数学例题与探究：向量的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.思路分析：考查应用向量解决几何问题。把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.解：已知：四边形ABCD是平行四边形,求证:｜|2+||2=2|｜2+2|｜2。证法一:如图2—4-1所示,设=a，=图2∴=a+b,=b-a.∴｜|2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，|｜2=(b-a)2=a2-2a·b+b2。∴｜|2+｜|2=2a2+2b2.又∵2|｜2+2｜｜2=2a2+2b2，∴||2+||2=2|｜2+2｜|2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。证法二：如图2—图2设A(0，0）、D(a,b）、B(c，0)，∴==（c，0）+(a，b)=（a+c，b),==（a,b）-（c,0)=（a-c，b).∴|｜2=(c+a)2+b2，｜|2=（a—c）2+b2。∴||2+｜|2=2a2+2c2+2b2.又∵2|｜2+2｜｜2=2｜|2+2|｜2=2a2+2c2+2b2，∴|｜2+||2=2|｜2+2|｜2，即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。绿色通道：（1）向量法解决几何问题的步骤：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种），研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系.这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲"，又简称为：一建二算三译;也可说成为:捡便宜（建算译）。（2）平面几何经常涉及距离、夹角的问题.而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模及向量的夹角.因此,我们可以用向量方法解答几何问题。在具体问题中，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等几何元素之间的关系，最后将结论转化为几何问题。变式训练如图2—图2思路分析:证明EF∥BC，转化为证明∥，选择向量基底或建立坐标系均可解决.证法一:（基向量法）设=a,=b，则有=b-a。∵∥，∴存在实数λ＞1使=λ=λb.∵E为BD的中点，∴==(b-a).∵F为AC的中点，∴+=+(）=()=（)=(λb-a）.∴=（λb—a）-（b-a）=（λ-)b.∴=[(λ—)·]。∴∥。∴EF∥BC。证法二：（坐标法）如图2—图2-4设A(a，b），D(c,b)，C(d，0）,∴E(，）,F（,）.∴=（,)—（，)=（,0）,=(d，0).∵×0-d×0=0,∴∥.∴EF∥BC.例2如图2—4—5，一艘船从A点出发以图2-4-5思路分析:考查向量在物理中的应用。船的实际航行速度是船的速度与水流速度的合速度，用平行四边形法则合成即可.解:设=a表示船垂直于对岸行驶的速度，=b表示水流的速度,以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船的实际航行速度，即=a+b,∵｜a｜=2，｜b｜=2，a·b=0,∴｜｜2=（a+b)2=a2+2a·b+b2=16，即｜|=4。∵·=（a+b）·b=a·b+b2=4，∴cos〈，〉===.又∵0°≤〈,〉≤180°,∴〈,〉=60°,即船的实际航行速度的大小为4km/h,方向与水流速度间的夹角为60°。绿色通道：用向量法解决物理问题的步骤（类似于用向量方法解决平面几何问题的步骤）：(1)把物理问题中的量用向量来表示；(2）将物理问题转化为向量问题，通过向量运算解决数学问题；(3）把结果还原为物理问题。变式训练如图2—图2思路分析：由于力和重量都是向量，求A和B处所受力的大小转化为求向量的模|｜和｜｜。A和B处所受力的合力是10N,即物体W的重量,用平行四边形法则解决.解:由题意得四边形CEWF是矩形,则有,⊥，｜|=10，∠FCW=60°。∴·=0。∴｜|2=（）2=｜|2+2·+｜|2.∴｜｜2+|｜2=100。又∵·=0，〈，〉=60°,∴·=·（+)=+·=.∴cos〈，〉===.∴|｜=｜|=5，｜|=5，即A和B处所受力分别是5N和5N。例3（2006湖南高三百校第二次考试,文9）O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足λ（)，λ∈[0，+∞）,则P的轨迹一定通过△ABC的()A。外心B。垂心C。内心D.重心思路解析:本题主要考查向量的概念、运算与性质等基础知识，考查运用向量解决几何问题的能力.+λ(+）可以化为=λ（+)，所以∥(+）.又+所在直线平分BC，所以AP所在直线也平分BC.所以P的轨迹一定通过△ABC的重心.答案：D绿色通道:判断图形的特点，主要从已知出发,利用向量运算的几何意义或由已知向量的关系判断出线线的位置关系或等量关系,从而对图形的特殊性作出判断。要作出准确判断，还要结合几何图形即数形结合。另外还要掌握三角形和特殊四边形的性质，例如三角形的四心（内心、外心、重心、垂心)的定义和性质，四边相等的四边形是菱形,对角线相等且相互平分的四边形是矩形等.变式训练1在四边形ABCD中，·=0，且=,则四边形ABCD是(）.A。梯形B。菱形C。矩形D.正方形思路解析:由·=0得AB⊥BC,又=，∴AB与DC平行且相等.从而四边形ABCD是矩形。答案:C变式训练2(2005全国高考卷Ⅰ,文12）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·=·=·,则点O是三角形ABC的（）A.三个内角的角平分线的交点B。三条边的垂直平分线的交点C。三条中线的交点D.三条高线的交点思路解析:由·=·，得·—·=0，∴·(—）=0，即·=0.∴⊥。同理，可证⊥,⊥。∴OB⊥CA,OA⊥CB，OC⊥AB.答案:D变式训练3(2006辽宁高考卷，理12)设O（0，0),A（1,0)，B(0，1)，点P是线段AB上的一个动点,=λ，若·≥·，则实数λ的取值范围是（)A.≤λ≤1B.1-≤λ≤1C.≤λ≤1+D.1—≤λ≤1+思路解析:∵=λ=(1—λ）+λ=(1—λ，λ)，=—=(1-λ)=（λ-1，1—λ），=λ=（—λ，λ），∴·≥·（1—λ，λ)·(—1,1)≥(λ，-λ)·（λ-1,1—λ)2λ2—4λ+1≤0。∴1-≤λ≤1+.又∵点P是线段AB上的一个动点,∴0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1-≤λ≤1.答案:B问题探究问题（1)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，化简|｜2+|｜2—2｜|·|｜cos〈,〉;(2)在等边△ABC中,化简｜｜2+｜|2—2｜|·｜|cos〈，〉;(3)由（1)和(2)你发现了什么结论，并加以证明。导思：探究思路是归纳、猜想、证明，观察式子的结构特点，结合向量的数量积便可发现结论。探究:(1)∵∠BAC=90°，∴cos〈,〉=0.∴｜｜2+||2-2||·|｜cos<，〉=｜|2+｜|2=｜｜2。（2）∵｜|2=|｜2=｜|2，∴||2+|｜2—2｜｜·|｜cos<,>=||2+||2—|｜2=|｜2=|｜2。(3）可发现如下结论：在△ABC中,有｜｜2+||2—2｜｜·｜|cos<，〉=|｜2；|｜2+｜|2—2||·||cos〈，〉=｜|2;｜|2+||2—2｜｜·||cos〈，〉=｜｜2。可以用语言叙