专项19圆中利用转化思想求角度(原卷版+解析)

专项19圆中利用转化思想求角度类型一利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角类型二构造圆内接四边形转化角类型三利用直径构造直角三角形转化角类型四利用特殊数量关系构造特殊角转化角【考点1利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角】【典例1】（2021九上·无棣期末）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD=56°，则∠A的度数是（）A．36º B．34º C．56º D．78º【变式1-1】（2021九上·崂山期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=54°，则∠ABO的度数是（）A．27° B．36° C．54° D．108°【变式1-2】（2021九上·天桥期末）如图：点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的度数是（）A．18° B．30° C．36° D．72°【变式1-3】（2021九上·西城期末）如图，点A，B，C在⊙O上，△OAB是等边三角形，则∠ACB的大小为（）A．60° B．40° C．30° D．20°【变式1-4】（2021九上·休宁月考）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝48°，则∠OAB的度数为()A．24° B．30° C．50° D．60°【变式1-5】（2021九上·衢江月考）如图，在⊙O中，AB=BC，点D在⊙O上，∠CDB=25°，则A．45° B．50° C．55° D．60°【考点2构造圆内接四边形转化角】【典例2】（2021九上·哈尔滨月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD的度数为（）A．64° B．128° C．20° D．116°【变式2-1】（2021九上·南开期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A=60°，则∠C等于（）A．30° B．60° C．120° D．300°【变式2-2】（2021九上·禹城期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55° B．65° C．60° D．75°【变式2-3】（2021九上·无棣期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为()A．65° B．130° C．50° D．100°【考点3利用直径构造直角三角形转化角】【典例3】（2021九上·梅里斯期末）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数为（）A．32° B．58° C．64° D．116°【变式3-1】（2021九上·荆州月考）如图，AB是⊙O的直径，∠D=48°，则∠CAB=（）A．52° B．58° C．42° D．48°【变式3-2】（2021九上·越城期中）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝24°，则∠ABD＝（）A．54° B．56° C．64° D．66°【变式3-3】（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝．【考点4利用特殊数量关系构造特殊角转化角】【典例4】（2018•石家庄模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r＝5，AC＝5，则∠B的度数是（）A．30° B．45° C．50° D．60°【变式4】（2021秋•无为市期中）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则∠APB的度数为（）A．45° B．30° C．75° D．60°1．（2021九上·禹城期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55° B．65° C．60° D．75°2．（2021九上·温州月考）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠AOB的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．80°3．（2021九上·东阳月考）如图，在⊙O中，∠CBO＝45°，∠CAO＝15°，则∠AOB的度数是（）A．75° B．60° C．45° D．30°4．（2021九上·天门月考）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，A．15° B．40° C．75° D．35°5．（2021九上·鹿城期末）如图所示，A，B，C是⊙O上的三点，若∠O＝58°，则∠C的度数为（）A．23° B．26° C．29° D．32°6．（2021九上·重庆月考）如图，已知在⊙O中，CD是⊙O的直径，点A、B在⊙O上，且AC＝AB，若∠BCD＝26°，则∠ABC的度数为（）A．26° B．27° C．28° D．32°7.（2021九上·龙沙期中）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为（）A．60° B．50° C．40° D．30°8．（2021九上·泰山期末）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，且∠ABC=125°，那么∠AOC等于（）A．125° B．120° C．110° D．130°9．（2021九上·宜春期末）如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD=CD，∠B=50°，则∠DAE的度数为（）A．50° B．55° C．60° D．65°10．（2021九上·石景山期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是菱形，则∠D的度数为（）A．45° B．60° C．90° D．120°11.（2021秋•泰安期末）如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠E＝30°，∠F＝40°，则∠A＝（）A．25° B．30° C．40° D．55°12．（2021•汉台区一模）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于（）A．33° B．57° C．67° D．66°13.（2022•凤山县模拟）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝50°，AO∥DC，则∠B的度数为（）A．50° B．55° C．60° D．65°14．（2022•南宁一模）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝100°，则∠ABC＝（）A．100° B．110° C．120° D．130°15.（2022•曲周县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）A．100° B．105° C．110° D．120°专项19圆中利用转化思想求角度类型一利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角类型二构造圆内接四边形转化角类型三利用直径构造直角三角形转化角类型四利用特殊数量关系构造特殊角转化角【考点1利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角】【典例1】（2021九上·无棣期末）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD=56°，则∠A的度数是（）A．36º B．34º C．56º D．78º【答案】B【解答】解：如图，连接BD∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，∵∠BCD=56°，∴∠BDC=90°−56°=34°，∵故答案为：B【变式1-1】（2021九上·崂山期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=54°，则∠ABO的度数是（）A．27° B．36° C．54° D．108°【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝54°，AB∴∠AOB＝2∠ACB＝108°，∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO＝12故答案为：B．【变式1-2】（2021九上·天桥期末）如图：点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的度数是（）A．18° B．30° C．36° D．72°【答案】C【解答】∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB均对着AB∴∠ACB=故答案为：C【变式1-3】（2021九上·西城期末）如图，点A，B，C在⊙O上，△OAB是等边三角形，则∠ACB的大小为（）A．60° B．40° C．30° D．20°【答案】C【解答】解：∵ΔOAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠ACB=12∠AOB=1故答案为：C．【变式1-4】（2021九上·休宁月考）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝48°，则∠OAB的度数为()A．24° B．30° C．50° D．60°【答案】A【解答】解：∵AC∥OB，∴∠BOC＝∠ACO＝48°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO＝48°，∵∠CAB＝12∴∠BAO＝∠OAC﹣∠CAB＝24°．故答案为：A．【变式1-5】（2021九上·衢江月考）如图，在⊙O中，AB=BC，点D在⊙O上，∠CDB=25°，则A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】B【解答】解：∵在⊙O中，AB=∴∠AOB=2∠CDB=50°.故答案为：B.【考点2构造圆内接四边形转化角】【典例2】（2021九上·哈尔滨月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD的度数为（）A．64° B．128° C．20° D．116°【答案】B【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠BAD+∠DCB=180°∵∠DCE+∠DCB=180°∴∠BAD=∠DCE=64°∵∠BOD、∠BAD对着圆中同一段弧∴∠BOD=2∠BAD=2×64°=128°故答案为：B【变式2-1】（2021九上·南开期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A=60°，则∠C等于（）A．30° B．60° C．120° D．300°【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°．∵∠A=60°，∴∠C=180°-60°=120°．故答案为：C．【变式2-2】（2021九上·禹城期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55° B．65° C．60° D．75°【答案】B【解答】解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝12故答案为：B．【变式2-3】（2021九上·无棣期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为()A．65° B．130° C．50° D．100°【答案】C【解答】∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故答案为：C．【考点3利用直径构造直角三角形转化角】【典例3】（2021九上·梅里斯期末）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数为（）A．32° B．58° C．64° D．116°【答案】A【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵∠ABD＝58°，∴∠A＝90°﹣58°＝32°，∴∠BCD＝∠A＝32°．故答案为：A．【变式3-1】（2021九上·荆州月考）如图，AB是⊙O的直径，∠D=48°，则∠CAB=（）A．52° B．58° C．42° D．48°【答案】C【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠D=48°，∴∠ABC=48°，∴∠CAB=90°−48°=42°，故答案为：C.【变式3-2】（2021九上·越城期中）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝24°，则∠ABD＝（）A．54° B．56° C．64° D．66°【答案】D【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝24°，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣24°＝66°.故答案为：D.【变式3-3】（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝．【答案】13°【解答】解：如图，连接DC，∵∠DBC＝90°，∴DC是⊙O的直径，∵点B是的中点，∴∠BCD＝∠BDC＝45°，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，故答案为：13°．【考点4利用特殊数量关系构造特殊角转化角】【典例4】（2018•石家庄模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r＝5，AC＝5，则∠B的度数是（）A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】D【解答】解：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°．Rt△ACD中，AD＝2r＝10，AC＝5．根据勾股定理，得：CD＝＝5，∴CD＝AD，∴∠DAC＝30°，∴∠B＝∠D＝90°﹣30°＝60°；故选：D．【变式4】（2021秋•无为市期中）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则∠APB的度数为（）A．45° B．30° C．75° D．60°【答案】D【解答】解：连接OA，OB，过O作OD⊥AB于D，延长OD交⊙O于C，则∠ODA＝∠ODB＝90°，∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，∴OD＝CD＝OC＝OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝120°，∴∠APB＝AOB＝60°，故选：D．1．（2021九上·禹城期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55° B．65° C．60° D．75°【答案】B【解答】解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝12故答案为：B．2．（2021九上·温州月考）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠AOB的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．80°【答案】D【解答】解：∵∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°.故答案为：D3．（2021九上·东阳月考）如图，在⊙O中，∠CBO＝45°，∠CAO＝15°，则∠AOB的度数是（）A．75° B．60° C．45° D．30°【答案】B【解答】解：连接OC，∵OB＝OC＝OA，∠CBO＝45°，∠CAO＝15°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∠OCA＝∠OAC＝15°，∴∠ACB＝∠OCB﹣∠OCA＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°.故答案为：B.4．（2021九上·天门月考）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，A．15° B．40° C．75° D．35°【答案】D【解答】解：∵∠A=40°，∴∠C=∠APD−∠A=35，∴∠B=∠C=35°.故答案为：D.5．（2021九上·鹿城期末）如图所示，A，B，C是⊙O上的三点，若∠O＝58°，则∠C的度数为（）A．23° B．26° C．29° D．32°【答案】C【解答】解：∵∠AOB和∠C都对AB，∴∠C＝12∠AOB＝1故答案为：C6．（2021九上·重庆月考）如图，已知在⊙O中，CD是⊙O的直径，点A、B在⊙O上，且AC＝AB，若∠BCD＝26°，则∠ABC的度数为（）A．26° B．27° C．28° D．32°【答案】D【解答】解：∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD＋∠ADC＝90°，∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠B，∵∠D＝∠B，∴∠ACB＝∠D，∴∠ACB＋26°＋∠D＝90°，∴∠ACB＝32°，∴∠ABC＝∠ACB＝32°，故答案为：D.7.（2021九上·龙沙期中）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为（）A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】A【解答】∵1∴∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°∵OC⊥AB∴AC∴∠AOC=∠BOC∴∠BOC=∠AOC=60°故答案为：A．

8．（2021九上·泰山期末）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，且∠ABC=125°，那么∠AOC等于（）A．125° B．120° C．110° D．130°【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠ABC=180°∵∠ABC=125°∴∠D=180°-∠A=180°-125°=55°，由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=110°，故答案为：C．9．（2021九上·宜春期末）如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD=CD，∠B=50°，则∠DAE的度数为（）A．50° B．55° C．60° D．65°【答案】D【解答】解：连接OC、OD，∵∠B=50°，∴∠AOC=2∠B=100°，∵AD=CD，∴AD=∴∠AOD=∠COD=12∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠DAE=（180°－50°）÷2=65°，故答案为：D．10．（2021九上·石景山期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是菱形，则∠D的度数为（）A．45° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解答】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；∵四边形ABCO是菱形，∴∠ABC=∠AOC=β；∴∠ADC=12∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴α+β=180°，∴α+β=180°α=解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，故答案为：B．11.（2021秋•泰安期末）如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠E＝30°，∠F＝40°，则∠A＝（）A．25° B．30° C．40° D．55°【答案】D【解答】解：∵四边形