（沪教版2020必修一）2021-2022学年高一数学同步精讲精练-第17讲 函数

第17讲函数

H函数的定义

函数的定义域，值域

知识梳理

表示方法：解析法、列表法、图像法

［分段函数

H函数的定义域

函数相同

函数值与函数值域

题型探究一函数图像

“今函数的定义域，解析式

函数的解析式

分段函数

求函数解析式的方法：恃定系数法、澳配法、换元法

课堂总结值域：观察法、配方法、分离常数法、操元法

误区：求值域与解析式的时候,勿忘记定义域

课后作业

数的定义

一般地，设。是非空的实数集,且对。中任意给定的实数生按照某种

确定法则，都有唯一确定的实数值y与之对应，则这种对应关系称为集

合£)上的一个函数(function)记作

定义

y=#x),x^D.

其中x叫做自变量(independentvariable),其取值范围(数集D)称为

该函数的定义域(domain).

对于自变量如由法则/所确定的沏所对应的值州，称为函数在沏处的函

函数值

数值，记作州成加.

值域所有函数值组成的集合3y=/U),xW。｝称为这个函数的值域.

对应

两个y=/(x),xWD

关系

要素

定义域工的取值范围

如果两个函数的定义域和对应法则都完全一致，就称这两个函数是相同

函数相同

的.(同一个对应法则可能有不同的表述形式.)

题型一、函数的定义域

［例1］求下列函数的定义域:

C1⑵尸舄;

(1)y=3-y

\J5-xJx+1

⑶(4)y=

d-x2-3x+4

⑸(2020秋•福州期末)函数/^)=>/7n+1(g(3-力的定义域为()

A.(0,3)B.(1,+8)C.(1,3)D.[1,3)

(6)(2021•浙江模拟)函数3，=,_/+*+6+-!-的定义域为()

x-1

A.[-2,3]B.[-2,1)U(1,3]C.(-00,-2]U[3,+oo)D.(-2,1)U(1,3)

【答案】(1)R;(2)(-2,-l)u(T+oo);(3)(—3,―卜3,3)—(3,5]；(4)(-1,1)；(5)。；(6)8

【解析】(1)函数y=3-；x的定义域为R.

(2)由于。的零次寨无意义,故x+1和,即在一1.又x+2>0,即x>一2,

所以函数尸竽当的定义域为(-2,-1)5-1,长0)

(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足

：了"°'解得烂5,且没£3,

|X|-3H0,

三的定义域为(_3,+oo)u(-3,3)u(3,5].

所以函数丫=

W-3

(4)要使函数©有意义，则即产T,

-X2-3X+4>0,［(X+4)(X-1)<0,

解不等式组得一1夕vl.因此函数%)的定义域为(11).

(5)由题意得：卜-120,解得：】。<3,

［3-x>0,

故函数的定义域是［1,3),

故选：D.

⑹由题意得：卜2+X+6N0,解得一2力<1,且1—3,

［尤-1工0,

故选：B.

g

，方法总结：求函数的定义域应关注四点

(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0;②偶次根

式的被开方数非负；③y=x°要求/0.

(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化.

(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的

公共部分的集合.

常见函数定义域的求法

类型X满足的条件

7/⑼亦2）於心0

2"近（》）（"€立）府)有意义

」一与［/U）］°

〃x）危)和

log或0(。>0且存1)段）>0

</幻3>0且存1)7U)有意义

四则运算组成的函数各个函数定义域的交集

实际问题使实际问题有意义

1

y=--------

【例2】（1）（2018•上海市南洋模范中学高一月考）函数x-2a,当x=2时没有意义，则“=.

【答案】1

【解析】当x=2时没有意义，即2-2a=0时函数无意义，解得”=1

故答案为：1

⑵（2。20•上海市新场中学高一月考）已知函数〃》）=肃1的定义域是R,求实数m的取值范围.

【答案】。制

x—4

【解析】解:v/(x)=的定义域是R，

nvc+4〃a+3

即对任意的xwR，都有twc2+4/nr+3w0，

当m=Q时，显然满足题意,

当m，0时，则有△=（4m）2—4x3,?/=16tn2—\2/n<0,

3

解得：0v〃7<：,

综上所述：me0,*

*

'题型二、函数相同

■【例3】下列各组函数：

①/（x）=土二,g（x）=x-1；

X

②/（x）=五，g（x）=_L；

③Z(x)=47T->f\^X,g(x)=A/1-X2；

④/U)=J(X+3)2，g(x)=x+3；

⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系々)=80/(0生5)与一次函数^(x)=80x(0<x<5).

其中表示同一个函数的是(填上所有正确的序号).

【答案】③⑤

【解析】①不是同一个函数，定义域不同，7U)定义域为口际0},g(x)定义域为R.

1

②不是同一个函数,对应关系不同,火x)=g(x)=4x-

忑

③是同一个函数，定义域、对应关系都相同.

④不是同一个函数，值域不同，/巨0,g(x)£R.

⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同.

Q

"方法总结：判断两个函数为同一个函数应注意的三点

(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是

同一个函数.

(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.

(3)在化简解析式时，必须是等价变形.

A题型三、函数的函数值与值域

“【例4】设_/U)=2X2+2,g(x)=_,

x+2

(1)求贝2),。。+3),g(a)+g(0)(存一2),g认2))；

(2)求g(")).

【答案】(1)/(2)=10：4。+3)=2。2+124+20；g(〃)+g(0)=_!_-2)；g(fi2))=±.

a+2212

(2)g5»)=「!

2X2+4

【解析】⑴因为於)="+2,

所以直2)=2x22+2=10,

犬4+3)=2(“+3)2+2=2/+12a+20.

因为g(x)=।,

X+2

所以g(a)+g(0)=_J_+=_J_+1(时-2).

a+20+2a+22

g(/(2))=g(10)=」一=L

10+212

(2)g(/U))=——=_J_.

2^+2+22X2+4

,总结：函数求值的方法

(1)已知_/(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得人。)的值.

(2)求负g(a))的值应遵循由里往外的原则.

&【例5】求下列函数的值域：

(l)y=2x+l,x6{1,2,3,4,5}；

(2)y=Vx+1；

(3)y=]2—4%+6,

(4)y=3*+2

x-1

【答案】(l)ye{3,5,7,9,U};(2);(3);(4).

【解析】(l)・・1y=2x+l,fixe{1,2,3,4,5),

{3,5,7,9,11}.

・・・函数的值域为{3,5,7,9,11}.

(2)；&K),...石+1NL.•.函数的值域为[1,+00).

⑶配方得y=(x-2)2+2」.”en，5],画函数图象如图所示，由图知，29W11,即函数的值域为[2,11].

(4)力=主&3(1)+5=3+、3,

x-1x-1x-1

函数的值域为(-8,3)U(3,+00).

\。

Z总结：求函数值域的方法

(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.

(2)配方法：此方法是求“二次函数类“值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法.

(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类''的形式，便于求值域.

(4)换元法：对于一些无理函数(如丽，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求

值域的方法，间接地求解原函数的值域.

常见函数的值域

1.一次函数/(x)=ax+优存0)的定义域为R,值域是R.

2.二次函数於)=ox2+bx+c(存0)的定义域是R,

当”>0时，值域为-一一/收],

.4aJ

当〃<0时，值域为「8,丝£心一.

I4“一

【例6】(2020.上海师大附中高三期中)若函数y=2二的值域是(9,0)U[3,E),则此函数的定义

X—1

域«是—.

【答案】

【解析】

令尸9上r—<1=0得X=I；,令尸三2_r—一1=3得x=2,

x-12x-\

Or_1Or_OI11?Y_1

函数y==2+9,则原函数在（—J）上单调递减，在。,也）上递减，画出函数丫=三1

X—1X-71X-1X—1

的图象如图所示：

山函数丫=生?的图象可知，当值域为（—,0）U［3,w）时，定义域应为

x-l\）

故答案为：g,l卜（1,2］.

k拓展、抽象函数的定义域

“【例7］（1）已知函数y（x）的定义域为（一1,1）,则函数g（x）=/1|^+yu—1）的定义域是

【答案】（0,2）

［解析】由题意知,T<5<L即t2c<2,

110<x<2,

［-1<x<l,1i

解得（Xx<2,于是函数g（x）的定义域为（0,2）.

⑵已知函数y="-1）的定义域为［-右,G］，则函数y=>（x）的定义域为.

【答案】［-1,21

【解析】由题意知力，则一1与2-1%

即函数y=/(x)的定义域为

概念延伸

⑴抽象函数的概念

没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数.

(2)复合函数的定义

如果函数y守⑺的定义域为A,函数r=g(x)的定义域为。，值域为C,则当时，称函数月(g(x))为/与g在。

上的复合函数.其中r叫做中间变量尸g(x)叫做内层函数,)讨r)叫做外层函数.

\。

，总结：1.已知函数的具体解析式求定义域的方法

(1)简单函数的定义域：若./U)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等

函数的定义域的交集.

(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量

的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.

■总结：2.抽象函数的定义域的求法

(1)若已知函数Xx)的定义域为也，b],则复合函数次g(x))的定义域由a与(x)助求出.

(2)若已知函数犬g(x))的定义域为[a,勿，则九丫)的定义域为g(x)在切时的值域.

提醒：明确定义域是自变量“尤”的取值范围.

Z、_

举一反三

1.下列各组函数中是同一个函数的是()

_1

A.}>=*+1与丫=-----B.y=x?+l与$=产+1

X—1

C.y=2x与y=2x(xK))D.y=(%+l)2与丁=/

【答案】B

【解析】A,C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A,C,D错误.

2.已知四组函数：

®fix)=x,g(x)=(«y；g(x)=收;③A〃)=2〃-1,g(〃)=2"+l(〃eN)；④/(x)=x2—2x—1,g⑺

=F—2f—1.其中是同一个函数的是()

A.没有B.仅有②

C.②④D.②③④

【答案】C

【解析】对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都

相同.

3.(2020秋•北海期末)函数二1+三的定义域为()

A.[0,2)B.(2,+oo)

C.(-oo,2)U(2,+oo)D.[0,2)U(2,+oo)

【答案】D.

2'-1>0,[x>0,

<V

【解析】由题意得：匕-2*0,解得匕*2,

故x的取值范围是[0,2)U(2,+oo).

故选：D.

4.(2021•山东模拟)函数---的定义域为()

八)lg(2x-l)

A.卜卜B.卜卜C.[x卜>gjiLxwl}D.*卜NJ

【答案】C.

【解析】要使函数有意义，贝

|lg(2x-l)*0,

得12,得

2

xw1,

即函数的定义域为卜卜>拊斗

故选C.

5.（2020秋•滨州期末）函数"可=/一题式》2）的定义域为（）

A.[-2,0]B.（-2,0）C.（-2,0]D.（2+8）

【答案】C.

【解析】要使函数有意义，则l-k>g2（x+2）X）,得Iog2（x+2）W1,,即（Xx+2W2,得-2E0,

即函数的定义域为（-2,0],

故选C.

2

y=一

6.（2020秋•浦东新区期末）己知函数》,x£[l,2],则此函数的值域是.

【答案】[1,2J.

1<1<11<-<2.

【解析】解：由1M2,得2x，所以x

2

y--

即函数X,xe[l,2],的值域为[1,2].

故答案为：[1,2].

7.（2021春•辽源期末）函数的值域是（）

A.（-oo,3]B.（-oo,3）C.（0,3）D.（0,3]

【答案】D.

x2-2x

【解答】令'=/-2X=（1）2-1N-1,则函数“,仁e0,

33

即/x)G(0,3],

故选D.

log(X4-l),0<X<l

/（x）=,(2

2x,-l<x<0

8.（2021春•北海期末）函数的值域为（）

A.[-2,0]B.[0,1]C.[0,+co)D.[-2,1]

【答案】D.

log2(x+l),0<x<l

2x,-l<x<0

【解析】解:函数

当0勺区1时,l<r+l<2,所以，0<log2(x+l)<l；

当-10<0时,-2<2x<0.

综上可得，函数的值域为［-2,1］,

故选D.

3-x,x<2

/(力=,

他为"？的值域为口,+8）,

9.（2020秋•扬中市校级期末）已知a>0,且在1,,若函数a的取值

范围是（）

2

A.B.(l,+oo)C.(1,2)D.(1,2J

【答案】D.

【解析】因为烂2,时,Xx）G［l,+oo）,且人x）的值域为［I,+8）,

00

又因为x>2时/W的值域为［1,+）的子集，此时log,A>log（,2>l,

所以l<a<2,

所■以，”的取值范围是(1,2].

故选D.

10.(2020•唐山市丰润区第二中学高一月考)若函数产/^+的―2)x+4对于一切R恒成立,则求实数，”的

取值范围.

【答案】[-2,6]

【解析】由条件可知:函数定义域为R,即d+(/n-2)x+4Z0对xeR恒成立,

所以△=(相一2)2-16<0,解得一2k加46,所以加的取值范围是[-2,6].

11.(1)若函数的定义域是[—1,1],则,/)的定义域为,./(logM)的定义域为.

【答案】；，2;[V2,4]

1

2

2-

【解析】由一1人1得2飞20,即/2"2,所以"r)的定义域为，由2<log2JC<2,即"g22<log2X<log2

22,得行M4,所以函数川ogd)的定义域为[收，4].

(2)(2020.重庆模拟)已知函数1x)=ln(—x—f),则函数负2%+1)的定义域为

【答案】

【解析】由一x-x2>0得一l<x<0,即火x)的定义域为(-1,0),

1

由一l<2r+l<0得一1«一5,所以函数12x+l)的定义域为I2人

数的表示方法

1.函数的表示法

解析法：用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应法则，这种表示函数的方法称为解析法.

列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数关系的方法.

图像法：利用函数的图像来表示函数的方法.

提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数加0=园，xd[0,2]与函数

心)=h|,xG[-2,0].

2.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分

段函数.分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数.

提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段

值域的并集.

3.函数的三种表示法的优缺点比较

优点缺点联系

列

不需要计算就可以直接

只能表示出自变量取较少的

表看出与自变量的值相对

有限值时的对应关系

应的函数值

法

图

只能近似地求出自变量所对

能形象、直观地表示出函

解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，

象应的函数值，而且有时误差较

数的变化情况

面对实际情境时，我们要根据不同的需要选

大

法

择恰当的方法表示函数

(1)简明、全面地概括了变

解

量间的关系.

不够形象、直观、具体，而且

析并不是所有的函数都能用解

⑵通过解析式可以求出

析式来表示

任意一个自变量所对应

法

的函数值

题型一、函数图像

・【例8】⑴设M={x|O心2},N={y|O型2},给出下列四个图形：

7

ikIZL111-k■

of12io|12Xo|12x0|2x

①②③④

其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】①中，因为在集合例中当1<区2时，在N中无元素与之对应所以①不是；

②中，对于集合M中的任意一个数x,在N中都有唯一的数与之对应,所以②是；

③中，x=2对应元素y=3CN,所以③不是；

④中，当x=l时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是.

因此只有②是.故选B.

(2)(2020秋•眉山期末)下列图象中，表示函数关系y=/(x)的是()

A.O\B.O\

C.>XD.o|

【答案】D

【解析】根据函数的定义知，一个x有唯一的y对应，由图象可看出，只有选项。的图象满足这一点.

故选D.

g

.方法总结：

(1)判断一个对应关系是否为函数的方法

T两非空实数集A，B|—

|函教的概念|--H一对一或多乐二］----------作出判断|

-T.4中不能有剩余元素］---

(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法

①任取一条垂直于X轴的直线/;

②在定义域内平行移动直线/;

③若/与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函

数.

L题型二、分段函数

~x~+1,0<x<1,

W【例9】(1)(分段函数定义域、值域)函数次x)=，0,x=0,的定义域为，值域为.

x2一1,-1<x<0

【答案】(T,1)(T，1)

【解析】由已知得定义域为{x［0<r<l}U{0}U{x|-lv<0}={x|-Kl},即(一1,1)；

又当0<5<1时，0<-%2+1<1；

当一la<0时，-15—1c0,

当x=0时，/x)=0,故值域为(-1,0)U{0}U(0,1)=(-1,I).

xO

，总结：

(1)分段函数定义域、值域的求法

①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；

②分段函数的值域是各段函数值域的并集.

(2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.

x+l,x<-2,

⑵(分段函数求值)已知函数,危)=，/+2匚-2<x<2,试求R5),.穴-G),/同-|]的直

2x-l,x>2.

【答案】火一5）=4；1一百）=3—26；

【解析】由-56（—8,—2].~2,2）>—1e（—00,—2],知人-5）=-5+1=-4,

6）=（一百>+2（一百）

=3—2\/3.

因为/_*]=_*+1=_3,-2<一|<2,

所以=O[(I+21沪;.

拓展延伸

(变问法)本例条件不变，若<4)=3,求实数〃的值.

【答案】a—l或a=2.

【解析】解：①当好一2时，J(a)=a+1,

所以a+1=3,

所以。=2>—2不合题意，舍去.

②当一2<a<2时，。2+24=3,

即层+2”-3=0.

所以(a—1)3+3)=0,

所以a=1或a=-3.

因为16(—2,2),一3c(—2,2),

所以a=l符合题意.

③当色2时，2a—1=3,

所以。=2符合题意.

综合①②③知，当,/(a)=3时，。=1或。=2.

，总结：

(1)分段函数求函数值的方法

①确定要求值的自变量属于哪一段区间；

②代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现欢xo))的形式时，应从内到外依次求值.

(2)已知函数值求字母取值的步骤

①先对字母的取值范围分类讨论；

②然后代入到不同的解析式中；

③通过解方程求出字母的值；

④检验所求的值是否在所讨论的区间内.

L题型三、函数的解析式

“【例10]⑴若以)为二次函数且#))=3,於+2)—/(x)=4x+2,则於)的解析式为

(2)已知人五+l)=x+24，求火x)；

(3)已知/■1+：)=/+地，则於尸.

(4)已知2/+«r)=x(x/0),求J(x).

【答案】(1)/U)=r—x+3(2)/(X)=X2-1(X>1)(3)/—2(立2或烂一2)；⑷工一土.

3x3

【解析】(1)(待定系数法)设火x)=(o2+bx+c(咛0),又/(0)=c=3.

所以yU)=av2+〃x+3,所以y(x+2)—y(x)=n(x+2)2+Z?(x+2)+3—(O¥2+bx+3)=4or+4〃+2〃=4x+2,

所以y=4,所以?=1，

[44+20=2,[^=-1,

所以所求函数的解析式为./U）=x2—x+3.

（2）方法一（换元法）：令f=«+l,

则X=（f—1）2,仑1,

所以负1尸+2。-1）=户一1（仑1），

所以7W的解析式为火x）=》2—1（丘1）.

方法二（配凑法）：+l）=x+2&

—x+2\fx+1—l=（Vx+1）2—1.

因为6+后1,

所以{r）的解析式为兀0=9一1（应1）.

（3）（配凑法）/（1+1]=/+[=（/+2+4}2=（工+!）-2,所以y（x）=（-2（xN2或小一2）.

（4）/（x）+2f（口=》,令x=%

得（5+2加4

于是得关于./U）与的方程组

解得贡x)=*；(x#0)..

,方法总结：求函数解析式的四种常用方法

(1)换元法：设r=g(x),解出x,代入y(g(x)),求犬。的解析式即可.

(2)配凑法：对_/(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可.

(3)待定系数法：若己知y(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可.

(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求

解.

提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性.

Z、_

举一反二

1.若4=00W烂2},B={y\\<y<2},下列图形中能表示以A为定义域，8为值域的函数的是()

【答案】B

【解析】A中值域为3O0W2},故错误；C,D中值域为{1,2},故错误.

2.(2020年上海高一课时练习)下列曲线中，可以表示函数y=/(x)的图象的是()

【答案】D

【解析】对于A选项，当x=0时，x=0有两个y值与之对应，与函数的定义矛盾；

对于B选项，当x>0时，每个X有两个y值与之对应，与函数的定义矛盾；

对于c选项，当x=o时，x=o有两个y值与之对应，与函数的定义矛盾：

对于D选项，对定义域中每一个x,都由唯一的y与之对应，符合函数的定义.

故选：D.

3.已知函数1X)=(X2，-"XG,则函数的定义域为,值域为.

【答案】R[0,1]

【解析】由已知得定义域为[-1,+oo)U(-oo,-1)=R,又1]时，必©[0,1],故函数

的值域为[0,1].

4.已知函数加)=[无-2,X<2,则犬2)=()

|/(x-l),x>2,

A.-lB.0

C.lD.2

【答案】A

【解析[/2)=火2-1)=/(1)=]_2=_1.

5.已知段)=卜+2，*2-2,若於)>2,求x的取值范围.

[-尤-2,x<-2,

【答案】入>0或x<—4.

【解析】当它一2时，兀0=工+2,

由一)>2,得x+2>2,解得x>0,故X>0；

=

当xv—2时，j(x)—x~2f

由人。>2,得一x—2>2,

解得xv—4,故K—4.

综上可得，入>0或x<—4.

6.(1)已知於+l)=f—3x+2,求心)；

(2)已知大”)+道一%)=必+2尢，求兀0.

【答案】⑴5X+6次工)=］无2—2x.

【解析】(1)方法一(配凑法)：•・7(x+1)=/—3/+2

=。+l)2-5x+1=(x+-5(x+1)+6,

.\J(x)=x1—5x+6.

方法二(换元法)：令I=x+1,则X=Z—1,

•\/W=(r-1)2-30—l)+2=z2-5r+6,

即7U)=x2—5x+6.

(2)因为yu)+次一©=炉+2五，①

所以将x换成一居得八一九)+">•)=/-2x.②

②x2一①得3流©=9-6x,

所以於)=52—2x.

7.(2020.广东华南师大附中南海实验高中高一期中)(1)已知外力是一次函数，且满足

3/(x+l)-/(x)=2x+9,求〃%)的解析式.

(2)已知/(6+l)=x+1,求f(x)的解析式，

【答案】(1)/(x)=x+3；(2)/(X)=X2-2X+2(X>1).

【解析】

(1)(待定系数法)因为“X)是一次函数，所以设〃力=奴+仇又因为3〃x+l)-/(x)=2x+9,所以

f2Z=2\k—\

3[-x+l)+句一(依+b)=2x+9,整理得2H+3Z+抄=2x+9,故。，，、，解得，。，所以/(x)=x+3：

[女+2/7=910=3

(2)(换元法)令6+1=(21),则x=(r—l)2,所以/(/)=«-1)2+1=/一2，+2(d1),即

/(x)=x2-2x+2(x>l).

课堂总结

I.知识清单：

(1)函数的概念.

(2)求函数的定义域、函数值、值域.

(3)同一个函数.

(4)函数的表示法.

(5)函数的图象.

(6)求函数解析式.

(7)分段函数的概念及求值.

2.方法归纳：待定系数法、配方法、换元法、分离常数法、定义法、分类讨论、数形结合法.

3.常见误区：(1)理解函数的概念要紧扣函数的定义.

(2)求函数的值域时首先要确定函数的定义域.

(3)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实.

(4)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式.

(5)求函数解析式时易忽视定义域.

G)课后作业

1.（2020年上海高一课时练习）设集合〃={x|04x42},N={y|04y42},那么下面的4个图形中,

能表示集合M到集合N的函数关系的有（）

【答案】C

【解析】对于①，函数图象不满足函数的定义域"={幻04%42},故错误;

对于②，函数图象满足函数的定义域以及函数的值域，故正确；

对于③，函数图象满足函数的定义域以及函数的值域，故正确；

对于④，函数图象不满足函数的定义（任意的X,存在唯一实数/（%）与之对应），故错误;

故选：C.

2.（2020秋•长宁区期末）下列四组函数中，两个函数相同的是（）

A.丫=而和y=（«）B.产1和尸0

C.尸®e{0,l}）和尸2（xd{0,l}）D.y="g"/和）=21og〃x

【答案】C

【解析】对于A,y=JJ的定义域为R,）'=（"）为3忘0},定义域不同，两个函数不相同；

对于B,y=l的定义域为R,y=A°的定义域为3/0},定义域不同，这两个函数不相同：

对于C,）=x（xC{0,l}）和产x2（xG{0,“）的定义域都是{0,1},尸0时，对应的y=0；户1时，对应的尸1,对

应关系相同，这两个函数相同；

对于D,丫=咋"/的定义域为｛小川｝,），=2叱〃的定义域为｛小>0｝,定义域不同，这两个函数不相同.

故选：C.

3.（2020•西安市第八十三中学高一月考）已知函数.（匕）=2/-3%则”2）等于（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】A

4

【解析】解：令一7=2,则x=l,

所以/（2）=/（匕）=2-3=-1.

故选：A.

4.（2021•上海市控江中学高一期末）函数y=l--、的值域是（）

X+1

A.（-00,1）B.（1,+8）C.（-00,1）51,+°°）D.（-oo,+oo）

【答案】C

【解析】由反比例函数的性质可知：）'=止!/°，则故值域为（y，1）51，+8）.

故选：C.

1c

x+------,%>2,

5.（2020・合肥模拟）已知函数抬尸｛x-2则用⑴）=（）

%2+2,x<2,

A.-3B.2

C.4D.11

【答案】C

【解析】因为式l）=P+2=3,所以胆1））=H3）=3+占=4.故选C.

6.(2020甘肃兰州一中高一月考)若函数〃尤)=的定义域为R,则实数m的取值范围是()

ylmx2-mx+2

A.©8)B.(8,+oo)

C.(0,8)D.(-oo,0)U(8,+oo)

【答案】A.

【解析】・..函数f(x)的定义域为仁・・・不等式的2・必+2>0的解集为R.

①〃尸0吐2>0恒成立，满足题意；

②用时，则忆舄m<0解得。<〃,<&

综上可得，实数m的取值范围是［0,8).

故选A.

7.(2020•上海曹杨二中高一月考)已知四边形ABC。为正方形，则其面积y关于周长x的函数解析式为

■>

【答案】y

16

【解析】•・•正方形的周长为则正方形的边长为；(x>0)

4

上2

・..正方形的面积为:y=L

16

2

故答案为：y=—(x>0)

16

8.己知人©=，’「，若H»=—6,则次根-61)=________.

-log2(x+l),x>3

【答案】-4

【解析】依题意知,当〃2V3时，火〃2)=3旷2—5=-6,即3旷2=—1,此时无解；当定3时，«M=-log2(m

+1)=—6,解得加=63.所以1加一61)=<2)=32-2—5=-4.

9.函数尸卜2，x>o,的定义域为______，值域为________.

[-2,x<0

【答案】(-8,0)U(0,+oo){-2)U(0,+00)

【解析】定义域为各段的并集，即(一8,0)U(0,+00).

因为x>(),所以r>0,由于值域为各段的并集，

所以函数的值域为{—2}U(0,+00).

10.(1)(2020•上海南汇中学高一期末)若函数/(x)=6,g(x)=」^,则/(x)+g(x)的定义域为

X-1

【答案】[0,1)51,X)

【解析】函数"X)的定义域是{巾20},函数g(x)的定义域是{x|x*l},

所以函数〃x)+g(x)的定义域是{x|xN0}c{x|xxl}=[0,l)u(L田).

故答案为：。1)u(l,内)

(2)(2020•华东师范大学第一附属中学高一期中)函数y==的定义域为

【答案】(0,2]

【解析】因为y=J匕生,所以土处20,即主工40,

VxXx

解得0vxW2,

即函数丫=#三的定义域为(0,2].

放空案为：(0.2].

(3)(2020.上海位育中学高三月考)函数y=也二二的定义域是________.

lg(2x-l)

【答案】(；，1)U(1,2|

【解析】因为y=

lg(2x-l)

2x-x2>0

所以<2x-l>0,解得且xHl,

2X-1H1

即函数产缶T的定义域是［』［u(L2］.

lg(2x-l)(2)

故答案为：(pl］u(l,2］.

(4)(2020•上海高一期末)已知函数/(x)=万的值域为［0,内)，则其定义域是

【答案】口,+8)

【解析】,:于(x)=Fi,且73的值域为［0,+℃),

Ax-i>o,解得x21,函数fM的定义域为［1,+oo).

故答案为：［L+°o).

(5)(2019.上海外国语大学附属大境中学高一期末)已知/(x+1)的定义域为［0,2］,则W的定义域为

【答案】[^,1)U(1,1]

【解析】函数/(x+D的定义域为[0,2],

,-.0<x<2,

,-.l<x+l<3,

.・"(x)的定义域为［1,3］,

所以幺空中:\<2x<313

解得5-c且I