数学例题与探究：平面向量的实际背景及基本概念

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1温度有零上与零下之分，温度是不是向量，为什么？思路解析：判断一个量是不是向量，关键就是看这个量是否同时具备两条：既有大小又有方向，这两者缺一不可.答案:不是,因为温度只有大小没有方向。绿色通道:向量是一种新的量，与以前的数量是不同的体系,两者之间既有联系又有区别；我们把既有大小又有方向而无特定位置的量叫自由向量.描述一个向量有两个指标:大小、方向。变式训练1如图2—1—1，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，试问猫能否追到老鼠？图2-1—1思路解析:老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.答案:猫的速度再快也没用,因为方向错了。变式训练2美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200千米处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000千米），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？思路解析:因为没有给定发射的方向,不能击中伊拉克的军事目标.答案:不能。例2如图2-1—2，已知四边形ABCD是矩形,设点集M=｛A,B，C，D}，集合T={，P、Q∈M，且P、Q不重合}.试求集合T。图2—1—2思路解析:要确定向量为元素的集合T有多少个子集，就需搞清楚集合T中有多少个相异的向量，需注意的是方向相同、且大小相等的量只算一个，如=，而方向相反的算不同向量，如与。答案:从已知条件出发可以判断出相异的向量，即集合T=｛、、、、、、、}。绿色通道：一道向量与集合知识交汇的题型,在这里要分别从两个知识点出发，集合主要考查的是其互异性,向量的相关概念在此考查的是相异向量应当具备的一个硬件是排除相等向量的可能性情况，两者之间交汇在一个“异”字，解题时只有认真审题分清思路这样才能得到正确的结果.变式训练如图2-1—3，四边形ABCD与ABEC都是平行四边形.图2-1-3(1）用有向线段表示与向量相等的向量；(2)用有向线段表示与向量共线的向量。思路解析：在寻找相等向量和共线向量时都可以从大小和方向这两个方面来考虑，本题涉及到的线段比较多，不要有遗漏。答案：（1)与向量相等的向量是，;（2）与向量共线的向量是DE，，，，，.例3有两个长度相等的向量，在什么情况下，这两个向量一定是相等向量？思路分析：判断两个向量是否相等就是看它们的大小是否相等,方向是否相同，这两个方面缺一不可.解：有下列两种情况，这两个向量一定相等.(1）两个长度相等的向量的方向相同；(2)两个长度相等的向量都为零向量。黑色陷阱：如果忽视了零向量是相等向量,那么就会遗漏第二种情况，使得本题的解答不完整。绿色通道:向量有两个要素：一是大小;二是方向.两个向量只有当它们的模相等同时方向相同时才称为相等的向量,即a=b就意味着｜a|=|b|，且a与b的方向相同.还要注意到零向量与零向量是相等向量。变式训练下列叙述正确的是________________.①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上②单位向量都相等③任一向量与它的相反向量不相等④四边形ABCD是平行四边形当且仅当=⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0⑥共线的向量，若起点不同,则终点一定不同思路解析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量、在同一直线上。②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确。零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的。⑥不正确.如A、B、C三点共线，则与共线，虽起点不同，但其终点却相同。答案：④⑤例4某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点，最后又改变方向向东走了200m到达D点。(1)作出向量、、(用1cm表示100m)；（2）求|｜.思路分析：本题只要用向量来表示位移就可以很简单的解决.解:(1)作出向量、、（如图2—1—4）：图2-1—4（2)∵｜｜=｜|，且与方向相同，∴四边形ABCD是平行四边形。∴｜｜=||=450.绿色通道:用向量知识解决物理问题，关键是将物理知识转化成数学知识，用向量表示物理量,然后解决数学问题。变式训练新华网北京10月17日电北京时间17日2时40分许,记者从北京航天飞控中心获悉，神舟六号飞船返回指令解锁，即将结束五天的太空之旅，踏上返乡路程.凌晨3时43分至48分，远望三号测量船对飞船实施了姿态调整、轨道舱与返回航分离、制动点火等一系列关键控制，仪器表上已准确地出现飞船的方位，飞船顺利进入预定返回轨道。假定把神舟六号飞船看成向量，现在仪器表屏幕显示在4×5的方格中有一个向量，以图2—1—5中的格点为起点和终点作向量,其中与相等的向量有多少个?与长度相等的共线向量有多少个?图2—1-5思路解析：要判断向量相等,并不要求它们有相同的起点与终点，主要把握住向量相等两要素：方向相同,长度相等.答案：与相等的向量有7个，与长度相等的共线向量有15个。问题探究问题1中国象棋中规定：马走“日”字,象走“田”字，如图2-1—6，在中国象棋的半个棋盘(4×8个，矩形每个小方格都是单位正方形）中,若马在A处,可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量,表示马走了“一步”.通过探究，你能在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况吗？图2—1-6导思：根据象棋走法的规则，结合已知的图形，作出符合要求的所有向量，不要有遗漏。探究：此题中,马在A处有两条路可走,在B处有三条路可走，在C处有八条路可走，可谓“八面威风”,解题时，应做到不重不漏。如图2-1-7以点C为起点作向量(共8个)，以点B为起点作向量（共3个)。图2-1—7问题2如图2-1—8，A1，A2，…,A8是⊙O上的八个等分点，则在以A1，A2…，A8及圆心O九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个呢?模等于半径倍的向量有多少个呢？图2-1-8导思：(1）在模等于半径的向量个数的计算中，要计算与(i=1，2，…，8）两类，一般我们易想到（i=1，2,…，8）这8个，而易遗漏（i=1,2，…，8)这8个。(2）圆内接正方形的一边对应了长为的两个向量.例如边对应向量A1A3与A2A4.因此与（1）一样,在解题过程中主要要防止漏算.认为满足条件的向量个数为8是错误的。探究：(1）由于A1，A2，…，A8是⊙O上的八个等分点，所以八边形A1A2…A8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与⊙O的半径不