2022年人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专题练习试题（含解析）

人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专题练习

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的

答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在长方形4?徵中，分别按图中方式放入同样大小的直角三角形纸片.如果按图①方式摆

放，刚好放下4个；如果按图②方式摆放，刚好放下3个.若比1=4a,则按图③方式摆放时，剩余部

分CF的长为（）

图①图②图。

2、如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口。向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开

港口。向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（）

A.12海里B.13海里C.14海里D.15海里

3、下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（)

A.1,2,3B.1,V2,y/3C.4,5,6D.12,15,20

4、在平面直角坐标系中，已知点/（—2,5）,点8（1,1）,则线段4?的长度为（）

A.2B.3C.4D.5

5、为了测量学校的景观池的长48,在BA的延长线上取一点C,使得AC=5米，在点C正上方找一点D

(即DCLBC),测得ZCDB=60°,ZADC=3（T,则景观池的长4?为（)

C.8米D.10米

6、下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.2,3,4C.J7,3,4D.7,24,25

7、下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）

A.5,11,12B.4,5,6C.4,6,8D.5,12,13

8、如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm,内壁高12cm.若这支铅笔长为

18cm,则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）

A.3cmB.5cmC.6cmD.8cm

9、如图，四边形4成刀中，AB=Zcm,AD=\cm,BC=\3cm,CD=\2cm,且N4=90°,则四边形/比。

的面积为（）

A.12c/B.18c/nC.22cmD.36c瑞

10、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其

中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次''生长”后，变成了如图所示的形状图，如

果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了888次后形成的图形中所有的正

方形的面积和是（）

A.445B.887C.888D.889

第n卷（非选择题7。分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、一个正多边形的边长为6,它的内角和是外角和的2倍，则它的边心距是.

2、如图，将一副三板按图所示放置，/DAE=/ABC=90°,ZZ?=45°,NC=30°，点后在〃'上,

PP

过点A作AF//BC交应于点F,则—=.

3、如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道,已知滑道与451的长度一样，滑梯的高度比

=4m,BE=\m.则滑道47的长度为m.

4、定义：当三角形中一个内角a是另一个内角B的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其

中a称为“特征角”，若Rta/比是特征三角形,N4是特征角，BC=6,则的面积等于

5、如图，点〃是N/08平分线上一点，N加6=60°，该工于E,OE=6,如果p是08上一动点,

则线段.妒的取值范围是

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按

下列要求画图形.

（1）在图1中，画一个等腰三角形（不含直角），使它的面积为8；

（2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数;

（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积为10.

图1图2图3

2、如图，在△4?。中，AB=AC,△46。的高掰。/交于点只

(1)求证：PB=PC.

(2)若必=5,PH=3,求6C.

3、如图，RtAABC中,//龙=90°,分别以〃；BC,4?为边作正方形，面积分别记作S、S、S.求

证：s+s=s.

4、已知：△/眼是等腰直角三角形，动点尸在斜边所在的直线上，以比为直角边作等腰直角三角

形PCQ,其中/尸缺90°,探究并解决以下问题：

（1）如图1,若点尸在线段相上，且/e4,PA=y/2,则①线段陟,PC=.②猜

想：PA2,p81pQ2三者之间的数量关系为.

（2）如图2,若点尸在线段的延长线上，则在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出

证明过程.

（3）若动点P满足P器A=:1，请直接写出PT生的值.（提示：请你利用备用图探究）

rD3AC

5、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边4c=6cm,BC=8cm,将△/回折叠，使点8与点/重合,

折痕为外;求力的长.

----------参考答案------------

一、单选题

1、A

【分析】

45

由题意得出图①中，除a,图②中，B*a,由勾股定理求出小直角三角形的斜边长为进而得出

答案.

【详解】

解：,:BO4a,

4

...图①中，B夕a,图②中，

•••小直角三角形的斜边长为J。?+（g“）2=|«,

59

图③中纸盒底部剩余部分〃的长为4a~2X§a=]a；

故选：A.

【点睛】

本题考查了矩形的性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键.

2、D

【分析】

根据题意可知N4。庐90°,然后求出出发一个半小时后，04=8X1.5=12海里，。店6X1.5=9海里，最

后根据勾股定理求解即可.

【详解】

解：..•甲渔船以8海里/时的速度离开港口。向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口。

向西北方向航行，

仍=90°,

，出发一个半小时后，04=8X1.5=12海里，仍=6X1.5=9海里，

AB=yJOA^+OB2=15海里，

故选D.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能熟练掌握勾股定理.

3、B

【分析】

根据勾股定理逆定理可知，分别计算选项中两短边的平方和是否等于长边的平方即可.

【详解】

解：A、1+2=3,

•••不能构成三角形，故本选项不符合题意；

B、•.•1+（扬2=（后,

•••能构成直角三角形，故本选项符合题意;

C、42+52*,

二不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

D、122+152*202,

•••不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】

222

本题考查了勾股定理逆定理，熟知三角形的三边满足：a+h=c,那么这个三角形为直角三角形是解

题的关键.

4、D

【分析】

根据题意画出点AB的位置，然后根据勾股定理计算即可.

【详解】

过点B作x轴的平行线BC,过点A作y轴的平行线AC,

AC和BC交于点C,

BC=1-(-2)=3,AC=5—1=4,

AB^y/AC2+BC2=5>

故选：D.

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中两点的距离，勾股定理，根据题意构建直角三角形，运用勾股定理解题

是关键.

5、D

【分析】

利用勾股定理求出切的长，进而求出国的长，AB=BC-AC即可求解.

【详解】

解：VDC±BC,

：.Z£)CB=90°,

VZA/X?=30°,AC=5,

AO=2AC=10,

•*-CD=4AET-AC1=5>/3，

NCOS=60°,

/.ZB=30°,

ABD=2CD=\0>/3,

BC=>]BD2-CD2=15，

，M=8C-AC=15-5=10m,

故选:D.

【点睛】

本题考查勾股定理的应用，解题关键是掌握勾股定理.

6、B

【分析】

由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

【详解】

解：A.32+42=9+16=25=52,能构成直角三角形，故不符合题意；

B.22+32=4+9=13^42,不能构成直角三角形，故符合题意；

C.（V7）2+32=7+9=16=42,能构成直角三角形，故不符合题意；

D.72+242=49+576=625=252,能构成直角三角形，故不符合题意.

故选B.

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于利用勾股定理进行计.

7、D

【分析】

先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可.

【详解】

解：A.V52+ll2=25+121=146,122=144,.,.52+llV122,即三角形不是直角三角形，故本选项不符

合题意；

B.V42+52=16+25=41,62=36,.*.42+5V62,即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；

C.V42+62=16+36=52,82=64,.*.42+6V82,即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；

D.V52+122=25+144=169,132=169,.\52+122=132,即三角形是直角三角形，故本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的

两边a、6的平方和等于最长边c的平方，那么这个三角形是直角三角形.

8、D

【分析】

当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度；考虑当铅笔垂直于

笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案.

【详解】

当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：而方=15(cm),则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：

18-15=3(cm)；

当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为18-12=6(cm),即铅笔在笔筒外面最长

不超过6cm,从而铅笔露出笔筒部分的长度不短于3cm,不超过6cm.

所以前三项均符合题意，只有D选项不符合题意；

故选：D

【点睛】

本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两种极端情况，问题

即解决.

9、D

【分析】

首先连接劭，再利用勾股定理计算出川的长，再根据勾股定理逆定理计算出N场90°,然后计算出直

角三角形力切和直角三角形6%的面积，即可算出答案.

【详解】

解：如图，连接面,

D

VZ/l=90o,4庐3c勿，AD=4c/n,

工卧JAB、+AD2=5/32+42=5(an),

■:BO13cm,CD=12cm,52+12=132,

:.B^+CbCE,

，N劭信90°,

11,

XZ»XCZt—X5X12=30C),

22

5A/WZF；X3X4=6(cm),

四边形ABCD的面积为30+6=36{cm},

故选：D.

【点^1】

本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解决此题的关键是算出物的长，证明△胸是直

角三角形.

10、D

【分析】

根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一

次生长后，所有正方形的积和等于2；依此类推，经过〃次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正

方形的面积的(n+l)倍.

【详解】

解：根据勾股定理以及正方形的面积公式，可以发现：经过〃次生长后，所有正方形的面积和等于第一

个正方形的面积的5+1)倍，

•••生长”次后，变成的图中所有正方形的面积S“=〃+l,

J.生长了888次后形成的图形中所有的正方形的面积和是888+1=889,

故选：D.

【点睛】

本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边分别是。，心斜边是。，那么/+从=02.

二、填空题

1、3K

【分析】

先根据多边形的内角和公式以及外角和等于360。确定多边形的边数，然后运用勾股定理解答即可.

【详解】

解：根据题意，得

(/?-2)X180°=360°X2

解得：〃=6.

如图：ZACB=60°,ZJCZ>30°,4>6

：.AD=3

,Cl>yjAC2-CD2=A/62-32=3>/3.

故填3百.

c

ADB

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和与外角和以及勾股定理的应用，根据题意求得正多边形的边数并画出

图形成为解答本题的关键.

2、3

3

【分析】

过点尸作£归_力〃于点机由题意易得ZARW=NC4尸=NC=30。，则有M/=6AM,"=2/U7,然后可

得=AO=(1+G)AM,进而可得OE=&A£>=(夜+灰)AM,最后问题可求解.

【详解】

解：过点尸作耳于点必，如图所示:

'：ZDAE=AABC=^°,

：.FM//AC,

：.ZAFM=ZCAF,

'：ZC=30°,AF//BC,

：.ZAFM=ZCAF=ZC=30°,

/.AF=2AM,

MF=4AF2-AM2=6AM，

VZZ?=45O,

：.ADMRADAE都是等腰直角三角形，

/.DM=MF=y/3AM,DF=6DM=mAM,

'：AD=AM+DM,

A£>=(1+码AM,

DE=6AD=16+gAM,

EF=DE-DF=y/2AM,

.EF_41AM_73

"DF~RAM~3'

故答案为迫.

3

【点睛】

本题主要考查等腰直角三角形及含30度直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形及含

30度直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键.

3、8.5

【分析】

设AC=;m,则AE=AC=xm,AB=AE—BE=(x—l)m,根据勾股定理得到A8?+BC?=AC?,即

(X-1)2+42=X2,解方程即可.

【详解】

解：设AC=MTI,则A£=AC=xn,AB=A£_BE=(x_l)m,

由题意得：ZABC=90°,

在R/AABC中，AB-+BC-=AC2,

/.(x-1)2+42=x2,

整理得-2x+17=0,

解得x=8.5,

/.AC=8.5m.

故答案为8.5.

【点睛】

本题考查勾股定理的实际应用，解一元一次方程，根据题意建立直角三角形，从而利用勾股定理解决

实际问题是解题的关键.

4、9

【分析】

分N4=90°或N//90°,分别画图，根据“特征三角形”的定义即可解决问题.

【详解】

解：如图，若乙4=90°,

•.•服△ZS。是特征三角形，N/是特征角,

：.ZB=ZC=45°,

：.AC=AB=^BC=3^2,

:.S…2g3a=9；

如图,若N4W90°,

a'是特征三角形，//是特征角,

/.ZA=QQ°,NB=30°,

：.AB=2AC,

由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

E|JAC2+62=4AC2,

：.AC=±2yf3（负值舍去），

,♦SAAEC=5x2y/3x6

=66，

故答案为：9或6G.

【点^青】

本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键.

5、MPA

【分析】

根据角平分线的意义，可得NEOM=30。，进而可得EM=；0M勾股定理求得EM的值，根据角平分线

的性质可知M到。A的距离相等，进而根据垂线段最短可得MP最小值为1,进而可得,少的取值范

围

【详解】

解：•.•点材是NH08平分线上一点，N加5=60°,/、_!_出于反0£=6,

EM=g()M,OE=y/3EM

:.EM=l

•.•点必是N/08平分线上一点，

到04,08的距离相等，

根据垂线段最短，即时，最小值为1,

贝(I

故答案为：』吐1

【点睛】

本题考查了角平分线的性质与定义，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握角

平分线的性质是解题的关键.

三、解答题

1、(1)作图见详解；(2)作图见详解；(3)作图见详解.

【分析】

(1)根据题意找出三角形底为4,高为4的三角形即可；

(2)根据题意可画出直角边分别为3,4的直角三角形，斜边通过勾股定理计算为5,符合题意;

（3）根据题意及正方形面积的特点即可画出边长为标的正方形.

【详解】

（1）如图所示，三角形底为4,高为4,面积为8,符合题意，即为所求;

（2）如图所示，三角形为所求，直角边分别为3,4,根据勾股定理，斜边为5,符合题意;

（3）如图所示，正方形为所求，正方形变长为行乔=加,

面积为：710x71（）=10,符合题意.

【点睛】

此题主要考查网格与图形，解题的关键是熟练运用勾股定理.

2、⑴见详解；（2）4石.

【分析】

（1）欲证明PB=PC,只需推知=；

(2)先求出O/的长，在WABHC中,利用勾股定理即可求解.

【详解】

(1)证明：'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB.

,：BH,CM为的高，

，NBMC=NCHB=90°.

/.ZABC+ZBCM=90°,ZACB+NCBH=90°.

/.NBCM=NCBH.

：.PB=PC.

(2)解：・；PB=PC,尸8=5,

:.PC=5.

■.■PH=3,NCHB=90。,

CH=4.

在.Rt丛BHC中,掰=8

/.BC=yjBH2+HC2=>/82+42=475

【点

本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，掌握等腰三角形的判定定理及勾股定理是解本题的关键.

3、见解析

【分析】

在直角三角形力阿中，利用勾股定理求出的值，根据S,S分别表示正方形面积，求出S+S的

值即可.

【详解】

证明：由题意得S=4乙Sz=BC,&=AE.

在中，ZJC^=90°,则由勾股定理，得播+尿=相，

S+W=W.

【点睛】

本题考查的是与勾股定理相关的图形面积问题，掌握“勾股定理”是解本题的关键.

4、⑴①3亚，屈;②AP+BP=PG;（2）见解析；（3）典或巫

42

【分析】

（1）①在等腰直角三角形/力中，由勾股定理先求得46的长，然后根据必的长，可求得阳的长，

再利用夕1S证明得出於4人正，/的N4=45°,那么为直角三角形，依据勾

股定理求出PQ-2石，即可得到PC；

②过点C作切，力昆垂足为〃，由为等腰直角三角形，可求得：CD=AD=DB,然后根据/I6叱

PD,PB=DaPD,可证明肝+8尸=20不因为在心中，&=2〃，所以可得出〃+胪=/V的结论；

（2）过点。作或_L/6,垂足为〃则可证明炉+8尸=2/V,在RtAPCQ中,P@=2CP,可得出

4尸+6尸=%的结论；

（3）根据点夕所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得以、外的长（用含有力的式子

表示），然后在服△/切和灯△△切中由勾股定理求得〃1和星的长度即可.

【详解】

解：（1）如图①.连接80,

①△4%是等腰直角三角形，/CM,

：.AB=y/42+42=4yf2，

•:PA=近,

••PB^—\[i=3-^2>

•.•△48。和均为等腰直角三角形，

：.A(=BC,^ACP=ABCQ,P(=CQ,

△"修△60。(eS).

:.B&A片叵,ZCBQ=ZA=45°.

，△阳。为直角三角形.

:.PQ=yjBQ2+PB-=J(扬2+(3扬2=26.

2PC2=PQ2=20,

/.PC=Vi();

故答案为：3后，Vio；

②如图①.过点C作血45,垂足为〃

•.•△力切为等腰直角三角形，CDLAB,

：.CAAADB.

•.•力/=(AD-PD)2=(DOPD)JDd-2DC。PD^,

PR=(DB+PD)J(DODP)2=c[f+2DGP史P”,

:.