4.3 函数的应用-(必修第一册) (学生版)

函数的应用1函数模型一次函数y=ax+b(a≠0)二次函数y=a指数函数y=指数型函数y=k∙对数函数y=lo对数型函数y=k∙lo幂函数y=幂函数型y=k⋅2增长快慢比较V(常见函数图象3函数的零点①函数零点的概念对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数的零点.②方程根与函数零点的关系方程fx=0有实数根x0⇔函数y=fx有零点x0⇔函数y=f(x)如方程2x−4=0的实数根是x=2函数fx=2x−4函数fx=2x−4拓展方程f(x)=g(x)有实数根x0⇔函数y=f(x)与函数y=g(x)有交点，且交点横坐标为解惑若让你求解x2−2而方程x2−2x=0的实数根⇔如图就较容易得到，方程x2−2③求函数零点方法(1)(代数法)求方程f(x)=0的实数根.(2)(几何法)利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.4函数零点定理如果函数y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在(a,b)至少有一个零点c，即存在c∈(a,b)，使得fc=0，这个c也就是方程5二分法①二分法的概念对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.②用二分法求方程近似解的步骤(1)确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a,b)的中点c;(3)计算f(c)，(i)若f(c)=0,则c就是函数的零点；(ii)若f(a)f(c)<0，则令b=c(此时零点x(iii)若f(c)f(b)<0，则令a=c(此时零点x0(4)判断是否达到精确度ε：即若|a−b|<ε，则得到零点近似值为a(或b)；否则重复⑵【题型一】不同函数模型的认识【典题1】惠州市某学校物理兴趣小组在实验测试中收集到一组数据如表所示：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()A．v=log2tB．v=log12【典题2】假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元．如表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是t05101520P12040P22040(1)求函数P1(2)求函数P2(3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种【题型二】不同函数模型的应用【典题1】某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．(1)求森林面积的年增长率；(2)到今年为止，森林面积为原来的2倍，则该地已经植树造林多少年？(3)为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？(参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771)【典题2】新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k⋅(6−12x+4)(万件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0,5.1])．A公司生产(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数；(2)对任意的x∈[0,10](万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01)．巩固练习1(★)有一组实验数据如表：x23456y1.402.565.311121.30则体现这些数据的最佳函数模型是()A．y=x12 B．y=log2x C．2(★)设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为k(k>0)，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则y=k∙0.9x(x∈N∗)A．9 B．10 C．11 D．123(★★)某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为42，48，52．为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为(1)求a,b,c,p,q,r的值；(2)你认为谁选择的模型好．4(★★)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数y=loga(t−5)+83(a>0,且(1)试求p=f(t)的函数关系式；(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．5(★★)培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N,x(单位：天)时刻后水中含有物质N的量增加ymol/L，y与x的函数关系可近似地表示为y=8−16x+2,0≤x≤612−x,6<x≤12(1)若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用几天？(2)若在水中首次投放1个单位的物质N，第8天再投放1个单位的物质N，试判断第8天至第12天，水中所含物质N的量是否始终不超过6mol/L，并说明理由．【题型三】求函数的零点【典题1】下列函数中，在(−1,1)内有零点且单调递增的是()A．y=log13x B．y=3x【题型四】函数与方程的关系【典题1】方程3xA.有且只有一个根2B.不仅有根2还有其他根C.有根2和另一个负根D.有根2和另一个正根【典题2】若x1满足3x=2−x，x2【典题3】已知函数f(x)=|log2x|,x>0x2+4x+1,x≤0，若函数Fx=fx−b有四个不同的零点x【典题4】已知偶函数f(x)满足f(3+x)=f(3−x)，且当x∈[0,3]时，fx=−x2+2x+1，若关于x的方程f2x−tf(x)－3=0在巩固练习1(★)下列函数中，是偶函数且不存在零点的是()A．y=x2 B．y=x 2(★★)函数f(x)=(12)3(★★)若方程mx−x−m=0(m>0,且m≠1)有两个不同实数根，则m的取值范围是4(★★)设a、b、c依次表示函数f(x)=x12−x+1，g(x)=log125(★★★)已知函数f(x)=log3x，函数ℎ(x)是最小正周期为2的偶函数，且当x∈[0,1]时，ℎx=3x−1．若函数6(★★★)已知函数f(x)=|5x−1|,x<18x+1,x≥1，若方程f(f(x))=a【题型五】函数零点定理【典题1】设函数f(x)=2xx+1+lnx满足f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c)，若f(x)A．x0∈(a,c) B．x【典题2】[x]表示不超过x的最大整数，例如3.5=3，－0.5=−1．已知x0是方程lnx+3x－15=0【题型六】二分法【典题1】用二分法求函数fx=lnx+1+x−1在区间[0,1]上的零点，要求精确度为巩固练习1(★)设函数f(x)=ex+lnx，满足faf则下列选项中一