数学三同步训练：模拟方法-概率的应用（附答案）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§3模拟方法-—概率的应用1．下列说法中不正确的是（)A．抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率,是古典概型B．模拟方法所提供的解决方案仅限于随机数表法和圆盘方法C．我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率D．用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验2．课间休息为10分钟，学校规定，任课教师必须遵守铃声响进教室，则某老师在教室门前等待铃响不超过2分钟的概率为（)A．0。8B．0。2C．0.6D．0。43．如下图所示,有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏时规定：当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，在两种情形下甲获胜的概率为(）A。eq\f（1,2)，eq\f(3,4）B.eq\f(1，2）,eq\f(3，5)C.eq\f(1,2）,eq\f(2,5）D。eq\f（1，2),eq\f（4,5）4．在边长为2的正方体内任取一点,则该点在正方体的内切球内的概率为(）A。eq\f(π，2)B。eq\f（π,4)C。eq\f（π,3)D.eq\f（π，6）5．一只蚂蚁在如图所示的地板砖上(除颜色不同外，其余全部相同）爬动，它最后随意停留在黑色地板砖上的概率是（）A。eq\f（1,3)B.eq\f(2，3）C.eq\f（1,4）D。eq\f(1,8)6．在区间（0，3）内随机地取1个数，则这个数大于2的概率为________．答案:1．BA项,古典概型具有有限性和等可能性，抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型．人工进行试验费时、费力,并且有时是不可能实现的．因此,我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．对于某些无法确切知道概率的问题,模拟方法能帮助我们得到此概率的近似值．模拟方法在实际中有很多应用．模拟方法有很多，除了随机数表和圆盘法，任何简单的试验活动都可以，如甲、乙两人抓阄决定一件奖品的归属,只有甲中奖和乙中奖这两个等可能的结果，因此可以用抛掷一枚硬币来模拟．2．B所求概率为两时间之比，即P＝eq\f（2，10)＝0。2.3．B属几何概型，甲获胜的概率P＝eq\f(B区域面积,圆面积）.4．D记“该点落入内切球内”的事件为A,则P(A)＝eq\f（内切球体积,正方体体积)＝eq\f（\f(4，3)π·13，23）＝eq\f（π，6）.5．A记“小蚂蚁停留在黑色地板砖上”为事件A，则P(A)＝eq\f（4，12）＝eq\f（1,3）。6。eq\f（1，3)所求概率等于“大于2的区间长度与总区间长度之比”，即P＝eq\f(3－2,3）＝eq\f（1,3）.1．某乘客在一车站等车,班车每15分钟发一次，此人不用等车的概率为80%，则此人等车的最长时间为()A．12分钟B．3分钟C．5分钟D．不能确定2．在长为4米的绳子上任取一点剪开,使两段绳子的长度一段大于3米，一段小于1米的概率是()A。eq\f(1，2)B.eq\f(1,3）C。eq\f（2，3)D.eq\f（1,4)3．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色区域的概率为（）A。eq\f(6，13）B。eq\f(7,13)C。eq\f（4,13）D。eq\f（10,13）4．人造地球卫星在太空中对地球进行随机拍摄，若地球周长为4万千米，我国国境长2800千米，则从拍摄的照片中取出一张是我国的照片的概率是(）A．56％B．28％C．14％D．7％5．函数f（x）＝x2－x－2，x∈[－3,3]，则任取一点i，使得f(i）≤0的概率为(）A.eq\f（1,5）B。eq\f（1,4）C。eq\f(1，3）D。eq\f(1，2)6．(2009福建高考,文14）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为______．7．如图,在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．8．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m,宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．答案：1．B依题意，此人等车的概率为20%，设其等车的时间为t,由eq\f(t，15)＝20%，得t＝3（分钟）．2．A显然当剪断点在AB或CD上时满足条件“一段大于3米，一段小于1米”，如图∴P（“一段大于3米，一段小于1米")＝eq\f(AB＋CD,AD）＝eq\f(2，4)＝eq\f(1,2）。3．B记事件“转盘指针分别落入红、黄、蓝、黑区域"分别为事件A、B、C、D，则它们两两互斥．∵P(A)＝eq\f（6，6＋2＋1＋4）＝eq\f（6,13)，P(C)＝eq\f(1,6＋2＋1＋4)＝eq\f(1，13），∴P(A＋C)＝P（A）＋P(C）＝eq\f（6,13）＋eq\f（1,13)＝eq\f(7,13）。4．D设事件A表示“拍到的照片是我国”，则由几何概型知P（A）＝eq\f（2800,40000）＝eq\f(7，100）.5．D记“f（i）≤0”的事件为A，由于点i落入x∈[－3，3］内是均等的，所以区域D的测度是长为6的线段．当f（x）＝0时，得x＝－1或2.如上图，当－1≤x≤2时，事件A发生,所以区域d的测度为长等于3的线段，故P（A)＝eq\f（3，6)＝eq\f(1,2）。6.eq\f（2,3)如图，点B落在上时，长度小于1.∵长度相等且为1，∴由几何概型知，所求概率为eq\f(2，3)。7．解：由题意可知该试验为几何概型，要使∠AOC与∠BOC都不小于30°，则点C位于上，∴P＝eq\f（lDE，lAB）＝eq\f(1,3).8．解：如下图所示,区域Q是长30m、宽20m的长方形，图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”．问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率，于是SQ＝30×20＝600(m2)，SA＝30×20－26×16＝184(m2)．P（A）＝eq\f（SA，SQ）＝eq\f（184,600）＝eq\f（23，75)≈0.31.1．有四个游戏盘,如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应选择的游戏盘为(）答案：C设备选答案A、B、C、D所表示的事件分别为A、B、C、D,则P（A）＝eq\f（3,8),P(B）＝eq\f（2,6）＝eq\f（1，3），P(C)＝eq\f(πa2，4a2)＝eq\f（π，4），P(D）＝eq\f(\f（1,2)×2r×r,πr2)＝eq\f(1，π)，显然P(C）最大．2．如图所示，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率是（）A.eq\f（1，3）B。eq\f（1，4)C.eq\f(1,5）D。eq\f(1,6)答案：D记“射线OA落在∠xOT内”为事件A，事件A的几何度量是60°，而所有区域的几何度量是360°,∴P(A）＝eq\f（60°，360°）＝eq\f(1，6).3．如图，矩形长为6,宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为70颗，以此实验数据为依据，可以估计出椭圆的面积大约为()A．6B．12C．18D．20答案：C由几何概型知，eq\f(300－70，300）＝eq\f(S椭圆，S矩形），又S矩形＝6×4＝24，∴S椭圆＝eq\f（23，30)×24＝18。4≈18.4．在长只有1000米的公路上均匀地栽种了10棵树，一汽车在路边随机地停靠了下来，则汽车离树不超过10米的概率是(）A．0。2B．0。09C．0。08D．0。18答案：D如下图，在中间8棵树两侧每侧找出10米，两头两棵树只能在其一侧找出10米，故满足事件A:“汽车离树不超过10米"的概率为P(A)＝eq\f(10×2＋8×20,1000）＝0.18。5．(2009辽宁高考,文9）ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（)A.eq\f(π,4)B．1－eq\f(π，4)C。eq\f（π，8)D．1－eq\f（π,8）答案：B当以O为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A）＝eq\f(S长方形－S半圆,S长方形）＝1－eq\f(π，4）。6．如图所示，一只蚂蚁在一直角边为1cm的等腰直角三角形ABC（∠B为直角）的边爬行,则蚂蚁距A点不超过1cm的概率为…（）A。eq\f(\r（2),2）B。eq\f（2,3）C．2－eq\r(3）D．2－eq\r(2）答案：D在斜边AC上截取AD＝AB＝1cm，则蚂蚁在AB或AD上爬行时满足题意．∴所求概率为：P＝eq\f（AB＋AD,AB＋BC＋AC）＝eq\f（2，2＋\r（2))＝2－eq\r(2)。7．随机地向半圆0＜y＜eq\r（2ax－x2）（a为正常数)内抛掷一点，点落在半圆内的任意区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴夹角小于eq\f(π，4)的概率为________．答案：eq\f(1,2)＋eq\f(1，π)如图可知，设基本事件表示半圆的面积，事件A为图中阴影部分的面积，则所求概率等于阴影部分面积与半圆面积之比，即P（A）＝eq\f（\f（a2，2）＋\f（πa2,4）,\f(πa2，2））＝eq\f（1，2）＋eq\f(1，π）.8．在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL，其中含有带麦锈病种子的概率是______．答案：.eq\f（1,100)取出10mL麦种,其中“含有病种子”这一事件记为A,则P（A）＝eq\f(取出种子的体积,所有种子的体积)＝eq\f（10，1000)＝eq\f(1，100)。9．(易错题)在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域．向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是__________．答案：eq\f（π,16)如图所示:区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界)，区域E表示单位圆及其内部，∴所求概率为P＝eq\f(SE，SD)＝eq\f（π·12，4×4)＝eq\f（π，16）。点评：本题主要考查几何概型．解本题要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征：①无限性；②等可能性．弄清所求事件所占区域及总区域的几何度量，本题由于向区域D中随机投一点，即意味着此试验的结果是等可能的．解本题要注意判断是否符合几何概型特点,并准确求两区域的面积，否则易产生错解．10．现向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率．解:如题图，令直线方程：6x－3y－4＝0中的x＝1,得y＝eq\f(2，3），即A(1,eq\f(2,3)）．令y＝－1，得x＝eq\f（1,6)。即B（eq\f(1，6)，－1），C(1，－1），∴｜AC|＝1＋eq\f(2,3)＝eq\f(5，3）,|BC｜＝1－eq\f（1,6）＝eq\f(5,6），∴阴影部分的面积为S△ABC＝eq\f(1，2）×eq\f(5,3)×eq\f（5,6)＝eq\f(25，36）,而正方形的面积为S正方形＝4.∴飞镖落在阴影部分的概率为P＝eq\f（S△ABC，S正方形）＝eq\f(\f(25，36),4）＝eq\f（25,144)。11．（易错题）在等腰直角△ABC中，在斜边AB上任取一点M,求AM的长小于AC的长的概率．解析：点M随机地落在线段AB上,故线段AB为区域D。当点M位于图中的线段AC′（AC′＝AC）上时,AM＜AC,故线段AC′即为区域d。解：在AB上截取AC′＝AC，于是P(AM＜AC）＝P（AM＜AC′)＝eq\f（AC′,AB)＝eq\f（AC，AB）＝eq\f（\r(2），2).所以AM的长小于AC的长的概率为eq\f(\r(2）,2)。点评：背景相似的问题,当等可能的视角不同时，其概率是不同的．如下题同本题类似，但解法却不能混同．在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求｜AM|＜｜AC|的概率．误解：在AB上取AC′＝AC，在∠ACB内作射线CM，看作在线段AC′上任取一点M,过