中考数学复习《几何探究题》

中考数学复习专题——几何探究型问题1.(2019•北京)在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有是点都在△ABC的内部或边上，则称△ABC的一条中内弧.为△ABC的中内弧.例如，图1中(1)如图2Rt△ABCABAC22E分别是ABAC的中点，画出的长；△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时(2)A(02)B(00)(4t0)(>0)△ABC中，，E分别是AB，AC的中点.1所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；①若t，求△ABC的中内弧2所在圆的圆心P在△ABC的内部②若在△ABC中存在一条中内弧或边上，直接写出t的取值范围.2.(2019•天津)在平面直角坐标系中，O为原点，点A(6，0)，点B在y轴的正半∠ABO=30°.矩形CODE的顶点EC分别在OAABOB=2.(Ⅰ)如图①E的坐标；(Ⅱ)将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′′′E′，点C，O，D，E的对应点分别为′，′，′，E′.设′=t，矩形′′DE′与△ABO重叠部分的面积为S.①如图②C′′′E′与△ABO′E′E′′分别与AB相交于点，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当3S≤53时，求t的取值范围(直接写出结果即可).3.(2019•陕西问题提出：(1)如图1△ABCABCD为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：(3)如图3AA形状为平行四边形的景区BCDE.BB到塔A的距离为50∠CBE=120°行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由.(塔A的占地面积忽略不计)4.(2019•海南1的正方形ABCDE是边CDP是边AD上一点与点A、D不重合，射线PE与BC的延长线交于点.(1)求证：△PDE≌△QCE；(2)过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PBPQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由.5.(2019•江西在图1，2，3中，已知ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°.(1)如图1，当点E与点B重合时，∠=__________°；(2)如图2，连接AF.①填空：∠__________∠EAB填“>”“<”“=”)；②求证：点F在∠ABC的平分线上.(3)如图3，连接EG，，并延长交BA的延长线于点H，当四边形AEGH的值.6.(2019•宁夏)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边ABBC上的动点点M不与AB重合MQ⊥BCM作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为.(1)试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；(2)是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；(3)当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值.7.(2019•安徽如图，△ABC中，∠ACB=90°，=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠=135°.(1)△∽△PBC；(2)求证：=2PC；(3)若点P到三角形的边AB，，CA的距离分别为h，h，h，求证hh·h.1231238.(2019•重庆A卷)如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AEECD于点AF⊥BCFBH⊥AE，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP.(1)若DP=2AP=4，CP，CD=5，求△ACD的面积.(2)若AEBN，=CE，求证：AD2CM+2.9.中，AD，5075P从点B出发沿折线段以每秒5个单位长度的速度向点CQ从点C出发沿线段方向以每秒3Q向上作射线QK于点EP、QP与点C重合时停止运动，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间是t秒t0(1)当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时的长；(2)当点P运动到上时，t为何值能使∥?(3)设射线扫过梯形的面积为SE运动到上时，S与t的函数关系式；不必写出t的取值范围)10.A30，B332，D以每C02秒1个单位的速度从点O出发沿向终点CE以每秒2个单位的速度从点A出发沿向终点BE作EF交于点F，设运动时间为t秒.(1)求的度数；(2)当t为何值时，；(3)设四边形的面积为S，①求S关于t的函数关系式；②若一抛物线yx经过动点E，当S23时，求m的取值范围.2中，C，A，.长为的线段在的边上沿方向以的速度向点B运动(运动前点M与点A重合).过MN分别作的垂线交直角边于P，Q两点，线段运动的时间为ts.yytt(1)若的面积为，写出与的函数关系式(写出自变量的取值范围；(2)线段MNQPt的值；若不可能，说明理由；(3)t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？CQPAMNB12.中，20cm，P，Q，M，N分别从A、B、C、D出发沿方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止.已知在相同时间内，若xx0，2x，3x，x.2⑴当x(或的一部分为第三边构成一个三角形⑵当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；⑶以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如.PNADBCQM参考答案，.解析】(1)如图2为直径的半圆弧连接DE，△ABC的最长的中内弧∵∠A=90°，ABAC22，，E分别是AB，AC的中点，22121AC4=2，∴BC4，BCsinBsin4521∴弧2π=π.2(2)如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FPEG⊥AC交FP于G，121①当t时，C(2，0)，∴(0，1)，E(1，1)，F(，1)，21设P()上方射线FP上均可，∴m≥1，2∵OA=，∠AOC=90°，∴∠ACO=45°，∵DE∥OC，∴∠AED∠ACO=45°，12作EG⊥AC交直线FP于，FGEF，根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方含点G直线FP上时也符合要求，1∴m，212综上所述，m或≥1.②如图4，设圆心P在AC上，∵P在中垂线上，32∴P为AE中点，作PM⊥于M，则PM，3∴Pt，，2∵DE∥BC，∴∠ADE∠AOB=90°，∴AE∵PD=PE，2212(2t)2t1，2∴∠AED∠PDE，∵∠AED∠DAE∠PDE∠ADP=90°，∴∠DAE∠ADP，12∴APPDPEAE，由三角形中内弧定义知，PD≤PM，132∴AE，AE≤3，即t13，解得：t2，22∵>0，∴0<t2.2.【解析】(Ⅰ)∵点A(6，0)，∴OA=6，∵=2，∴AD=OA=6-2=4，∵四边形CODE是矩形，∴DE∥OC，∴∠AED∠ABO=30°，在△AED中，AE=2AD=8，ED∵=2，2282443，2∴点E的坐标为(2，43).(Ⅱ)①由平移的性质得：′′=2，E′′=43，ME′=′=，DE′∥OC′∥OB，∴∠E′FM∠ABO=30°，∴在△MFE′中，MF=2ME′=2t，FE′2'2(2t)2t3，212132tt3t∴S△′ME′·FE′，22∵S矩形′′′′·E′=2×4383，t2∴SS矩形′S△3，23∴S3，其中t的取值范围是：0<t<2；2②当S3时，如图③所示：'AOAOO'=6-t，∵∠AO'F=90°，∠AFO'=∠ABO=30°，∴'F3'A3(6-t，1∴S(6-t)3(6-t)3，2解得：=62，或=62舍去，∴=62S=53④所示：'A=6-t，'A=6--2=4-t，∴'G3(6-t，'F3(4-t，1∴S[3(6-)3(4-)]×2=53，25解得：t，252∴当3S≤53时，t的取值范围为t≤62.3.【解析】(1)如图记为点D所在的位置.(2)如图，∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点，则OBAB.∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙，⊙O一定于AD相交于P，P两点，12连接BP，PC，PO，∵∠BPC=90°，点P不能再矩形外，111∴△BPC的顶点P或P位置时，△BPC的面积最大，12作PE⊥BC，垂足为E，则OE=3，∴AP=BEOB-OE=5-3=2，由对称性得AP=8.(3)BD，∵A为BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，∴BD=100，∠BED=60°，的中点E接E′BED，作△BDE的外接圆⊙E在优弧则E′BE′，且∠BE′=60°，∴△BE′D为正三角形.连接E′O并延长，经过点A至C′，使EAAC′，连接′，′，∵E′A⊥BD，∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′=120°，作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EOOAE′+OAE′A，1212∴S△·BDEF·BDE′A=S△，∴S≤S=2S△=100·sin60°=50003(m，平行四边形平行四边形所以符合要求的BCDE的最大面积为50003.4.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠∠ECQ=90°，∵E是CD的中点，∴DE=，又∵∠DEP∠CEQ，∴△PDE≌△QCE.(2)①∵PBPQ，∴∠PBQ∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBQ∠=∠EPD，∵△PDE≌△QCE，∴PEQE，∵EF∥BQ，∴PFBF，∴在△中，AFPF=BF，∴∠APF=∠，∴∠=∠EPD，∴PE∥AF，∵EF∥BQ∥AD，∴四边形AFEP是平行四边形；②四边形AFEP不是菱形，理由如下：设PD=，则AP=1-，由(1)可得△PDE≌△QCE，∴CQPD=，∴BQ=+=1+x，∵点EF分别是PQPB的中点，∴EF是△PBQ的中位线，121x∴EFBQ，21x由①知APEF，即1-x，21解得x，3123∴PD，AP，31在△PDE中，，213∴PEPD2DE2，6∴AP≠PE，∴四边形AFEP不是菱形.5.【解析】(1)∵四边形AEFG是菱形，∴∠AEF=180°-∠EAG=60°，∴∠CEF∠AEC∠AEF=60°，故答案为：60°.(2)①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=180°-∠ABC=60°，∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°，∴∠=60°，∴∠∠EAB，故答案为：=.②如图，作FM⊥BC于，FN⊥BA交BA的延长线于N，则∠FNB∠FMB=90°，∴∠NFM=60°，又∠AFE=60°，∴∠AFN∠EFM，∵EFEA，∠=60°，∴△AEF为等边三角形，∴FE，FNA在△AFN和△EFM中，，∴△AFN≌△EFMAAS)∴=FM，又FM⊥，FN⊥BA，∴点F在∠ABC的平分线上.(3)如图，∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°，∴∠AGF=60°，∴∠FGE∠AGE=30°，∵四边形AEGH为平行四边形，∴GE∥AH，∴∠GAH=∠AGE=30°∠=∠FGE=30°，∴∠GAN=90°，又∠AGE=30°，∴GN=2AN，∵∠DAB=60°，∠H=30°，∴∠ADH=30°，∴AD=AHGE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴=AD，∴=GE，∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE∠EAB=30°，∴平行四边形ABEN为菱形，∴ABANNE，∴GE=3AB，BC∴3.AB6.【解析】(1)∵MQ⊥BC，∴∠MQB=90°，∴∠MQB=∠CAB，又∠QBM=∠，∴△QBM∽△ABC.(2)当BQ时，四边形BMNQ为平行四边形，∵MN∥BQ，BQ=MN，∴四边形BMNQ为平行四边形.(3)∵∠A=90°，AB=3，AC=4，∴BC25，2∵△QBM∽△ABC，BMx∴，ABACBC34545解得，x，BM，33∵MN∥，5MNAM3x3，∴，即BCAB5325解得，MN，91259433227453275322则四边形BMNQ的面积+)xx，2457532∴当x时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为.327.【解析】(1)∵∠ACB=90°，ABBC，∴∠ABC=45°=∠PBA∠PBC，又∠APB=135°，∴∠+∠PBA=45°，∴∠PBC∠，又∵∠APB=∠=135°，∴△∽△PBC.(2)∵△∽△，∴，在△ABC中，AB=AC，2，∴∴22，∴=2PC.(3)P作PD⊥BCPE⊥AC交BCAC于点E，∴PFh，PDh，PEh，123∵∠CPB∠APB=135°+135°=270°，∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠=90°，又∵∠ACB∠ACP∠PCD=90°，∴∠EAP=∠PCD，∴△AEP∽Rt△CDP，32PEAP2，即2，∴DPPC∴h=2h，32∵△∽△PBC，hAB12∴，2∴h2h，21∴h2122223222hhhh.即：hhh.1238.【解析】(1)作CG⊥AD于G1所示：设PG=，则=4-，在△PGC中，GC=CPPG=17-x，在△中，GCCDGD=5-(4-=9+8x，∴17-=9+8xx，解得：=1，即PG=1，∴GC=4，∵DP=2AP=4，∴AD=6，116×4=12.∴S△ADCG22(2)连接NE，如图2所示：∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，∴∠AEB+∠=∠AEB∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，∴∠NBF∠EAF=∠MEC，NBFEAFBFNEFAAEBN在△NBF和△EAF中，，∴△NBF≌△EAF，∴BFAF，NF=EF，∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AFBF，∴∠ANE∠BCD=135°，ADBC=2AF，在△ANE和△ECM中，，ANEECM∴△ANE≌△ECM，∴CMNE，22又∵NFNEMC，222∴AFMCEC，2∴AD2MC+2.9.【解析】⑴ts时，点P到达终点C，5此时，353，所以的长为.⑵如图1AD,由tt得tt，解得t，8经检验：当t时，有.8⑶①当点E在2A、D作于点F，于点H，则四边形ADHF为矩形，且≌△，从而∴.又t，从而tanCtt注：用相似三角形求解亦可)CH1∴SS△QCEt.22②当点E在上运动时，如图1，过点D作于点H，由①知40，又QCt，从而t1∴SS梯形QCDEt600.210.【解析】(1)过点B作x轴于点M∵C02B332，∴，∴，3∵223，∴30.3(2)∵，∴，在直角三角形中，2t，∴32t，24t∵AB4，∴4t，∴，357242t∴32t33，∴t.3(3)①解法一：过点E作x轴于点G，则t，3t，∴E3tt，∴x轴，12112t32t3.SS△DEFS△DEACD224t24tt1解法二：∵，∴CF33，333∴SS梯形OABCS△ODAS△BFES△CDF33343t2t4t142t2t3，266②当S23时，t323，36∴t1t00t13m.【解析】⑴当点P在上时，∵t，∴tg60t.132∴ytt0≤t≤1.t223当点P在上时，304t.312332334