2022届高三-二轮复习资料-概率统计（文）

2022届高三--二轮复习资料（通用版）-概率统计（文）（教师版）

一.概率统计基础知识复习过眼:

简单抽样从总体中逐个抽取且不放回抽取样本的方法。

随机

分层抽样将总体分层，按照比例从各层中独立抽取样本的方法。等概率抽样。

抽样

统

系统抽样将总体均匀分段，每段抽取一个样本的方法。

计

与众数样本数据中出现次数最多的数据。

统

统

计

计中位数从小到大排序后，中间的数或者中间两数的平均数。

样本

案

估

计-1

例标准差s了

总

体平均数%入2,…,后的平均数是工=一（%+X,+・・・+怎）。

nFh=i

方差石,电，…，%的平均数为了，=~y（X.-X）2o

ni=\

如果随机事件A在〃次试验中发生了5次，当试验的次数〃很大时，我们可以将发生的

定义频率”作为事件A发生的概率的近似值，即P（A）='。

nn

互斥事件

事件事件A和事件B在任何一次实验中不会同时发生

关系

对立事件事件A和事件B,在任何一次实验中有且只有一个发生。类比集合关系。

基本性质0<P(A)<l,P(0)=O,P(Q)=lo

概性质

率互斥事件事件A,8互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B).

特征基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性

古典

型

概

计算公式尸（4）=',〃基本事件的个数、加事件A所包含的基本事件个数。

n

特征基本事件个数的无限性每个基本事件发生的等可能性。

何

几

型

概

计算公式»八构成事件A的测度

P（A）=

试验全部结果所构成的测度

统计案例：1.线性回归方程：样本数据的相关系数

“---

备(XLX)8—y)

反映样本数据的相关程度，川越大，则相关性越强.

在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来判断两个变量之间是否具有相关关系.若具有线性相

关关系，则回归直线过样本点的中心（工，7）,并且可通过线性回归方程估计预报变量的值

2.独立性检脸：假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为｛xi,4｝和｛yi,/｝,其样本频数列联表（称为2X2

列联表）为:

歹2总计

X]aba+b

X2Cdc+d

总计a+cb+da+b+c+d

蜉=伍+6）（%）（%）（,+团（其中〃=。+人+。+"为样本容量）.

二.概率统计真题研究

1.（2021全国乙卷）在区间（0,；随机取1个数，则取到的数小于3的概率为（）

3211

A.4-B.3-3-D.6-

【答案】B

【解析】

【分析】

根据几何概型的概率公式即可求出.

【详解】

设C="区间（0，）随机取1个数"，对应集合为:A-|0<X<yk区间长度为

A="取到的数小于g",对应集合为：卜|0<x<T，区间长度为g,

--0

所以P⑷%32

二3

2

故选：B.

【点睛】

本题解题关键是明确事件"取到的数小于g”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确求出.

2.(2021全国甲卷)为「解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数

据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

【答案】C

【解析】

【分析】

根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和

即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.

【详解】

因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比

率的估计值.

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%,故A正确；

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+().()2x3=().l()=10%,故B正确;

该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.10+0.14+0.20x2=0.64=64%>50%,故D正确;

该地农户家庭年收入的平均值的估计值为

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68

（万元），超过6.5万元，故C错误.

综上，给出结论中不正确的是C.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的

平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率

等于1fx组距，

3.（2021新高考1卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

【答案】C

【解析】

【分析】

利用古典概型的概率公式可求概率.

【详解】

解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,

共10种排法，

其中2个0不相邻的排列方法为：

01011,01101,01110,10101,10110,11010,

共6种方法，

故2个0不相邻的概率为3=06，

故选：c.

4.(2020全国三卷)设一组样本数据刈，X2,X。的方差为0.01,则数据lOxi,10x2,…，10xn的方差为()

A.0.01B.0.1C.1D.10

【答案】C

【解析】

【分析】

根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.

【详解】

因为数据叼+A(i=l，2,L㈤的方差是数据%,(i=l,2,L,〃)的方差的“2倍，

所以所求数据方差为1()2x001=1

故选：C

【点睛】

本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.

5.(2021新高考2卷)有一组样本数据阳，巧，…，x“，由这组数据得到新样本数据外,上，…，y“，其中%=%+。

(，=1,2「、〃),。为非零常数，则()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样数据的样本极差相同

【答案】CD

【解析】

【分析】

A、C利用两组数据的线性关系有E(y)=E(x)+c、D(y)=D(x),即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已

知线性关系可判断B、D的正误.

【详解】

A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c且*0,故平均数不相同，错误；

B：若第一组中位数为王，则第二组的中位数为％=x；+c,显然不相同，错误；

C：O(y)=O(x)+O(c)=O(x),故方差相同，正确；

D：由极差的定义知：若第一组的极差为工2-%而，则第二组的极差为为^-为加虫/稣+0-⑷.+^=…-小…

故极差相同，正确：

故选：CD

6.(2021新高考1卷)下列统计量中，能度量样本内,当，…，毛的离散程度的是()

A.样本为,多,…,x”的标准差B.样本再,々，…，％”的中位数

C.样本玉,々,…,x”的极差D.样本±,七,…,x”的平均数

【答案】AC

【解析】

【分析】

考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.

【详解】

由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；

由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；

由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；

由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；

故选：AC.

7.(2021全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧

设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下:

旧设备9.810310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为1和5,样本方差分别记为和

(1)求x,y,s；,s；；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果了一工22,牛捍，则认为新设备生产

产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

【答案】（1）嚏=10,3=10.3”；=0.036,s；=0.04；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

【解析】

【分析】

（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.

（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.

【详解】

,、-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7，八

⑴x=--------------------------------------------------------------------=10,

10

-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5…

y=---------------------------------------------------------------------------=10.3,

10

20.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32

用=----------------------------------------------=0.036,

110

，0.22+0.12+0.222+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22八〜

耳=---------------+--0-3-------------------------------=0.04.

210

(2)依题意，y-x=0.3=2x0.15=2V0.152=25/0.0225-2^°，03^°-04=270.0076,

r~^2"

y-X>2j^^，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

.V10

8.（2021全国甲卷）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质

量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

n(ad-hcy

伍+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）75%；60%；

（2）能.

【解析】

【分析】

根据给出公式计算即可

【详解】

（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为翳=75%,

乙机床生产的产品中的一级品的频率为1瑞20=60%.

⑵^^400(150x80-120x50)-=400>[0>6635)

270x130x200x20039

故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.

9.（2020全国三卷）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整

理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次

[0,200](200,400](400,600]

空气质量等级

1（优）21625

2（良）51012

3（轻度污染）678

4（中度污染）720

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好"；若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质

量不好根据所给数据，完成下面的2x2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻

炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次“00人次＞400

空气质量好

空气质量不好

n[ad-bcy

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为043、().27、().21、0.09；(2)350；(3)

有，理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率;

(2)利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果;

(3)根据表格中的数据完善2x2列联表，计算出K?的观测值，再结合临界值表可得结论.

【详解】

(1)由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为当三=0.43,等级为2的概率为

1(X)

5+12

,nn=0-27'等级为3的概率为=0.21,等级为4的概率为二^9=0。9；

10()1()()10()

100x20+300x35+500x45…

(2)由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为------------------------=350

100

(3)2x2列联表如下:

人次4400人次＞400

空气质量不好3337

空气质量好228

犬2100x(33x8-37x22)2

«5.820>3.841，

55x45x70x30

因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.

【点睛】

本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.

三.概率统计典型例题研究

类型一：抽样方法

例L要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取

100户调查有关消费购买力的某项指标；(2)从某高一年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况；应采用的

抽样方法分别是()

A.(1)用简单随机抽样，(2)用分层随机抽样B.(1)(2)都用简单随机抽样

C.(1)用分层随机抽样，(2)用简单随机抽样D.(1)(2)都用分层随机抽样

【答案】C

【解析】

【分析】

根据简单随机抽样、分层抽样的适用条件进行分析判断.

【详解】

因为有关消费购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社区家庭收入差距明显，所以①用分层抽样：

从10名体育特长生中抽取3人调查学习情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽

样.

故选：C

例2.某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000,001,…，899进行编号，从

中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据

下图，读出的第6个数的编号是（）

16766227665650267107329079785313553858598897541410

12568599269682731099169672931557121014218826498176

55595635643854824622316243099006184432532383013030

A.827B.315C.696D.729

【答案】B

【解析】

【分析】

找到第4行第4列的数开始向右读数，三个数字为一组，如果数据超过899则跳过，数到第六个899以内的数字即

可

【详解】

从685开始向右数，即685,992,696,827,310,991,696,729,315,跳过992,991,696重复，跳过，所以

第6个数字为315

故选：B

例3.某为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽

取100名学生进行体质测验，若45号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）

A.8号学生B.200号学生

C.615号学生D.816号学生

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，建立第〃组与所抽取编号之间的对应关系，即可对每个选项逐一分析和判断.

【详解】

因为总共有1000名学生，需要抽取100名，故需要分为100组，组距为10,

不妨设第〃组抽到的学生编号是凤，则山系统抽样可知，｛4｝为公差d=l（）的等差数列，

则可设=10〃+%,N+，〃4100,又45号学生在第5组，即％=45,50+加=45,则旭=-5；

故q=10〃-5,当凡=8或200或816时，〃都不是整数，故不可能抽到；

当％=615时,即10”—5=615,解得〃=62,即第62组抽取的编号是615.

故选：C.

变式1.某企业甲车间有200人，乙车间有300人，现用分层抽样的方法在这两个车间中抽取25人进行技能考核,

则从甲车间抽取的人数应为（）

A.5B.10C.8D.9

【答案】B

【解析】

【分析】

根据分层抽样的定义即可求解.

【详解】

从甲车间抽取的人数为25x———=10人.

ZOU+3UO

故选：B

变式2.某高中为了了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的同学进行了调查，根据学

生所属的专业类型，制成饼图，现从这些同学中抽出200人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专

业，则下列说法不正确的是（）

A.采用分层随机抽样比简单随机抽样更合理

B.若按专业类型进行分层随机抽样，则理学专业和工学专业应抽取60人和40人

C.若按专业类型进行分层随机抽样，则张三被抽到的可能性比李四大

D.该问题中的样本容量为200

【答案】C

【解析】

【分析】

由分层抽样的定义以及分层抽样的特点判断选项A、B、C,利用样本容量的定义判断选项D.

【详解】

对于选项A,采用分层随机抽样更合理，故A正确；

对于选项B,理学专业应抽取的人数为200x^=60,工学专业应抽取的人数为200x^=40,故B正确；

10010()

对于选项C,张三与李四被抽到的可能性一样大，故c错误；

对于选项D,该问题中的样本容量为200,故D正确.

故选：D.

变式3.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行001,002,....599,600.

从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的

第6个样本编号是()

33211834297864560732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

A.457B.328C.253D.072

【答案】D

【解析】

【分析】

从表中第5行第6列开始向右读取数据，求得前6个编号，由此得到结果.

【详解】

解：从表中第5行第6列开始向右读取数据，

得到的前6个编号分别是：253,313,457,007,328,072,

则得到的第6个样本编号是072.

故选：D.

类型二：数据特征

例L如图是某赛季两位篮球运动员最近10场比赛中各自得分的茎叶图，两人的平均得分分别为嘉得则下列

结论正确的是（）

甲乙

97444321109

202012246

358

A.瓦〈豆，甲比乙稳定B.无，乙比甲稳定

C.焉〉片,甲比乙稳定D.惠〉窿，乙比甲稳定

【答案】A

【解析】

【分析】

比较甲乙两人的平均值，和他们成绩的集中分散情况，可得答案.

【详解】

——1

根据茎叶图可知，xifl=-(114-12+134-3x14+17+19+20+22)=15.6,

—1

X乙丁(1°+19+2°+21+22x2+24+26+35+38)=23.7，

222

S'J2K"T5.6)+(12-15.6)+…+(20-15.6)2+(22-]5.6)]=12.24,

S/=；[(10-23.7)2+(19-23.7)2+…+(20-15.6尸+(38-23.7))=57.61,

故甲运动员的平均成绩低于乙运动员的平均成绩，但甲的成绩比乙的成绩更集中，

因此甲比乙稳定，

故选:A.

例2.已知数据知它,…,”的平均数为“，方差为b,中位数为c,极差为4.由这组数据得到新数据加必…，为)，

其中％=2'+甲=1,2,…,60),则下列命题中错误的是()

A.新数据的平均数是2.+1B.新数据的方差是4。

C.新数据的中位数是2cD.新数据的极差是2d

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平均数、方差、中位数、极差的定义求解.

【详解】

解：对于选项A：因为「+”•,+%,所以新数据的平均数为—+丫??••+%=—+/++/)+60=税+],故选

0()(X)0()

项A正确，

对于选项B：因为方=5一'+(x「3+…+(%-4,所以新数据的方差为

[y-（2q+l）]~+[%~~（2a+l）]~+•••+1）%）-（2〃+1）『_12（内―4）]一+[2（七—+…+[2（%）-a）「

-60-60-

=4[（占-”+心-4+...+1-°）1=4b,故选项B正确，

60

对于选项C：因为数据引，巧，…，%的中位数为c,所以新数据的中位数是2c+l,故选项C错误，

对于选项D：设数据X-巧，…，%中%最大，％,最小（其中啜女6（）,啜M60,“eN*,meN*）,则乙-匕=”，

所以新数据的极差是%-=2x.+l-（2x„,+l）=2J,故选项D正确，

故选：C.

例3.已知数据34+2,3七+2,3看+2,3》4+2的平均数为11,则数据2牛2%,202%的平均数为（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用平均数的公式求出占+々+W+七=%,再利用平均数的公式可求得结果

【详解】

山题意知3%+2+3*2+2+3玉+2+35+2=44,

所以占+马+%+匕=12,

所以2%+2%+2%+2苫4=24,故其平均数为2三4=6,

4

故选：B.

变式1.耀华全体学生参加了主题为“致敬建党百年，传承耀华力量”的知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩

统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布

直方图如图所示，下列说法正确的是（）

频率/组距

A.直方图中x的值为0.04

B.在被抽取的学生中，成绩在区间［70,80）的学生数为30人

C.估计全校学生的平均成绩为84分

D.估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分

【答案】C

【解析】

【分析】

对A：利用频率分布直方图的性质即可求解：对B：利用频率与频数的关系即可求解；对C：利用频率分布宜方图

中平均数的计算公式即可求解：对D：利用百分位数的计算公式即可求解.

【详解】

解：对A：由频率分布直方图的性质可得，（0.005+0.01+0.015+X+0.04）xl0=l,解得x=0.03,故选项A错误；

对B：在被抽取的学生中，成绩在区间［70,80）的学生数为400x0015x10=60人，故选项B错误；

对C：估计全校学生的平均成绩为55x0.05+65x0.1+75x0.15+85x0.3+95x0.4=84分，故选项C正确；

对D：由图可知样本数据的80%分位数约为90+吟”x10=95分，故选项D错误.

0.4

故选：C.

变式2.某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对"创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为

整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在［40,100］内.现将这些分数分成6组并画

出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示.观察图形，则下列说法错误的是（）

A.频率分布直方图中第三组的频数为10人

B.根据频率分布直方图估计样本的众数为75分

C.根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分

D.根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分

【答案】D

【解析】

【分析】

根据各段的频率的和等于1,可求出第三段的频率，进而得到频数，可判定A；根据众数是频率分布直方图中最高

矩形的底边中点的横坐标得到众数的估计值，可判定B；由中位数左右两边的频率各为0.5,可以求得中位数，从而

判定C；同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相乘再求出它们的和即为平均数的

估计值，进而判定D.

【详解】

分数在［60,70）内的频率为1-10x（0.005+0.020+0.030+0.025+0.010）=0.10,

所以第三组［60,70）的频数为100x0.10=10（人），故A正确；

因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；

因为(0.005+0.020+0.010)x10=0.35<0.5,(0.005+0.020+0.010+0.03)x10=0.65>0.5,

所以中位数位于［70,80),设中位数为“，则0.35+(4-70)x0.03=0.5,解得”=75,故C正确;

样本平均数的估计值为：45x0.05+55x0.2+65x0.1+75x0.3+85x0.25+95x0.1=73（分），故D错误.

故选：D.

变式3.某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示.该商场为了解消费者对各平台销

售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示.下列说法正确

的是()

图1图2

A.样本中对平台一满意的消费者人数约700

B.总体中对平台二满意的消费者人数为18

C.样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60

D.若样本中对平台三满意的消费者人数为120,则〃?=90%

【答案】C

【解析】

【分析】

根据扇形图和频率分布直方图判断.

【详解】

对于A：样本中对平台一满意的人数为2000x6%x35%=42,故选项A错误；

对于B：总体中对平台二满意的人数约为1500x20%=300,故选项B错误；

对于C：样本中对平台一和平台二满意的总人数为：2000x6%x35%+1500x6%x20%=60,故选项C正确:

120

对于D：对平台三的满意率为一一/一=80%,所以加=80%,故选项D错误.

2500x6%

故选：c

类型三：古典概型

例1.已知某班英语兴趣小组有4名男生和3名女生，从中任选2人参加该校组织的英语演讲比赛，则恰有1名女

生被选到的概率是（）

34D

AB.一C.一-1

-777

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意求得基本事件的总数，以及所求事件中所包含基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.

【详解】

由题意，从这7名学生中任选2人，共有C；=21种选法,

其中恰有1名女生被选到的选法有C；C；=12种,

124

所以恰有1名女生被选到的概率是尸=五=,

故选：C.

例2.《周易》是我国古代典籍，用"卦"描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、

离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中"―”表示一个阳爻，"一—”表示一个阴爻）.若从八卦中任取两卦,

这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（）

3c3

A.5C.—D.-

28144

【答案】C

【解析】

【分析】

利用古典概型的概率公式求解即可.

【详解】

根据八卦图可知：8个卦中含有两个以上阳爻的有1个，有两个阳爻的有3个，分别为离、巽、兑，有一个阳爻的

有3个，分别为震、艮、坎，无阳爻的有1个，为坤，

选的两卦的六个爻中恰有两个阳爻，可以从有两个阳爻的离、巽、兑中选一个，另一个选坤，

这种选法有C；C；=3种；

也可以从有一个阳爻的震、艮、坎中选两个，这种选法有C；=3种，

从八卦中任取两卦的选法有C；=28种，

则从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为翌4=^.

。14

故选：C.

例3.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事."田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等

马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马."双方从各自的马匹中随机选一匹进行

一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）

1111

A.-B.-C.-D.；

6432

【答案】C

【解析】

【分析】

记田忌的上等马、中等马、下等马分别为。，b,C,齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C,然后列

出所有的情况和满足所求事件的情况即可得到答案.

【详解】

依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为。，b,c,齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C.

由题意可知，可能的比赛为，泊，bA,cA,aB,bB,cB,aC,bC,cC,共9种，

其中田忌可以获胜的事件为aS,aC,bC,共3种，

则田忌的马获胜的概率为尸K

故选：C.

变式L我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行〃.古人构建了金生水、

水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论随机任取〃两行〃，则取出的〃两行〃相生的概率是（）

1111

A.；B.-C.-D.-

2345

【答案】A

【解析】

【分析】

列出随机任取"两行"的所有情况和“两行"相生的情况，由古典概型概率计算公式可得答案.

【详解】

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土共10种，

其中取出的"两行"相生的情况有金生水、水生木、木生火、火生土、土生金共5种，

所以取出的“两行"相生的概率

故选：A.

变式2.雅言传承文明，经典浸润人生.某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类："诵读中国”经典诵读大

赛、"诗教中国”诗词讲解大赛、"笔墨中国"汉字书写大赛、"印记中国"学生篆刻大赛.某人决定从这四类比赛中任

选两类参赛，则"诵读中国"被选中的概率为（）

311

A.-B.-C.—D.一

4246

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知条件得基本事件总数为C：=6种，符合条件的事件数为3中，由古典概型公式直接计算即可.

【详解】

从四类比赛中选两类参赛，共有C：=6种选择，其中"诵读中国"被选中的情况有3种，即

31

"诵读中国"和"诗教中国"，"诵读中国"和"笔墨中国"，"诵读中国"和"印记中国"，山古典概型公式可得P=2=7,

62

故选：B.

变式3.现有甲、乙、丙、丁、戊5种课外阅读书籍，某要从中随机选取2种作为学生寒假阅读，则其中甲、乙至

少有1种被选取的概率为()

3179

A.—B.-C.—D.—

1021010

【答案】C

【解析】

【分析】

根据对立事件概率公式，结合古典概型计算公式进行求解即可.

【详解】

设事件A:甲、乙至少有1种被选取，因此事件可为：甲、乙都没有被选取，

因为尸仪)=,4,所以P(A)=l—P(a=l—,=',

1U1UIu

故选：c

类型四：几何概型

例1.如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，它是以直角三角形/8C两条直角边NC,8c为直径向外做

两个半圆，以斜边为直径向内做半圆，三个阴影区域分别标记为回，0,0.在此图内任取一点，此点取自团区域

的概率记为P(0),取自团区域的概率记为尸(团)，取自回区域的概率记为尸(0),则()

A.P(0)=P(0)+P(0)

B.P(0)>P(0)+P(0)

C.P(0)<P(E)+P(E)

D.P(团)与P(0)+P(回)的大小与直角三角形/8C的大小有关

【答案】A

【解析】

【分析】

运用勾股定理及几何概率知识可求解.

【详解】

设阴影图所在半圆的直角边为。，阴影团所在半圆的直角边为仇直角三角形斜边为C,则/+从=02,目

—ab.,

P(n=_____2_______=4—

2

1"+四/+々24ab+7tc'