2022人教A版高一数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语 培优练习

第一章集合与常用逻辑用语

1.集合的概念...........................................................1

2.集合间的基本关系.....................................................4

3.集合的交集、并集.....................................................7

4.集合的全集、补集....................................................10

5.充分条件与必要条件充要条件........................................14

6,全称量词与存在量词...................................................18

7.全称量词命题和存在量词命题的否定...................................22

1.集合的概念

[A级固基]

一、选择题

1.下列各对象可以组成集合的是（B）

A.中央电视台著名节目主持人

B.2020感动中国十大人物

C.高速公路上接近限速速度行驶的车辆

D.中国最美的山村

【解析】看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A,C,D选项

没有一个明确的判定标准，只有B选项判定标准明确，可以构成集合.故选B.

2.由X,，2|x|组成的集合A中含有两个元素，则实数x的取值可以是（C）

A.0B.-2C.8D.2

【解析】根据集合中元素的互异性，验证可知x的取值可以是8.

3.由大于一3且小于11的偶数组成的集合是（D）

A.{x|—3<x<l1,xWQ}

B.{x|-3<x<ll,xGR}

C.{x|-3<x<ll,x=2k,k£N}

D.{x|-3<x<ll,x=2k,k£Z}

【解析】{x|x=2k,kGZ}表示所有偶数组成的集合.由一3<x<ll及x=2k,kGZ,

可限定集合中元素.故选D.

4.已知XG{-1,0,1},则函数y=x2的函数值所组成的集合为（C）

A.{-1,0,1}B.{0,-1}

C.{0,1}D.{0}

【解析】由题知，当x=-1时，y=l；当x=0时，y=0；当x=l时，y=l.所以函

数值组成的集合为{0,1}.

5.已知集合A={1,2,3},B={1,2},C={(x,y)|xWA,yWB},则集合C中元素

的个数是(B)

A.4B.6C.8I).10

【解析】集合C中元素有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),共6

个元素.

6.集合A=[xGZy=悬，yez|中的元素个数为(D)

A.4B.5C.10D.12

【解析】由题意，集合[xGZy=W，yez}中的元素满足x是整数，且y是整数，

由此可得x=—15,—91—7,—6,—51—4,—2,—1,0,1,3.9,此时y的值分别

为-1,—2,—3,—4,—6,—12,12,6,4,3,2,1,符合条件的x共有12个，故选

D.

二、填空题

7.下列各组中的两个集合M和N表示同一集合的是重.(填序号)

©M={at},N={3.14159}；

^M={2,3},N={(2,3)}；

③M={x[—l<xWl,xGN},N={1}；

小，n},N={n,1,1-73|).

【解析】④中的两个集合的元素对应相等.

fx+y=O,

8.方程组2的解组成的集合为{(2,-2),(-2,2)}.

[x-4=0---------------------

x+y=0,

【解析】由X?-4=0得x=2或x=-2,所以y=—x=—2或2,所以方程组，

x?—4=0

的解组成的集合为{(2,-2),(-2,2)}.

9.将方程x'—2x-3=0的所有实数根用集合表示，用列举法表示为集合A={—1,

3}；用描述法表示为集合A={X|X2-2X-3=0}.

【解析】由x2-2x—3=0,得Xi=-1,X2=3,所以A={-1,3）,A={x£R|x“一2x

-3=0）.

10.若含有三个实数的集合可以表示为{1,a+b,a},也可以表示为[o,bj,则b

—a=2.

【解析】由题意知OW{1,a+b,a}且aWO=a+b=O=e=—l=a=—l=b=l=>b

a

—a=2.

11.设x,y,z是非零实数，若a=[-+十*+W,则以a的值为元素的

集合中元素的个数是3.

【解析】当x,y,z都是正数时，a=4；当x,y,z都是负数时，a——4；当x,y,

z中有1个是正数，另2个是负数或有2个是正数，另1个是负数时，a=0.所以以a的值

为元素的集合有3个元素.

[B级培优]

12.已知集合A={x|x=2m—1,mGZ},B={x|x=2n,n£Z},且x”x2GA,x3GB,

则下列判断不正确的是（D）

A.xi,X2GAB.X2•X3GB

C.Xi+xz^BD.xi+xz+xs^A

【解析】因为集合A表示奇数集，B表示偶数集，所以X”X2是奇数，X3是偶数，所以

X[+xz+x3应为偶数.

13.设P,Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个

元素，定义集合P+Q中的元素是a+b,其中aGP,b£Q,则P+Q中元素的个数是（C）

A.6B.7C.8D.9

【解析】因为当a=0时，b依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6；

当a=2时，b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8；

当a=5时，b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11.

由集合元素的互异性，知P+Q中的元素为1，2,3,4,6,7,8,11,共8个.故选

C.

3

14.已知集合A是由a—2,2a'+5a,12三个元素组成的，且一3GA,则实数a=京

【解析】由一3GA,可得一3=a—2或一3=2a?+5a,

3

解得a=—1或a=一万.

当a=-1时，a—2=-3,2a2+5a=—3,不符合集合中元素的互异性，故a=-1应

舍去；

373

当a=—]时，a—2=—~,2a'+5a=-3,所以a=-5.

15.若集合A中共有3个元素一4,2a-1,a\集合B中也共有3个元素9,a-5,1

-a,已知9GA,且集合B中再没有其他元素属于A,根据上述条件求出实数a的值.

解：V9GA,，2a-l=9或/=9.

若2a—1=9,则a=5,此时A中的元素为-4,9,25,B中的元素为9,0,-4,显然

—4GA且一4GB,与已知矛盾，故舍去.

若/=9,则2=±3.当2=3时，A中的元素为-4,5,9,B中的元素为9,—2,—2,

与集合中元素的互异性矛盾，故舍去；

当a=-3时，A中的元素为一4,-7,9,B中的元素为9,—8,4,符合题意.

综上所述，a=-3.

2.集合间的基本关系

[A级固基]

一、选择题

1.设集合A={x[-l<x<0},1?=小院〈2或乂>3},下列选项正确的是（C）

A.AGBB.BSA

C.A£BD.B£A

【解析】因为一l<x<0<2,所以对任意xGA,都有xCB.所以AUB.故选C.

2.已知集合人={-1,0,1},B={1,m}.若BUA,则实数m的值是（D）

A.0B.-1

C.0或一1或1D.-1或0

【解析】因为BUA,所以m=0或m=-1,但mWl.故选D.

3.已知集合U,S,T,F的关系如图所示，则下列关系正确的是(D)

A.①③B.②③

C.③④D.③⑥

【解析】表示元素与集合之间的关系时才用G,故①⑤错；由Venn图可得②④错.

4.已知集合人=仁丫-1=0},则下列式子表示不正确的是(B)

A.IGAB.{-1}SA

C.0aA1).{1,-l}cA

【解析】集合A={xl-1=0}={-1,1},所以{-1}UA.

5.已知集合A={0,2,3),B={x|x=ab,a,bWA},则集合B的真子集的个数是(C)

A.3B.4

C.15D.16

【解析】B={0,4,6,9},则集合B的真子集有2'—1=15(个).

6.若集合人=仪|(k+2)x2+2kx+l=0}有且仅有2个子集，则实数k的值可以是(D)

A.-2B.2

C.-1I).以上都行

【解析】由题意知，集合应是单元素集，当k+2=0,即k=-2时，A是单元素集，

符合条件；当k+2r0时，A=4k2-4(k+2)=0,即k=-l或k=2时，A是单元素集，

符合条件.故选D.

二、填空题

7.已知集合人=收||x|=a},当A为非空集合时，a的取值范围是{a|a20}.

【解析】A为非空集合时，方程|x1=a有实数根，所以a20.

8.已知集合人={-1,3,m},B={3,4},若BUA,则实数m=4.

【解析】：BUA,.,.元素3,4必为A中元素，...m=4.

9.已知集合人={1,2,3,4},那么A的非空真子集有14个.

【解析】集合A={1,2,3,4}的子集有16个，去掉空集和集合A本身，所以A的非

空真子集有14个.

10.己知集合人=匕，b},B={a2,2},且人=8,则a+b的最大值是g，最小值是

2

==

【解析】a,b的取值有3种情况：ka"0b,=a2=l,,|b2=14,所以小的最大值是6,

最小值是2.

11.若AB,AC,B={0,1,2,3},C={0,2,4,8）,则满足上述条件的集合A

的所有可能是。，{0}-⑵-{鱼上}_.

[B级培优]

12.已知集合A={X|X2+X-6=0},B={x|ax+l=O},满足BUA,则实数a的可能取

值组成的集合是（D）

【解析】由题意得人={-3,2},

当a=0时，B=。，显然有BUA；当aWO时，,

由BGA可得一,=-3或一,=2,

aa

口「1-1

即a=~或a=_],

综上，所求集合为1o,-.

13.已知集合A={x|-2WxW5},B={x|p+l如xW2p—1}.若BUA,则实数p的取值

范围是pW3.

【解析】若B=。，则p+l>2p-L解得p<2；

p+1W2P—1,

若BW。，且BGA,则借助数轴可知，卜+12—2,解得2WpW3.

、2pT近5,

综上可得，pW3.

14.己知集合A={x|xW2,或x24}，集合B={x|xW3m+L或x2m+2}，若AB,

则实数m的取值范围为m2,.

【解析】当3m+l2m+2时，得m2/，则B=R,显然满足AB；

m<2>

当3m+l<m+2,即水4时，由AB得<,(等号不同时成立)=J.

乙m十2W4,oz

、3m+122

综上可得.

15.已知A={xIx°+4x=0},B={x|x2+2(a+l)x+a2—1=0}»若BUA,求a的取值

范围.

解：集合A={0,-4},由于BUA,贝ij

(1)当B=A时，即0,—4是方程x2+2(a+l)x+a2—l=0的两根，代入解得a=l.

(2)当BA时，

①当B=0时，则△=4(a+l)2—4(a,-1)〈0,

解得a<—1；

②当B={0}或B={-4}时，方程x2+2(a+l)x+a2-l=0应有两个相等的实数根0或

—4,则A=4(a+l)2—4(a2—1)=0,

解得a=-l,此时B={0}满足条件.

综上可知，a=l或a<—1.

3.集合的交集、并集

[A级固基]

一、选择题

1.已知集合人={1,2,3},B={xeZ|-2<x-3<0},则AUB等于（C）

A.{2}B.[0,1,2}

C.{1,2,3}D.{-1,0,1,2,3）

【解析】因为A={1,2,3},B={xSZ|-2<x-3<0}={xeZl<x<3}={2},所以AUB

={1,2,3).

2.设集合A={2,3},B={2,3,4},C={3,4,5},则(AAB)UC等于(D)

A.⑵3,4}B.⑵3,5}

C.{3,4,5}D.{2,3,4,5}

【解析】因为ACB={2,3],所以(AClB)UC={2,3,4,5).

3.已知集合人=卜|1〈，工W2},B={x|x>—2},则AUB等于(D)

A.{x|-2<x<-l}

B.{x|-2<x^-l}

C.{x|x>—4}

D.{x|x2-4}

【解析】A={x|-4^x<—1},B={x|x>—2},所以AUB={x|x2—4}.

4.已知集合A={(x,y)|x?=4y},B={(x,y)|y=x},则AGB的真子集个数为(B)

A.1B.3C.5D.7

x2=4y,x=0,x=4,

【解析】或所以AGB={(0,0),(4,4)},所以AAB

y=0,y=4,

的真子集个数为3.

5.设集合I={1,2,3},AcI,若把满足MUA=I的集合M叫做集合A的配集，则A

={1,2}的配集的个数为(D)

A.1B.2

C.3D.4

【解析】满足条件的M可以是⑶，{1,3),{2,3},{1,2,3),共4个.

6.已知集合A={1,3a},B={a,b},若ACB1%,则AUB%(D)

A.gLb}B,{-h1}

C•卜共D.卜1,1,

§,所以AUB=

7.若集合A={1,3,x),B={1,x2},AUB={1,3,x},则满足条件的实数x可以是

(D)

A.0或1B.0或一1

C.1或一1D.小或一/或0

【解析】因为AUB=A,所以BUA,所以x?=3或x?=x,解得x=±/或x=l或x

=0.当x=l时，集合A,B不满足元素的互异性，故*=±/或x=0.

二、填空题

8.已知集合人=(1,2,3},B—[2,m,4},AAB={2,3},则m=3.

【解析】因为交集中含有3,所以集合B中一定含有元素3,故m=3.

9.已知集合人=以鼠>0},B={x|-lWxW2},则AUB={x|x>一1}.

【解析】借助数轴知，AUB={x|x>0}U{x|-l^x^2}={x1x^-1).

10.已知集合人={3,2a},B={a?,b}.若AAB={-2},贝UB={1,-2}；AUB

={1,一2,3}.

【解析】因为ACB={-2},所以2a=-2,所以a=-1,可推知b=-2,所以A=

{3,-2),B={1,-2},所以AUB={1,-2,3).

11.设集合八={1,2,3,4},B={3,4,5},则满足SUA且SABW。的所有集合S

有12个.

【解析】集合S是集合A的子集，A={1,2,3,4}有16个子集.又因为B={3,4,

5},且SDBW0,所以S非空且是A的子集中除只含元素1,2的子集，而只含有1,2的子

集是⑴，⑵，{1,2},所以集合S有12个.

[B级培优]

12.已知集合A={x|xW-l或x25},非空集合B={x|2aWx<a+2}.若AAB=B,

则实数a的取值范围是{a|aW-3}.

2aWa+2,C2aWa+2,

【解析】因为APB=B，所以BUA.又BW。，所以，一或°、所以a

[a+2W-l[2a>5,

的取值范围为{a|aW-3}.

13.集合P={x£R|-Q={x£R|x-a|^l),且PAQ=0,则实数a的取值

范围是是|aW—1或a23}.

【解析】P={x£R|0<x<2},Q={x£R析一IWxWa+l},由PQQ=。得a+lWO或a

—122,从而有aW—1或a23.

14.已知集合人={瓜+1],3,5},B={2a+1,a2+2a,a2+2a-l).当ACB={2,3}

时，求AUB.

解：因为AAB={2,3},所以2GA,所以|a+l1=2,

解得a=l或a=-3.

①当a=l时，2a+l=3,a2+2a=3,所以B={3,3,2},不满足集合元素的互异性，

舍去；

②当a=-3时，2a+l=-5,a?+2a=3,a2+2a-l=2,所以B={—5,2,3).

故AUB={-5,2,3,5}.

15.已知集合A={x|x'—3x+2=0},B={x|x2—ax+a—1=0},C=

{x|x2-mx+2=0},若AUB=A,ACC=C,分别求实数a,m的取值集合.

解：依题意，得人={1,2},

由X2—ax+a—1=0解得x=a—1或x=l.

因为AUB=A,所以B=A,所以a—1《A,

所以a-l=l或a-l=2,所以a=2或a=3.

因为ADC=C,所以C=A.当C=。时，△=m2-8<0,

B|J-2A/2<m<2yf2；

当C为单元素集合时，△=(),m=±2隹，此时C={镜MC={一镜},不满足题

忌；

当C为双元素集合时，C只能为{1,2},此时m=3.

综上，实数a的取值集合为{2,3},实数m的取值集合为{mlm=3或一2蛆(水2木).

4.集合的全集、补集

[A级固基]

一、选择题

1.已知U=R,集合A={x|x-K0},B={0,1,2},则(『uA)CB=(C)

A.{0}B.{1}

C.{1,2}D.{0,1,2}

【解析】因为A={x|x<l},B={0,1,2},所以1A=,所以©A)AB={1,

2}.

2.设全集U={1，2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,5)，贝！|AU([[B)=(D)

A.{2}B.{1,3}

C.{3}D.{1,3,4,5}

【解析】1-={1,3,4},所以AU(]iB)={l,3,4,5).

3.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={3,4,5},B={1,3,6},则An(LB)

=(A)

A.{4,5}B.{2,4,5,7}

C.{1,6}D.{3}

【解析】[cB={2,4,5,7},所以An(1B)={4,5}.故选A.

4.设全集I是实数集R.M={x|x>2或x<-2}与N={x[l<x<3}都是I的子集(如图所示),

则阴影部分所表示的集合为(C)

A.{x|x<2}B.{x|-2Wx<l}

C.{x|l〈xW2}D.{x|-2WxW2}

【解析】阴影部分表示的是Nn（「M）.因为M={x1x>2或x〈-2},所以。M={x1—

2WxW2},所以NC（0M）={x|l〈xW2}.

5.已知U=AUB中有m个元素，（!：uA）U（CIB）中有n个元素，若AClBW。，则ACB

的元素个数为（D）

A.mB.n

C.m+nD.m-n

【解析】由于（CuA）U（CtB）=Cu（AnB）中有n个元素，全集U=AUB中有m个元

素，所以AAB的元素个数为m—n.

6.已知S={x|x是平行四边形或梯形},A={x|x是平行四边形},B={x1x是菱形},C

={x|x是矩形}.下列等式不成立的是（D）

A.BGC={x|x是正方形}

B.[AB={XIx是邻边不相等的平行四边形}

C[sA={x|x是梯形}

D.A=BUC

【解析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形的概念知，选项A,B,C正确,

选项D不成立.

二、填空题

7.设集合U={1,2,3,4,5),A={1,2,3},B={3,4,5},则Cu(AnB)={1,2,

4,5}.

【解析】因为A={1,2,3},B={3,4,5},所以ADB={3},故「(ADB)={1,2,

415}.

8.设全集为R,已知A={x|x<2},B={x|—l〈x<3},则人0(。2)={x|xW-1}.

【解析】易知CRB={X|XW-1或x》3},

故AC(CHB)={x|xW-1}.

9.设全集U=R,A={x0<x<9},B={xGZ|-4<x<4},则(〃A)AB中元素的个数为4.

【解析】因为U=R,A={x|0<x<9}，所以「A=一―忘。或*19}，又B={xSZ|-4<x<4},

所以(/A)DB={xGZ|—4<xW0}={—3,—2,—1,0},共4个元素.

10.设U={x|xW9且xWN*},(CuA)nB={l,3},(㈤ClA=⑵4,8},(「A)C((⑻

={6,9),则集合A={2,4,5,7,8},B={1,3,5,7}.

【解析】全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9),由Venn图可得ACB={5,7},从

而有A={2,4,5,7,8},B=

11.已知集合八=卜卜・疑，B={x|lWxW2},

(1)若ACB=0,求实数a的取值范围;

(2)若AU([HB)=R,求实数a的取值范围.

解：(1)若ADB=0,贝!]a<l.

(2)%B={x[x<l或x>2},又人==|、・@},AU(CKB)=R,所以a=2.

[B级培优]

12.设全集U={1,2,3,4},P={x)x2—mx+n=0,x£U},若(uP={2,3},贝!Jm+n

=9

【解析】由补集性质可得P={1,4},所以x2—nix+n=0的两根分别为1,4,所以m

=1+4=5,n=lX4=4,所以m+n=9.

13.已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|l<x<2}，且AU（1而），则a的取值范围是{a|a

W1或a22}.

【解析】由题意知，［B={x|xWl或x22},又AU（LB）,所以对于集合A分两种情

2a—2(a,12a—2(a,

,或1c、c所

{aWl〔2a-222,

以aWL综上可知，a的取值范围是{alaWl或a22}.

14.设全集U=",5,-3}，集合A={x|3x2+px-5=0},B={x|3x2+10x+q=0},

且人"=卜,，求CuA,（瓜

解：因为AAB=„,所以一gGA且一；GB,

所以3x（一；），—1p—5=0,

(21

3Xl--1—­X10+q=0,

解得p=-14,q=3.

故A={x|3x?—14x—5=0}=卜,

B={x|3x"+10x+3=0}=1—3»t],

所以CuA={-3},[uB』5}.

15.若三个关于x的方程x2+4ax—4a+3=0,x2+(a—l)x+a2=0,x2+2ax—2a=0

中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.

解：假设这三个方程都无实根，此时a的取值范围记为集合D.

，2

A1=16a-4(3-4a)<0,

3

22

则由题意可得JA2=(a-1)-4a<0,解得一5<a<-l,

、A3=4a2+8a<0,

即D=la—~<a<—If.

所以满足三个方程至少有一个方程有实根的a的范围是D的补集，即

5.充分条件与必要条件充要条件

[A级固基]

一、选择题

1.“xWO”是“x>0”的（B）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】x>0nx#0,反之不一定成立.因此“x#0”是“x>0”的必要不充分条件.故

选B.

2.设p：-1<X<1,q：-2<x<l,则p是4的（A）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】由一l〈x<l可得一2<x<l,反之不一定成立，因此p是q的充分不必要条件.故

选A.

3.设集合吊=以|06忘3},N={x|0<xW2},那么“adM”是“aGN”的（B）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】因为NM,所以“aGM”是“aWN”的必要不充分条件.故选B.

4.已知a〉R,则"a>l”是<1"的（A）

a

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】若a>l,则l<1；反之，若工<1,则a可能为负值.所以“a>l”是△〈1"

aaa

的充分不必要条件.故选A.

5.若x,yGR,则下列各式中是“xyHO”的必要条件的是（B）

A.x+y=O

B.x2+y2>0

C.x-y=O

D.x3+yM0

【解析】必要条件就是可以被结论“xy#O”推出的条件，显然选B.

6.下列各选项中，p不是q的充分条件的是（D）

A.p：x>0,q：x2一1

B.p：x<—1,q：xJ+x>0

C.p：x=2,q：x?—x—2=0

D.p：△ABC是等腰三角形，q：△ABC是等边三角形

【解析】由x>0可推出x》一1,所以p是q的充分条件；由x〈一1可推出x2+x>0,

所以P是q的充分条件；由x=2可推出X2—X—2=0,所以p是q的充分条件；因为等腰三

角形不一定是等边三角形，所以选项D中，p不是q的充分条件.故选D.

二、填空题

7.设p：x>m,q：1x|W4,若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是m<—4.

【解析】依题意{x||x|W4}U{x|x>m）,即{xI-4WxW4}U{x|x>m},所以m<—4.

8.“a=5且b=3”是“a+b=8”成立的充分不必要条件.（填“充分不必

要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个）

【解析】若a=5且b=3,则一•定有a+b=8,反之则未必，所以"a=5且b=3”是

“a+b=8”成立的充分不必要条件.

9.函数y=x2+mx+l的图象关于直线x=l对称的充要条件是m=-2.

【解析】若函数y=x2+mx+l的图象关于直线x=l对称，则一^=1,即m=-2；反

之，若m=-2,则y=x'-'-2x+l的图象关于直线x=l对称.

10.已知p：x>2,q：x>a,若p是q的充分条件，则a的取值范围是｛a|aW2｝；

若P是q的必要条件，则a的取值范围是｛a|&/2｝.

【解析】因为由p可推出q,则P是q的充分条件，所以aW2；由q推出p,则p是q

的必要条件，所以a22.

11.已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s是

q的充要条件,r是q的充要条件,P是q的必要不充分条件.(填“充分不必

要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

三、解答题

12.指出下列各组命题中，p是q的什么条件.

(Dp：同位角相等；q：两直线平行；

(2)p:x=3；q:X2=9；

(3)p:(x—2)(x—3)=0；q:x—2=0；

(4)p:x+y〉2,xy>l;q:x>l,y>l；

(5)p：xW3或yW4；q：x+yW7.

解：(Dp是q的充要条件.

(2)p是q的充分不必要条件.

(3)p是q的必要不充分条件.

(4)p是q的必要不充分条件.

(5)p是q的必要不充分条件.

[B级培优]

13.p：m<—1,q：x.'一x—m=0无实数根，则p是4的(A)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】若方程X。一x—m=0无实数根，则△=l+4m<0,即m〈一；.因为m<—lnm〈

4

一[,而水一彳=/m<-1,

所以P是q的充分不必要条件.故选A.

14.p：bJ—4ac<0,q：a'+ab+cWO,则p是4的(A)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】充分性：记y=ax?+bx+c(a,b,cGR).

由于b」-4ac<0=A<0且aWO=ax'+bx+c=O无解

=当x=a时，=a•a'+b•a+cWOod+ab+cWO.

必要性：反例a=0,b=2,c=l满足a'+反+cWO

但有b2—4ac>0,故p是q的充分不必要条件.

15.设p：—2WxW10,q：1—mWx〈l+m(m>0),若p是q的充分不必要条件，则实

数m的取值范围是m29

x—11

16.已知p：1-3W2,q：xJ—2x+1—m2^0(m>0),若q是p的充分不必要条件，

求m的取值范围.

解：记A=[x1—,

B={x|x2—2x+1—n?这o(m>0)},

化简可得,A={x|-2WxW10},B={x|1—m〈x〈l+m(m〉0)}.

fm>0,

由q是P的充分不必要条件可得BA,从而有(等号不同时成立)，解得

U-m^-2

0<m^3.

17.已知y=ax'+bx+c(a,b,cWR),求证：关于x的方程ax+bx+c=0恰有两个

不相等的实数根的充要条件是：存在x0£R,使a(ax；+bx0+c)<0.

证明：充分性：a(ax2+bx+c)=fax+121

一彳⑹一4ac),

由a(axo+bxo+c)〈O=(ax()+|>)-；(b2—4ac)<0=>b2—4ac>4^axo+^j2

>0=>ax2

+bx+c=O有两个不相等的实数根.

必要性：由ax2+bx+c=O有两个不相等的实数根=b2-4ac>0=存在x°=—77>使得

a(axo+bxo+c)=一3(b2—4ac)<0.

所以关于x的方程ax2+bx+c=0恰有两个不相等的实数根的充要条件是:存在xoWR,

使a(ax：+bx0+c)<0.

6.全称量词与存在量词

[A级固基]

一、选择题

1.下列命题中的假命题是(B)

A.菱形的四条边都相等

B.VxGN*,(x-l)2>0

C.存在一个三角形内角，其正弦值为

D.3x,yGR,(x—1)'+(y+2)"=0

2.下列四个命题中的真命题为(A)

A.若两条直线平行，则内错角相等

B.VxGR,都有x3+l>0

C.若x?=2,则x=/

D.3xGZ,使K4x<3

3.“存在集合A,使。A"，对这个命题，下面说法正确的是(C)

A.全称量词命题、真命题

B.全称量词命题、假命题

C.存在量词命题、真命题

D.存在量词命题、假命题

4.设非空集合P,Q满足PCQ=P,则（B）

A.VxGQ,有XGP

B.Vx&Q,有X&P

C.3x初，使得xep

D.3xGP,使得x4Q

5.给出下列命题：

①存在实数x>-l,使x”l；

②全等的三角形必相似；

③有些相似三角形全等；

④至少有一个实数a,使ax'-ax+1=0的根为负数.

其中存在量词命题的个数为（C）

A.1B.2

C.3D.4

【解析】①③④为存在量词命题，②为全称量词命题，故选C.

6.【多选题】下列四个命题中，真命题是（AD）

A.VxGR,2x，—3x+4W0

B.VxG{1,11,0},2x+l>0

C.3xGN,使x'x

D.3xGN*,使x为31的约数

【解析】A选项，因为△=（—3）2-4X2X4<0,所以方程2d—3x+4=0无实数解，

故A为真命题；B选项，由于当x=-1时，2x+l>0不成立，故B为假命题；C选项，当0〈x〈l

时，有x2<x,故C为假命题；D选项，当x=l时，x为31的约数，所以D为真命题.

二、填空题

7.对任意x>3,有x>a恒成立，则实数a的取值范围是—四

8.给出下列四个命题：

①有些梯形的对角线不相等；

②对任意实数x,均有x+l>x；

③三xGR,x~+2ax+a"+1〈0；

④有些三角形不是等腰三角形.

其中所有真命题的序号为①②④.

【解析】显然①②④是真命题，而x2+2ax+a2+l=(x+a)z+l》l,所以③是假命题.

9.下列命题中，全称量词命题是①②③；存在量词命题是_①_.(填序号)

①正方形的对角线互相垂直且相等；

②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；

③正数的平方根不等于0；

④至少有一个正整数是偶数.

(解析】根据全称量词命题和存在量词命题的概念判断.

10.若不等式a+2》x?对任意xd{x|-1WXW3}恒成立，求实数a的取值范围.

解：当一1WXW3时，x?取得最大值9,因为不等式a+Zex，对任意xG{x|-1WXW3}

恒成立，所以a+2>9,得a27.

[B级培优]

11.下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是(D)

A.所有能被2整除的数都是偶数

、后

B.存在一个三角形内角x,cosx=

C.3mGR,x'+mx+l=0无解

D.Vx《N,x'!>xJ

12.命题p："Vxe{x'-lWxWl},x》m”是真命题，则下列命题中真命题的个数是

(B)

①一次函数y=x+m的图象经过第一、三、四象限；

②二次函数y=mx2+x-2的图象开口向下；

③mx<)e{x|-IWXWI},xo+m>O；

@VxeR,(m2—l)x2>0.

A.1B.2

C.3D.4

【解析】由命题p："VxG{x1-lWxWl},x〉m”是真命题，得mW—l,所以①②

是真命题，③④是假命题.所以真命题的个数是2.

13.有下列命题:

①存在x<0,使|x|>x；

②对于一切x〈0,都有|x|>x；

③已知x=2n,y=3n,对于任意nWN",都有xWy；

④己知A={x|x=2n},B={y|y=3n},对于任意nWN*,都有ACB=0.

其中所有真命题的序号为①②③.

【解析】命题①②显然为真命题；对于命题③，因为y-x=3n—2n=n>0,所以xWy,

故为真命题；对于命题④，己知A={x|x=2n},B={y|y=3n},所以6eA,6GB,所以ACB

={6},故为假命题.

14.已知函数f(x)=x‘'-2x+5.

(1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意xWR恒成立？并说明理由；

(2)若存在实数x,使不等式m—f(x)>0成立，求实数m的取值范围.

解：(1)不等式m+f(x)>0可化为m>—f(为,即m>—x'+2x—5=—(x—1)"'—4.要使m>

一(x—l)2-4对于任意xGR恒成立，只需m>—4即可.故存在实数m使不等式m