2024年中考数学压轴突破几何中的折叠题型汇编含答案解析

几何中的折叠问题1ABCD中，AD=5tanB=2E是ABABCD沿DEBC的对应点分别是∠=90°BC(的距离是到)A.5+5DB.25+2C.635过C作CH⊥AD于H作F⊥AD于F，，HD=5HC=25再由折叠证明∠BED=∠ED=135°∠EDC=∠=45°△CHD≌△HD=5F=C作CH⊥AD于H作F⊥AD于，F由已知，AD=5tanB=2，HCHD∴CD=5tan∠CDH==2，∴设HD=xHC=2x，∴在Rt△HDC中，HC+HD=CD2，2x+x=52，解得x=5，∴HD=5HC=25，，，由折叠可知，∠BED=∠ED∠EDC=∠CD=D∵∠=90°，∴∠BED=∠ED=135°，∵AB∥DC，∴∠EDC=180°-∠BED=45°，∴∠EDC=∠=45°1∴∠=90°∵∠CHD=∠AD=90°，∴∠CDH+DF=90°，∵∠CDH+∠HCD=90°，∴∠DF=∠HCD，∴△CHD≌△，∴F=HD=5，∴点到BC的距离是F+CH=5+25=35．故选：D．据折叠的条件推出∠BED=∠ED=135°2△ABCAC边落在ABl与BC交于点PP到AB的距离为3cmQ为ACPQ的最小值为(．)A.2cmB.2.5cmC.3cm3.5cmC由折叠可得：PA为∠BAC∵将△ABCAC边落在AB边上，∴PA为∠BAC的角平分线，∵点Q为AC上任意一点，∴PQ的最小值等于点P到AB的距离3cm．故选C．是解答本题的关键．3▱ABCD中，BC=8,AB=AC=45E为BC边上一点，BE=6F是AB边上的动△BEF沿直线EF折叠得到△GEFB的对应点为点GDE4tanB=2AFBF13DE=10GE⊥BC时，EF=32G恰好落在线段DE=．其中正确的是()A.①②③B.②③④C.①③④①②④2D过点A作AH⊥BC于点HtanB①D作DK⊥BC于点KDE②F作FM⊥BC于点M明△EMF为等腰直角三角EM=FM=xBMBE=BM+EMxEF③△AND∽△CNE出∠ENC=∠ECNEF∥CA④．A作AH⊥BC于点H，∵BC=8,AB=AC=45，1∴BH=BC=4，2∴AH=AB-BH2=8，AHBH∴tanB==2②过点D作DK⊥BC于点KAHKD为矩形，∴DK=AH=8HK=AD=BC=8，∵BE=6，∴CE=2，1∵CH=BC=4，2∴CK=4，∴EK=CE+CK=6，∴DE=EK+DK2=10③过点F作FM⊥BC于点M，∵GE⊥BC，∴∠BEG=90°，∵翻折，∴∠BEF=∠GEF=45°，∴∠EFM=∠BEF=45°，∴EM=FM，设EM=FM=x，FMBM∵tanB==2，1212∴BM=FM=x，1∴BE=BM+EM=x+x=6，2∴x=4，∴EM=FM=4，∴EF=2EM=42④当点G恰好落在线段DEAC与DE交于点N，∵▱ABCD，∴AD∥BC，∴△AND∽△CNE，3ENDNENDECEAD12814∴∴====，，515∴EN=DE=2=CE，∴∠ENC=∠ECN，∴∠BEN=∠ENC+∠ECN=2∠ECN，∵翻折，∴∠BEN=2∠BEF，∴∠BEF=∠ECN，∴EF∥AC，AFBFCEBE2613∴===故选D．4如图，AB是⊙OC是⊙OBC沿弦BC折叠交直径AB于点DCD，若∠ABC=α0°<α<45°()BCABCDABADBDCDBCA.sinα=BB.sinα=C.cosα=cosα=连ACAB是⊙O∠ACB=90°AC和CDAC=CDAC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，4由折叠，AC和CD所在的圆为等圆，又∵∠CBD=∠ABC，∴AC和CD所对的圆周角相等，∴AC=CD，∴AC=CD，在Rt△ACB中，ACABCDABsinα==，故选：B．共的圆周角推出等弦．5OA在x轴正半轴上，OC在yOAOC为边构造矩形OABCB的坐标为8,6DE分别为OABC△ABE沿AEB的对应点F恰好落在CDF的坐标为()32301313A30321313302013132030A.,B.,C.,,1313先求得直线CDF作FM⊥CE于点MF作FN⊥OC于点N32Fm,-m+6Rt△EMFm∵点B的坐标为8,6OABC是矩形，DE分别为OABC的中点，∴C0,6D4,0E4,6，由折叠的性质可得：EF=BE=4，设直线CD的解析式为y=kx+b，6=b则，4k+b=032k=-b=6解得：，32∴直线CD的解析式为y=-x+6，过点F作FM⊥CE于点MF作FN⊥OC于点N，53设点Fm,-m+6，23232则MF=CN=6--m+6=mEM=4-m，在Rt△EMF中，EM+MF=EF2，322∴4-m+m=42，3213解得：m=或m=0()，323232133013当m=时，y=-×+6=，1332301313∴点F的坐标为故选：A．,，6ABCDEFA折叠在折痕EFDPBAB=2BC=3tan∠BF的值为()333212A.B.3C.A先证明EF=AB=CD=2CF=BF=DE=32∠DEA=90°∠FB=90°AD=D=3，，323212得E=D-DE2=，F=2-=.∵矩形纸片ABCDEFAB=2BC=3，32∴EF=AB=CD=2CF=BF=DE=∠DEA=90°∠FB=90°，由折叠可得：AD=D=3，32∴E=D-DE2=，3212∴F=2-=，6123233∴tan∠BF=故选A=.,矩形的性质,勾股定理的应用,求解锐角的正切,熟记轴对称的性质是解本题的关键.7ABCD中，AB=2BC=3P是边BCD折叠至线段AP上一点EFC折叠至点．下列说法中错误的是()4553A.cos∠BAP=B.当AE=时，E⊥AP45C.当AE=18-65时，△E是等腰三角形sin∠DAP=C∵矩形ABCD中，AB=2BC=3P是边BC中点，1232∴BP=BC=∠B=90°，32522∴AP=AB+BP2=2+=，ABAP25245∴cos∠BAP===，故A正确；∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAP=∠APB，45∴sin∠DAP=sin∠APB=cos∠BAP=，故D正确；设DE=E=x，45AE=AD-DE=3-xsin∠DAP=，∵E⊥AP，EAEx3-x45∴sin∠DAP===，4解得x=，353∴AE=AD-DE=3-x=，故B正确；当E=AE时，设DE=E=xAE=AD-DE=3-x，7∴x=3-x，32解得x=；此时,A当E=作N⊥AD于点，N则AN=NE；∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAP=∠APB，3352∴cos∠DAP=cos∠APB==，52设DE=E=xAE=AD-DE=3-xE==x，，ANANx335∴==，解得AN=x；56∴AE=AD-DE=3-x=2AN=x，51511解得x=∴AE=；615111811×=；5当AE=作H⊥AD于点，H设DE=E=xAE==AD-DE=3-x，4535∴H=sin∠DAP=3-xAH=cos∠DAP=3-x，325∴HE=AE-AH=3-x-3-x=3-x，5HE+H=E2，2422∴3-x+3-x=x255解得x=65-12；∴AE=3-x=15-65；1811综上所述，AE=15-65或AE=，故C错误，故选C．8如图，AB为半圆OOCCB为折痕折叠BC交AB于点M，连接CMM为AB的黄金分割点(BM>AM)sin∠BCM的值为()85-125+125-1412A.B.C.A过点M作MD⊥CBDMD交半⊙O于点M′接CMBM′BMAB5-12∠CMB=∠CM′BBC⊥MM′∠BDM=90°=利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°A字模型相似三角形△DBM∽△CBADMACBMAB5-12用相似三角形的性质可得==得：∠A=∠AMCCA=CMRt△CDMM作MD⊥CBD长MD交半⊙O于点M′CM，BM′，由折叠得：∠CMB=∠CM′BBC⊥MM′，∴∠BDM=90°，∵点M为AB的黄金分割点(BM>AM)，BMAB5-12∴=，∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠MDB，∵∠DBM=∠CBA，∴△DBM∽△CBA，DMACBMAB5-12∴==，∵四边形ACM′B是半⊙O的内接四边形，∴∠A+∠CM′B=180°，∵∠AMC+∠CMB=180°∠CMB=∠CM′B，∴∠A=∠AMC，∴CA=CM，DMCMDMAC5-12在Rt△CDM中，sin∠BCM===．故选：A．(折叠问题)根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9ABCDEFEC的对应边EH经过点ACD的对应边HG交BA的延长线于点P．若PA=PGAH=BECD=3BC的长为．943PFBC=2xAH=BE12=aRt△PAF≌Rt△PGFHLFA=FG=FD=xBE=xRt△ABEPFBC=2xAH=BE=a，由矩形的性质和折叠的性质知FG=FD∠G=∠FAP=90°AB=CD=3AD=BC，∵PA=PGPF=PF，∴Rt△PAF≌Rt△PGFHL，1212∴FA=FG=FD=AD=BC=x，由矩形的性质知：AD∥BC∴∠AFE=∠FEC，折叠的性质知：∠FEA=∠FEC，∴∠FEA=∠AFE，∴AE=FA=x，由折叠的性质知EC=EH=AE+AH=x+a，∴BC=BE+EC=a+x+a=2x，1212∴a=xBE=x，122在Rt△ABE中，AB+BE=AE23+x=x2，解得x=23，∴BC=2x=43，故答案为：4310ABCD中，AB=3AD=6M为AD的中点，N为BCMN折AA'CDMNBCAB的对应点分别为的三等分点处时，CP的长为并延长交射线于点PON于点恰好运动到．101或5分两种情况：①当CN=2BN时．过点N作NG⊥AD于点GABNG为矩形；②当BN=2CNN作NG⊥AD于点GABNGGM=AM-AG=1.再由折叠的性质可得∠AOM=90°CN=2BN时．如图1N作NG⊥AD于点GABNG为矩形，∴NG=AB=3AG=BN=2．∵M为AD的中点，∴AM=3，∴GM=AM-AG=1．由折叠A与对应，∴∠AOM=90°，∵∠MAO+∠APD=90°∠MAO+∠AMO=90°，∴∠AMO=∠APD∠GMN=∠APD．又∵∠NGM=∠ADP=90°，∴△ADP∽△NGM，NGADGMDP12∴==，解得DP=2，∴CP=CD-DP=1．②当BN=2CN时，如图2N作NG⊥AD于点GABNG为矩形，∴NG=AB=3AG=BN=4．∵M为AD的中点，∴AM=3，∴GM=AG-AM=1．由折叠A与对应，∴∠AOM=90°∠MAO+∠AMO=90°∠MAO+∠APD=90°，∴∠AMO=∠APD∠GMN=∠APD．又∠ADP=∠NGM=90°，∴△ADP∽△NGM，NGADGMDP12∴==，解得DP=2，∴CP=CD+DP=5．综上，CP的长为1或5．故答案为：1或5．11-11如图，DE平分等边△ABC△BDE得到△FDE,AC分别与DF,EF相交于G,H两点．若DG=m,EH=nm,n的式子表示GH的长是．】m+n2先根据折叠的性质可得S=SFDE∠F=∠B=60°S=S+SCHESSDGGH2三角形的判定可证△ADG∽△FHG,△CHE∽△FHG==m2GH2S=EHGHn2GH2，=S2∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵折叠△BDE得到△FDE，∴△BDE≌△FDE，∴S=SFDE∠F=∠B=60°=∠A=∠C，∵DE平分等边△ABC的面积，∴S=S=S∴S=S+S，，又∵∠AGD=∠FGH,∠CHE=∠FHG，∴△ADG∽△FHG,△CHE∽△FHG，Sm2GHm+nGHS=n2GHDGGHEHGH22∴∴==，=，SS2S2+S=2=S+S=1，SS2S∴GH=m+n2，解得GH=m+n2或GH=-m+n2(，)故答案为：m+n2．形的判定与性质是解题关键．12在矩形ABCDE为AD边上一点(不与端点重合)BEABCD沿BE后点A与点FEFBF分别交BCCD于GH两点.若BA=6BC=8FH=CHAE的长为．1292】连接GH明Rt△FHG≅Rt△CHG(HL)得FG=CGFG=CG=xRt△BFG6274254+x=(8-x)2CG=FG=BG=ABCD沿BEA与点F2549292∠AEB=∠FEB得∠FEB=∠EBGEG=BG=EF=EG-FG=AE=．GH∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，∵将矩形ABCD沿BEA与点F重合，∴BF=AB=6,AE=EF,∠BFE=∠A=90°，∴∠GFH=90°=∠C，∵GH=GH,FH=CH，∴Rt△FHG≅Rt△CHG(HL)，∴FG=CG，设FG=CG=xBG=BC-CG=8-x在Rt△BFG中，BF+FG=BG2∴6+x=(8-x)2，74解得：x=，74∴CG=FG=，25x∴BG=8-x=，∵将矩形ABCD沿BEA与点F重合，∴∠AEB=∠FEB，∵AD⎳BC，∴∠AEB=∠EBG，∴∠FEB=∠EBG，254∴EG=BG=，92∴AE=，9故答案为：．2的关键．13ABCD中，AD=23CD=6E是AB的中点，F是线段BCEF△BEF沿EFB落在点GDGBG的延长线交线段CD于点H13∠BAC=30°△EBF∽△BCH∠EGD=90°时，DG的长度是23④线段DG长度的最小值是21-3G落在矩形ABCD的对角线上，BG的长度是3或33有正确判断的序号)．(写出所利用正切函数的定义即可判断①∠HBC=∠BEF②出点DGFRt△EAD≌Rt△EGDHL③DGEDG长度的最小值是21-3F是线段BCDGE④△BGE⑤．AC，∵矩形ABCD中，AD=23CD=6，ADCD23633∴tan∠ACD===，∴∠ACD=30°，∴∠BAC=30°由折叠的性质知EF是BG的垂直平分线，∴∠HBC+∠BFE=90°=∠BEF+∠BFE∴∠HBC=∠BEF，∴△EBF∽△BCH由折叠的性质知∠EGF=∠ABC=90°，∵∠EGD=90°，∴点DGFDE，在Rt△EAD和Rt△EGD中，AE=BE=EGDE=DE，∴Rt△EAD≌Rt△EGDHL，∴DG=AD=23∵AE=BE=EG，∴点AGB都在以E为圆心，3为半径的圆上，DE=23+32=21，∴当点DGEDG长度的最小值是21-3F是线段BC上的一点，∴DGE三点不当点G落在矩形ABCD的对角线AC上时，由折叠的性质知BE=EG，∵E是AB∠BAC=30°，∴BE=EG=EA∠BAC=∠EGA=30°，∴∠BEG=∠BAC+∠EGA=60°，∴△BGE是等边三角形，∴BG的长度是3F是线段BCG不会落在矩形ABCD的对角线BD1414ABCD沿BEA与点BG=BF．EA并延长分别交BDBC、GF于点、(1)若∠AEB=55°∠GBF=(2)若AB=3BC=4ED=】40°/40度；．5-10/-10+5(1)先证明∠DEF=180°-2×55°=70°∠BFG=∠DEF=70°BG=BF(2)F作FQ⊥AD于QCF=DQFQ=CD=3∠BGF=∠BFG∠DEG=∠BFG∠DGE=∠BGF∠DEG=∠DGEDE=DG=xBD=3+42=5BG=BF=5-xCF=4-5-x=x-1EQ=x-x-1=1EF=1+32=10E=AE=4-xAF=10-4+x用cos∠BFA=cos∠FEQ(1)∵∠AEB=55°∠AEB=∠EB=55°，∴∠DEF=180°-2×55°=70°，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠BFG=∠DEF=70°，∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG=70°；∴∠GBF=180°-2×70°=40°；故答案为：40°．(2)F作FQ⊥AD于Q，∴四边形FCDQ是矩形，则CF=DQFQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG∠DEG=∠BFG∠DGE=∠BGF，∴∠DEG=∠DGE，∴设DE=DG=x，∵矩形ABCDAB=3BC=4，∴BD=3+42=5，∴BG=BF=5-x，∴CF=4-5-x=x-1，15∴EQ=x-x-1=1，∴EF=1+32=10，由折叠可得：E=AE=4-x，∴AF=10-4+x，∵∠QEF=∠BFA，∴cos∠BFA=cos∠FEQ，EQEF1FBF∴∴=，10-4+x5-x=，10解得：x=5-10∴DE=5-10．故答案为：5-10．15(1)操作判断(1)ABCDE是BC边上(点E不与点BC重合)AE折叠△ABE到△AFE(2)所示；(2)沿过点FE的对称点G落在AEMNC的对称点记为H(3)所示；BM(4)所示．①BMN三点()一条直线上；②AE和BN的位置关系是；③如图(5)ANE在BC上的位置，()点EAN平分∠DAE．(2)迁移探究苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片ABCDAB=4BC=6(1)(6)或图(7)．请完成下列探究：①当点N在CD(6)BE和CN有何数量关系？并说明理由；②当DN的长为1BE的长．16(1)①在，②AE⊥BN；③不存在；BECN23165(2)①=②BE=2或．(1)①E的对称点为EBF⊥EEMF⊥EE，②由①AE⊥BN∠BAE=∠CBNAAS可判定△ABE≌△BCN③由AAS可判定△DAN≌△MANAM=ADAB=AMAB>AM(2)①由(1)中的②可判定△ABE∽△BCN②当N在CD上时，△ABE∽△BCNN在AD△ABE∽△NAB质即可求解．(1)解E的对称点为E，∴BF⊥EEMF⊥EE，∴BFM共线，②由①知：BFM共线，N在FM上，∴AE⊥BN，∴∠AMB=90°，∴∠ABM+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCN=90°，AB=BC，∴∠CBN+∠ABM=90°，∴∠BAE=∠CBN，∠BAE=∠CBN在△ABE和△BCN中，∠ABC=∠BCN，AB=BC∴△ABE≌△BCN(AAS)，∴AE=BN，假如存在，∵AN平分∠DAE，∴∠DAN=∠MAN，∵四边形ABCD是正方形，AM⊥BN，∴∠D=∠AMN=90°，∠D=∠AMN在△DAN和△MAN中，∠DAN=∠MANAN=ANN∴△DAN≌△MAN(AAS)，∴AM=AD，∵AD=AB，∴AB=AM，∵AB是Rt△ABM的斜边，∴AB>AM，17∴AB=AM与AB>AM矛盾，BECN23(2)=由(1)中的②得：∠BAE=∠CBN，∠ABE=∠C=90°，∴△ABE∽△BCN，BECNABBC23∴==；②当N在CD上时，CN=CD-DN=3，由①知：△ABE∽△BCN，BECNABBC23∴==，23∴BE=CN=2，当N在AD上时，AN=AD-DN=5，∵∠BAE=∠CBN=∠ANB，∠ABE=∠BAN=90°，∴△ABE∽△NAB，BEABBE4ABAN4∴∴==，，5165∴BE=，165综上所述：BE=2或．16在矩形ABCD中，AD=2AB=8P是边CD△BPC沿直线BP折叠得到△．(1)如图1P与点D重合时，BC′与AD交于点EBE的长度；(2)当点P为CDBC′与直线AD相交于点EDE的长度；(3)如图2AB中点FDFC′恰好落在DFBFDP(1)BE的长度为5；11383(2)DE的长度为或;(3)四边形BFDP是平行四边形(理由见解析)18本题利用了折叠的知识(折叠后的两个图形全等)以及矩形的性质()及平行四边形的判定有关知识．(1)利用矩形性质和折叠的性质可推出BE=DEBE=x,则DE=x,AE=8-x,利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；CGAB8BCAECG4(2)设DE=m,则AE=m+8BE交CD于G△AEB∽△CBG出==832m+8134323CG=PC=CD=PC=CD=m+83(3)由中点定义可得AF=BF作M∥AD交AB于点MF作FN⊥于点N12FMAFMAD质和翻折的性质可得∠BP=∠CBP=∠BC△M∽△FDA=△BFN∽△M12FM=FN∠F=∠F=∠M推出∠F=∠BP线的判定定理可得DF∥BPBFDP是平行四边形．点睛片段(1)解：∵AD=2AB=8，∴AB=4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，由折叠得：∠DBC=∠，∴∠ADB=∠∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，设BE=xDE=xAE=8-x，在Rt△ABE中，AE+AB=BE2，∴(8-x)+4=x2，解得：x=5，∴BE的长度为5；(2)设DE=mAE=m+8BE交CD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=8CD=AB=4AD∥BC∠A=∠BCG=90°，∴∠AEB=∠CBG，∴△AEB∽△CBG，CGABBCAE32CG48∴==，m+8∴CG=，m+813434343732当PC=CD=时，BP=BC+PC2=8+=，连接作H⊥CD于点H∵将△BPC沿直线BP折叠得到△，∴⊥BP△≌△BPC，∴S=2S，1212∴BP⋅=2×BC⋅PC，191243731243即×=2××8×，163737∴=，∵∠CH+∠BPC=90°∠PBC+∠BPC=90°，∴∠CH=∠PBC，∵∠=∠BCP=90°，∴△H∽△BPC，HPCCHBCBPH43CH8∴====，4316379637∴H=CH=，∵∠HG=∠EDG=90°，∴H∥AE，∴∠GC′H=∠AEB，∴△GH∽△EBA，m+8GHABHAEGH4∴==，6437(m+8)∴GH=，∵CH+GH=CG，96376437(m+8)1132m+8∴+=，解得：m=，3113经检验，m=是该方程的解，11∴DE=；323838381032当PC=CD=时，BP=BC+PC2=8+=，连接作H⊥CDCD交的延长线于点HG⊥AD于点G8105同理可得：=，同理△H∽△BPC，8583HPCCHBCBPH83CH8∴====，85245∴H=CH=，24545∴DH=CH-CD=-4=，∵∠HDG=∠H=∠GD=90°，∴四边形H是矩形，4585∴G=DH=DG=H=，∵∠GE=∠A=90°∠EG=∠BEA，∴△EG∽△BEA，20454EGAEGAB15∴===，∴AE=5EG，85325∵AE+EG=AG=AD-DG=8-=，325∴5EG+EG=，16∴EG=，1585161583∴DE=DG+EG=+=，118综上所述，DE的长度为或；33(3)四边形BFDP∵点F是AB的中点，∴AF=BF，过点作M∥ADAB交于点MF作FN⊥N于点则∠M=∠ADF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC,AB∥CD，∴M∥BC，∴∠M=∠BC，12由翻折得：∠BP=∠CBP=，，∠BC=BC=8∵M∥AD，∴△M∽△FDA，FMAFFMBFMADM∴∴==，，∵∠BNF=∠=90°∠FBN=∠BM，∴△BFN∼△MFNBFFMBFMFN∴∴==，，BF∴FM=FN，又∵FM⊥CMFN⊥B，，12∴∠F=∠F=∠M，∴∠F=∠BP，∴DF∥BP，21∴四边形BFDP是平行四边形．17矩形ABCD中，AB=6AD=8E为对角线ACE作EF⊥AD于点FEG⊥AC交边BC于点G△AEF沿AC折叠得△AEHHG．(1)如图1H落在边BCAH=CH；(2)如图2AHGHG的长；(3)若△EHG是以EGEF的长．(1)见解析9(2)HG=(3)EF=4103或4(1)根据矩形的性质和翻折的性质证明∠ACH=∠HAC(2)结合(1)的方法AG=CGRt△AEGRt△HEG分别求得EG,HG；(3)当△EHG是以EG①当EG=EH②当EG=HG合(2)的方法，利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质即可解决问题．(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠ACH.∵△AHE由△AFE折叠得到，∴∠HAC=∠DAE，∴∠HAC=∠ACH，∴AH=CH；(2)∵矩形ABCD中，AB=6,AD=8．∴AC=10.当AHG三点在同一条直线上时，∠EHG=90°．同(1)可得AG=CG．又∵EG⊥AC，1∴AE=AC=5．2∵∠AEH+∠HEG=90°∠AEH+∠HAE=90°，∴∠HEG=∠HAC=∠CAD．EGAE34∵在Rt△AEG中，tan∠EAG==，，34154∴EG=AE=．HGEG35∵在Rt△HEG中，sin∠HEG==3594∴HG=EG=．(3)①若EH=EG3①(图3①)22设EF=EH=EG=x，∵EF⊥AD，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ACD，AEACAE10AFADAF8EFCDx∴∴====654∴AE=x,AF=x，3343∴AH=AF=x，∵∠AHE=∠CEG=90°∠HAE=∠GCEEH=EH，∴△AHE≌△CGEAAS，∴AH=CE，4353∴x=10-x，103∴x=103∴EF=．②若HG=GE3②．(图3②)过点G作GM⊥HE，设EF=a,5∵EC=10-a，3∵∠AHE=∠CEG=90°∠HAE=∠GCE，∴△AHE∽△CGE，34345315254∴EG=EC=10-a=-a，∵∠GME=∠EHA∠MGE=90°-∠MEG=∠HAE，∴△MGE∽△HEA，MEAHAHAEEGAEADAC∴∵==，45=，4∴AH=AE，545451554∴ME=EG=-a=6-a，2∴HE=2ME=12-2a=EF，∴12-2a=a，∴a=4，∴EF=4，103综上，EF=或4．2318综合与实践ABCDEFA与点EB落在点C1∠与∠的数量关系．EFA与BE上的点GB落在EF上的点PPD2∠APD2A关于直线CP的对称点PABAAC，，的度∠PAB3数．初步尝试：∠=∠∠APD=60°∠PAB=15°BE=CEBE=BE∠AEB=∠⊥AE，，，∠C=90°AE∥△AFP≌△DFPSAS△APD是等边三角形，即可得到答案；CAA(2)△APD∠PDC=30°得∠PAC=15°∠ACP=30°AC=A，C∠ACP=∠CP=30°，证明△AAB≌△CABSSS到∠CAB=30°∠CAP=∠CAP=15°∠PAB的度数．∠=∠，，，由折叠的性质可知，BE=CEBE=BE∠AEB=∠⊥AE∴BE=CE=BE，∴∠=∠B∠=∠C，∵∠+∠B+∠C+∠=2∠B+∠C=180°，∴∠C=90°⊥，∴AE∥，∴∠AEB=∠，∴∠=∠；∠APD=60°理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD∠ADC=90°，24由折叠性质可得：AF=DFEF⊥ADAB=AP，AF=DF在△AFP和△DFP中，∠AFP=∠DFP=90°，FP=FP∴△AFP≌△DFPSAS，∴AP=PD，∴AP=AD=PD，∴△APD是等边三角形，∴∠APD=60°；CAA，、由(2)得△APD是等边三角形，∴∠PAD=∠PDA=∠APD=60°AP=DP=AD，∵∠ADC=90°，∴∠PDC=30°，又∵PD=AD=DC，12∴∠DPC=∠DCP=×180°-30°=75°∠DAC=∠DCA=45°，∴∠PAC=∠PAD-∠DAC=60°-45°=15°∠ACP=∠DCP-∠DCA=75°-45°=30°，，，由对称性质得：AC=C∠ACP=∠CP=30°∴∠ACA=60°，∴△ACA是等边三角形，A=CB=BAB=BC在△AAB与△CAB中，，∴△AAB≌△CABSSS，12∴∠AAB=∠CAB=∠AAC=30°，又∵∠CAP=∠CAP=15°，∴∠PAB=∠CAB-∠CAP=15°．19综合与实践ABCDADBCEFBA的对应点为点NBM．(1)如图(1)若AB=BCN落在EF上时，BF和BN的数量关系是∠NBF的度数为．思考探究：25(2)在AB=BC△BMN沿BNM的对应点为点M．当点M落在CD(2)BNBM分别交EF于点JK．若DM=4BJK的面积．开放拓展：(3)如图(3)ABCD中，AB=2AD=4BBMA的对应点为点NABNM沿BNA的对应点为点PM的对应点为点M，11连接CPDPPC=PDAM的长．(温馨提示：2+3=2-3，=2-1)2+11(1)BF=BN60°2(2)2+2(3)4-2312(1)根据折叠的性质得：AB=BNBF=CF=BC∠BNF=30°直角三角形的两锐角互余可得结论；(2)由折叠得：BM=BMRt△ABM≌Rt△CBM(HL)知AM=CM∠ABM=∠CBM△BFJ12ABCDBF=FJ=BC=2+2JK=2面积公式可得结论；1(3)如图(3)点P作PG⊥BC于GPH⊥CD于HDH=CH=CD212=AB=1PG=CH=1BN=BP=AB=2∠NBP=∠ABNPL233=xML=2xMP=3xNL==NM+ML(1)AB=BNBF=CF∠BFN=90°，∵AB=BC，1∴BF=BN，2∴∠BNF=30°，∴∠NBF=90°-30°=60°，12故答案为：BF=BN60°；(2)由折叠得：BM=BM，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，∵AB=BC，∴Rt△ABM≌Rt△