFD=NCED,再根据NEAG=NFCG,AE=CF,ZAEG=

ZCFGnl^AAEG^^CFG,所以AG=CG.

【详解】

证明：1•四边形45C。是正方形，

：.AD=DC,

,:E、尸分别是A3、"C边的中点，

：.AE=ED=CF=DF.

又2D=ND,

(SAS').

：.ZDAF=ZDCE,ZAFD=ZCED.

:.NAEG=NCFG.

在白AEG和ACFG中

/EAG=ZFCG

<AE^CF,

ZAEG=ZCFG

:AAEGWACFG(.ASA).

；.AG=CG.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，关键是要灵活运用全等三角形的判定方法.

18、(1)捐款增长率为10%.(2)第四天该单位能收到13310元捐款.

【解析】

(1)根据“第一天收到捐款钱数x(1+每次降价的百分率)2=第三天收到捐款钱数，，，设出未知数，列方程解答即可.

(2)第三天收到捐款钱数x(1+每次降价的百分率)=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可.

【详解】

(1)设捐款增长率为x,根据题意列方程得：

lOOOOx(l-x)2=12100,

解得xi=0.LX2=-1.9(不合题意，舍去).

答：捐款增长率为10%.

(2)12100X(1+10%)=13310元.

答：第四天该单位能收到13310元捐款.

19、(1)300；(2)见解析；(3)108。；(4)约有840名.

【解析】

(D根据A种类人数及其占总人数百分比可得答案；

(2)用总人数乘以B的百分比得出其人数，即可补全条形图;

(3)用360。乘以C类人数占总人数的比例可得；

(4)总人数乘以C、D两类人数占样本的比例可得答案.

【详解】

解：(1)本次被调查的学生的人数为69+23%=300(人)，

故答案为：300；

(2)喜欢B类校本课程的人数为300x20%=60(人)，

(3)扇形统计图中，C类所在扇形的圆心角的度数为360%丽=108。，

故答案为：108。；

,、90+36

(4)V2000x---------=840,

300

,估计该校喜爱C,D两类校本课程的学生共有840名.

【点睛】

本题考查条形统计图、扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解题关键.条形统计图能

清楚地表示出每个项目的数据.

20、(1)证明见解析；(2)当NCAB=60。时，四边形ADFE为菱形；证明见解析；

【解析】

分析(1)首先利用平行线的性质得到NFAB=NCAB,然后利用SAS证得两三角形全等，得出对应角相等即可；

(2)当NCAB=60。时，四边形ADFE为菱形，根据NCAB=60。，得至!|NFAB=NCAB=NCAB=60。，从而得到

EF=AD=AE,利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形.

详解：(1)证明：：EF〃AB

二NFAB=NEFA,NCAB=NE

VAE=AF

:.ZEFA=ZE

ZFAB=ZCAB

VAC=AF,AB=AB

/.△ABC^AABF

ZAFB=ZACB=90°,ABF是。A的切线.

(2)当NCAB=60。时，四边形ADFE为菱形.

理由：VEF/7AB

:.NE=NCAB=60°

VAE=AF

/.△AEF是等边三角形

，AE=EF,

VAE=AD

/.EF=AD

四边形ADFE是平行四边形

VAE=EF

平行四边形ADFE为菱形.

点睛：本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及

全等三角形的判定方法，难度不大.

21、(1)见解析；(2)—；(3)一.

42

【解析】

(1)根据列树状图的步骤和题意分析所有等可能的出现结果，即可画出图形；

(2)根据(1)求出甲、乙两位评委给出相同结论的情况数，再根据概率公式即可求出答案；

(3)根据(1)即可求出琪琪进入复赛的概率.

【详解】

(1)画树状图如下：

待定

(2)•.•共有8种等可能结果，只有甲、乙两位评委给出相同结论的有2种可能，

21

...只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率P=-=—；

84

(3)•••共有8种等可能结果，三位评委中至少有两位给出“通过”结论的有4种可能，

41

•••乐乐进入复赛的概率P=—=—.

82

【点睛】

此题考查了列树状图，掌握列树状图的步骤，找出三位评委给出相同结论的情况数是本题的关键，如果一个事件有n

种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P=2.

n

22、(1)m=-6,点D的坐标为(-2,3)；(2)tanZBAO=^(3)当x<-2或0<X<6时，一次函数的值大于反比例

函数的值.

【解析】

(1)将点C的坐标(6,-1)代入y=巴即可求出m,再把D(n,3)代入反比例函数解析式求出n即可.

x

(2)根据C(6,-1)、D(-2,3)得出直线CD的解析式，再求出直线CD与x轴和y轴的交点即可，得出OA、OB

的长，再根据锐角三角函数的定义即可求得；

(3)根据函数的图象和交点坐标即可求得.

【详解】

⑴把C(6,-1)代入y=%，得m=6x(-1)=-6.

X

则反比例函数的解析式为y=--,

X

把y=3代入y=-9,得x=-2,

x

•••点D的坐标为(-2,3).

⑵将C(6,-1)、D(-2,3)代入y=kx+b,得

6k+b=—1k=—

解得2.

-2k+b=3

b=2

一次函数的解析式为y=-gx+2,

...点B的坐标为(0,2),点A的坐标为(4,0).

:.OA=4,OB=2,

在在RtAABO中，

二tan/BAO=%=2=L

OA42

⑶根据函数图象可知，当x<—2或0<x<6时，一次函数的值大于反比例函数的值

【点睛】

此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.其知识点有解直角三角形，待定系数法求解析式，此题难度适中，注

意掌握数形结合思想与方程思想的应用.

23、(1)购买A型学习用品400件，B型学习用品600件.(2)最多购买B型学习用品1件

【解析】

(1)设购买A型学习用品x件，B型学习用品y件，就有x+y=1000,20x+30y=26000,由这两个方程构成方程组求

出其解就可以得出结论.

(2)设最多可以购买B型产品a件，则A型产品(1000-a)件，根据这批学习用品的钱不超过210元建立不等式求

出其解即可.

【详解】

解：(1)设购买A型学习用品x件，B型学习用品y件，由题意，得

x+y=1000[x=400

J.,解得.<

20x+30y=260001y=600，

答：购买A型学习用品400件，B型学习用品600件.

(2)设最多可以购买B型产品a