专练1 新定义、新情境专练2023-2024学年新教材高中数学必修第四册同步教学设计 (人教B版2019)

专练1新定义、新情境专练2023-2024学年新教材高中数学必修第四册同步教学设计(人教B版2019)授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容教材章节：人教B版2019高中数学必修第四册第四章《几何证明选讲》第一节“专练1新定义、新情境专练”。

内容列举：本节课主要针对新定义、新情境下的几何证明问题进行专练。具体内容包括：

1.理解并运用新定义的几何概念，如相似三角形的新定义、全等三角形的新判定方法等；

2.分析新情境下的几何问题，如构造辅助线、运用几何定理证明角相等、线段相等、面积关系等；

3.培养学生的逻辑思维能力和推理能力，提高解决实际问题的能力。核心素养目标本节课旨在培养学生的逻辑思维、数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养。具体目标包括：

1.通过分析新定义、新情境下的几何问题，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力；

2.提升学生在几何证明中运用数学抽象思维，识别几何关系和模型的能力；

3.增强学生运用数学建模方法解决实际问题的能力；

4.锻炼学生运用数学运算技能，准确、高效地完成几何证明过程。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

-学生已经学习了三角形的基本性质、全等与相似三角形的判定定理；

-学生对几何图形的基本构造方法和辅助线添加有一定的了解；

-学生已经具备一定的几何证明基础，能够解决一些常规的几何证明问题。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

-学生对探索新知识、解决挑战性问题具有较高兴趣；

-学生具备一定的逻辑思维能力和空间想象力，能够跟随教师的引导进行分析和推理；

-学生可能偏好直观的图形表示和实际操作，对抽象的数学概念和理论可能存在一定的理解障碍。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

-对新定义的理解可能存在困难，需要教师耐心引导；

-在新情境下进行几何证明时，可能难以发现关键信息和构建证明思路；

-在解决复杂问题时，学生可能缺乏信心，需要教师鼓励和引导。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有人教B版2019高中数学必修第四册教材。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的PPT演示文稿，包括新定义的示例、几何图形的动态演示等。

3.教学工具：准备直尺、圆规、三角板等绘图工具，以及投影仪、电子白板等教学辅助设备。

4.教室布置：根据教学需要，提前将学生分成小组，每组安排适当的空间进行讨论和练习。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料，包括本节课的新定义和例题，明确预习目标是理解新定义并能初步应用。

-设计预习问题：设计如“如何利用新定义证明两个三角形相似？”等启发性问题。

-监控预习进度：通过在线平台查看学生的预习记录和提交的预习成果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生自主阅读教材和预习资料，尝试理解新定义。

-思考预习问题：针对预习问题进行思考，尝试解答并记录疑问。

-提交预习成果：将预习笔记和问题提交至平台。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主探索，培养独立思考能力。

-信息技术手段：利用在线平台进行资源分享和进度监控。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过一个具体的几何问题情境，引出新定义的应用。

-讲解知识点：详细讲解新定义的含义和应用方法，结合具体例题进行分析。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生探讨如何在新情境下应用新定义。

-解答疑问：针对学生的疑问进行解答，指导学生如何构建证明过程。

学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，积极思考如何应用新定义解决问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论，尝试在新情境下应用新定义。

-提问与讨论：勇敢提问，与同学讨论不同的证明方法。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：讲解新定义和例题，确保学生理解。

-实践活动法：通过小组讨论和问题解决，实践新定义的应用。

-合作学习法：培养学生的团队合作和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置与新课内容相关的练习题，要求学生在新情境下应用新定义。

-提供拓展资源：提供相关的数学文章和在线资源，帮助学生深入了解几何证明的方法。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生具体的反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：独立完成作业，尝试在新情境下应用新定义进行几何证明。

-拓展学习：利用提供的资源进行拓展学习，加深对几何证明的理解。

-反思总结：总结学习过程中的收获和不足，提出改进措施。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生进行学习反思，促进自我提升。

本节课的重难点在于理解和应用新定义进行几何证明，通过课前预习、课中讨论和练习、课后拓展，帮助学生逐步掌握这一技能。学生学习效果学生学习效果体现在以下几个方面：

1.理解并掌握新定义：通过本节课的学习，学生能够理解新定义的含义，如相似三角形的新定义、全等三角形的新判定方法等，并能将这些新定义应用到具体的几何问题中。

2.提升逻辑思维能力：学生在解决新情境下的几何证明问题时，能够运用逻辑思维，分析几何图形之间的关系，构建合理的证明思路，从而提高逻辑思维能力。

3.增强空间想象力：通过本节课的学习，学生在处理几何问题时，能够更好地运用空间想象力，将抽象的几何概念转化为直观的图形，从而更好地理解和解决问题。

4.掌握几何证明方法：学生能够熟练运用全等三角形、相似三角形等几何定理进行证明，对于复杂的几何问题，能够灵活运用不同的证明方法，如构造辅助线、运用几何变换等。

5.提高解题效率：学生在解决几何问题时，能够迅速识别出问题的关键信息，选择合适的证明方法，从而提高解题效率。

6.培养团队合作意识：在小组讨论和课堂活动中，学生能够积极与同学交流，分享自己的思路和经验，培养团队合作意识和沟通能力。

1.理解新定义的效果：

-学生能够准确描述相似三角形的新定义，如“两个三角形对应角相等，对应边成比例的三角形称为相似三角形”。

-学生能够运用新定义判定两个三角形相似，并能够解释判定依据。

2.逻辑思维能力提升的效果：

-学生在解决几何问题时，能够自主构建证明思路，如通过分析三角形内角和定理，推导出两个角相等的结论。

-学生能够运用反证法、归纳法等逻辑方法进行几何证明，提高解题的严谨性。

3.空间想象力增强的效果：

-学生能够将抽象的几何概念，如线段、角度、面积等，转化为直观的图形，更好地理解几何问题。

-学生能够通过观察和分析几何图形，发现几何关系，为证明提供依据。

4.掌握几何证明方法的效果：

-学生能够熟练运用全等三角形、相似三角形等定理进行证明，如运用全等三角形的判定定理证明两个三角形全等。

-学生能够灵活运用构造辅助线的方法，如添加平行线、垂直线等，简化证明过程。

5.提高解题效率的效果：

-学生在解决几何问题时，能够迅速识别关键信息，如相等的角、相等的线段等，选择合适的证明方法。

-学生能够通过类比、归纳等方法，快速找到解决问题的思路，提高解题效率。

6.培养团队合作意识的效果：

-学生在小组讨论中，能够积极发言，分享自己的思路和经验，与同学共同探讨解决问题的方法。

-学生能够倾听他人的意见，接受不同的观点，学会在合作中解决问题，培养团队合作意识。板书设计1.新定义的理解与应用

①相似三角形的新定义：两个三角形对应角相等，对应边成比例的三角形称为相似三角形。

②全等三角形的新判定方法：SAS（Side-Angle-Side）判定方法。

③新定义在几何证明中的应用：利用相似三角形和全等三角形的性质进行证明。

2.几何证明的基本步骤

①确定证明目标：明确要证明的结论，如两个角相等、两条线段相等。

②构建证明思路：分析已知条件和几何关系，构建合理的证明思路。

③书写证明过程：按照逻辑顺序，运用几何定理和性质，准确书写证明过程。

3.几何证明中的关键技巧

①构造辅助线：在证明过程中，适时添加辅助线，简化证明过程。

②运用几何变换：如对称、旋转等变换，帮助发现几何关系。

③类比和归纳：通过类比已知的几何定理，归纳出新的证明方法。重点题型整理题型一：新定义应用题

题目：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且满足∠BDE=∠C。根据相似三角形的新定义，判断△BDE与△C的相似性，并给出证明。

答案：根据相似三角形的新定义，若两个三角形对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似。在△BDE与△C中，已知∠BDE=∠C，若要证明两三角形相似，需要证明它们的其他对应角相等且对应边成比例。由于∠BDE=∠C，且∠B=∠B（公共角），因此△BDE与△C有两对对应角相等。接下来，需要证明对应边成比例，即证明BD/BC=DE/AC。通过证明这两个比例相等，可以得出△BDE∽△C。

题型二：全等三角形判定题

题目：在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，∠BAC=∠DEF。判断两个三角形是否全等，并说明理由。

答案：根据全等三角形的判定方法，若两个三角形有两边和它们夹角相等，则这两个三角形全等。在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，∠BAC=∠DEF，满足SAS（Side-Angle-Side）判定方法。因此，△ABC≌△DEF。

题型三：几何证明题

题目：在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，且∠BDC=90°。证明：△ABD∽△ACD。

答案：证明：由于AB=AC，△ABC是等腰三角形，因此∠BAC=∠BCA。在△ABD和△ACD中，∠BAC=∠BCA（等腰三角形的性质），∠ADB=∠ADC（直角），∠BAC=∠BAC（公共角）。根据相似三角形的判定方法，△ABD∽△ACD。

题型四：几何建模题

题目：在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B在x轴上，且△OAB是直角三角形（O为坐标原点）。求点B的坐标，并证明△OAB是直角三角形。

答案：解：由于△OAB是直角三角形，且∠OAB=90°，点B在x轴上，因此点B的坐标形式为(x,0)。由于△OAB是直角三角形，根据勾股定理，OA²=OB²+AB²。已知点A的坐标为(2,3)，因此OA²=(2-0)²+(3-0)²=4+9=13。设点B的坐标为(x,0)，则OB²=x²，AB²=(x-2)²+3²。根据勾股定理，13=x²+(x-2)²+9。解这个方程，得到x=1或x=-1。因此，点B的坐标为(1,0)或(-1,0)。当点B的坐标为(1,0)时，△OAB是直角三角形，因为OA²=OB²+AB²成立。

题型五：几何证明与计算题

题目：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，点D在边BC上，且BD=DC。求∠BDC的度数，并证明你的结论。

答案：解：由于AB=AC，△ABC是等腰三角形，因此∠AB