第一次月考押题培优卷(2)(考试范围：第十六-十七章)(原卷版+解析)

第一次月考押题培优卷（2）（考试范围：第十六-十七章）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列计算正确的是（

）．A． B．C． D．2．若，则代数式的值为（

）A．7 B．4 C．3 D．3．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（）A．1 B．﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣14．下列等式中成立的是（

）A． B．C． D．5．已知数轴上A，B两点，且这两点间的距离为，若点A在数轴上表示的数时，则点B表示的数为（

）A． B． C． D．6．如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（

）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm7．正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为（

）A．6 B．8 C．10 D．98．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为（

）A． B． C． D．9．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若，，，的面积为2，则点F到BC的距离为(

)A． B． C． D．10．在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=(

)A．10 B．15 C．30 D．50二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．当x______时，在实数范围内有意义12．已知，，则的值为__________.13．如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计中∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24，求绿地的面积为___．14．已知1＜x＜2，，则的值是_____．15．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，点D是AB的中点，点E是边BC上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交边BC于点F，若△CB′F为直角三角形，则CB′的长为______．16．如图，圆柱形容器中，高为底面周长为在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为___(容器厚度忽略不计)．三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．计算(1)×(2)18．已知，，求下列各式的值．(1)；(2)．19．在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(2，0)．四边形AOBC的第四个顶点C在第一象限，AC＝1，．（1）尺规作图：作出四边形AOBC（不要求写作法）；（2）求∠OAC的度数及四边形AOBC的面积．20．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．(1)问是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；(2)求原来的路线的长．21．如图，等腰是某小区的一块空地，，开发商准备将其修建成一个小区居民娱乐中心，在上取一点D，连接区域修建为儿童乐园，区域修建为中老年棋牌室，经测量，米，米，米，求中老年棋牌室（即）的面积．22．在学习了算术平方根和二次根式等内容后，我们知道以下的结论：结论①：若实数时，；结论②：对于任意实数，．请根据上面的结论，对下列问题进行探索：(1)若，化简：．(2)若，，且，求的值．(3)若有意义，化简．23．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；(3)如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．24．在学习了《实数》一章内容以后我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的．如图，我们想在数轴上找到与无理数对应的点，可以以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示．(1)请写出一个大小在之间的无理数：______；(2)请参考上面的方法，在数轴上找出表示无理数的点；(3)如图，点表示，，如果点表示实数，求点表示的实数；(4)根据（3）的条件，化简：．25．如图1，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且使得AB=4，OB=3．（1）试判断△AOB的形状，并说明理由；（2）在第二象限内是否存在一点P，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；（3）如图2，点C为线段OB上一动点，点D为线段BA上一动点，且始终满足OC=BD．求AC+OD的最小值．第一次月考押题培优卷（2）（考试范围：第十六-十七章）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列计算正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的加减法法则、乘法法则、二次根式的除法法则进行判断．【详解】解：A．与不能合并，故选项错误，不符合题意；B．，故选项错误，不符合题意；C．，故选项正确，符合题意；D．，故选项错误，不符合题意．故选：C【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加减法法则、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．2．若，则代数式的值为（

）A．7 B．4 C．3 D．【答案】C【分析】先将代数式变形为，再代入即可求解．【详解】解：．故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计算．3．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（）A．1 B．﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1【答案】A【分析】先由点a在数轴上的位置确定a的取值范围及a-1的符号，再代入原式进行化简即可【详解】由数轴可知0＜a＜1，所以，＝1，选A．【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于确定a的大小4．下列等式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据幂的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则计算即可．【详解】解：A、，故选项A错误；B、，故选项B错误；C、，故选项C错误；D、，故选项D正确，故选：D．【点睛】本题考查了的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．5．已知数轴上A，B两点，且这两点间的距离为，若点A在数轴上表示的数时，则点B表示的数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设点B表示的数为x，由A、B两点之间的距离为4，根据两点间的距离公式列出方程|x-3|=4，解方程即可．【详解】设点B表示的数为x，由题意，得|x-3|=4，则x-3=4，或x-3=-4，所以x=7或-．故选C．【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上两点间的距离计算公式是解题的关键．6．如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（

）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】A【分析】根据折叠的性质可得AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，利用勾股定理列式求出AB，从而求出BE，设CD=DE=xcm，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】解：∵△ACD与△AED关于AD成轴对称，∴AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=102，∴AB=10cm，∴BE=AB-AE=10-6=4(cm)，设CD=DE=xcm，则DB=BC-CD=（8-x）cm，在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2+42=（8-x）2，解得x=3，∴CD=3cm．∴BD=8-x=8-3=5(cm)，故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．7．正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为（

）A．6 B．8 C．10 D．9【答案】C【分析】要使DN＋MN最小,首先应分析点N的位置，根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分，知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN＋MN最小值及时BM的长．【详解】根据题意，连接BN，BM，三点共线时，DN＋MN取得最小值，则BM就是DN＋MN的最小值，在Rt△BCM中，BC=8，CM=6，根据勾股定理得：，即DN＋MN的最小值是10，故选C【点睛】本题主要考查了正方形性质的应用，结合勾股定理判断最小路径是解题的关键．8．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由勾股定理及其逆定理可得三角形ABC是等腰直角三角形，从而得到∠ABC的度数．【详解】解：如图，连结AC，由题意可得：∴AC=BC，，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠BAC=45°，故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质是解题关键．9．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若，，，的面积为2，则点F到BC的距离为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．【详解】解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝2，∴S△ADE＝4，由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°，∴(AF+DF)BF＝4，∴(3+DF)2＝4，∴DF＝1，∴DB＝＝＝，设点F到BD的距离为h，则•BD•h＝•BF•DF，∴h＝，故选：B．【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．10．在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=(

)A．10 B．15 C．30 D．50【答案】D【详解】试题分析：根据题意可知AB为斜边，因此可根据勾股定理可知=25，因此可知=25×2=50.故选D.点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是根据勾股定理列出直角三角形三边关系的式子，然后化简代换即可.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．当x______时，在实数范围内有意义【答案】【分析】式子中主要有二次根式和分式两部分，根据二次根式的非负性和分母不为0列出不等式解出即可.【详解】由题知，解得，则x的取值范围为.【点睛】本题是对式子有意义的考查，熟练掌握二次根式的非负性和分母不为0是解决本题的关键.12．已知，，则的值为__________.【答案】【分析】由，，计算可得a+b=4，ab=1，再把因式分解可得ab（a+b），整体代入求值即可.【详解】∵，，∴a+b=4，ab=1∴=ab（a+b）=4.故答案为4.【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确把进行因式分解是解决问题的关键.13．如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计中∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24，求绿地的面积为___．【答案】96【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形，进而根据S阴影＝SRt△ABC−SRt△ACD，利用三角形的面积公式计算即可求解．【详解】解：在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，∴AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100，∴AC＝10（取正值）．在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，S阴影＝SRt△ABC−SRt△ACD＝×10×24−×8×6＝96．故答案为：96．【点睛】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC为直角三角形．14．已知1＜x＜2，，则的值是_____．【答案】-2【详解】∵x+=7，∴x-1+=6，∴（x-1）-2+=4，即=4，又∵1＜x＜2,∴=-2，故答案为-2.【点睛】本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是要根据所求的式子对已知的式子进行变形.15．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，点D是AB的中点，点E是边BC上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交边BC于点F，若△CB′F为直角三角形，则CB′的长为______．【答案】2或4##4或2【分析】当△为直角三角形时，需要分类讨论，点，，分别为直角顶点时，画出图形求解即可．【详解】解：在中，，，，点是的中点，，，，由折叠可知，，∴①由点运动可知点不可能是直角顶点；②如图，当点为直角顶点，即，，，，，，；③如图，当点是直角顶点时，即，连接，在△中，∴△，，故答案为：或4．【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．如图，圆柱形容器中，高为底面周长为在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为___(容器厚度忽略不计)．【答案】15【分析】如图，将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，过A′作A′D⊥BC交BC的延长线于D，则四边形A′ECD为矩形，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．∵高为8cm，底面周长为24cm，在容器内壁离容器底部2cm的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，∴A′D＝12cm，BD＝BC+CD＝BC+EA′＝8－2＋3＝9cm，∴在直角△A′DB中，A′B＝cm，故答案为：15．【点睛】本题考查了平面展开−−−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．计算(1)×(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先进行二次根式的乘除法运算，然后将所得二次根式化为最简即可；（2）分别进行零指数幂、二次根式的化简、负指数幂的运算，然后合并即可．【详解】（1）解：×（2）解：【点睛】此题考查了二次根式的混合运算、零指数幂和负指数幂，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．18．已知，，求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先计算出a+b和a-b的值，再把原式分解为（a+b）（a-b），然后利用整体代入的方法计算；（2）先计算出ab的值，再结合（1）计算即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴（2）解：∵，∴，∴．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．19．在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(2，0)．四边形AOBC的第四个顶点C在第一象限，AC＝1，．（1）尺规作图：作出四边形AOBC（不要求写作法）；（2）求∠OAC的度数及四边形AOBC的面积．【答案】（1）见解析；（2）135°，【分析】（1）利用数形结合的思想证明，分别以为圆心，为半径作弧，两弧在第一象限交于点，连接,由此即可解决问题；（2）证明即可求出，利用即可计算出．【详解】解：（1）如图，分别以为圆心，为半径作弧，两弧在第一象限交于点，连接,四边形AOBC即为所求．（2）∵AC＝1，BC＝3，，∴AC2+AB2＝BC3，∴∠CAB＝90°，∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°，∴∠OAC＝135°，∴S四边形AOBC＝S△AOB+S△ABC＝．【点睛】本题考查作图能力、坐标与图形的性质、三角形的面积，解题的关键是：利用分割为规则图形的思想求解不规则图形的面积．20．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．(1)问是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；(2)求原来的路线的长．【答案】(1)是，理由见解析(2)2.5米【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；（2）设，则，在中，根据勾股定理列方程求得x即可．【详解】（1）解：∵，即，∴是直角三角形，即，∴是从村庄C到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；（2）（2）设，则，∵在中，∴，即，解得，∴原来的路线AC的长为2.5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答本题的关键．21．如图，等腰是某小区的一块空地，，开发商准备将其修建成一个小区居民娱乐中心，在上取一点D，连接区域修建为儿童乐园，区域修建为中老年棋牌室，经测量，米，米，米，求中老年棋牌室（即）的面积．【答案】中老年棋牌室（即）的面积为84平方米【分析】由勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，且，则是直角三角形，且．设米，则米，在中，由求得米，即可得到答案．【详解】解：∵米，米，米，∴，∴是直角三角形，且，∴是直角三角形，且．设米，则米，∵在中，，∴，解得，即米，∴（平方米）．∴中老年棋牌室（即）的面积为84平方米．【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，证明是直角三角形是解题的关键．22．在学习了算术平方根和二次根式等内容后，我们知道以下的结论：结论①：若实数时，；结论②：对于任意实数，．请根据上面的结论，对下列问题进行探索：(1)若，化简：．(2)若，，且，求的值．(3)若有意义，化简．【答案】(1)5-2m(2)±12(3)2m-3【分析】（1）先根据二次根式性质化简，再根据绝对值意义化简即可；（2）先根据二次根式性质和绝对值意义求得a=±4，b=±8，再根据ab>0，求得a=4，b=8或a=-4，b=-8，即可代入求解；（3）先根据二次根式有意义条件求得m≥2，再化简二次根式与绝对值即可求解．【详解】（1）解：∵m<2，∴m-2<0，m-3<0，∴=|m-2|+|m-3|=2-m+3-m=5-2m；（2）解：∵，∴|a|=4,∴a=±4，∵|b|=8，∴b=±8，∵，∴a=4，b=8或a=-4，b=-8，当a=4，b=8时，则a+b=4+8=12，当a=-4，b=-8时，则a+b=-4-8=-12，∴a+b=±12；（3）解：∵有意义∴m-2≥0,∴m≥2，∴1-m<0，∴A=m-2+m-1=2m-3．【点睛】本题考查算术平方根，二次根式性质，二次根式的意义的条件，绝对值化简，熟练掌握相关性质是解题的关键．23．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；(3)如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)45°【分析】（1）根据勾股定理画出边长为的正方形即可；（2）根据勾股定理和已知条件画出所求三角形即可；（3）连接AC，说明△ACB是等腰直角三角形即可．【详解】（1）解：如图1，正方形ABCD即为所求．（2）解：如图2，△DEF即为所求．（3）解：如图3，连接AC．∵AC，BC，AB＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°∵AC＝CB，∴∠ABC＝45°．【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积、直角三角形的判定的应用，灵活利用勾股定理逆定理成为解答本题的关键．24．在学习了《实数》一章内容以后我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的．如图，我们想在数轴上找到与无理数对应的点，可以以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示．(1)请写出一个大小在之间的无理数：______；(2)请参考上面的方法，在数轴上找出表示无理数的点；(3)如图，点表示，，如果点表示实数，求点表示的实数；(4)根据（3）的条件，化简：．【答案】(1)（答案不唯一）(2)见解析(3)(4)【分析】（1）估算无理数的大小，写出一个答案即可；（2）利用题中给出的方法画图，确定等腰直角三角形的直角边为，则斜边，再从数轴上画出来即可解决问题；（3）根据，可得点所表示的数；（4）根据绝对值的意义化简可得答案．（1）解：，，故答案为：（答案不唯一）；（2）解：如图所示，点即为所求；∵AM=，∴AD=AM=．∴点D表示的无理数是；（3）解：点表示，，如果点表示实数，，点表示的实数为；（4）解：由（3）知：，．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，勾股定理，在数轴上表示无理数，绝对值的意义，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼法求无理数是解题的关键．25．如图1，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且使得AB=4，OB=3．（1）试判断△AOB的形状，并说明理由；（2）在第二象限内是否存在一点P，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；（3）如图2，点C为