数学三同步训练：8最小二乘估计（附答案）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§8最小二乘估计1．工人工资(元）依劳动生产率(千元)变化的线性回归方程为y＝50＋80x，下列判断正确的是（）A．劳动生产率为1000元时，工资为130元B．劳动生产率每提高1000元，则工资平均提高80元C．劳动生产率每提高1000元，则工资平均提高130元D．当月工资为210元时,劳动生产率提高2000元2．下列说法中不正确的是（）A．回归方程中,变量x和y都是普通变量B．变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定C．回归系数可能是正的也可能是负的D．如果回归系数是负的，y的值随x的增大而减小3．关于最小二乘法的叙述,不正确的是（)A．它是使总离差的平方和最小的一种计算方法B．用最小二乘法求出的系数可以使回归直线更贴近实际情况C．由观察值使用最小二乘法求出的系数a、b叫回归系数D．根据最小二乘法求出回归系数,从而可以表示出线性回归方程，这个方程可以代表每个数据的准确值4．对于线性回归方程y＝4。75x＋257，当x＝28时,y的估计值是(）A．360B．390C．420D．4505．为了表示n个点与相应直线在整体上的接近程度，我们表示它常用（eq\i\su(i＝1,n,x)i为求和符号,表示为eq\i\su(i＝1,n，x）i＝x1＋x2＋…＋xn)（）A.eq\i\su（i＝1，n，［)yi－(a＋bxi）]B.eq\i\su（i＝1,n，［）(a＋bxi）－yi]C.eq\i\su(i＝1，n，[)yi－（a＋bxi）]2D。eq\i\su(i＝1，n,）（yi－eq\x\to(y））2答案：1．B由线性回归方程的意义，当x每提高1(千元)时，y平均约提高80元,∴应选B。2．A变量x、y可以都是随机变量，也可以一个是普通变量，一个是随机变量，故A不正确．3．D最小二乘法是求回归直线方程系数的一种方法,它求出的系数使总离差的平方和最小，也就是使表示出的回归直线更贴近实际，但是回归直线只能是估计数据的情况，不能准确表示数据的具体情况．4．B将x的值28代入回归直线方程得到的函数值即为y的估计值，∴估计值是4。75×28＋257＝390.故选B.5．C由最小二乘法的定义知，C正确．1．下列有关线性回归方程的说法，不正确的是()A．线性回归方程的两个变量对应的点大都分布在某一直线附近B．线性回归方程中两个变量的实际值，不一定是线性回归方程的解C．线性回归方程最能代表观测值x、y之间的关系D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程2．设有一个线性回归方程为y＝2－1.5x，则变量x增加一个单位时()A．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位3．(2009山东烟台模拟,6）由一组样本数据(x1，y1）,(x2，y2)，…，（xn，yn)得到的线性回归方程为y＝bx＋a，那么下列说法不正确的是()A．直线y＝bx＋a必经过点（eq\x\to(x)，eq\x\to（y））B．直线y＝bx＋a至少经过点（x1，y1）,(x2，y2），…，(xn,yn）中的一个点C．直线y＝bx＋a的斜率为eq\f（\i\su(i＝1，n,x)iyi－n\x\to（x)\x\to(y）,\i\su(i＝1，n,x）\o\al(2,i）－n\x\to（x)2)D．直线y＝bx＋a和各点（x1，y1)，(x2，y2)，…，（xn,yn）的偏差eq\i\su（i＝1，n,［)yi－（bxi＋a）]2是该坐标平面上所有直线与这些点的总离差中最小的直线4．某炼钢厂废品率x（%)与成本y（元/t)的线性回归方程为y＝105。492＋42。569x，当成本控制在176。5元/t时，可以预计生产1000t钢中，约有t钢是废品．5．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位:百万元）之间有如下对应数据:x24568y3040605070（1）画出散点图;(2）求线性回归方程；（3)若该产品的广告费为900万元,则其销售额约是多少？答案：1．D两个变量如果是线性相关的，我们就可以用一条直线来近似找到两个变量间的数量关系，但这样的直线不止一条．如果一条直线与散点图上的所有的点的距离最小,我们就把这条直线称为回归直线，相应的方程称为线性回归方程，由此概念可知D项不对．2．Cb＝－1.5＜0，∴x增加一个单位时，y平均减少1。5个单位,故选C.3．B由回归方程的求法知：a＝eq\x\to(y)－beq\x\to（x),即y＝a＋bx＝eq\x\to（y）－beq\x\to(x)＋bx,y－eq\x\to（y)＝b（x－eq\x\to（x)），所以(eq\x\to(x)，eq\x\to（y)）在直线上,即A正确;回归直线不一定经过散点图中的点，只要求直线到各点的距离的离差的平方和最小，即C、D两项正确．4．16。68∵176。5＝105。492＋42。569x，∴x≈1.668，即成本控制在176。5元/t时，废品率为1。668％，所以，生产1000t钢中，约有1000×1.668%＝16.68（t)钢是废品．5．解：(1）散点图如下图(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算．i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560eq\x\to（x）＝5,eq\x\to(y)＝50，eq\i\su（i＝1,5，x）eq\o\al（2，i）＝145,eq\i\su（i＝1,5,y）eq\o\al（2，i)＝13500,eq\i\su（i＝1，5，x）iyi＝1380于是可得，b＝eq\f（\i\su（i＝1，5,x）iyi－5\x\to（x)\x\to（y)，\i\su(i＝1，5，x)\o\al(2,i）－5\x\to（x)2）＝eq\f（1380－5×5×50,145－5×52）＝6.5，a＝eq\x\to(y）－beq\x\to（x)＝50－6.5×5＝17.5，于是所求的回归直线方程是y＝6.5x＋17.5.（3）由(2)知，销售额y对广告费x的线性回归方程为：y＝6。5x＋17.5，∴当x＝9(百万）时，y＝6.5×9＋17。5＝76（百万）,∴当广告费为900万元时，销售额约是7600万元．1．变量y与x之间的线性回归方程()A．表示y与x之间的函数关系B．表示y与x之间的不确定性关系C．反映y与x之间的真实关系形式D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合答案：D2.“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时由高尔顿提出的．他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子的身高y与父亲的身高x的回归方程y＝a＋bx中，b的取值范围是（)A．(－1,0）B．(－1,1)C．(0,1）D．[1，＋∞）答案:C由遗传规律知,父母高者，其子女也较高，∴b＞0，又由子代平均身高向中心回归,∴b＜1，故选C。3．某化工厂为预测某产品的回收率y，要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系,现取了8对观察值，计算得：eq\i\su(i＝1,8，x）i＝52，eq\i\su(i＝1,8，y)i＝228,eq\i\su(i＝1，8，x)eq\o\al(2,i)＝478,eq\i\su(i＝1,8，x)iyi＝1849,则y对x的回归方程是(）A．y＝11.47＋2。62xB．y＝－11.47＋2.62xC．y＝2。62＋11.47xD．y＝11.47－2.62x答案：A∵eq\x\to(x）＝eq\f（1,8)（x1＋x2＋…＋x8)＝eq\f（1，8)×52＝6。5，eq\x\to(y)＝eq\f（1,8）(y1＋y2＋…＋y8)＝eq\f(1,8)×228＝28。5，∴由公式得b＝eq\f（1849－8×6。5×28.5,478－8×6.52）≈2。62，∴a＝eq\x\to（y）－beq\x\to(x）＝28。5－2。62×6.5＝11。47,∴线性回归方程为：y＝11.47＋2.62x。4．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x（千元)与居民人均消费水平y(千元）统计调查，y与x具有相关关系,线性回归方程为y＝0。66x＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A．72％B．83％C．66％D．67％答案：B由已知y＝7。675，代入线性回归方程y＝0.66x＋1。562，得x≈9。2621,∴所求百分比为eq\f(7。675，9。2621)≈83%。∴选B.5．（2009宁夏银川模拟，7)某调研人员从调查中获知某公司近年来科研费用支出(xi)万元与公司所获得利润（yi）万元的统计资料如下表：序号科研费用支出xi利润yixiyixeq\o\al（2，i）1234565114532314030342520155440120170754025121162594合计301801000200则利润(yi）对科研费用支出（xi）的线性回归方程为（)A．y＝2x＋20B．y＝20x＋2C．y＝2x＋40D．y＝－2x＋40答案：A由最小二乘法求出线性回归方程的系数分别为2和20，所以线性回归方程是y＝2x＋20，故选A.6．对于一条线性回归直线y＝a＋bx,如果x＝3时，对应的y的估计值是17，当x＝8时,对应的y的估计值是22，那么可以估计出回归直线方程是________，由此判断当x＝________时，y的估计值为38。答案：y＝x＋1424首先把两组值代入线性回归方程，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(3b＋a＝17,8b＋a＝22））⇒eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（b＝1,a＝14）），所以回归直线方程是y＝x＋14；令y＝38，求得x＝24。7．(易错题)下列五个命题，正确命题的序号为．①任何两个变量都具有相关关系．②圆的周长与该圆的半径具有相关关系．③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系．④根据散点图求得的线性回归方程可能是没有意义的．⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．答案：③④⑤变量的相关关系是变量之间的一种近似关系,并不是所有的变量都有相关关系，而有些变量之间是确定的函数关系．例如，②中圆的周长与该圆的半径就是一种确定的函数关系;另外，线性回归方程是描述这种关系的有效的方法．如果两个变量对应的数据点与所求出的直线偏离较大，那么，这条回归直线的方程是没有意义的．点评：（1)两个变量之间可能具有“确定性关系（即函数关系)"，也可能具有“相关关系"，还可能“没有任何关系”，判断两个变量之间的关系要注意弄清“函数关系"与“相关关系”的不同点，否则会出错．(2)通过散点图可判断两变量的相关关系，只有两个变量具有相关关系时，求线性回归方程才有意义，否则求回归直线方程或由方程进行估计都会失去意义．基础知识把握不牢是本题错解的主要原因．8．要分析学生初中升学考试的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽取10名学生，分析他们入学的数学成绩（x）和高一年级期末数学考试成绩(y）(如下表)：编号12345678910x63674588817152995876y65785285928973985675(1）画出散点图；(2)判断入学成绩(x）与高一期末考试成绩(y）是否有线性相关关系;（3)如果x与y具有线性相关关系，求出线性回归方程；(4)若某学生入学数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩．解:(1)入学成绩(x）与高一期末考试成绩（y）两组变量的散点图如下：（2)从散点图可以看出这两组变量具有线性相关关系．(3）设所求的线性回归方程为y＝a＋bx，经计算可得:eq\x\to（x)＝70，eq\x\to(y）＝76。3，其他数据如下表．i12345678910合计xi63674588817152995876700yi65785285928973985675763xi23969448920257744656150412704980