专题09平面直角坐标系(原卷版+解析)

第09讲平面直角坐标系（精讲精练）用有序数对表示物体的位置平面直角坐标系的有关概念画出直角坐标系；根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标建立适当的直角坐标系，描述物体的位置对给定的正方形，选择适当的直角坐标系，写出它的顶点坐标在平面上，用方位角和距离刻画两个物体的相对位置在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，对称点坐标之间的关系在直角坐标系中，一个点沿坐标轴方向平移后的坐标与原坐标之间的关系探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论TOC\o"1-1"\h\u考点1.1：平面直角坐标系中的坐标特征 3考点1.2：坐标系中的几何问题 9考点2：函数自变量取值范围 13考点3：函数图像的分析与判断 19考点4：点坐标规律探究 36课堂总结：思维导图 42分层训练：课堂知识巩固 43考点1.1：平面直角坐标系中的坐标特征（1）各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：（2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．（5）点M（x,y）平移的坐标特征：M（x,y）M1(x+a,y)M2(x+a,y+b)（6）与坐标轴平行的线段与x轴平行的线段AB，A、B的纵坐标相等；与y轴平行的线段CD，C、D的横坐标相等（7）到y轴距离=横坐标；到x轴距离=纵坐标｛各象限内点的坐标的符号特征★｝对任意实数，点一定不在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限｛坐标轴上点的坐标特征★｝点在轴上，则的值为．｛坐标轴上点的坐标特征★★｝如果点在直角坐标系的坐标轴上，则点的坐标为．｛各象限角平分线上点的坐标★｝若点在第一、三象限角平分线上，则．｛各象限角平分线上点的坐标★★｝已知点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标为．｛与坐标轴平行的线段★｝已知线段，轴，若点坐标为，且点在第一象限，则点坐标为．｛与坐标轴平行的线段★★｝在平面直角坐标系中，点，，，轴，当线段最短时，则此时点的坐标为．｛与坐标轴的距离★★｝若点到轴的距离与到轴的距离相等，则点的坐标是A．或B．或C． D．｛各象限内点的坐标的符号特征★｝若点在第三象限，则应在第象限．｛坐标轴上点的坐标特征★｝已知点在轴上，则点的坐标是．｛各象限角平分线上点的坐标★★｝已知点到两坐标轴的距离相等，则．｛与坐标轴平行的线段★｝已知点的坐标是，线段轴，且，则点的坐标是．｛与坐标轴的距离★★｝已知平面直角坐标系中有一点，若点到轴的距离为1，则点的坐标为．（2020•黄冈）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（2021•西宁）在平面直角坐标系中，点的坐标是，若轴，且，则点的坐标是．（2020•新疆）如图，在轴，轴上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．若点的坐标为，则的值为．考点1.2：坐标系中的几何问题｛坐标系中的几何问题★｝如图，在中，，两点的坐标分别为，，则的面积为．｛坐标系中的几何问题★★★｝如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，在轴和轴上分别有两点、，则，，，四点组成的四边形的最小周长为．｛坐标系中的几何问题★★★｝如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴相切于，与轴交于，两点，则点的坐标是．｛坐标系中的几何问题★★★｝（2016春•青山区期中）如图，点，点，点，点，点是轴上一点，直线将四边形的面积分成两部分，则点坐标为．｛坐标系中的几何问题★★★｝（（2021•湘西州）已知点在第一象限，且，点在轴上，当为直角三角形时，点的坐标为A．，或 B．，或 C．，或 D．，或｛坐标系-新定义★★★｝（2021•遵义）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如，为实数）的数叫做复数，用表示，任何一个复数在平面直角坐标系中都可以用有序数对表示，如：表示为，则可表示为A． B． C． D．考点2：函数自变量取值范围（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．｛常量、变量★｝快餐店里的快餐每盒12元，买盒需付元，则其中常量是12，变量是．｛常量、变量★｝下列：①；②；③；④，具有函数关系（自变量为的是．｛函数概念★｝下列曲线中，表示是的函数的是A．B． C． D．｛函数自变量取值范围★｝函数的自变量的取值范围是A．且 B． C．且 D．｛函数关系式★｝如图，三角形的高，，点在边上，连接．若的长为，三角形的面积为，则与之间的关系式为．｛函数求值★｝（2021春•沙坪坝区校级期末）根据如图所示的程序计算变量的值，若输入的值是2或8时，输出的值相等，则等于．｛常量、变量★｝（2021春•伍家岗区期末）若改变正方形的边长，则正方形面积随之改变．在这个问题中，是自变量．｛函数的概念★｝变量，有如下关系：①；②；③；④．其中是的函数的是．｛函数的概念★｝（多选）下列图象中，表示是的函数的有．｛函数关系式★｝从地向地打长途，不超过3分钟，收费2.4元，以后每超过一分钟加收一元，若通话时间分钟，则付话费元与分钟函数关系式是A． B． C． D．｛函数自变量取值范围★｝函数中的自变量的取值范围是．（2021•黄石）函数的自变量的取值范围是A． B． C．且 D．且（2021•无锡）函数中自变量的取值范围是A． B． C． D．（2020•陕西）变量，的一些对应值如下表：012301827根据表格中的数据规律，当时，的值是A．75 B． C．125 D．（2021•铜仁市）如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是．考点3：函数图像的分析与判断（1）分析实际问题判断函数图象的方法：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.｛实际问题判断函数图象★★｝（2021•牡丹江）春耕期间，市农资公司连续8天调进一批化肥，并在开始调进化肥的第七天开始销售．若进货期间每天调进化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个公司的化肥存量（单位：吨）与时间（单位：天）之间的函数关系如图所示，则该公司这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用的时间是天．｛实际问题判断函数图象★★★｝甲、乙二人约好同时出发，沿同一路线去某博物馆参加科普活动，如图，表示的是行走时间（单位：分），表示的是到甲出发地的距离（单位：米），最后两人都到达了目的地．根据图中提供的信息，下面有四个结论：①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分钟；②甲先到达目的地；③甲停留10分钟之后提高了行走速度；④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．其中正确的是A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④｛实际问题判断函数图象★★★｝小明家、公园、图书馆依次在一条直线上，周末，小明和妈妈准备去公园放风筝，但是因为小明要先去图书馆还书，所以他们同时从家出发，并约定2小时后在公园碰头．小明先骑自行车匀速前往图书馆，到达图书馆还书后按原路原速返回公园并按照约定时间准时到达公园，妈妈则匀速步行前往公园，结果迟到半小时．如图是他们离家的距离与小明离家时间的函数图象，下列说法中错误的是A．小明骑车的速度是 B．小明还书用了 C．妈妈步行的速度为 D．公园距离小明家｛几何图形（动点）为背景判断函数图象★★★｝如图①，在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴．直线沿轴正方向平移，被矩形截得的线段的长度与平移的距离之间的函数图象如图②，那么矩形的面积为A．10 B．12 C．15 D．18｛几何图形（动点）为背景判断函数图象★★★｝如图1，在平行四边形中，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点停止．图2是点、运动时，的面积与运动时间函数关系的图象，则的值是A． B． C．6 D．12｛几何图形（动点）为背景判断函数图象★★★｝如图①，在正方形中，点从点出发，沿着方向匀速运动，到达点后停止运动．点从点出发，沿着的方向匀速运动，到达点后停止运动．已知点的运动速度为，图②表示、两点同时出发秒后，的面积与的函数关系，则点的运动速度可能是A． B． C． D．｛实际问题判断函数图象★★★｝甲、乙两车分别从，两地同时相向匀速行驶．当乙车到达地后，继续保持原速向远离的方向行驶，而甲车到达地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达地．设两车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），与之间的函数关系如图所示，当甲车到达地时，乙车距离地100千米．｛实际问题判断函数图象★★★｝小重和小庆相约从学校出发沿同一路线到“开心之洲”玩耍．小重出发1分钟后小庆才出发，小重出发6分钟后发现自己钱包没有带，于是立即掉头并将速度提高为原来的两倍跑步回学校，回学校取到钱包后保持跑步的速度立即赶往“开心之洲”，最终比小庆早1分钟到达．小重两次掉头的时间和取钱包的时间忽略不计，小庆全程保持匀速，小重、小庆相距的路程（米和小庆出发的时间（分之间的函数关系如图所示，则学校到“开心之洲”的路程为米．｛实际问题判断函数图象★★★｝如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度和注水时间之间的关系满足如图2的图象，则至少需要能把小水杯注满．｛几何图形（动点）为背景判断函数图象★★★｝如图①，中，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，，两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，的面积为，关于的函数图象由，两段组成，如图②所示，则A． B． C． D．｛几何图形（动点）为背景判断函数图象★★★｝（2021•西宁）如图1，动点从矩形的顶点出发，在边，上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积随运动时间变化的函数图象如图2所示，则的长是A． B． C． D．｛几何图形（动点）为背景判断函数图象★★★｝（2021•日照）如图，平面图形由直角边长为1的等腰直角和扇形组成，点在线段上，，且交或交于点．设，图中阴影部分表示的平面图形（或的面积为，则函数关于的大致图象是A．B． C． D．｛几何图形（动点）为背景判断函数图象★★★｝（2021•朝阳）如图，在正方形中，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点运动到点时，点，同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是A．B．C． D．｛几何图形（动点）为背景判断函数图象★★★｝（2021•锦州）如图，在四边形中，，，，，的直角顶点与点重合，另一个顶点（在点左侧）在射线上，且，．将沿方向平移，点与点重合时停止．设的长为，在平移过程中与四边形重叠部分的面积为，则下列图象能正确反映与函数关系的是A．B．C． D．｛几何图形（动点）为背景判断函数图象★★★｝（2021•武汉）如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是．（2021•西宁）如图1，动点从矩形的顶点出发，在边，上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积随运动时间变化的函数图象如图2所示，则的长是A． B． C． D．（2021•郴州）如图，在边长为4的菱形中，，点从点出发，沿路线运动．设点经过的路程为，以点，，为顶点的三角形的面积为，则下列图象能反映与的函数关系的是A．B．C．D．考点4：点坐标规律探究｛★★★｝如图，在平面直角坐标系中中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为A． B． C． D．｛★★★｝如图1，中，，，，将放置在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴正半轴上．将按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2021次后，点的横坐标为A． B． C． D．｛★★★｝在平面直角坐标系中，对于点我们把叫做点的伴随点，已知的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，这样依次得到，，，，若点的坐标为，则点的坐标为．｛★★★｝在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，，这样依次得到点，，，，若点的坐标为，则点的坐标为A． B． C． D．（2021•德阳）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2025次旋转后，顶点的坐标为A．， B．， C．， D．，（2021•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点出发以2个单位长度秒的速度沿循环爬行，问第2021秒瓢虫在处．A． B． C． D．（2018•广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动．其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，，第次移动到．则△的面积是A． B． C． D．课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1．（2022秋•紫金县期中）点在第四象限，点到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点坐标是A． B． C． D．2．（2022春•牡丹江期中）已知点的坐标为，且点到两坐标轴距离相等，则的值为A． B． C．或 D．或3．（2022•衢州）在平面直角坐标系中，点落在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2022春•东莞市校级期中）如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知棋子甲的坐标为，棋子乙的坐标为，则棋子丙的坐标是A． B． C． D．5．（2022春•江油市期末）在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离相等，则的值为A． B．3 C．或3 D．或56．（2021秋•金水区校级期末）下列说法不正确的是A．点，一定在第二象限 B．点到轴的距离为2 C．若中，则点在轴上 D．若，则点一定在第二、第四象限角平分线上7．（2022春•仓山区校级期末）如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值．下列各选项中，正确的是013464A．函数的图象开口向上 B．函数的图象与轴无交点 C．函数的最大值大于6 D．当时，对应函数的取值范围是8．（2022•常州）某城市市区人口万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为A． B． C． D．9．（2022春•长沙期末）下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是A．B．C．D．10．（2022•广西模拟）武鸣今年沃柑大丰收，希望育才中学初三年级开展了“双减”下劳动实践活动，同学们先从教室出发到果园摘果，再按原路返回教室，同学们离教室的距离（单位：与所用时间（单位：之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是A．教室距离果园 B．从教室去果园的平均速度是 C．在果园摘果耗时 D．从果园返回教室的平均速度是11．（2022春•东明县期末）如图所示的计算程序中，与之间的函数关系式是A． B． C． D．12．（2022春•碑林区校级期末）小明一家自驾车到离家的某景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了行驶路程与油箱余油量之间的部分数据：行驶路程050100150200油箱余油量4541373329下列说法不正确的是A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶耗油 C．油箱余油量与行驶路程之间的关系式为 D．当小明一家到达景点时，油箱中剩余油13．（2022春•桓台县期末）声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速气温的一些数据如表：下列结论错误的是气温05101520音速（米秒）331334337340343A．在变化中，气温是自变量，音速是因变量 B．随的增大而增大 C．当气温为时，音速为343米秒 D．温度每升高，音速增加3米秒14．（2022•齐齐哈尔三模）把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，后将容器内注满．那么容器内水面的高度与注水时间之间的函数关系图象大致是A． B． C． D．15．（2022秋•南京期末）在平面直角坐标系中，点在第四象限内，且点到轴的距离是2，到轴的距离是3，则点的坐标是．1．（2022春•江津区期末）对实数，依次进行以下运算：，，，，，，，．若点，，其中为正整数．下列说法中正确的有①；②中，与的系数之和为1；③点的坐标为．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．（2022春•巴东县期末）点在第一象限，，均为整数，且满足，则的值为A．2 B．3 C．4 D．53．（2022春•浦北县期末）如图，，两点的坐标分别为，，则点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2022春•莒南县期末）下列说法不正确的是A．点，一定在第二象限 B．点到轴的距离为2 C．若中，则点在轴上 D．若，则点一定在第二、第四象限角平分线上5．（2022春•随州期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，，这样依次得到点，，，，，若点的坐标为，则点的坐标为A． B． C． D．6．（2022春•雄县期末）已知点的坐标为，其中，均为实数，若，满足，则称点为“和谐点”．若点是“和谐点”，则点所在的象限是A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限1．（2022•济宁三模）如图，中，，，正方形的边长为2，、、在同一直线上，正方形向右平移到点与重合，点的平移距离为，平移过程中两图重叠部分的面积为，则与的关系的函数图象表示正确的是A． B． C． D．2．（2022•呼和浩特一模）在边长为2的正方形中，对角线与相交于点，是上一动点，过作，分别交正方形的两条边于点，．设，的面积为，则能反映与之间关系的图象为A． B． C． D．3．（2021•武昌区模拟）如图，某电信公司提供了，两种方案的移动通讯费用（元与通话时间（分之间的关系，则下列结论中正确的有（1）若通话时间少于120分，则方案比方案便宜20元；（2）若通话时间超过200分，则方案比方案便宜12元；（3）若通讯费用为60元，则方案比方案的通话时间多；（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2020•江西模拟）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点不与点、重合），现将沿直线折叠，使点落到点处；作的角平分线交于点．设，，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是A． B． C． D．5．（2022秋•赛罕区校级月考）定义运算“※”为：※，如：1※．则函数※的图象大致是A． B． C． D．6．（2022秋•西城区校级月考）规定：，．例如，．下列结论中，（1）若，则；②若，则；③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是7．其中正确的所有结论是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④7．（2022春•市中区校级月考）2019年端午节，在大明湖举行第八届全民健身运动会龙舟赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程时间之间的关系如图所示，下列说法中正确的有个．①乙队比甲队提前到达终点②当乙队划行时，在甲队前面③当乙队划行时，已经超过甲队④后，乙队比甲队每分钟快A．1 B．2 C．3 D．48．（2022秋•渝中区校级月考）如图，张华、李颖两人沿同一条笔直的公路相向而行，张华从甲地前往乙地，李颖从乙地前往甲地，张华先出发3分钟后李颖出发，当张华行驶6分钟时发现重要物品忘带，立刻以原速的掉头返回甲地．拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地，二人相距的路程（米与张华出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是A．李颖速度是张华提速前速度的 B．李颍的速度为 C．两人第一次相遇的时间是分钟 D．张华最终达到乙地的时间是分钟9．（2022秋•无为市月考）在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则的值是A． B． C．0 D．210．（2021秋•青冈县期末）如图，动点在坐标系中按图中所示箭头方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第2018次运动后，动点的坐标是．第09讲平面直角坐标系（精讲精练）用有序数对表示物体的位置平面直角坐标系的有关概念画出直角坐标系；根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标建立适当的直角坐标系，描述物体的位置对给定的正方形，选择适当的直角坐标系，写出它的顶点坐标在平面上，用方位角和距离刻画两个物体的相对位置在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，对称点坐标之间的关系在直角坐标系中，一个点沿坐标轴方向平移后的坐标与原坐标之间的关系探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论TOC\o"1-1"\h\u考点1.1：平面直角坐标系中的坐标特征 3考点1.2：坐标系中的几何问题 9考点2：函数自变量取值范围 13考点3：函数图像的分析与判断 19考点4：点坐标规律探究 36课堂总结：思维导图 42分层训练：课堂知识巩固 43考点1.1：平面直角坐标系中的坐标特征（1）各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：（2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．（5）点M（x,y）平移的坐标特征：M（x,y）M1(x+a,y)M2(x+a,y+b)（6）与坐标轴平行的线段与x轴平行的线段AB，A、B的纵坐标相等；与y轴平行的线段CD，C、D的横坐标相等（7）到y轴距离=横坐标；到x轴距离=纵坐标｛各象限内点的坐标的符号特征★｝对任意实数，点一定不在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用各象限内点的坐标性质分析得出答案．【解答】解：当，则，故点可能在第一象限；当，则或，故点可能在第二、三象限；当时，点在原点．故点一定不在第四象限．故选：．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确把握各象限内点的坐标符号是解题关键．｛坐标轴上点的坐标特征★｝点在轴上，则的值为0．【分析】根据轴上点的纵坐标为0列出方程求解即可．【解答】解：点在轴上，，．故答案为：0．【点评】本题考查了点的坐标，熟记轴上点的纵坐标为0是解题的关键．｛坐标轴上点的坐标特征★★｝如果点在直角坐标系的坐标轴上，则点的坐标为或．【分析】根据坐标轴上的点坐标特征，分横坐标与纵坐标为零两种情况讨论求解．【解答】解：点在坐标轴上，或，或，点的坐标为或．故答案为：或．【点评】本题主要考查了点的坐标，熟记坐标轴上点的坐标符号特点是解题的关键．｛各象限角平分线上点的坐标★｝若点在第一、三象限角平分线上，则4．【分析】根据第一、三象限角平分线上的点的坐标特点：点的横纵坐标相等，即可解答．【解答】解：点在第一、三象限的角平分线上，且第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等，，解得．故答案为：4．【点评】本题考查了各象限角平分线上点的坐标的符号特征，第一、三象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的坐标特点为：点的横纵坐标互为相反数．｛各象限角平分线上点的坐标★★｝已知点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标为或．【分析】根据点到两坐标轴的距离相等列出方程，然后求解得到的值，再求解即可．【解答】解：点到两坐标轴的距离相等，，或，解得或，当时，，，当，，，所以，点的坐标为或．故答案为：或．【点评】本题考查了点的坐标，根据到两坐标轴的距离相等列出方程是解题的关键．｛与坐标轴平行的线段★｝已知线段，轴，若点坐标为，且点在第一象限，则点坐标为．【分析】由轴，可知、两点纵坐标相等，又，且点在第一象限，即可确定点坐标．【解答】解：轴，点坐标为，、两点纵坐标都为2，又，且点在第一象限，点坐标为，点在点右边，．故答案为：．【点评】本题考查了平行于轴的直线上的点纵坐标相等，再根据两点相对的位置及两点距离确定点的坐标．｛与坐标轴平行的线段★★｝在平面直角坐标系中，点，，，轴，当线段最短时，则此时点的坐标为．【分析】根据点，，轴，可以得到的值，然后根据垂线段最短，即可得到点的纵坐标，从而可以得到点的坐标．【解答】解：，，轴，，，，当线段最短时，此时，，点的坐标为，故答案为：．【点评】本题考查坐标与图形，解答本题的关键是明确垂线段最短和平行于轴的直线的特点：该直线任意一点的纵坐标都相等．｛与坐标轴的距离★★｝若点到轴的距离与到轴的距离相等，则点的坐标是A．或 B．或 C． D．【分析】根据到轴的距离与它到轴的距离相等可得，或，解方程可得的值，求出点坐标．【解答】解：由题意得：，或，解得：或；当时，点的坐标是；当时，点的坐标是．所以点的坐标为或．故选：．【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到轴的距离与它到轴的距离相等时横坐标的绝对值纵坐标的绝对值．｛各象限内点的坐标的符号特征★｝若点在第三象限，则应在第二象限．【分析】根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数确定出、的正负情况，再求出，的正负情况，然后确定出点所在的象限，即可得解．【解答】解：点在第三象限，，，，，点在第二象限．故答案为：二．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．｛坐标轴上点的坐标特征★｝已知点在轴上，则点的坐标是．【分析】直接利用轴上横坐标为0，进而得出的值即可得出答案．【解答】解：点在轴上，，解得：，故，故点的坐标为：．故答案为：．【点评】此题主要考查了点的坐标，根据轴上点的横坐标为0得出关于的方程是解题关键．｛各象限角平分线上点的坐标★★｝已知点到两坐标轴的距离相等，则或．【分析】直接利用到两坐标轴的距离相等的点在坐标系的平分线上进而得出答案．【解答】解：且点到两坐标轴的距离相等，或，解得：或，故答案为：或．【点评】题主要考查了点的坐标，正确分类讨论是解题关键．｛与坐标轴平行的线段★｝已知点的坐标是，线段轴，且，则点的坐标是或．【分析】根据点坐标和轴确定点的横坐标为，根据可确定其纵坐标．【解答】解：点的坐标是，线段轴，故设点坐标为，又，，解得：或7，故点坐标为或，故答案为：或．【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质，分情况确定点的位置是关键，不要遗漏．｛与坐标轴的距离★★｝已知平面直角坐标系中有一点，若点到轴的距离为1，则点的坐标为或．【分析】根据题意可知的绝对值等于1，从而可以得到的值，进而得到的坐标．【解答】解：由题意可得：，解得：或，当时，点的坐标为；当时，点的坐标为；综上，的坐标为或．故答案为：或．【点评】本题考查点的坐标，熟练掌握点到轴的距离就是横坐标的绝对值，到轴的距离就是纵坐标的绝对值是解题的关键．（2020•黄冈）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据点在第三象限，可得，，得，，进而可以判断点所在的象限．【解答】解：点在第三象限，，，，，点所在的象限是第一象限．故选：．【点评】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握点的坐标特征．（2021•西宁）在平面直角坐标系中，点的坐标是，若轴，且，则点的坐标是或．【分析】线段轴，、两点横坐标相等，又，点可能在点上边或者下边，根据距离确定点坐标．【解答】解：与轴平行，、两点的横坐标相同，又，点纵坐标为：，或，点的坐标为：或；故答案为：或．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，要掌握平行于轴的直线上的点横坐标相等，再根据两点相对的位置及两点距离确定点的坐标．（2020•新疆）如图，在轴，轴上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．若点的坐标为，则的值为3．【分析】根据作图方法可知点在的角平分线上，由角平分线的性质可知点到轴和轴的距离相等，可得关于的方程，求解即可．【解答】解：，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，点在的角平分线上，点到轴和轴的距离相等，又点的坐标为，，．故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．考点1.2：坐标系中的几何问题｛坐标系中的几何问题★｝如图，在中，，两点的坐标分别为，，则的面积为3.5．【分析】三角形的面积等于边长为2，4的矩形面积减去三个三角形的面积．【解答】解：；故答案为3.5．【点评】本题考查了坐标与图象的象征，掌握用割补法求三角形的面积是解题的关键．｛坐标系中的几何问题★★★｝如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，在轴和轴上分别有两点、，则，，，四点组成的四边形的最小周长为．【分析】作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接交轴于，交轴于，则此时，四边形的周长最小，且四边形的最小周长，根据两点间的距离公式即可得到结论．【解答】解：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接交轴于，交轴于，则此时，四边形的周长最小，且四边形的最小周长，点的坐标是，点的坐标是，，，，，四边形的最小周长，故答案为：．【点评】本题考查了坐标与图形性质，轴对称最短路径问题，两点间的距离公式，正确的确定点和点的位置是解题的关键．｛坐标系中的几何问题★★★｝如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴相切于，与轴交于，两点，则点的坐标是．【分析】本题可作过点垂直于轴的直线，根据三角形的勾股定理列出方程，求解即可得答案．【解答】解：作轴于点，连接，，则四边形为矩形，，，，点的坐标是．【点评】本题考查常用辅助线作法：连接圆心和切点，作弦心距．｛坐标系中的几何问题★★★｝（2016春•青山区期中）如图，点，点，点，点，点是轴上一点，直线将四边形的面积分成两部分，则点坐标为或．【分析】作轴，根据四边形的面积求得四边形的面积，设点，则，由直线将四边形的面积分成两部分知或，据此列出方程求解可得．【解答】解：过点作轴于点，则、、、、，四边形的面积，设点，则，由直线将四边形的面积分成两部分知或，则或，解得：或，即点的坐标为或，故答案为：或．【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握割补法求四边形的面积及由分割的面积间的关系列出方程是解题的关键．｛坐标系中的几何问题★★★｝（（2021•湘西州）已知点在第一象限，且，点在轴上，当为直角三角形时，点的坐标为A．，或 B．，或 C．，或 D．，或【分析】分情况讨论：①若为直角顶点，则点在轴上，不合题意舍去；②若为直角顶点，则轴，所以点的横坐标为10，代入中，得，求出点坐标为；③若为直角顶点，作轴，可得，根据相似三角形的性质求出点横坐标，进而得到点坐标．【解答】解：分情况讨论：①若为直角顶点，则点在轴上，不合题意舍去；②若为直角顶点，则轴，点的横坐标为10，把代入中，得，点坐标为；③若为直角顶点，如图，作轴，则，，，，，，，，解得或9，点坐标为或，综上所述，当为直角三角形时，点的坐标为、、，故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，图形与坐标性质，熟悉一次函数的性质和直角三角形的性质是解题的关键．｛坐标系-新定义★★★｝（2021•遵义）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如，为实数）的数叫做复数，用表示，任何一个复数在平面直角坐标系中都可以用有序数对表示，如：表示为，则可表示为A． B． C． D．【分析】根据题中的新定义解答即可．【解答】解：由题意，得可表示为．故选：．【点评】本题考查了点的坐标，弄清题中的新定义是解本题的关键．考点2：函数自变量取值范围（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．｛常量、变量★｝快餐店里的快餐每盒12元，买盒需付元，则其中常量是12，变量是．【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．【解答】解：快餐店里的快餐每盒12元，买盒需付元，则其中常量是12，变量是，．故答案为：12；，．【点评】本题考查了常量与变量的知识，属于基础题，变量是指在变化的过程中随时可以发生变化的量．｛常量、变量★｝下列：①；②；③；④，具有函数关系（自变量为的是①②．【分析】根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定哪些是函数．【解答】解：对于的每一个取值，都有唯一确定的值，①；②当取值时，有唯一的值对应；故具有函数关系（自变量为的是①②．故答案为：①②．【点评】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．｛函数概念★｝下列曲线中，表示是的函数的是A．B． C． D．【分析】根据函数的定义进行判断即可．【解答】解：在某个变化过程中，有两个变量、，一个量变化，另一个量也随之变化，当每取一个值，就有唯一的值与之相对应，这时我们就把叫做自变量，叫做因变量，是的函数，只有选项中的“每取一个值，不是唯一值与之相对应”，其它选项中的都不是“有唯一相对应”的，所以选项中的表示的函数，故选：．【点评】本题考查函数的定义，理解“自变量每取一个值，因变量都有唯一值与之相对应”是判断函数的关键．｛函数自变量取值范围★｝函数的自变量的取值范围是A．且 B． C．且 D．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：且，解得：且，故选：．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．｛函数关系式★｝如图，三角形的高，，点在边上，连接．若的长为，三角形的面积为，则与之间的关系式为．【分析】根据线段的和差，可得的长，根据三角形的面积，可得答案．【解答】解：由线段的和差，得，由三角形的面积，得化简，得，故答案为：．【点评】本题考查了函数关系式，利用三角形的面积公式是解题关键．｛函数求值★｝（2021春•沙坪坝区校级期末）根据如图所示的程序计算变量的值，若输入的值是2或8时，输出的值相等，则等于．【分析】先求出时的值，再将、代入可得答案．【解答】解：当时，，当时，，解得：，故答案为：．【点评】本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．｛常量、变量★｝（2021春•伍家岗区期末）若改变正方形的边长，则正方形面积随之改变．在这个问题中，是自变量．【分析】面积随边长变化，所以边长是自变量，面积是因变量．【解答】解：面积随边长变化，所以边长是自变量，面积是因变量．故答案为：．【点评】本题考查了函数自变量的概念，掌握自变量的概念是解题的关键．｛函数的概念★｝变量，有如下关系：①；②；③；④．其中是的函数的是①②③．【分析】根据函数的定义判断即可．【解答】解：①，这是一次函数，符合题意；②任意给定一个非0的实数，都有唯一的值，符合函数的定义，符合题意；③当时，；当时，，符合函数的定义，符合题意；④，给定一个非负数，都有2个值，不符合函数的定义，不符合题意；故答案为：①②③．【点评】本题考查了函数的概念，理解函数的概念中的“都有唯一的值”是解题的关键．｛函数的概念★｝（多选）下列图象中，表示是的函数的有、．【分析】根据函数的定义解答即可．【解答】解：、能表示是的函数，故此选项合题意；、能表示是的函数，故此选项不合题意；、不能表示是的函数，故此选项不合题意；、不能表示是的函数，故此选项不符合题意；故答案为：、．【点评】此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．｛函数关系式★｝从地向地打长途，不超过3分钟，收费2.4元，以后每超过一分钟加收一元，若通话时间分钟，则付话费元与分钟函数关系式是A． B． C． D．【分析】由通话时间与话费之间的变化关系可得到话费（元与通话时间（分钟）的关系式．【解答】解：根据通话时间与话费之间的变化关系可得，，故选：．【点评】本题考查函数关系式，理解话费与通话时间之间的变化关系是正确解答的关键．｛函数自变量取值范围★｝函数中的自变量的取值范围是且．【分析】根据二次根式有意义的条件、分母不为0列出不等式，解不等式，得到答案．【解答】解：由题意得：，，解得：且，故答案为：且．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．（2021•黄石）函数的自变量的取值范围是A． B． C．且 D．且【分析】根据二次根式成立的条件，分式成立的条件，零指数幂的概念列不等式组求解．【解答】解：由题意可得：，解得：且，故选：．【点评】本题考查函数中自变量的取值范围，二次根式成立的条件及零指数幂的概念，掌握分母不能为零，二次根式的被开方数为非负数，是解题关键．（2021•无锡）函数中自变量的取值范围是A． B． C． D．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：，解得：，故选：．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．（2020•陕西）变量，的一些对应值如下表：012301827根据表格中的数据规律，当时，的值是A．75 B． C．125 D．【分析】根据表格数据得到函数为，把代入求得即可．【解答】解：根据表格数据画出图象如图：由图象可知，函数的解析式为，把代入得，．故选：．【点评】本题考查了函数图象上点的坐标特征，图象上的点适合解析式，根据表格数据得到函数的解析式是解题的关键．（2021•铜仁市）如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是11．【分析】第一次输入的值为1，计算出，选择否的程序；第二次输入的值为2，计算出，选择是的程序，输出即可．【解答】解：当时，，，选择否的程序，当时，，，选择是的程序，故答案为：11．【点评】本题考查了函数值，体现了分类讨论的数学思想，看懂程序图是解题的关键，注意第2次输入的为2．考点3：函数图像的分析与判断（1）分析实际问题判断函数图象的方法：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.｛实际问题判断函数图象★★｝（2021•牡丹江）春耕期间，市农资公司连续8天调进一批化肥，并在开始调进化肥的第七天开始销售．若进货期间每天调进化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个公司的化肥存量（单位：吨）与时间（单位：天）之间的函数关系如图所示，则该公司这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用的时间是10天．【分析】通过分析题意和图象可求调入化肥的速度，销售化肥的速度；从而可计算最后销售化肥20吨所花的时间．【解答】解：调入化肥的速度是（吨天），当在第6天时，库存物资应该有30吨，在第8天时库存20吨，所以销售化肥的速度是（吨天），所以剩余的20吨完全售出需要（天，故该门市部这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是（天．故答案为：10．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，难度适中．解题的关键是注意调入化肥需8天，但第7天至第8天调入化肥和销售化肥同时进行，第8天以后停止调入化肥，只是销售化肥．｛实际问题判断函数图象★★★｝甲、乙二人约好同时出发，沿同一路线去某博物馆参加科普活动，如图，表示的是行走时间（单位：分），表示的是到甲出发地的距离（单位：米），最后两人都到达了目的地．根据图中提供的信息，下面有四个结论：①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分钟；②甲先到达目的地；③甲停留10分钟之后提高了行走速度；④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．其中正确的是A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④【分析】根据函数图象中的数据得出路程、时间与速度，进而解答即可．【解答】解：①甲、乙二人第一次相遇后，停留了（分钟），说法正确；②甲在35分时到达，乙在40分时到达，所以甲先到达的目的地，说法正确；③甲在停留10分钟之后减慢了行走速度，说法错误；④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快，说法正确；所以正确的是①②④．故选：．【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．｛实际问题判断函数图象★★★｝小明家、公园、图书馆依次在一条直线上，周末，小明和妈妈准备去公园放风筝，但是因为小明要先去图书馆还书，所以他们同时从家出发，并约定2小时后在公园碰头．小明先骑自行车匀速前往图书馆，到达图书馆还书后按原路原速返回公园并按照约定时间准时到达公园，妈妈则匀速步行前往公园，结果迟到半小时．如图是他们离家的距离与小明离家时间的函数图象，下列说法中错误的是A．小明骑车的速度是 B．小明还书用了 C．妈妈步行的速度为 D．公园距离小明家【分析】根据小明1小时到达图书馆，图书馆距离家20千米，求出小明骑车的速度判断选项；根据小明还书用了0.3小时判断选项；设妈妈的速度为千米小时，根据小明走的路程妈妈走的路程列出方程求出方程的解来判断选项；根据妈妈的速度妈妈所用的时间求公园距离小明家的距离来判断选项．【解答】解：观察图象可知，小明1小时到达图书馆，图书馆距离家20千米，小明骑车的速度是20千米小时，故选项不符合题意；（小时）（分，故选项不符合题意；设妈妈的速度为千米小时，根据小明走的路程妈妈走的路程得：，解得，故选项不符合题意；（千米），故选项符合题意；故选：．【点评】本题考查了函数的图象，求出妈妈的速度是解题的关键．｛几何图形（动点）为背景判断函数图象★★★｝如图①，在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴．直线沿轴正方向平移，被矩形截得的线段的长度与平移的距离之间的函数图象如图②，那么矩形的面积为A．10 B．12 C．15 D．18【分析】根据图象折线中各个端点的位置，判断与长方形顶点的关系，求出长方形的长和宽，再计算面积．【解答】解：由图可知，当时，直线过点．当时，直线经过点．当时，直线经过点．当时，直线经过点．故当在上移动时，，，当在上移动时，，又此时，．故矩形的面积为．故选：．【点评】本题考查动点问题的函数图象．解题的关键在于判断怎么用图中的数据表示长方形的长和宽．｛几何图形（动点）为背景判断函数图象★★★｝如图1，在平行四边形中，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点停止．图2是点、运动时，的面积与运动时间函数关系的图象，则的值是A． B． C．6 D．12【分析】由点和点的运动可知，，，当点在上时，即时，及当点在上时，即时，分别表达出的面积，分析可知当点到达点时，，此时，再结合的面积公式求解即可．【解答】解：由题图2得，时点停止运动，点以每秒1个单位速度从点运动到点用了6秒，，，由点和点的运动可知，，，当点在上时，即时，，过点作于点，，，此时的面积，当点在上时，即时，四边形是平行四边形，，，由上可知，当点到达点时，，即当时，，故选：．【点评】本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是由点的运动结合图2得出及的长．｛几何图形（动点）为背景判断函数图象★★★｝如图①，在正方形中，点从点出发，沿着方向匀速运动，到达点后停止运动．点从点出发，沿着的方向匀速运动，到达点后停止运动．已知点的运动速度为，图②表示、两点同时出发秒后，的面积与的函数关系，则点的运动速度可能是A． B． C． D．【分析】本题根据动点之间相对位置，讨论形成图形的面积的变化趋势即可，适于采用筛选法．【解答】解：本题采用筛选法．首先观察图象，可以发现图象由三个阶段构成，即的顶点所在边应有三种可能．当的速度低于点时，当点到达时，点还在上运动，之后，因、重合，的面积为零，画出图象只能由一个阶段构成，故、错误；当的速度是点速度的2倍，当点到点时，点到点，之后，点、重合，的面积为0．期间面积的变化可以看成两个阶段，与图象不符，错误．故选：．【点评】本题考查双动点条件下的图形面积问题，分析时要关注动点在经过临界点时，相关图形的变化规律．｛实际问题判断函数图象★★★｝甲、乙两车分别从，两地同时相向匀速行驶．当乙车到达地后，继续保持原速向远离的方向行驶，而甲车到达地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达地．设两车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），与之间的函数关系如图所示，当甲车到达地时，乙车距离地100千米．【分析】由图可知之间的距离为，甲，乙3小时相遇，可以求出甲乙两车的速度和，5小时的时候，两车之间的距离开始减小，说明甲车到达地，开始返回，从而求出甲车的速度，进一步得到乙车的速度，问题便迎刃而解了．【解答】解：由图可知：，甲，乙两车3小时相遇，，甲车5小时到达地，甲的速度为，乙的速度为，当甲车到达地时，也就是5小时的时候，乙车走了，乙车距离地，故答案为：100．【点评】本题考查了函数的图象，明白函数表示的两车之间的距离，认真分析图象中的起点和拐点的含义是解题的关键．｛实际问题判断函数图象★★★｝小重和小庆相约从学校出发沿同一路线到“开心之洲”玩耍．小重出发1分钟后小庆才出发，小重出发6分钟后发现自己钱包没有带，于是立即掉头并将速度提高为原来的两倍跑步回学校，回学校取到钱包后保持跑步的速度立即赶往“开心之洲”，最终比小庆早1分钟到达．小重两次掉头的时间和取钱包的时间忽略不计，小庆全程保持匀速，小重、小庆相距的路程（米和小庆出发的时间（分之间的函数关系如图所示，则学校到“开心之洲”的路程为2160米．【分析】设小庆的速度为米分，小重开始的速度为米分，根据图象可得3分钟时，两人相距为0，5分钟时，两人相距为40米，列方程组可得，的值，可得小重提速后的速度，设小庆分钟到达．则小重用时分钟，根据路程相等列方程求出，小庆的速度即可得学校到“开心之洲”的路程．【解答】解：设小庆的速度为米分，小重开始的速度为米分，根据图象可得3分钟时，两人相距为0，5分钟时，两人相距为40米，，解得：，即小庆的速度为80米分，小重开始的速度为60米分，小重提速后的速度为（米分），设小庆分钟到达．则小重用时分钟，，解得：，学校到“开心之洲”的路程为（米．故答案为：2160．【点评】本题考查了函数的图象，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用函数的性质和数形结合的思想解答．｛实际问题判断函数图象★★★｝如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度和注水时间之间的关系满足如图2的图象，则至少需要能把小水杯注满．【分析】首先设斜线一次函数的解析式为，然后利用待定系数法即可求得其解析式，再由，即可求得答案．【解答】解：设斜线一次函数的解析式为：，将，代入得：，解得：，解析式为：，当时，，解得：，至少需要能把小水杯注满．故答案为：．【点评】此题考查了一次函数的实际应用问题．注意求得一次函数的解析式是关键．｛几何图形（动点）为背景判断函数图象★★★｝如图①，中，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，，两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，的面积为，关于的函数图象由，两段组成，如图②所示，则A． B． C． D．【分析】过点作于点，然后解直角三角形求出的长，然后针对点在线段和线段上时进行分类讨论求出的面积，再结合函数图象所获得的信息代入求值．【解答】解：由图②可得，点和点的运动时间为，，过点作于点，如图1，当点在线段上时，，，，，，由图②可知，点在图象上，，，如图2，当点在线段上时，，，，，由图②可知，点在图象上，，，故选：．【点评】本题考查了函数的应用、解直角三角形，解题的关键是通过解直角三角形求出的高．｛几何图形（动点）为背景判断函数图象★★★｝（2021•西宁）如图1，动点从矩形的顶点出发，在边，上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积随运动时间变化的函数图象如图2所示，则的长是A． B． C． D．【分析】由图2可知，，，当点到达点时，的面积为，可得出等式，求出的值，即线段的长．【解答】解：由图2可知，，，当点到达点时，的面积为，，即，解得．即的长为．故选：．【点评】本题主要考查动点问题中三角形的面积，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题关键．｛几何图形（动点）为背景判断函数图象★★★｝（2021•日照）如图，平面图形由直角边长为1的等腰直角和扇形组成，点在线段上，，且交或交于点．设，图中阴影部分表示的平面图形（或的面积为，则函数关于的大致图象是A．B． C． D．【分析】根据点的位置，分点在上和点在弧上两种情况讨论，分别写出和的函数解析式，即可确定函数图象．【解答】解：当在上时，即点在上时，有，此时阴影部分为等腰直角三角形，，该函数是二次函数，且开口向上，排除，选项；当点在弧上时，补全图形如图所示，阴影部分的面积等于等腰直角的面积加上扇形的面积，再减去平面图形的面积即减去弓形的面积，设，则，，，当时，，，，当时，，，，当时，，，在，选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项符合题意．故选：．法二、当时，即在之间时，设，则，则，，则弧的长为，此时阴影，随的增大而增大，而且增加的速度越来越慢，分析四个选项中的图象，只有选项符合．故选：．【点评】本题主要考查了二次函数的图象及性质，图形的面积等内容，选择题中利用特殊值解决问题是常见方法，构造图形表达出阴影部分面积是本题解题关键．｛几何图形（动点）为背景判断函数图象★★★｝（2021•朝阳）如图，在正方形中，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点运动到点时，点，同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是A．B．C． D．【分析】根据点的运动情况，分点在，，上三种情况讨论，分别写出每种情况和之间的函数关系式，即可确定图象．【解答】解：当点在上时，即，，，此时二次项系数大于0，该部分函数图象开口向上，当点在上时，即，此时底边，高，，该部分图象为直线段，当点在上时，即时，此时底边，高，，，该部分函数图象开口向下，故选：．【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、三角形的面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．｛几何图形（动点）为背景判断函数图象★★★｝（2021•锦州）如图，在四边形中，，，，，的直角顶点与点重合，另一个顶点（在点左侧）在射线上，且，．将沿方向平移，点与点重合时停止．设的长为，在平移过程中与四边形重叠部分的面积为，则下列图象能正确反映与函数关系的是A．B．C． D．【分析】根据移动过程分三个阶段讨论，第一个是点到达点之前，即时，求出和的关系式，确定图象，第二个是点到达点之前，即时，求出和的关系式，确定图象，第三个是点到达点之前，即时，求出和的关系式，确定图象，即可确定选项．【解答】解：过点作，，，，，，当时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为，，，该部分图象开口向上，当时，如图，设与交于点，与交于点，则，设，则，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，该部分图象开口向下，当时，重叠部分的面积为，是固定值，该部分图象是平行轴的线段，故选：．【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要把移动过程分成几个阶段，然后根据每个阶段的情况单独讨论，确定和之间的函数关系式，从而确定图象．｛几何图形（动点）为背景判断函数图象★★★｝（2021•武汉）如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是．【分析】观察函数图象，根据图象经过点即可推出和的长，构造，当、、三点共线时，取得最小值，利用三角形相似求出此时的值即可．【解答】解：图象过点，即当时，点与重合，点与重合，此时，为等腰直角三角形，，过点作于点，过点作，并使得，如图所示：，，，，又，，当、、三点共线时，取得最小值，如图所示，此时：，，，又，，即，解得：，图象最低点的横坐标为：．故答案为：．【点评】本题考查动点问题的函数图象，通过分析动点位置结合函数图象推出、的长再通过构造三角形全等找到最小值是解决本题的关键．（2021•西宁）如图1，动点从矩形的顶点出发，在边，上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积随运动时间变化的函数图象如图2所示，则的长是A． B． C． D．【分析】由图2可知，，，当点到达点时，的面积为，可得出等式，求出的值，即线段的长．【解答】解：由图2可知，，，当点到达点时，的面积为，，即，解得．即的长为．故选：．【点评】本题主要考查动点问题中三角形的面积，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题关键．（2021•郴州）如图，在边长为4的菱形中，，点从点出发，沿路线运动．设点经过的路程为，以点，，为顶点的三角形的面积为，则下列图象能反映与的函数关系的是A．B．C．D．【分析】过点作于点，由题意易得，，由点的运动，分别计算出，当点从点运动到点时；当在线段上时；当点在线段上时，的面积的表达式，由此判断各个选项．【解答】解：过点作于点，如图所示：边长为4的菱形，中，，，，，，当点从点运动到点时，过点作于点，则，，，，的面积逐渐增大；当在线段上时，，的面积保持不变；当点在线段上时，如图，过点作交的延长线于点，则，则，，，，的面积逐渐减小．故选：．【点评】本题主要考查函数图象及菱形的性质，含的直角三角形等内容，熟练掌握函数图象及菱形的性质是解题关键．考点4：点坐标规律探究｛★★★｝如图，在平面直角坐标系中中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为A． B． C． D．【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半得出，，，即点的纵坐标为1；点的纵坐标为，点的纵坐标为，以此类推，从中得出规律，即可求出答案．【解答】解：三角形是等边三角形，，，．在直角△中，，，，即点的纵坐标为1，同理，，，即点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为．故选：．【点评】此题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，解答此题的关键是通过认真分析，根据角所对的直角边等于斜边的一半，从中发现规律．｛★★★｝如图1，中，，，，将放置在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴正半轴上．将按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2021次后，点的横坐标为A． B． C． D．【分析】根据三角形滚动规律得出每3次一循环，由已知可得三角形三边长的和为，进而可得滚动2021次后，点的横坐标．【解答】解：根据三角形滚动规律得出每3次一循环，，，，，，三角形三边长的和为：，则滚动2021次后，点的横坐标为：．故选：．【点评】此题主要考查了规律型：点的坐标，勾股定理，根据已知得出点的变化规律是解题关键．｛★★★｝在平面直角坐标系中，对于点我们把叫做点的伴随点，已知的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，这样依次得到，，，，若点的坐标为，则点的坐标为．【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2021除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可．【解答】解：的坐标为，，，，，，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，，点的坐标与的坐标相同，为．故答案是：．【点评】本题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．｛★★★｝在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，，这样依次得到点，，，，若点的坐标为，则点的坐标为A． B． C． D．【分析】根据友好点的定义及点的坐标为，顺次写出几个友好点的坐标，可发现循环规律，据此可解．【解答】解：点的坐标为，根据友好点的定义可得：，，，，，，以此类推，每4个点为一个循环，，点的坐标与的坐标相同，为．故选：．【点评】本题考查了规律型的点的坐标，从已知条件得出循环规律是解题的关键．（2021•德阳）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2025次旋转后，顶点的坐标为A．， B．， C．， D．，【分析】如图，连接，．首先确定点的坐标，再根据6次一个循环，由，推出经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，由此即可解决问题．【解答】解：如图，连接，．在正六边形中，，，，，在中，，，，，，，，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，次一个循环，，经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，与关于原点对称，，，经过第2025次旋转后，顶点的坐标，，故选：．【点评】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．（2021•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点出发以2个单位长度秒的速度沿循环爬行，问第2021秒瓢虫在处．A． B． C． D．【分析】根据点、、、的坐标可得出、及矩形的周长，由，可得出当秒时瓢虫在点处，再结合点的坐标即可得出结论．【解答】解：，，，，，，．，当秒时，瓢虫在点处，此时瓢虫的坐标为．故选：．【点评】本题考查了规律型中点的坐标，根据瓢虫的运动规律找出当秒时瓢虫在点处是解题的关键．（2018•广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动．其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，，第次移动到．则△的面积是A． B． C． D．【分析】由知，据此得出，据此利用三角形的面积公式计算可得．【解答】解：由题意知，，，，则△的面积是，故选：．【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1．（2022秋•紫金县期中）点在第四象限，点到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点坐标是A． B． C． D．【分析】根据第四象限的点的坐标特征，以及点到轴的距离等于横坐标的绝对值，到轴的距离等于纵坐标的绝对值，求出点的横坐标与纵坐标即可得解．【解答】解：点在第四象限，且点到轴的距离为3，到轴的距离为4，点的横坐标为4，纵坐标为，点的坐标为．故选：．【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于横坐标的绝对值，到轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．2．（2022春•牡丹江期中）已知点的坐标为，且点到两坐标轴距离相等，则的值为A． B． C．或 D．或【分析】根据到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，再解方程即可．【解答】解：点的坐标为，且点到两坐标轴距离相等，，或，解得或，故选：．【点评】本题考查了点的坐标，是基础题，列出绝对值方程是解题的关键．3．（2022•衢州）在平面直角坐标系中，点落在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据第三象限中点的坐标特征：横坐标为负数，纵坐标为负数，由此可确定点位置．【解答】解：，，点在第三象限，故选：．【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平面直角坐标系中各象限点的坐标特点是解题的关键．4．（2022春•东莞市校级期中）如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知棋子甲的坐标为，棋子乙的坐标为，则棋子丙的坐标是A． B． C． D．【分析】先利用棋子甲的坐标为画出直角坐标系，然后可写出棋子丙的坐标．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系：棋子丙的坐标是．故选：．【点评】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．5．（2022春•江油市期末）在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离相等，则的值为A． B．3 C．或3 D．或5【分析】点到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数，就可以得到方程求出的值．【解答】解：点到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数，分以下两种情况考虑：①横纵坐标相等时，即当时，解得：，②横纵坐标互为相反数时，即当时，解得：，故选：．【点评】此题主要考查了点的坐标，解答此题的关键是熟知到两坐标轴的距离相等的点的特点是：横纵坐标相等或横纵坐标互为相反数．6．（2021秋•金水区校级期末）下列说法不正确的是A．点，一定在第二象限 B．点到轴的距离为2 C．若中，则点在轴上 D．若，则点一定在第二、第四象限角平分线上【分析】根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得