2020-2021学年新人教A版（2019）高一数学暑假作业综合十一（含解析）

综合十一-【新教材】人教A版(2019)

高一数学暑假作业(含解析)

一、单选题

1.下列不等式或命题一定成立的是()

①lg(/+；)》lgx(x>0)；@sinx+>2(%*kn,kGZ)；

@x2+1》2|x|(x6/?)；④y=^=(xGR)最小值为2.

A.①②B.②③C.①③D.②④

2.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造

得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形,

并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为

“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段

构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“〃次构造”，就可以得到一条科

赫曲线,若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需

要通过构造的次数是().(取lg3ko.4771,lg2«0.3010)

3.已知函数/'(x)=cos卜%—§一2sin(x+E)cos(x+：),%eR,给出下列四个命

题：

①函数70)的最小正周期为2兀；

②函数“X)的最大值为1;

③函数/⑺在卜葭］上单调递增;

④将函数/⑺的图象向左平移卷个单位长度，得到的函数解析式为g(x)=sin2x.

其中正确命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

如图在梯形ABC。中，BC=2AD,DE=EC,设丽

a,BC=b，则丽=

A.为+/

B.与+乐

D.7+部

24

5.下列四个选项中，正确的是

A.复平面内实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数

B.若复数Z1，Z2满足资+Z2=0,则zg=0且域=0

C.若复数Zi，Z2满足区|=\z2\,则Z?=zf

D.设z为复数，a,bG.R,若z+a=22+bi,则，+a=2z—bi

6.在棱长为1的正方体ABCD-AiBiGA中，ACCB。O,E是线段&C（含端点）上

的一动点，

①0E1

②0E〃面4修山；

③三棱锥&-BDE的体积为定值；

④0E与4cl所成的最大角为90。.

上述命题中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

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7.某校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年4月18日〜27日（共10天

）学生在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合

图.根据组合图判断，下列结论正确的是（）

A.这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日减小

B.前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差

C.这10天学生在线学习人数在逐日增加

D.前5天在线学习人数增长比例的极差大于后5天在线学习人数增长比例的极差

8.函数/。）={11.?；31则下列命题正确的是（）

A.函数是偶函数

B.函数/（x）最小值是0

C.函数f（x）的单调递增区间是[1,+8）

D.函数"%）的图象关于直线x=1对称

二、多选题

9.下列说法中错误的为（）

A.已知m=（i,2）,b=（1,1）.且m与m+入b的夹角为锐角，则实数人的取值范围

是（一^,+8）

B.向量n=（2,-3）员=（；,一方不能作为平面内所有向量的一组基底

c.若则苗在G方向上的投影为同

D.非零向量云和H满足同=|b|=日一斗则云与W+U的夹角为60。

10.下列命题正确的（）

A.若复数z=（1-0（2一i），则|z|=VTo

B.若Zi=2-i,z2=1-3i,则复数Z]-z2的虚部是2/

C.若|z-l|=2,则忆一1一34的最小值为1

D.已知左eR,若关于x的方程X2+(卜+2。％+2+於=0有实数根，则实根必为

x=

11.如图，在矩形A8CO中，已知/B=2AD=2,£为48的中点，将AZDE沿DE翻

折到△41DE的位置，A1《平面488,M为&C的中点，则在翻折过程中，下列结

论正确的是()

A.恒有BMH平面A1DE

B.B与M两点间距离恒为定值

C.三棱锥A1-OEM的体积的最大值为立

12

D.存在某个位置，使得平面ARE,平面41CD

12.甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标

有数字1,2,3,4,乙四个面上分别标有数字5,6,7,8,同时抛掷这两个四面

体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四

面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则

下列结论正确的是()

A.P(A)=P(B)=P(C)B.P(BC)=PQ4C)=P(AB)

11

C.P(ABC)=-D.P(4)•P(B).P(C)=-

oo

三、填空题

13.(1)已知向量正方满足|4|=2,|6|=4，且五=4，则为与方的夹角为.

(2)如图,一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在A处观测灯塔。在北偏东45。

方向，行驶2九后，船到达6处，观测灯塔C在北偏东15。方向，此时船与灯塔C

的距离为km.

AB东

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(3)已知两点2(1,0),B(1,V3).。为坐标原点，点C在第二象限，且乙40C=120°,

设一2瓦5+而=小，则|前|=,OB-AC=

(4)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a*0),函数g(x)=f(x~)+/Q)+2a—

c(x^0),若函数/(x)与函数g(x)的值域相同，贝哈的取值范围为

14.如图，矩形A8CO中，AB=2AD=4,E为边AB

的中点，将AADE沿直线OE翻转成△&£>£,构成

四棱锥&-BCDE,若M为线段&C的中点，在翻

转过程中有如下四个命题：

①MB〃平面&DE；

②存在某个位置，使DELaC；

③存在某个位置，使4D1CE；

④点&在半径为近的圆周上运动.

其中正确的命题是.

15.下列四个命题

①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；

②从含有2008个个体的总体中抽取一个容量为100的样本，现采用系统抽样的方

法应先剔除8人，则每个个体被抽到的概率均为点；

③从总体中抽取的样本数据共有〃，个m〃个4p个c,则总体的平均数元的估计

/古y,ma+nb+pc

值为m+n+p；

④某中学采用系统抽样的方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做

牙齿健康检查，现将800名学生从001至I」800进行编号，已知从497〜512这16个

数中取得的学生编号是503,则初始在第1小组001〜016中随机抽到的学生编号是

007.

其中真命题的个数是

四、解答题

16.已知a,b,c分别是回4BC内角Z,B,C的对边，若沆=(a+c,b),记=3—08—(1)且

mln.(1)求角C■的大小；

(2)若©=遍，sin4=2sinB,求团4BC的面积.

(3)若c=g,求21ABe周长的取值范围.

17.如图1,已知等边三角形ABC的边长为3,点M,N分别是边AB,AC上的点，且

BM=2MA,AN=2NC.如图2,将aAMN沿折起到△4MN的位置，连接AB,

A'C.

(1)求证：平面4BM_L平面BCNM-,

(2)给出三个条件：①4M1BC；②二面角4—MN—C的大小为60。；③A到平面

8cMW的距离为空从中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答：

2

在线段上是否存在一点尸，使三棱锥4-PMB的体积为9若存在，求出笠的

4A>C

值；若不存在，请说明理由.

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18.如图,三棱柱A/iG-ABC中，BBi1平面ABC,AB1BC,AB=2,BC=1,BB1=3,

。是CG的中点，E是48的中点.

(I)证明：0E〃平面GBAi；

(II)F是线段CCi上一点，且直线AF与平面ABBi公所成角的正弦值为右求二面角

F-B公—4的余弦值.

19.某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血

清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染.拟采用两种方案检测：

方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；

方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清混在一

起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个

检测，直到能确定感染人员为止;若结果呈阴性，则对另一组中每份血清逐个检测,

直到能确定感染人员为止.

(1)求这两种方案检测次数相同的概率;

(2)如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少?并说明理由.

20.对于函数方(©,f2(x),九㈤,如果存在实数a,b使得/i(x)=a(x)+b•力(%),

那么称九(乃为「(X),片(X)的生成函数.

(1)设71(%)=log4X，/z(x)=log025x,a=2,b=1,生成函数/i(x).若不等式

2/i2(x)+3/i(x)+t<0在％e[4,16]上有解，求实数f的取值范围.

(2)设函数91(X)=log3(9*T+1),g2(x)=x-1,是否能够生成一个函数九(x).且

同时满足:①九(x+1)是偶函数;②八(乃在区间[2,+8)上的最小值为210g310-2,

若能够求函数无。)的解析式，否则说明理由.

21.已知函数/'(x)=cosx(V5sinx-cosx)+/，将y=/(x)的图象向左平移%个单位后

得到g(x)的图象.

(1)求g(x)的单调区间；

(2)在锐角AABC中，若g([)=-；+\&,求sin4+cosB的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式及不等式性质，属于基础题.

利用基本不等式及不等式的性质对各命题逐一判断即可.

【解答】

解：①中：x2-X+=(x-1)2>0,则/+；2丫，则lgQ2+[)2故①正确；

②中：x丰kit,k&Z,sinxG[—1,0)U(0,1]>当sinx<0时，sinx+故②

错误；

③中：x2+l-2\x\=\x\2-2\x\+1=(|x|-l)2>0,故/+1>2|x|(xeR),故③

正确；

④中：丫=理=警警=疹较+金之2,当且仅当代=1=得后时取等号，

JJVX2+2VX2+2VX2+2VXZ+2

此时/=一1,显然不成立，故④错误；

故选：C.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本考查对数的运算与估算,指数函数模型的运用，不等式求解，考查了分析和运算能力，

属于中档题.

根据题意，记初始线段长度为。，“一次构造”后的折线的长度为半，〃二次构造”后的

折线的长度为…，“〃次构造〃后的折线的长度为(9na,则要使得到的折线的长

度达到原来的1000倍，应满足G)"a21000a,然后解不等式即可求解.

【解答】

解：由题意，记初始线段长度为a(a>0),“一次构造”后的折线的长度为半，

“二次构造”后的折线的长度为(》2a,…，

次构造〃后的折线的长度为(Jpa,

则要使得到的折线的长度达到原来的1000倍，应满足a21000a,

两边同时取对数得nig：>Z5IOOO=3,即得n(21g2-lg3)>3,n>—,

3

代入数据得x24.02,

n>0.6020-0.4771

故至少需要通过构造的次数是25.

故选D

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了正弦型函数的最小正周期、最值、单调性、图象的平移等知识，属于中档

题.

先由三角恒等变换得sin(2r-白，所以其周期、最值、单调性、平移情况皆可

判断.

【解答】

解：依题意，

f(x)=co«(2x——)—2sin(x+-)+-)

=sin2x--co«2x=sin(2工——)，

226

所以/(%)的最小正周期为T7T，①错误；

f(x)最大值为1,②正确；

由囚+2/CTT42.x—2《+2fc/r

262

得，j+A-TT<x<'：：+krr,(k£Z),

.S6

所以当k=-l时，f(x)的一个单调递减区间为［一早,］,与区间［-十,卓有重

合，则函数/O)在［-?,十］上不是单调递增的，故③错误；

将函数/(X)的图象向左平移］:个单位长度，得到的函数解析式为g(x)=sin［2(x+

勺_(］=sin2x,故④正确.

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故选:B.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查的是向量的运算以及平面向量基本定理的应用，属于基础题，难度不大.

本题利用三角形法则，将所求向量通过转化最后用已知向量表示出来即可.

【解答】

解：取BC中点凡连接FA,

因为在梯形A8CO中，BC=2AD,所以四边形AOC尸是平行四边形，

所以E4〃CD,FA=CD,

则丽=BC+CE=BC+癖=BC+^FA

-->1-->,--♦1-->1-->

=BC+其B4-BF)=+其-：BC)

=-~BA+-~BC=-a^-b.

2424

故选D

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查复数的相关概念和运算法则，属于基础题.

利用原点也在虚轴上，即可判断4取特殊复数，即可判断3和C；设z=m+ni（m,〃是

实数），利用复数相等的概念即可判断。.

【解答】

解：复平面内实轴上的点都表示实数，原点也在虚轴上，表示实数，故A错误；

取复数Zi=i,Z2=1满足z,+z/=0,但：;=—1且：;—1,故8错误；

取复数Zi=l+i,Z2=1-i满足二i|=El\无，但z工=2i,z/=-2i,故C错误；

设z=m+ni（m,n是实数），

若z+a=22=bi,a,bGR,

贝Um+a+ni=2m—2ni—bi,

故m+a=2m—0,n——2n—b,

解得m=n=a=n=0,

故2:-历故。正确.

故选。.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查正方体的结构特征，考查异面直线成角、线面平行、垂直的判定与性质的应用，

及棱锥的体积求法，考查分析与计算能力，综合性较强，属于较难题.

利用正方体的结构特征，线面位置关系的判定和性质，异面直线成角及棱锥体积的计算

对4个结论逐个判断，即可得出结论.

【解答】

解：①由正方体可得：AC1BD,DDrABCD,

BDnDDr=D,BD.DDiC平面BOQ,

ACJ•平面,BQU平面BOQ,二AC_LBD】，

同理：BiCJ.BD1，

■■■ACnBrC=C,U平面

BDr1平面48修，OEC平面，

•••OE1BD],正确；

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②,:ACHAV、,ACC平面ABiC,4CQ平面ABiC»

，小Ci〃平面ABC，

同理得：AN〃平面.A0C,

VA±Dn41G=Ai，A1D,A1C1u平面&QD,

平面481c〃平面4C1。，

・••OEU平面ABC,

■•.OE〃面4的。，正确;

③易知BiC〃力iD,BQ,平面A[BD,&DU平面&BD,

3Q〃平面A山D,

■•.E到平面4BD的距离为定值，

•••三棱锥4-BDE的体积等于三棱锥E-48。的体积，

底面△4/0的面积为定值，E到平面4BC的距离为定值，

二三棱锥&的体积为定值，正确；

④当E在当处时，0E与&G所成的角最大，

此时，由勾股定理易得：

OC2=g,OB/=|,BiC2=2,

222

0C+0Br=BrC,即地。。=90。,

vACIjA、C\,

：.0E与&G所成的最大角为90。，正确.

故选。.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查统计图表等基础知识，属基础题.

直接根据统计图表逐项分析即可得到结论.

【解答】

解：根据统计图表可知，

这10天学生在线学习人数在逐日增加，但是增长比例并不是逐日增大项，故C项正确;4

项错误；

前5天在线学习人数的比较稳定，后5天在线学习人数的波动较大，所以前5天在线学

习人数的方差小于后5天在线学习人数的方差，8项错误；

前5天在线学习人数的增长比例的极差小于后5天的在线学习人数的增长比例的极差，

。项错误.

故选C.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数及函数的性质，涉及函数的奇偶性与对称性，函数的单调性及最值

等，考查了数形结合的应用，属于基础题.

由题意，画出函数f(x)图象，进而观察并分析可得正确答案.

【解答】

解：画出函数/(X)图象如图：

可知函数/(x)是非奇非偶函数，A错误；函数/'(x)最小值是0,8正确；

函数f(x)的单调递增区间是(-1.0),C错误；

/(0)=1,，⑵=ln2,⑵,所以函数不关于x=1对称，。错误.

故选8.

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9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度

要求比较高，属于中档题.

由向量的数量积、向量的投影、基本定理与向量的夹角等基本知识,逐个判断即可求解.

【解答】

解:对于(1,2)5=(1,1),丹与五+石的夹角为锐角,

a-(a+Xb)=(1,2)­(1+2,2+2)

=1+2+4+2A=3A+5>0,

且；I丰0(2=0时五与d+4石的夹角为0),

所以4>一|且;IK0,故A错误；

对于B.•••向量瓦*=(2,-3)=4瓦，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，

故B正确；

对于C.若五〃E，则五在方方向上的投影向量的长度为同，投影是一个过程，故C错误；

对于D.因为|方|=||一斜，两边平方得，

\b\2=2a-b=同2,

则五•(a+b)=|a|2+a-b=||a|2,

\a+b\=J(a+b)2=J|a|2+2a-b+|b|2=V3|ap

故cos<6,4+方>=幽吵=卑=母

|a||a+b||a|-V3|a|2

而向量的夹角范围为［0°,180。］,

得五与五+石的夹角为30。，故。项错误.

故错误的选项为ACD

故选ACD.

10.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数的模长，复数的概念，复数的四则运算，属于基础题.

由复数的基本概念和四则运算，逐个判断即可.

【解答】

解：选项A.若复数z==1-33则|z|=VIU,故A正确；

选项若则复数虚部为故错误；

B.zi=2-i,z2=1-3i,Zi-Z2=l+2i,2,8

选项C.若|z—1|=2,则z在复平面内对应的点在圆心为(1,0),半径为2的圆上，贝ij|z-

1-3i|表示圆上的动点z到定点(1,3)的距离，•••点(1,0)到(1,3)的距离为3,则|z-1-3i|

的最小值为3-2=1,故C正确；

选项。.设勺是方程的实数根，代入方程并整理得(诏+%+

x=2)+(2x0+k)i=0,

由复数相等的条件可得俘+#°V=°,解得卜°=‘行或卜°=一£故D错误.

(2与+k=0U=一2&Ik=2V2

故选AC.

11.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题主要考查了线面平行的判定定理，面面平行的判定定理和性质，以及线面垂直和面

面垂直的性质，涉及余弦定理，同时考查了空间中的距离，三棱锥的体积，属于较难题.

根据空间中线面，面面间的位置关系，结合选项依次分析求解即可.

【解答】

解：对于A,取CO的中点F,连接MF,BF,

易知FB//ED,

平面力u平面

,:MFCWE,ArD&DE,

MF〃平面4CE,

同理可得FB〃平面&DE,

又MFCFB=F,MF,FBu平面MBF,

二平面MBF〃平面&DE,

又BMu平面MBF,

•••恒有〃平面&DE,故A正确；

4

A

EB

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对于B,在矩形A8C£＞中，AB=2AD=2,

E为AB的中点，所以4E=4D=1,DE=近,

11

则M/7/&D,且MF=

BF//DE,BF=DE=V2,

AArDE=/.ADE=乙MFB=45°,

,___________________________________,/F

在三角形MBF中，由余弦定理得MB=v/BF2+A/F2-2BF-MF^^IFB=笠，

故8正确；

对于C,因为BM〃平面&DE,

所以M到平面AWE的距离等于B到平面&DE的距离，

8E=1为定值，SAADE=；为定值，

当平面&DE，平面ABC。时，

B到平面4DE的距离最大，三棱锥&-DEM的体积取最大值，

此时,匕「DEM=Kli-DEB=£X：X4=故C正确；

对于。,取CQ的中点F,连接EF,ArF,

假设存在某个位置，使得平面40E1平面&CD,

平面4DEn平面&CD=&£）,ArE1ArD,&Eu平面4£）£1,

■1•A1E_L平面&CD,

&Cu平面&CD,ArE141C,

ArE=1,CE=V2）ArC=1,

而&D=1,CD=2,此时公与尸重合，不符合题意，故假设错误，故。错误.

故选ABC.

12.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查古典概型及相互独立事件同时发生的概率，同时考查互斥事件的概率，考查推

理能力和计算能力，属于中档题.

由已知求出p（a）,P（B）,p（c）,然后逐一判断求解即可.

【解答】

解:由已知p（a）=；x；+：x；=g

44442

21

P(B)=P(C)=;=p

由已知有PQ4B)=P(4)P(B)=],P(aC)=；,P(BC)=；,

所以PQ4)=P(B)=P(C),

P(BC)=PQ4C)=PQ4B),

P⑷.P(B)•P(C)=i

o

事件A、B、C不相互独立，故PQ1BC)=：错误；

故选ABD.

13.【答案】(1)；；

(2)40^2:

(3)2,1；

(4)(—oo,-4]U[4,+oo).

【解析】

(1)

【分析】

本题考查利用数量积求两向量的夹角，属于基础题.

利用数量积的变形公式cos〈方，方>=磊，代入数值即可求解.

【解答】

解:由[五1=2,\b\=4,且五.3=4,

可得COSV窗b>==—=i,

|a|-|d|2x42

由<a,b>G[0,n]>

可得向量五与石的夹角为最

故答案为最

(2)

【分析】

本题考查正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

在三角形48c中，由正弦定理得3。=华鲁即可得出答案.

sm300

【解答】

解：由题知NC=30°,AB=40,

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4Bsin45"

在三角形ABC中，由正弦定理得BC=40V2.

sin30°

故答案为40位.

(3)

【分析】

本题考查向量的坐标运算，向量的模及数量积，属于基础题.

设点C的坐标为(x,y),利用已知条件可求得C的坐标，进一步求得能，OB，配的坐

标，利用模的公式及数量积公式即可求解.

【解答】

解：设点C的坐标为(x,y),则由一265+南=元得(x,y)=-2(1,0)+(1,0)=

(-1,V3)，

所以％=-1,y=炳,则方=(一1,百)，则|元|=J(-l)2+3=2.

-：OB=(1,V3)>AC=(-2,V3).：.OBAC=-2+3=1.

故答案为2,1.

(4)

【分析】

本题考查二次函数及其值域，属于中档题.

由已知可得g(x)=a(x+：)2+b(x+,+c,利用换元法，设x+}=t6(—8,-2]u

[2,+oo),U!j^(x)=G(t)=at2+bt+c,

根据/(%)与G(t)的值域相同，则对称轴？6(-0),-2]U[2,+8),即可求解.

【解答】

解：g(X)=a/+b%+c+£+g+c+2Q-c=a(x+^)2+b(x+》+c,

设x+(=£€(-8,-2]U[2,+00),所以g(x)=G(t)=at2+bt+c,

因为/(%)=ax2+bx+c与G(t)=at2+bt+c的值域相同,

所以其图象的对称轴?€(-8,-2]U[2,+°o),即T6(—00,-4]U[4,+°o).

故答案为(-8,—4]U[4,+oo).

14•【答案】①③④

【解析】

【分析】

本题考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，难度中档.

取C。中点尸，连接例尺BF,运用面面平行的性质定理，可判断①；

若存在某个位置，使DE1&C,运用线面垂直的判定和性质，即可判断②；

运用面面垂直的性质定理，即可判断③;。E的中点。是定点，。&=V2,即可判断④.

【解答】

解：取CO中点凡连接M凡BF,

贝〃口4],BF//DE,

又MFCBF=F,DA^nDE=D,

MF、BFu平面MBF,DA^DEu平面&DE,

二平面M8F〃平面为DE,

又MBu平面MBF,

二MB〃平面A】DE,故①正确；

若存在某个位置，使DEIaC,

由CE=DE=2&，CD=4,可得CEJLDE,

又4iCnCE=C,AiC.CEu平面AiCE,

则DE1平面&CE,又4Eu平面&CE,

即DE1&E,

显然不正确，故②不正确.

由CE1DE,可得平面&DEL平面A8C。时，

A^D1CE,故③正确.

••・DE的中点。是定点，。&=鱼，

・•・久是在以。为圆心，鱼为半径的圆上，故④正确,

故答案为：①③④.

15.【答案】3

【解析】

第20页，共28页

【分析】本题考查分层抽样，系统抽样，属于基础题型，逐项判断即可；

【解答】解：对于①，由于样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度,

故①正确；

对于②，根据系统抽样为等概率抽样可得每个个体被抽到的概率均为温=器,故②错

误;

对于③，从总体中抽取的样本数据共有，"个4,”个从p个C,则总体的平均数元的估

ma+nb+pc

计值为故③正确;

m+n+p

对于④，某中学采用系统抽样的方法，从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学

生做牙齿健康检查，则样本间隔为800+50=16,已知从497〜512这16个数中取得的

学生编号是503.设在第1小组001〜016中随机抽到的学生编号是x,则有503=16x

31+x,解得x=7,所以在第1小组中抽到的学生编号是007,故④正确.

综上①③④为真命题.

16.【答案】解：（1）由订_1_可可得：a2-c2+b2-ab=0,

1

•••由余弦定理可得:cosC=一,

2ab2

又・・•C6(0,7T),C=p

(2)由sinA=2sinB及正弦定理可得：a=2b,

vc=V6»C=p

・•・由余弦定理可得：c?=+坟—2abcosC=4b2+b2—ab=3b2,

•••解得：b=V2,a=2V2,

・•・S&ABC=gcibsinC=1x2V2xV2x曰=遮；

m、abc

(3)­,---=---=—n=n2,

sinAsmBsm-

3

:.a=2sinA,b=2sinB,

则448。的周长L=Q+b+c=2(sin4+sinB)+b

=2[sinA+sin(g—4)]+V3=2V3sin(/+》+V5

小，d/27r7T..TC57r

0<AV—,：•一V/d—V—

3666f

.---<sin(4+-)<1,2V3<2每in(4+乡+百43圾

266

・•・44BC周长的取值范围是(2g,3旧].

【解析】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式及函数y=Asin^x+(p)

的图象与性质，属于中档题.

(1)由题意，利用向量的垂直性质以及坐标运算，可得a2—c2+b2-ab=0,进而利用

余弦定理求得cosC=\,于是可知角C的值；

(2)依据题设条件以及正弦定理,可得到a=2b,再利用余弦定理可得到b=&,a=2VL

于是结合(1)角C的值，利用三角函数的面积公式可求A4BC的面积；

(3)根据题设条件，利用正弦定理求得a=2sin4b=2sinB,再利用两角和与差的三

角函数公式以及辅助角公式化简得到4ABC的周长L=2V3sin(4+»+V3,求得角A

的取值范围，结合函数y=Asin^x+3)的图象与性质可求得△4BC的周长L的取值范

围.

17.【答案】(1)证明：由已知得，AM=1,AN=2,乙4=60。.

由余弦定理得，MW=V3，MN2+AM2=AN2,

：.MNLAB,

MN-LA'M,MN1BM.

又•：MBnA'M=M,MBu平面ABM,A'Mu平面ABM,

•••MN•L平面4'BM.

vMNu平面BCNM,••.平面A'BM1平面BCNM.

(2)若用条件①AMJ.BC,

由(1)得，A'M1MN,又BC和MN是平面BCMW内两条相交直线，

A'M_L平面BCNM,BMu平面BCNM,

：.A'MIBM,：.S^ltSi：x1x2=1.

易得等边三角形ABC的高为更，

2

••・三棱锥八BCM的体积为匕技但…=沁…-v=T>?

•••在线段4'C上存在点P满足题目条件，

第22页，共28页

此时段=^^=上当

AcV三棱锥C-A，BM—'

若用条件②二面角4一MN—C的大小为60。，

由(1)得，N&MB是二面角4-MN-C的平面角，

WMB=60°,

••SRA，BM=\A'M-BM-sin60°=|xlx2x^=^.

易得等边三角形ABC的高为延，

2

•••三棱锥4'—8cM的体积为匕滤解“BM=如4BM-=?

•••在线段4'C上存在点P满足题目条件，此时点P与点C重合,故兼=1.

若用条件③4到平面BCNM的距离为圣

易得等边三角形ABC的高为这，

2

rni|13V31、，Q、，3百373

则Sc团BCM=QBM•—=-x2x—=

则三棱锥A-BCM的体积为U=isAfiCM•立=2x延x立=在＜三，

3232244

；.此时在线段4C上不存在满足题目条件的点P.

【解析】本题考查面面垂直的判定，以及三棱锥的体积.

(1)由MN1A'M,MN1BM,得到MN1平面A'BM,从而得到平面_L平面BCNM；

(2)线=JvFPMB=:一御法BM,因此将问题转化为求三棱锥％—BCM的体积，

°V三棱链A，-BCMV三棱链c-A，BM

选择条件①：推出AMIBM,求出S&VB.”1,由平面ABM上平面8CNM,可知三

棱锥小-BCM即三棱锥C一4BM的高为这，由此求出体积；

2

选择条件②：可得乙4'MB是二面角A—MN—C的平面角，求出SA4@”=肆，由平

面Z'BM1平面BCNM,可知三棱锥A-BCM即三棱锥C-&BM的高为辿，由此求出体

2

积；

选择条件③：求出,BCM=手，即可求出三棱锥4-BCM的体积.

18.【答案】解：（I）连结AB1交4/于。，连结EO,OCi，

v0A=OB,AE=EB,

：.OE=^BB\,OE//BB、,

又OG=：BBi，DCJ/BBy,

1

・•.OE=DC1

因此，四边形。EOG为平行四边形，即EZV/OG，

,.10clU面C\AB,EDC面C\AB,

•••DE〃平面CiB4；

(II)建立空间直角坐标系B-xyz,如图

过尸作FH1BB0连结AH,

面ABC..ABC面ABC,

ABlBDi,

■;ABLBC,BCC\BBi=B.BC.BBiU平面CBaG，

ABl.^aCBB[C[；

VABU面BAA\B”

：.面面CBBiG,

vFHu而CBBG，FH1BBV

面BAA[B[n面t叫Ci=1面BAA、B\,

第24页，共28页

即NF.，1〃为直线A尸与平面所成角，记为。,

则sin®"

・•・AF=3,

在Rt&AOF中，

5=AC2=CF2+AF2=CF2+9,

ACF=2,

即尸(0,2,1)41(23。)，乔=(0,2,1),西=(2,3,0),

设平面BAG的法向量记=(%,y,z),

(m•BF=2y+z=0

l沆•BA[=2%+3y=0'

取y=2,记=(-3,2,-4),

平面B44i的法向量记=(0,0,1),

|Icos/<一m,Tn、>||=I|布-•五I1=4^=4—属,

结合图形可知，二面角尸-84-4的平面角为钝角，

因此，二面角F—-4的余弦值旧.

【解析】本题考查了线面平行的判定，直线与平面所成角，二面角，考查了空间想象能

力，属于中档题.

(I)连结4公交于O,连结E0,0G，根据几何关系在，证明四边形DE0Q为平行四

边形，进而得到ED〃0Ci，然后运用线面平行的判定即可得证；

(II)建立空间直角坐标系8-xyz,根据几何关系找到直线A尸与平面4BB14所成角，

进而求出AF,然后用空间向量法求二面角F-BA.-4的余弦值即可.

19.【答案】解：(1)设方案甲中检验次数为X,则X的可能取值为1,2,3,4,5,

设方案乙中检验次数为匕则丫的可能取值为2,3,

P(X=1)=],P(X=2)=*Q(X=3)=流=：,

4、5X4X3X11「八7l、5X4X3X2X21

P(X=4)=后砺=&,P(X=5)=6X5X4X3X2=F

P(y=2)=等=1P(y=3)=l-P(Y=2)=1，

c

6G3§J

则X,y的分布列为

X12345

11111

p

66663

y23

12

p

33

记“两种方案检验次数相同”为事件A,

所以PQ4)=P(X=2,y=2)+P(X=3,y=3)

11121

=-x-+-x-=一；

63636

1i1111。

(2)E(X)=lx2+2x++3x±+4x±+5x±=U,

666633

17R

E(y)=2x3+3x泻,

因为E(X)>E(y),所以乙方案检测的总费用较少.

答：(1)这两种分组方案检测次数相同的概率为:，；

(2)预测乙方案分组检测总费用较少.

【解析】

本题主要考查古典概型的计算与应用，以及离散型随机变量的期望与方差，涉及独立事

件同时发生的概率及互斥事件之一发生的概率计算，属于中档题.

(1)设方案甲中检测次数为X,则X的可能取值为1,2,3,4,5.设方案乙中检测次数

为匕则丫的可能取值为2,3.分别求出对应的概率即可求解；

(2)根据期望公式求出E(X),E(Y)比较大小即可.

20.【答案】解：(1)由题意月(x)=log4X,左(x)=bg±x,=2,b=l,

4a

h(x)=2/i(x)+f2(x)=21og4x+logix=log/,

4

不等式2/。)+3h(x)+t<0在早e[4,16]上有解,

等价于t<-2/i2(x)-3/i(x)=一210g5一310g/在xe[4,16]上有解，

2

令s=log4x,则sG[1,2],由y=-21og4%-31og4x=-2s—3sG[-14,-5],

知y取得最大值一5,・・.t<—5.

x-1

(2)设九(%)=7nlog3(9+1)+n(x—1),

x

则九(％+1)=mlog3(