易错点03一次函数(原卷版+解析)

易错点03一次函数1．一次函数、正比例函数的定义与性质2．函数图像与性质、点的特征3．一次函数与不等式、函数应用等4．函数综合01一次函数定义、正比例函数定义，了解定义、考虑全面。1．（2022秋•禅城区校级月考）下列函数中，是正比例函数的是A． B． C． D．1．（2022春•沧州期末）若关于的函数是一次函数，则的值为．2．（2022秋•宝安区校级期中）已知函数是关于的一次函数，则的值是．02一次函数图象与系数的关系：解题过程要细致分析。1．（2022春•鞍山期末）一次函数的图象可能是A． B． C． D．1．（2022•辽宁）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是A． B． C． D．2．（2022春•浚县期末）已知点在第一象限，则直线经过的象限为A．一、二、三象限 B．一、三、四象限 C．二、三、四象限 D．一、二、四象限03一次函数图象上点的坐标特征：不同象限中横纵坐标的问题要考虑好。1．（2022•南海区二模）如图，直线分别与轴、轴交于点和点，点，分别为线段，的中点，点为上一动点，当值最小时，点的坐标为A． B． C． D．1．（2021•清远二模）若一次函数的图象经过点，则．2．（2022•苏州模拟）已知点，都在直线上，则，大小关系是A． B． C． D．不能比较04一次函数图象与几何变换、一次函数与不等式1.（2022春•越秀区期末）将函数的图象向上平移2个单位，所得的函数图象的解析式为．1.（2022春•颍州区校级月考）将正比例函数向下平移3个单位长度，得到一次函数，则．2．如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是A． B． C． D．3．如图，函数的图象过点，则不等式的解集是．05两条直线相交或平行问题、一次函数的应用1.如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点．（1）求的值及的解析式；（2）求的值；（3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出的值．1.（2022•威海一模）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知每瓶型消毒液比型贵2元，用56元购型消毒液与72元购型消毒液的瓶数相同．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且型消毒液的数量不少于型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．2．（2022•吴兴区一模）某学校社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子秤上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表．漏沙时间02468电子秤读数（克618304254探索发现：（1）建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间，纵坐标表示精密电子秤的读数，描出以表中的数据为坐标的各点．（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算：（3）若漏沙时间为9小时，精密电子秤的读数为多少？（4）若本次实验开始记录的时间是上午，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？06一次函数综合1.如图，直线和轴、轴分别交于点、．若以线段为边作等边三角形，则点的坐标是．1．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，是轴上一点，坐标为，的面积为（1）求点和点的坐标；（2）当时，求点的坐标；（3）求与的函数关系式．2．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为，直线与轴交点坐标为，在轴上有一点，请过点作，交直线于点．（1）请在所给的图中画出直线，并写出点的坐标；（坐标精确到整数）（2）试求出直线解析式，并求出直线、直线与两坐标轴围成的四边形的面积．一．选择题（共7小题）1．（2022秋•拱墅区期末）函数是一次函数，则的取值范围是A． B． C． D．2．（2022•泸县校级一模）已知函数，，是常数）是正比例函数，的值为A．或0 B． C．0 D．3．（2022•平邑县校级模拟）一次函数中，随的增大而减小，且，则该函数图象大致是A． B． C． D．4．（2022•雁塔区校级四模）若正比例函数的图象经过不同象限的两点和，则一次函数的图象所经过的象限是A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四5．（2022•铜仁市校级模拟）如图，矩形的顶点，坐标分别为，，若直线与矩形的边相交，则的取值范围是A． B． C． D．6．（2022•碑林区校级三模）如图，平行四边形的边在一次函数的图象上，若点的坐标是，轴，则过顶点的正比例函数解析式为A． B． C． D．7．（2022•海拉尔区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，线段上有一点，点的横坐标为，过点的直线与直线垂直，交轴于点，则不等式的所有负整数解的和是A． B． C． D．二．解答题（共5小题）8．（2023•小店区校级一模）已知函数的图象经过点及点．（1）求此一次函数解析式，并画图象；（2）求函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．9．（2022•威县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象：经过点，且与正比例函数的图象交于点，与轴交于点（1）求的值及直线的解析式：（2）求的面积；（3）设直线与直线、交于，两点，当，请直接写出的值．10．（2023•碑林区校级模拟）2022年底因疫情原因，我国很多城市的中小学启动网上授课模式，打印机的销量快速增长．淘宝上一家办公耗材专营店准备用不超过18万元的资金再购进，两种型号的打印机共200台，其中型打印机的进价为600元台，售价为780元台，型打印机的进价为1000元台，售价为1260元台．设购进型打印机台，销售这200台打印机的总利润为元．（1）求与的函数关系式；（2）求这家网店销售这200台打印机的最大利润．11．（2023•碑林区校级一模）如图1，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从食堂吃完早餐，接着骑自行车去图书馆读书，然后以相同的速度原路返回家．如图2中反映了小明离家的距离与他所用时间之间的函数关系．（1）小明家与图书馆的距离为2000，小明骑自行车速度为；（2）求小明从图书馆返回家的过程中，与的函数解析式；（3）当小明离家的距离为时，求的值．12．（2022•和平区校级三模）实践与探究如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点坐标为．直线与直线相交于点，点的横坐标为1．（1）求直线的解析式；（2）若点是轴上一点，且的面积是面积的，求点的坐标；（3）在轴右侧是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．易错点03一次函数1．一次函数、正比例函数的定义与性质2．函数图像与性质、点的特征3．一次函数与不等式、函数应用等4．函数综合01一次函数定义、正比例函数定义，了解定义、考虑全面。1．（2022秋•禅城区校级月考）下列函数中，是正比例函数的是A． B． C． D．【分析】根据正比例函数的的定义解答即可．【解析】、是正比例函数，故此选项符合题意；、是反比例函数，故此选项不符合题意；、是一次函数，但不是正比例函数，故此选项不符合题意；、是二次函数，故此选项不符合题意．故选：．1．（2022春•沧州期末）若关于的函数是一次函数，则的值为．【分析】形如，、是常数）的函数，叫做一次函数．直接利用一次函数的定义，即可得出的值．【解析】关于的函数是一次函数，，，解得：．故答案为：．2．（2022秋•宝安区校级期中）已知函数是关于的一次函数，则的值是．【分析】根据一次函数的定义求解．【解析】函数是关于的一次函数，且，解得：，故答案为：．02一次函数图象与系数的关系：解题过程要细致分析。1．（2022春•鞍山期末）一次函数的图象可能是A． B． C． D．【分析】根据、的符号来求确定一次函数的图象所经过的象限．【解析】，一次函数的图象经过第二、四象限．又时，一次函数的图象与轴交于正半轴．综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限．故选：．1．（2022•辽宁）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是A． B． C． D．【分析】根据一次函数与的图象位置，可得，，，，然后逐一判断即可解答．【解析】一次函数的图象过一、二、三象限，，，一次函数的图象过一、三、四象限，，，、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故符合题意；故选：．2．（2022春•浚县期末）已知点在第一象限，则直线经过的象限为A．一、二、三象限 B．一、三、四象限 C．二、三、四象限 D．一、二、四象限【分析】由点在第一象限，可得出，的正负，然后即可确定一次函数的图象经过的象限．【解析】点在第一象限，，，即，直线经过的象限为一，三，四象限．故选：．03一次函数图象上点的坐标特征：不同象限中横纵坐标的问题要考虑好。1．（2022•南海区二模）如图，直线分别与轴、轴交于点和点，点，分别为线段，的中点，点为上一动点，当值最小时，点的坐标为A． B． C． D．【分析】根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标．【解析】作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，最小值为，如图．令中，则，点的坐标为；令中，则，解得：，点的坐标为．点、分别为线段、的中点，点，点．点和点关于轴对称，点的坐标为．设直线的解析式为，直线过点，，，解得：，直线的解析式为．令，则，解得：，点的坐标为．故选：．1．（2021•清远二模）若一次函数的图象经过点，则7．【分析】把点代入即可求解．【解析】把点代入，得：．故答案为：7．2．（2022•苏州模拟）已知点，都在直线上，则，大小关系是A． B． C． D．不能比较【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．【解析】，随的增大而减小．，．故选：．04一次函数图象与几何变换、一次函数与不等式1.（2022春•越秀区期末）将函数的图象向上平移2个单位，所得的函数图象的解析式为．【分析】根据一次函数图象平移时“上加、下减”的原则进行解答即可．【解析】由“上加下减”的原则可知，将函数的图象向上平移2个单位所得函数的解析式为．故答案为：．1.（2022春•颍州区校级月考）将正比例函数向下平移3个单位长度，得到一次函数，则15．【分析】根据“上加下减”的原则求解即可求得平移后直线解析式，易得、的值，代入求值即可．【解析】将正比例函数的图象向下平移3个单位长度，所得的函数解析式为．则：，．所以．故答案为：15．2．如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是A． B． C． D．【分析】根据图象和交点坐标得出关于的不等式的解集是，即可得出答案．【解析】直线与相交于点，根据图象可知：关于的不等式的解集是，在数轴上表示为：，故选：．3．如图，函数的图象过点，则不等式的解集是．【分析】根据已知图象过点，根据图象的性质即可得出的的范围是，即可得出答案．【解析】方法一把代入得：，解得：，，解得：，方法二：根据图象可知：的的范围是，即不等式的解集是，故答案为：．05两条直线相交或平行问题、一次函数的应用1.如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点．（1）求的值及的解析式；（2）求的值；（3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出的值．【分析】（1）先求得点的坐标，再运用待定系数法即可得到的解析式；（2）过作于，于，则，，再根据，，可得，，进而得出的值；（3）分三种情况：当经过点时，；当，平行时，；当，平行时，；故的值为或2或．【解析】（1）把代入一次函数，可得，解得，，设的解析式为，则，解得，的解析式为；（2）如图，过作于，于，则，，，令，则；令，则，，，，，；（3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，当经过点时，；当，平行时，；当，平行时，；故的值为或2或．1.（2022•威海一模）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知每瓶型消毒液比型贵2元，用56元购型消毒液与72元购型消毒液的瓶数相同．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且型消毒液的数量不少于型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．【分析】（1）根据每瓶型消毒液比型贵2元，用56元购型消毒液与72元购型消毒液的瓶数相同．可以列出相应的分式方程组，然后即可求出这两种消毒液的单价各是多少元；（2）根据题意，可以写出费用和购买型消毒液数量的函数关系，然后根据型消毒液的数量不少于型消毒液数量的，可以得到型消毒液数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得最省钱的购买方案，计算出最少费用．【解析】（1）设型消毒液的单价是元，型消毒液的单价是元，得，解得．答：型消毒液的单价是7元；型消毒液的单价是9元．（2）设购进型消毒液瓶，则购进型消毒液瓶，费用为元，依题意可得：，，随的增大而减小．型消毒液的数量不少于型消毒液数量的，．解得，当时，取得最小值，此时，．答：最省钱的购买方案是购进型消毒液67瓶，购进型消毒液23瓶；最低费用为676元．2．（2022•吴兴区一模）某学校社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子秤上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表．漏沙时间02468电子秤读数（克618304254探索发现：（1）建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间，纵坐标表示精密电子秤的读数，描出以表中的数据为坐标的各点．（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算：（3）若漏沙时间为9小时，精密电子秤的读数为多少？（4）若本次实验开始记录的时间是上午，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？【分析】【探索发现】（1）在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可；（2）观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为，利用待定系数法即可求解；【结论应用】应用上述发现的规律估算：（3）利用前面求得的函数表达式求出时，的值即可得出精密电子称的读数；（4）利用前面求得的函数表达式求出时，的值，由本次实验记录的开始时间是上午，即可求解．【解析】【探索发现】（1）如图2，（2）观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为，则，，解得：，；【结论应用】应用上述发现的规律估算：（3）时，，漏沙时间达到9小时时，精密电子称的读数为60厘米；②时，，解得：，漏沙时间为11小时，本次实验记录的开始时间是上午，当精密电子称的读数为72克时是下午6点半．06一次函数综合1.如图，直线和轴、轴分别交于点、．若以线段为边作等边三角形，则点的坐标是，或．【分析】求出、的坐标，得出、的值，求出、的度数，分为两种情况：画出图形，①求出轴，由的坐标和的值，根据等边三角形性质即可求出答案；②求出在轴上，且，根据的坐标即可求出的坐标．【解析】，当时，，当时，，，，，即，，在中，，由勾股定理得：，，，有两种情况：如图，当在上时，是等边三角形，，，，，点的横坐标和的横坐标相等，是，纵坐标是2，即，；当在上时，，在轴上，等边三角形，，，，，即的坐标是；故答案为：，或．1．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，是轴上一点，坐标为，的面积为（1）求点和点的坐标；（2）当时，求点的坐标；（3）求与的函数关系式．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特点分别令求出的值；再令求出的值即可求出、两点的坐标；（2）由两点间的距离公式可知，再根据即可求出的值；（3）由（2）中得出的三角形的面积公式，再根据绝对值的性质即可求出、的关系式．【解析】（1）当时，，当时，，点的坐标为，点的坐标为；（2分）（2）由题意可知，，，当时，，解得或，点的坐标为或；（5分）（3），，．（8分）2．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为，直线与轴交点坐标为，在轴上有一点，请过点作，交直线于点．（1）请在所给的图中画出直线，并写出点的坐标；（坐标精确到整数）（2）试求出直线解析式，并求出直线、直线与两坐标轴围成的四边形的面积．【分析】（1）根据题意画出图形，根据点的横纵坐标的值即可得出点坐标；（2）根据、两点的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，进而求出点坐标，连接，过作，，垂足分别为，，由直线、直线与两坐标轴围成的四边形的面积即可解答．【解析】（1）作图，（2分）（没有直角号扣1分）由图可知：点的坐标（3分）（2）设直线解析式为，直线过点和，得：（4分）解得：，（6分）直线解析式为，（7分）设直线与轴交于点，则点的坐标，（8分）连接，过作，，垂足分别为，，则有，，，，（9分）直线、直线与两坐标轴围成的四边形的面积．（12分）一．选择题（共7小题）1．（2022秋•拱墅区期末）函数是一次函数，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】根据一次函数定义可得，再解不等式即可．【解析】由题意得：，解得：，故选：．2．（2022•泸县校级一模）已知函数，，是常数）是正比例函数，的值为A．或0 B． C．0 D．【分析】按正比例函数的定义解答，正比例函数的定义是形如是常数，的函数，叫做正比例函数．【解答】解函数，，是常数）是正比例函数，解得，，，．故选：．3．（2022•平邑县校级模拟）一次函数中，随的增大而减小，且，则该函数图象大致是A． B． C． D．【分析】根据随的增大而减小可得，然后根据，判断的符号，则函数图象即可判断．【解析】一次函数，随着的增大而减小，，又，，函数图象经过一、二、四象限．故选：．4．（2022•雁塔区校级四模）若正比例函数的图象经过不同象限的两点和，则一次函数的图象所经过的象限是A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四【分析】利用正比例函数的性质结合两点在不同的象限，可得出，，再利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数的图象经过第二、三、四象限．【解析】正比例函数的图象经过不同象限的两点和，，，一次函数的图象经过第二、三、四象限．故选：．5．（2022•铜仁市校级模拟）如图，矩形的顶点，坐标分别为，，若直线与矩形的边相交，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】结合矩形的顶点坐标和直线与直线平行的位置关系可知：当直线经过点时，有最小值；当直线经过点时，有最大值，即可求解．【解析】结合图形可知，直线沿轴向上运动时，最先经过点，最后经过点，当直线经过点时，有最小值；当直线经过点时，有最大值；将代入中解得：；将代入中解得：；故若直线与矩形有交点，的取值范围为．故选：．6．（2022•碑林区校级三模）如图，平行四边形的边在一次函数的图象上，若点的坐标是，轴，则过顶点的正比例函数解析式为A． B． C． D．【分析】先求出点坐标，根据平行四边形的性质，易得的解析式，求出点坐标，再待定系数法求解析式即可．【解析】当时，，点，四边形是平行四边形，，，设的解析式，将点代入解析式，得，解得，的解析式：，，点纵坐标为1，代入解析式，得，解得，，设的解析式：，代入得，解得，的解析式：．故选：．7．（2022•海拉尔区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，线段上有一点，点的横坐标为，过点的直线与直线垂直，交轴于点，则不等式的所有负整数解的和是A． B． C． D．【分析】先求出点坐标，再根据，可得的解析式：，代入点坐标，可得的值，然后解不等式即可．【解析】将点横坐标代入直线，得，，，根据题意，得的解析式：，代入点坐标，得，解得，的解析式：，当时，得，负整数解有，，不等式的所有负整数解的和为，故选：．二．解答题（共5小题）8．（2023•小店区校级一模）已知函数的图象经过点及点．（1）求此一次函数解析式，并画图象；（2）求函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．【分析】（1）先利用待定系数法求出函数的解析式，再画出图形即可；（2）先令，求出的值，再令求出的值即可得出直线与两坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可．【解析】（1）函数的图象经过点及点，，解得：，一次函数解析式为；画出函数的图象如图：（2）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．9．（2022•威县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象：经过点，且与正比例函数的图象交于点，与轴交于点（1）求的值及直线的解析式：（2）求的面积；（3）设直线与直线、交于，两点，当，请直接写出的值．【分析】（1）先将点代入正比例函数解析式，求出的值，再将点和点坐标代入一次函数解析式求解即可；（2）先求出点的坐标，再计算的面积即可；（3）先求出的面积，根据，分两种情况得关于的方程，即可求出的值．【解析】（1）将点代入正比例函数，得，解得，点坐标为，将点，点代入一次函数，得，解得，一次函数解析式为；（2）一次函数解析式为，当时，，点的坐标为，的面积为；（3），，当时，，两点的坐标分别为和，，，解得或0（舍去），当时，，两点的坐标分别为和，，，解得或（舍去），的值为0或．10．（2023•碑林区校级模拟）2022年底因疫情原因，我国很多城市的中小学启动网上授课模式，打印机的销量快速增长．淘宝上一家办公耗材专营店准备用不超过18万元的资金再购进，两种型号的打印机共200台，其中型打印机的进价为600元台，售价为780元台，型打印机的进价为1000元台，售价为1260元台．设购进型打印机台，销售这200台打印机的总利润为元．（1）求与的函数关系式；（2）求这家网店销售这200台打印机的最大利润．【分析】（1）根据总利润，两种打印机利润之和列出函数解析式即可；（2）求出自变量的取值范围，根据一次函数的性质求最值即可．【解析】（1）根据题意得：，与的函数关系式为；（2）购进，两种型号的打印机的费用不超过18万元，，解得，自变量的取值范围为，由（1）知，，，随的增大而减小．当时，最大，最大值为4800