【中考大赢家·突破】逆袭高分名师卷(模拟卷)(原卷版+解析)

绝密★启用前【中考冲刺满分】2022年中考数学名师押题预测全真模拟卷（北京专用）【中考大赢家·突破】逆袭高分名师卷（模拟卷）（本卷共28小题，满分100分，考试用时120分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；请将答案正确填写在答题卡上。2.本卷试题共三大题，共28小题，单选8题，填空8题，解答12题，限时120分钟，满分100分。一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分）1．下列三视图所对应的实物图是

（

）A．B．C．D．2．国家发改委消息：2022年我国安排中央预算内投资21亿元，支持建设体育公园等全民健身设施补短板工程项目185个．数据“21亿”用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．3．如图所示，AB∥CD，若∠2＝2∠1﹣6°，则∠2等于（）A．116° B．118° C．120° D．124°4．下列图形既是中心对称又是轴对称的是（

）A． B． C． D．5．若多边形的内角和是，则此多边形的边数为（

）A．16 B．15 C．14 D．136．如图在数轴上有M、N两点，则两点表示的数字之和不可能（

）A．2 B．－4 C．－3.45 D．－77．在一个不透明的袋中，装有个白球和个黄球，这些球除颜色外其余都相同搅均后从中随机一次摸出两个球，则两个球都是白球的概率是（

）A． B． C． D．8．嘉嘉买了6支笔花了9元钱，琪琪买了同样售价的支笔，还买了单价为5元的三角尺两幅，用(元)表示琪琪花的总钱数，那么与之间的关系式应该是(

)A． B． C． D．二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）9．使等式成立的实数a的取值范围是________．10．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______．11．比较大小：﹣2___﹣3（填上＞、＜或＝）．12．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足方程x﹣2y＝4，则k的值为______．13．如图，AC＝AD，∠DAC＝∠EAB，要使，应添加的条件是______．（只需写出一个条件即可）14．已知正比例函数的函数值随值的增大而增大，则一次函数在平面直角坐标系内的图象经过第__________象限．15．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，，则原点所在的位置有可能是点______．16．在直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，直线经过点，并且与轴平行，与关于线对称．（1）图中格点的面积为______．（2）画出，并写出的顶点的坐标：______．（3）观察图中对应点坐标之间的关系，写出点关于直线的对称点的坐标：______．三、解答题（本题共12小题，17-20每小题5分，21题6分，22题5分，23-24每小题6分，25题5分，26题6分，27-28每小题7分，共68分）17．计算：18．计算.（1）解方程组：．（2）解不等式：．19．化简求值.（1）先化简，再求值：，其中．（2）若代数式，求代数式的值．20．若是关于x的一元二次方程的两个根，则．现已知一元二次方程的两根分别为m，n．（1）若m=4，n=-2，求的值；（2）若p=1，q=-2，求的值．21．如图，一块余料，，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点O，画射线，交于点E．（1）求证：；（2）若，求的度数．22．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，于点E交AC于点P，于点F．(1)判断四边形DEBF的形状，并说明理由；(2)如果，，求出DP的长．23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．(1)求这两个函数表达式；(2)当时，请直接写出x的取值范围；(3)若一次函数的图象与x轴交于点C，点M在反比例函数的图象上．当时，请求出点M的坐标．24．助力脱贫致富，增加农民收入，我市某村发展养殖业，村民王大伯承包了一个鱼塘，年初投放了2500条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了100条鱼，做上记号后放回鱼塘．过几天第二次随机捕捞了100条鱼，发现这100条鱼中有5条有记号，同时秤得这100条鱼的质量，整理得如下条形统计图。(1)补全条形统计图；(2)这100条鱼质量的中位数是；(3)经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可获得销售收入多少元？25．如图，抛物线y＝ax2+3x+c与x轴交于点A，B，直线y＝x+1与抛物线交于点A，C（3，n）．点P为抛物线上一动点，其横坐标为m．(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标；(2)已知直线l：x＝m+5与直线AC交于点D，过点P作PE⊥l于点E，以PE，DE为边作矩形PEDF．①当抛物线的顶点在矩形PEDF内部时，请直接写出m的取值范围．②在①的条件下，求矩形PEDF的周长的最小值．26．感知发现：如图①，在正方形中，为边上一点，连接，过点作交于点．易证：．（不需要证明）类比探究：如图②，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点．(1)求证：．(2)若，，为的中点，求的长．(3)如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连接，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为__________．27．如图，已知平面直角坐标系内，点，点，连接．动点P从点B出发，沿线段向运动，到达点后立即停止，速度为每秒个单位，设运动时间为t秒．(1)当点P运动到中点时，求此时的解析式；(2)在（1）的条件下，若第二象限内有一点，当时，求a的值；(3)如图2，当点P从B点出发运动时，同时有点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向上运动，点P停止运动，点M也立即停止运动．过点P作轴交于点N．在运动过程中，是否存在t，使得为等腰三角形？若存在，求出此时的t值，若不存在，说明理由．28．如图，已知二次函数的图象与轴和轴的正半轴分别交于点和点，直线经过点，交轴于点点是第一象限内二次函数图象上一动点，于点，DF//轴交直线于点．(1)求点、点的坐标以及二次函数的表达式；(2)是否存在点，使得与全等？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．绝密★启用前【中考冲刺满分】2022年中考数学名师押题预测全真模拟卷（北京专用）【中考大赢家·突破】逆袭高分名师卷（模拟卷）（本卷共28小题，满分100分，考试用时120分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；请将答案正确填写在答题卡上。2.本卷试题共三大题，共28小题，单选8题，填空8题，解答12题，限时120分钟，满分100分。一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分）1．下列三视图所对应的实物图是

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）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：根据题意，本题应该选C.2．国家发改委消息：2022年我国安排中央预算内投资21亿元，支持建设体育公园等全民健身设施补短板工程项目185个．数据“21亿”用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】科学记数法表示较大的数形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，10的指数n比原来的整数位数少1．【详解】解：21亿=2100000000=2.1×109，故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图所示，AB∥CD，若∠2＝2∠1﹣6°，则∠2等于（）A．116° B．118° C．120° D．124°【答案】B【分析】由AB与CD平行，利用两直线平行同旁内角互补得到∠2+∠3=180°，由对顶角相等得到∠1=∠3，等量代换得到∠1＝180°-∠2，再代入∠2＝2∠1﹣6°，即可求出∠2的度数．【详解】解：如图：∵AB∥CD，∴∠2+∠3＝180°，∴∠3＝180°-∠2，∵∠1＝∠3，∴∠1＝180°-∠2，∴∠2＝2（180°-∠2）﹣6°，∴∠2＝118°，故选：B．【点睛】此题考查了对顶角性质和平行线的性质，掌握两直线平行同旁内角互补是解答此题的关键．4．下列图形既是中心对称又是轴对称的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【详解】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．5．若多边形的内角和是，则此多边形的边数为（

）A．16 B．15 C．14 D．13【答案】D【分析】根据多边形内角和可直接进行求解．【详解】解：由题意得：，解得：；故选D．【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．6．如图在数轴上有M、N两点，则两点表示的数字之和不可能（

）A．2 B．－4 C．－3.45 D．－7【答案】A【分析】由图可知M在原点的右边，则M大于0，N在原点的右边，则N小于0，且M的绝对值小于N的绝对值，由此可知两个点表示的数字和应为负数，选出不可能的选项即可．【详解】解：由图可知M在原点的右边，则M大于0，N在原点的右边，则N小于0，且M的绝对值小于N的绝对值，∴两个点表示的数字和应为负数，故选A．【点睛】本题考查有理数的加法运算，数轴上点的特征，以及绝对值的概念，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．7．在一个不透明的袋中，装有个白球和个黄球，这些球除颜色外其余都相同搅均后从中随机一次摸出两个球，则两个球都是白球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】列举出所有情况，看两个球都是白球的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：列树状图为：所有等可能的情况数有12种，其中恰为2个白球的情况有6种，两个球都是白球的概率是：．故选：C．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．8．嘉嘉买了6支笔花了9元钱，琪琪买了同样售价的支笔，还买了单价为5元的三角尺两幅，用(元)表示琪琪花的总钱数，那么与之间的关系式应该是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得每支笔的价格，然后依据总售价=单价×支数列出关于即可.【详解】解：∵每支笔的价格=9÷6=1.5元/支，∴y与x之间的关系式为：y=1.5x+10，故选：A.【点睛】本题主要考查的是列函数关系式，掌握题目中的数量关系是解题的关键.二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）9．使等式成立的实数a的取值范围是________．【答案】a＞2【分析】根据分式有意义的条件和二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出a的取值范围即可．【详解】解：根据题意得：解得：所以不等式组的解集为：a＞2．故答案为：a＞2．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法以及分式有意义的条件，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，且分式的分母不为0．10．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______．【答案】【分析】利用判别式的意义得到Δ＝22﹣4•k＞0，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得Δ＝22﹣4•k＞0，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．11．比较大小：﹣2___﹣3（填上＞、＜或＝）．【答案】【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得出答案．【详解】解：，，，．故答案为：．【点睛】此题考查了实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小．12．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足方程x﹣2y＝4，则k的值为______．【答案】7【分析】首先结合得，求出x，y的值，再将x，y的值代入2x-y=k得出答案即可．【详解】解：根据题意，得解得，将代入2x-y=k，得，解得k=7．故答案为：7．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是解题的关键．13．如图，AC＝AD，∠DAC＝∠EAB，要使，应添加的条件是______．（只需写出一个条件即可）【答案】AE＝AB或∠E＝∠B或∠D＝∠C【分析】由题意易证∠BAC=∠EAD，由此可知两个三角形已经具备一边一角的条件，再根据全等三角形的判定方法，添加一边或一角的条件即可．【详解】解：∵，∴，即∠BAC=∠EAD．（1）当∠B=∠E时，即，∴；（2）当∠C=∠D时，即，∴；（3）当AB=AE时，即，∴．故答案为：∠B=∠E或∠C=∠D或AB=AE．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的各种判定方法及适用条件是解题的关键．14．已知正比例函数的函数值随值的增大而增大，则一次函数在平面直角坐标系内的图象经过第__________象限．【答案】一、二、四【分析】根据题意易得，然后根据一次函数的图像与系数的关系直接进行求解即可．【详解】解：由正比例函数的函数值随值的增大而增大，则有，进而的图像经过一、二、四象限；故答案为一、二、四．【点睛】本题主要考查一次函数的图像与系数的关系，熟练掌握一次函数的图像与系数的关系是解题的关键．15．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，，则原点所在的位置有可能是点______．【答案】B【分析】根据数轴，以及题意可以确定，，，再把数和形结合起来，即可求解．【详解】解：根据点在数轴上的位置，∵满足，，∴a，b异号，∴原点在B，C中间，且，，，∴B离原点更远，故原点的位置可能在B处，故答案为：B．【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，有理数的加减运算，解题的关键是要把数和点对应起来，利用数形结合思想解决问题．16．在直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，直线经过点，并且与轴平行，与关于线对称．（1）图中格点的面积为______．（2）画出，并写出的顶点的坐标：______．（3）观察图中对应点坐标之间的关系，写出点关于直线的对称点的坐标：______．【答案】（1）；（2）画图见详解，；（3）【分析】（1）利用割补法求解即可；（2）分别作出三角形三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可得解；（3）通过观察（2）的图形，可得到规律关于直线对称点的横坐标相等，纵坐标和的一半为，从而可以求得结论．【详解】解：在平面直角坐标系中构造四边形，如图：观察图形可知，∴的面积为．故答案是：（2）即为所求，如图所示：，，．故答案是：．（3）∵，，，，∴关于直线对称点的横坐标相等，纵坐标和的一半为∴点关于直线的对称点的坐标为．故答案是：．【点睛】本题主要考查了在网格中用割补法求三角形的面积、轴对称变换作图、轴对称图形在平面直角坐标系中的坐标变化规律，解题的关键是灵活运用相关知识点．三、解答题（本题共12小题，17-20每小题5分，21题6分，22题5分，23-24每小题6分，25题5分，26题6分，27-28每小题7分，共68分）17．计算：【答案】【分析】先根据负指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的意义和二次根式的化简分别求解，然后在按照实数的混合运算法则计算，即可求得结果．【详解】解：原式＝＝＝【点睛】本题考查了负指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的意义和二次根式的化简．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18．计算.（1）解方程组：．（2）解不等式：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用加减消元法求解即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：（1），①②，得：，解得，将代入①，得：，解得，方程组的解为；（2）解不等式①，得：，解不等式②，得：，则不等式组的解集为．【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．化简求值.（1）先化简，再求值：，其中．（2）若代数式，求代数式的值．【答案】（1），；（2）29【分析】（1）根据整式加减运算，进行化简，然后代入求值即可；（2）将当成整体，代入到代数式，求解即可．【详解】解：（1）将代入得，原式故答案为，；（2）将整体代入得故答案为29【点睛】此题考查整式的加减运算以及代数式求值，解题的关键是掌握整式加减运算法则和整体代入思想．20．若是关于x的一元二次方程的两个根，则．现已知一元二次方程的两根分别为m，n．（1）若m=4，n=-2，求的值；（2）若p=1，q=-2，求的值．【答案】（1）；（2）-4．【分析】（1）根据题意可得，由此求解即可；（2）利用，，求出m、n的值，然后代值计算即可．【详解】解：（1）由题意得：，∴；（2）∵p=1，q=-2，∴一元二次方程即为，∵m、n是一元二次方程的两根，∴，，∴．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．21．如图，一块余料，，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点O，画射线，交于点E．（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）40゜【分析】（1）利用平行线的性质及角平分线的性质解答；（2）利用等边对等角的性质求解．【详解】解：（1）证明：∵，∴．由作图可知，是的平分线，∴，∴；（2）∵∴．∴．【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的画法及性质，等边对等角的性质，熟记角平分线的画法是解题的关键．22．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，于点E交AC于点P，于点F．(1)判断四边形DEBF的形状，并说明理由；(2)如果，，求出DP的长．【答案】(1)矩形，理由见解析；(2)【分析】（1）根据菱形的性质和矩形的判定方法即可解答；（2）根据菱形的性质得到，根据矩形的性质得到，进而利用勾股定理即可解答．【详解】(1)解：四边形DEBF是矩形理由：∵于E，于F，∴，∵四边形ABCD是菱形，∴，∴，∴，∴四边形DEBF是矩形；(2)如图，连接PB，∵四边形ABCD是菱形，∴AC垂直平分BD，∴，由（1）知，四边形DEBF是矩形，∴，设，则，在Rt△PEB中，由勾股定理得：，即，，解得，∴．【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的判定及其性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和矩形的判定定理及其性质．23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．(1)求这两个函数表达式；(2)当时，请直接写出x的取值范围；(3)若一次函数的图象与x轴交于点C，点M在反比例函数的图象上．当时，请求出点M的坐标．【答案】(1)，；(2)或；(3)M的坐标为（－，）或（，－）【分析】（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得B点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式；（2）根据函数与不等式的关系，可得答案；（3）求得C的坐标，根据题意以及三角形的面积即可求得S△OCM＝，进而求得即|yM|＝，代入反比例函数解析式即可求得M的坐标，．【详解】(1)解：由题意得，解得，∴反比例函数的解析式为，∵点B（，－2）在反比例函数的图象上，∴＝2，∴B（2，－2），∵点A（－4，1）和点B（2，－2）在一次函数的图象上，∴解得∴一次函数的解析式为；(2)由图象可知：或；(3)∵一次函数的图象与轴交于点C，∴点C的坐标为（－2，0），∴，∵，∴，∵OC＝2，点M在反比例函数的图象上，∴点M的纵坐标的长度为，即，∴点M的坐标为（－，）或（，－）．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．24．助力脱贫致富，增加农民收入，我市某村发展养殖业，村民王大伯承包了一个鱼塘，年初投放了2500条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了100条鱼，做上记号后放回鱼塘．过几天第二次随机捕捞了100条鱼，发现这100条鱼中有5条有记号，同时秤得这100条鱼的质量，整理得如下条形统计图。(1)补全条形统计图；(2)这100条鱼质量的中位数是；(3)经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可获得销售收入多少元？【答案】(1)25条，图形见详解；(2)1.45千克；(3)售完鱼塘里的这种鱼可获得销售收入50400元．【分析】（1）利用样本容量100减去其它重量的鱼的条数计算得出结果25条，补画条形图即可；（2）根据中位数定义将数据从小到大排列，找出第50条鱼与第51条鱼的重量，求平均数即可；（3）先用样本估计总体，列比例式x:100=100:5求出鱼塘的余数，再利用加权平均数求100条鱼的平均数，然后用样本平均数×鱼的条数×18计算即可．【详解】(1)解：∵第二次随机捕捞了100条鱼，∴1.4千克的条数为：100-5-20-30-10-10=25条，补全条形图如图；(2)从条形图知这100条鱼从小到大进行排序后第50条鱼重量为1.4千克，第51条鱼重量为1.5千克，这100条鱼质量的中位数是千克，故答案为：1.45千克；(3)解：∵过几天第二次随机捕捞了100条鱼，发现这100条鱼中有5条有记号，设鱼塘有鱼为x条，根据题意x:100=100:5，解得x=2000，第二次随机捕捞了100条鱼的质量平均数为：千克，∴售完鱼塘里的这种鱼可获得销售收入1.45×2000×18=50400元．【点睛】本题考查补画条形图，计算相关数据，中位数，加权平均数，用样本的百分比含量估计总体的重量，掌握补画条形图方法，计算相关数据，中位数，加权平均数，用样本的百分比含量估计总体的重量是解题关键．25．如图，抛物线y＝ax2+3x+c与x轴交于点A，B，直线y＝x+1与抛物线交于点A，C（3，n）．点P为抛物线上一动点，其横坐标为m．(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标；(2)已知直线l：x＝m+5与直线AC交于点D，过点P作PE⊥l于点E，以PE，DE为边作矩形PEDF．①当抛物线的顶点在矩形PEDF内部时，请直接写出m的取值范围．②在①的条件下，求矩形PEDF的周长的最小值．【答案】(1)；顶点坐标为；(2)①；②矩形周长的最小值为12【分析】(1)对于，令，可得点A的坐标，根据C点在直线y=x+1上，把C(3,n)代入解析式，得到n，再把A，C的坐标分别代入抛物线，解方程组即可得到抛物线的解析式；(2)①根据矩形左边点的横坐标小于顶点的横坐标，矩形上边点的纵坐标大于顶点的纵坐标，就可得到不等式组，解之即可；②把矩形的长转化为二次函数的解析式，求它的最小值即可．【详解】(1)解：对于，当时，，∴.将代入，得，∴，将，分别代入，得，解得，故抛物线的解析式为.∵，∴抛物线的顶点坐标为.(2)解：①.由题意可知，，，.∵抛物线的顶点在矩形内部，∴且,∴.②易知，.∵，∴当时，最小，最小值为1，∴矩形周长的最小值为.【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、抛物线顶点的确定、矩形的性质，利用二次函数的性质求线段长的最小值问题，解决本题的关键是要充分应用数形结合思想分析问题．26．感知发现：如图①，在正方形中，为边上一点，连接，过点作交于点．易证：．（不需要证明）类比探究：如图②，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点．(1)求证：．(2)若，，为的中点，求的长．(3)如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连接，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为__________．【答案】(1)见解析；(2)；(3)的长为或2【分析】（1）利用矩形的性质，同角的余角相等，即可证明；（2）由（1）的结论，利用相似三角形对应边成比例，列等式求解即可；（3）①如果，不符合题意；②如果，利用求解即可；③如果，则，根据等腰三角形的性质即可解答．【详解】(1)解：证明：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．(2)解：∵为中点，∴，由（1）知，∴，即，∴．