专题4 球的切、接问题2023-2024学年新教材高中数学必修第二册同步教学设计 (人教A版2019)

专题4球的切、接问题2023-2024学年新教材高中数学必修第二册同步教学设计(人教A版2019)课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、课程基本信息1.课程名称：高中数学必修第二册——“球的切、接问题”

2.教学年级和班级：2023-2024学年新高二年级（2）班

3.授课时间：2023年10月15日，星期五，第3节课

4.教学时数：1课时（45分钟）二、核心素养目标分析本节课的核心素养目标在于培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和数学建模能力。通过研究球的切接问题，学生将能够运用空间几何知识，分析球的内外切接关系，培养空间观念和几何直观。同时，通过对实际问题的抽象和建模，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，发展学生的数学应用意识。在推理过程中，学生将学会运用数学逻辑，进行有条理的思考和表达，提升数学思维品质。三、教学难点与重点1.教学重点

-球的内外切接条件的理解与应用：重点讲解球与平面、球与球之间的内外切接条件，如两球相切时半径和距离的关系。例如，讲解当两球外切时，两球心距离等于两球半径之和；内切时，两球心距离等于两球半径之差。

-空间几何图形的识别与绘制：强调如何识别空间几何中的球体及其切接关系，并能够绘制相关的图形来辅助解题，如球体与平面、球体与球体之间的切接图形。

-数学模型的建立与求解：指导学生如何将实际问题抽象为数学模型，并运用数学知识进行求解。例如，给定一个实际问题，要求计算两球相切时的位置关系，需要建立相应的数学模型并求解。

2.教学难点

-空间想象能力的培养：学生往往难以在脑海中构建空间图形，理解球与平面、球与球之间的空间关系。例如，对于球体与平面相切的情况，学生可能难以想象球体在空间中的位置和切点位置。

-球的切接问题中的几何证明：学生在进行几何证明时，可能会遇到逻辑不清晰、证明步骤不完整的问题。例如，证明两球内切时，学生可能难以准确表达球心、切点与球面之间的关系。

-实际问题的抽象和建模：学生在将实际问题转化为数学模型时，可能会遗漏关键信息或错误理解问题背景，导致建模不准确。例如，在解决实际物体包装问题中，学生可能无法准确抽象出球体的切接关系，影响解题过程。四、教学资源-硬件资源：多媒体教学设备、投影仪、黑板

-软件资源：几何画板软件、PPT教学课件

-课程平台：学校教学管理系统

-信息化资源：数学教学视频、电子版习题库

-教学手段：小组讨论、问题驱动、案例分析五、教学实施过程1.课前自主探索

-教师活动：

-发布预习任务：通过学校教学管理系统发布预习资料，包括球的切接问题的概念介绍和相关例题。

-设计预习问题：设计如“如何判断两球是否相切？”“球与平面相切的条件是什么？”等问题，引导学生思考。

-监控预习进度：通过系统查看学生提交的预习笔记和问题，了解预习情况。

-学生活动：

-自主阅读预习资料：学生自主阅读预习资料，理解球与平面、球与球之间切接的基本概念。

-思考预习问题：针对预习问题，学生独立思考并记录疑问。

-提交预习成果：学生将预习笔记和思考的问题通过教学管理系统提交给老师。

-教学方法/手段/资源：

-自主学习法：培养学生自主探索和思考的习惯。

-信息技术手段：利用教学管理系统实现资源的共享和预习监控。

-作用与目的：

-帮助学生提前掌握球切接问题的基本概念，为课堂学习打下基础。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

-教师活动：

-导入新课：通过生活中的实例，如球的包装问题，引出球的切接问题。

-讲解知识点：详细讲解球的切接条件，通过例题展示如何应用这些条件解题。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生探讨不同切接情况下球的位置关系。

-解答疑问：对学生提出的问题进行解答，帮助理解球切接问题的本质。

-学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，对球的切接条件进行思考。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论，通过实例分析球的切接情况。

-提问与讨论：对不理解的地方提出问题，并参与课堂讨论。

-教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过讲解和例题，帮助学生理解球的切接条件。

-实践活动法：通过小组讨论，让学生在实践中掌握球切接问题的解题技巧。

-合作学习法：通过小组合作，培养学生的团队协作能力。

-作用与目的：

-帮助学生深入理解球的切接条件，掌握解题方法。

-培养学生的空间想象能力和团队合作能力。

3.课后拓展应用

-教师活动：

-布置作业：根据课堂学习内容，布置与球的切接问题相关的习题，巩固学生对知识点的掌握。

-提供拓展资源：提供相关的数学网站和视频，帮助学生进一步探索球的切接问题在实际中的应用。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生具体的反馈和指导。

-学生活动：

-完成作业：学生认真完成作业，巩固学习内容。

-拓展学习：利用老师提供的资源，进行更深入的学习。

-反思总结：对学习过程进行反思，总结学习心得和不足之处。

-教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生利用课后时间进行自主学习。

-反思总结法：引导学生对学习过程进行反思，促进自我提升。

-作用与目的：

-巩固课堂学习内容，提高学生对球切接问题的理解和应用能力。

-拓宽学生的知识视野，激发学生对数学学习的兴趣。六、学生学习效果学生学习效果显著，主要体现在以下几个方面：

1.理解并掌握了球的切接条件：通过本节课的学习，学生能够清晰地理解并掌握球与平面、球与球之间的内外切接条件。在课堂练习和课后作业中，学生能够正确判断两球是否相切，以及确定球心、切点和平面之间的关系。

2.提升了空间想象能力：通过解决球的切接问题，学生的空间想象能力得到了锻炼和提升。他们能够更好地在脑海中构建空间几何图形，理解球体在空间中的位置关系，这对于后续学习更复杂的空间几何问题具有重要意义。

3.增强了逻辑推理能力：在解决球的切接问题时，学生需要运用逻辑推理来证明切接条件，这有助于培养学生的逻辑思维能力。学生在证明过程中学会了如何有条理地组织思路，清晰地表达自己的推理过程。

4.学会了数学建模和实际应用：通过将实际问题抽象为数学模型，学生学会了如何运用数学知识解决实际问题。例如，在讨论球的包装问题时，学生能够将问题转化为数学模型，并运用切接条件计算出最优解。

5.提高了自主学习和解决问题的能力：在课前预习和课后拓展环节，学生通过自主学习，提高了独立思考和解决问题的能力。他们学会了如何利用教学资源进行自我学习，为未来的学习打下了坚实的基础。

具体的学习效果如下：

-学生能够准确描述球与平面相切、球与球相切的条件，并在解题过程中灵活运用。

-学生能够绘制球体与平面、球体与球体相切的几何图形，并标注关键点和线段。

-学生在解决实际问题时，能够将问题转化为数学模型，运用切接条件进行求解。

-学生在课堂活动和小组讨论中，能够积极表达自己的观点，与同学进行有效的沟通和合作。

-学生在课后作业中，能够独立完成与球的切接问题相关的习题，且解题过程条理清晰、逻辑严谨。

-学生通过课后拓展学习，对球的切接问题有了更深入的理解，能够探索其在不同领域的应用。

-学生在学习过程中，逐渐形成了自主学习的习惯，能够主动查找资料，对所学知识进行拓展和深化。七、课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们深入探讨了球的切接问题，通过讲解和实例分析，学生们对球与平面、球与球之间的内外切接条件有了清晰的认识。我们学习了如何判断两球是否相切，如何计算球心之间的距离与球半径之间的关系，以及如何将这些理论知识应用于解决实际问题。同学们在课堂上的积极参与和互动讨论表现出色，对于空间想象能力和逻辑推理能力的提升有着显著的效果。

1.球与平面相切的条件：球心到平面的距离等于球的半径。

2.两球相切的条件：两球心之间的距离等于两球半径之和（外切）或两球半径之差（内切）。

3.球的切接问题在实际生活中的应用：如球的包装设计、空间布局等。

当堂检测：

为了检验同学们对本节课内容的掌握程度，下面进行当堂检测。请同学们独立完成以下题目，并提交答案。

题目一：判断题

1.当球心到平面的距离大于球的半径时，球与平面相切。（）

2.两球外切时，两球心之间的距离等于两球半径之差。（）

题目二：填空题

1.如果一个球的半径为r，球心到平面的距离为d，当d_____（填“大于”、“小于”、“等于”）r时，球与平面相切。

2.两个半径分别为r1和r2的球，若它们外切，则两球心之间的距离为_____。

题目三：解答题

1.两个半径分别为4cm和6cm的球，它们的球心之间的距离为10cm。请问这两个球是内切还是外切？请说明理由。

2.一个半径为5cm的球与平面相切，球心到平面的距离为3cm。请画出球的切接图形，并标出球心、切点和球面。

题目四：应用题

一个包装箱内有一个半径为10cm的球，包装箱的内径为60cm。请计算球与包装箱内壁的最小距离，并说明如何放置球才能使球的表面积与包装箱内壁的接触面积最小。

请同学们在15分钟内完成上述题目，并提交给老师批改。通过这次检测，我们可以进一步巩固课堂学习内容，并发现自己在球的切接问题上的不足之处，以便进行针对性的复习和提高。八、典型例题讲解例题一：

一个半径为R的球体，与水平面相切，球心到水平面的距离为h。求证：球体在水平面上投影的圆的半径r。

解答：

由球的切接条件知，球心到切点的距离等于球的半径，即R=h+r。因为球心垂直于水平面的线段就是球心到切点的距离，所以h=√(R^2-r^2)。将h代入R=h+r中，得到R=√(R^2-r^2)+r。解这个方程得到r=R/(2√2)。

例题二：

两个半径分别为R和r的球体，球心分别为O1和O2，它们内切于一个半径为R+r的球体。求证：O1O2的长度等于R-r。

解答：

由内切条件知，两球心之间的距离等于两球半径之差，即O1O2=R-r。设O1O2的中点为M，那么OM是内切球的半径，即OM=(R-r)/2。因为O1M和O2M分别是两球体的半径，所以O1M=R，O2M=r。根据勾股定理，有O1O2^2=O1M^2-OM^2=R^2-[(R-r)/2]^2。解这个方程验证O1O2=R-r。

例题三：

一个半径为R的球体，与另一个半径为r的球体相切，它们的球心之间的距离为d。求证：d=R+r或d=R-r。

解答：

如果两球外切，则球心之间的距离等于两球半径之和，即d=R+r。如果两球内切，则球心之间的距离等于两球半径之差，即d=R-r。这是切接球的基本条件。

例题四：

一个半径为R的球体，与一个平面相切，平面与球心的距离为h。若在球体的内部有一个半径为r的小球体，它与球体相切且与平面也相切。求小球体的半径r。

解答：

由题意知，小球体的球心到大球体球心的距离为R-r，同时小球体的球心到平面的距离为h-r。因为小球体与大球体相切，所以R-r=h-r+r，解得r=(R-h