结构化学：量子力学基础知识

结构化学基础1.1微观粒子的运动特征第一章量子力学基础知识1.2量子力学基本假设1.3箱中粒子的Schrödinger方程及其解

§

1.1

微观粒子的运动特征

经典力学的回顾1687年，Newton的《自然哲学的数学原理》在伦敦出版，确立了牛顿力学。在以后的年代里,Lagrange创立分析力学;Ampere、Weber、Maxwell等人创立电磁场理论；Boltzmann、Gibbs等人创立统计力学,热力学…….到19世纪末，经典物理学大厦基本建成，它在一系列问题上取得了令人目眩的辉煌成就。

牛顿(Newton,SirIsaac1642-1727)，英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。

1.1

微观粒子的运动特征

经典物理学能否用来描述微观粒子的运动状态经典物理学Gibbs-Boltzman统计物理学Maxwell电磁理论Newton力学

1.1

微观粒子的运动特征

经典物理学无法解释的三个著名实验

氢原子光谱实验（1885年）黑体辐射实验（1884年）

光电效应实验（1887年）

1.1

微观粒子的运动特征

一、黑体辐射和能量量子化

黑体——是指能够完全吸收照射在其上面各种波长的光而无反射的物体。

黑体辐射和能量量子化

带有一微孔的空心金属球，非常接近于黑体，进入金属球小孔的辐射，经过多次吸收、反射、使射入的辐射实际上全部被吸收。当空腔受热时，空腔壁会发出辐射，极小部分通过小孔逸出。E

E

：能量密度单位表面积、单位时间黑体辐射的能量。实验得到：黑体辐射时能量密度按频率(或波长)分布的关系曲线。

黑体辐射和能量量子化

在不同温度下黑体辐射的能量分布曲线由图中不同温度的曲线可见:①随温度增加，辐射能Eν值增大，且其极大值向高频移动，最大强度向短波区移动（蓝移）。②随着温度升高，辐射总能量（曲线所包围的面积）急剧增加。

黑体辐射和能量量子化

E

在不同温度下黑体辐射的能量分布曲线★经典物理学的解释经典电磁理论认为：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的，由于其振动是连续的，因此辐射电磁波的能量也是连续变化的。

黑体辐射和能量量子化

低频时，瑞利-金斯曲线与实验曲线比较吻合；在高频时，维恩曲线较吻合。但是在频率接近紫外光时，理论计算值趋于无穷。实验曲线0Rayleigh-Jeans(瑞利－金斯)曲线Wien(维恩)曲线紫外紫外灾难

黑体辐射和能量量子化

PlanckPlanck量子论

1.黑体是由不同频率的谐振子组成；

2.每个谐振子的能量总是某个最小能量单位ε的整数倍；因此，黑体辐射时能量是不连续的、即是量子化的。称为能量子—谐振子固有频率—普朗克常数，3.

黑体辐射和能量量子化

普朗克基于上述假定，采用与瑞利-金斯完全相同的处理方法—经典统计物理学的方法解释黑体辐射时能量密度与频率变化规律，得到了与实验完全吻合的结果。

Planck能量量子化假设的提出，标志着量子理论的诞生；

1918年，Planck获得的诺贝尔物理学奖。

黑体辐射和能量量子化

黑体辐射和能量量子化

频率为的振动的平均能量为:单位时间,单位表面积上辐射的能量为:

1.1

微观粒子的运动特征

二、光电效应和光子学说光电效应实验装置图

光电效应—光照射在金属表面，使金属发射出电子的现象。

光电效应和光子学说

①当外加电压足够大时,电流趋向最大值.某一频率下不同光强光电流I和外加电压U的关系②当外加电压减小到零并逐渐趋向于负值时,电流不等于零,表明光电子具有一定的动能,能够克服反向电场力的作用.③只有外加电压负的足够大,才使电流为零,这个电压称为遏止电压.遏止电压和强度无关,和入射光频率有关.实验现象光电子的产生与入射光的频率有关光电子的动能与入射光的频率成正比，而与光的强度无关。

光电效应和光子学说

光电效应和光子学说

★经典物理学的解释经典光波图像认为：波的能量与它的强度成正比,而与频率无关,因此只要有足够的强度,任何频率的光都能产生光电效应,而电子的动能将随光强的增加而增加,与光的频率无光,与实验事实明显不符。

光电效应和光子学说

著名的物理学家爱因斯坦应用、推广了普朗克的量子概念，提出了光子学说，成功地解释了光电效应。光子学说的建立：

Einstein

光电效应和光子学说

1光是一束光子流，每一种频率的光的能量都有一个最小单位，称为光子，光子的能量与光子的频率成正比，即：—Planck常数—光子频率

Einstein光子学说

光电效应和光子学说

光子的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子的密度。

3光与物质作用时，能量守恒，动量守恒。

4光子具有质量m和动量P,但光子的静止质量为零.根据爱因斯坦质能联系公式：光子的质量m和动量p分别为：2

光电效应和光子学说

光电效应的解释

当一束频率为v的光照射到金属表面时，根据能量守恒原理，光子的能量hv就会被电子所吸收，其中一部分用来克服金属表面的吸引，另一部分就是电子离开金属表面所具有的动能。

式中W是电子脱离金属所需要的最小能量，称为电子的脱出功或逸出功。解释光电效应实验结果：当hv＜W

时，光子的能量不足以克服逸出功，不发生光电效应；当hv=W

时，光子的频率即为产生光电效应的临阈频率(v0)；当hv＞W

时，从金属中发射的电子具有一定的动能，它随v的增加而增加，与光强无关。光电方程

1921年，爱因斯坦因在光电效应方面的成就而被授予诺贝尔物理学奖。

光电效应和光子学说

1.1

微观粒子的运动特征

三、氢原子光谱原子光谱的产生：当原子被电火花,电弧,火焰或其它方法激发时,能够出一系列具有一定频率(或波长)的光谱线.氢原子发射光谱氢原子光谱实验结论1885年瑞士的一位中学教师巴尔麦(Balmer)在观察了氢原子的可见光谱图后发现了谱线与波长之间存在如下关系:为波数，即波长(

)的倒数；

为H原子Rydberg常数，等于1.09677576×107m-1

继Balmer之后，Luman及Paschen,Bracket,Pfund等人又相继发现了分布在氢可见光区左右侧的紫外及红外光谱区的若干谱线系:氢原子光谱1原子存在于具有确定能量的稳定态(简称定态),定态中的原子不辐射能量.能量的最低态叫基态,其余叫激发态.Bohr理论2只有当电子从一个定态跃迁到另一定态时,才发射或吸收辐射能.3对应于原子各可能存在的定态,其电子的轨道角动量M必等于h/2

的整数倍,其中n为量子数.

Bohr理论

Bohr理论几点说明:1）定态假说是经验性的，它解决了原子的稳定性问题。2）跃迁假设是从Planck假设中引申的，解释了线状光谱的起源问题。3）量子化条件是人为加进去的，可以从deBroglie假设导出。Bohr的氢原子图像

basedonNewtonandCoulomb’slaw

Bohr理论

1）轨道量子化——电子轨道半径：电子在半径为r的轨道上以速率v运动，则：Bohr假定3：可得：Bohr半径2）原子能级氢原子基态能量氢原子总能量：氢原子的能级量子化

Bohr理论

3）电子跃迁的辐射规律Ei

Ef

Bohr理论

Bohr理论得到Rydberg常数实验值:R=1.0967758×107m-1

符合很好!

Bohr理论

Bohr理论

Bohr理论的成绩1）解释了氢原子光谱的规律性；2）从理论上计算了Rydberg常量；解决了近30年之久的Balmer公式之迷，打开了人们认识原子结构的大门，而且Bohr提出的一些概念，如能量量子化、量子跃迁及频率条件等，至今仍然是正确的；3）能对类氢原子的光谱给予说明。玻尔于1922年12月10日诺贝尔诞生100周年之际，在瑞典首都接受了当年的诺贝尔物理学奖金！

Bohr理论

Bohr理论的不足

Bohr理论更严重的缺陷在于其理论体系上，它一方面否定了经典理论而提出定态和量子化能级的概念，另一方面却保留了经典力学的轨道概念，并用经典物理的定律来计算电子的稳定轨道，因此它本身就是一个不自恰的理论。光的波粒二象性

光的波粒二象性波动说（Huggens）（1690年）微粒说（Newton）（1680年）

电磁波（Maxwell）（1865年）光子说（Einstein

）（1905年）光的本质的认识历史

光具有波性和粒性的双重性质,称为光的波粒二象性。光的波粒二象性

粒子波相互作用传播过程光是波性和粒性的统一体。光在传播过程中，例如光的干涉、衍射，波性为主；光与物质作用时，例如光电效应，光化反应，粒性为主。

波粒二象性联系公式四、实物微粒的波粒二象性DeBrogile1、德布罗意（DeBrogile）假设

实物微粒也具有波粒二象性，应服从与光的波粒二象性一样的公式。

实物粒子——静止质量(m0≠0)的微观粒子如电子、质子、中子、原子、分子等。

1.1

微观粒子的运动特征

实物粒子的波粒二象性

对于实物粒子p=mv与此微粒相适应的波长为：德布罗意关系式实物微粒所具有的波就称为物质波或德布罗意波。德布罗意(DeBroglie)波与光波的区别：光波的传播速度和光子的运动速度相等；德布罗意波的传播速度为相速度u，不等于实物粒子的运动速度v。2、德布罗意波波长的计算例1飞行的子弹m=10-2kg

，v=102m·s-1，试确定其德布罗意波长。

解:子弹的尺度在cm数量级,德布罗意波

<<子弹的尺度，故其波动性可以忽略。实物粒子的波粒二象性

例2原子中的电子

me=9.1×10-31kg

，v=1.0×106m·s-1，试确定其德布罗依波长。

原子半径在10-10m数量级，

与原子大小相近，故波动性不可忽略。解:实物粒子的波粒二象性

3、德布罗意波的实验证实实物粒子的波粒二象性

Davisson和Germer—Ni单晶电子衍射实验Thomson

——

多晶电子衍射实验

根据电子衍射实验测得的电子波长与由德布罗意关系式计算出的电子波长非常吻合。

后来发现质子、中子、

粒子、甚至原子和分子等微粒运动时也都具有波动性，都能产生衍射现象。

1929年，德布罗意荣获诺贝尔物理学奖。实物粒子的波粒二象性

实物粒子的波粒二象性

用较强的电子流可以在短时间内得到电子衍射照片;若用很弱的电子流，让电子先后一个一个的到达底片，只要时间足够长，也能得到同样的衍射结果

表明电子衍射不是电子之间相互作用的结果，而是电子本身运动所固有的。单个电子有粒子性，到达底片得不到衍射图象，当电子数目足够多时，底片就显示出衍射图象

表明电子的波性是和微粒行为的统计性相联系。电子衍射图实物粒子的波粒二象性

4、德布罗意波的统计解释

1926年，玻恩（Born）对实物微粒波进行了统计解释。

在空间任何一点上波的强度与该点处粒子出现的几率成正比。

Born因此，实物微粒波也称为几率波。实物粒子的波粒二象性

对大量微粒来说，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目多，衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。对单个粒子而言，到达底片的位置不能准确预测。但如用相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，也会出现衍强度大的地方出现机会多，衍射强度小的地方出现的机会少的现象。电子衍射图实物粒子的波粒二象性

实物微粒波与经典波的异同机械波是介质质点振动的传播，电磁波是电场和磁场在空间的传播。而实物微粒的波没有这种直接的物理意义，它的强度反映出粒子在空间不同区域出现几率的大小。二者的相似之处是都表现有波的相干性。实物粒子的波粒二象性

不确定关系

四、不确定关系

1927年，德国物理学家Heisenberg提出了不确定关系，他认为具有波性的粒子不能同时具有确定的坐标和动量，它们遵循不确定关系。1、不确定关系式—位置的不确定量—动量的不确定量同理：Heisenberg2.不确定关系式的证明根据电子单缝衍射实验：yDAOQPxCel不确定关系

若考虑二级以外的衍射:ppθACOθθ不确定关系

3.

不确定关系的讨论因为：位置和速度能同时确定，有经典轨道。

(1)

宏观粒子m>>h，所以:

(2)

微观粒子，m与h接近，位置和速度不能同时确定，没有经典轨道。

不确定关系

不确定关系式可用于判断物体运动规律是否可用经典物理学处理，还是用量子力学处理的一个定量判断的客观标准。

应用不确定关系

例3对质量m=10-15kg的微尘，求速度的不确定量。设微尘位置的不确定度为Δx=10-8m,由此可得出什么结论？微尘的速度为:10-2m.s-1故：微尘的位置和速度可以同时确定，即微尘有确定的轨道，服从经典力学。不确定关系

例4原子中的电子被束缚在原子的范围内(10-10m),求其速度的不确定量，由此得出什么结论？

电子一般速度为:

故：

电子的位置和速度不能同时确定，因此，原子中的电子具有波粒二象性，没有经典轨道。结论不确定关系

宏观物体

微观粒子具有确定的坐标和动量，可用牛顿力学描述。

没有确定的坐标和动量，需用量子力学描述。

有确定的运动轨道几率密度分布能量连续变化能量量子化不确定度关系无实际意义遵循不确定度关系总结微观粒子和宏观物体的特性对比不确定关系

量子力学

量子力学是描述微观粒子运动规律的科学，量子力学的基本原理是自然界的基本规律之一。量子力学是从几个基本假设出发，推导出一些重要结论，用以解释和预测许多实验事实。量子力学

波函数和微观粒子的状态

§1-2量子力学基本假设一、波函数和微观粒子的状态假设Ⅰ：任何一个微观粒子的运动状态总可以用含时间和空间变量的函数——波函数来描述。1、波函数的物理意义

波函数用来描述微观粒子的运动状态；

波函数绝对值平方代表体系几率密度分布。2、波函数的合格条件有限单值连续波函数和微观粒子的状态

波函数和微观粒子的状态

例5下列波函数是否是合格波函数

？单值性很容易判断；有限性是指波函数应为收敛函数，即

r→∞，

→0或一个有限值。连续性是指一阶导数连续，二阶导数存在。关键波函数和微观粒子的状态

3、波函数的性质归一性

若为归一化波函数；

若为未归一化波函数。

波函数和微观粒子的状态

设则称为归一化系数归一化过程

为归一化波函数波函数和微观粒子的状态

内是否为归一化波函数？

例6在区间故:未归一化;为归一化系数。波函数和微观粒子的状态

物理量和算符

二、物理量和算符假设Ⅱ：对于微观体系的每个可观测的物理量都对应一个线性自轭算符。

1、算符的定义

算符就是将一个函数变为另一个函数的数学运算符号。d/dx，∑，lg，sin等都是算符。物理量和算符

2、算符的运算法则算符的加减法算符的乘法注意一般地，若：，则称二者为可交换算符。物理量和算符

例7与是否为可交换算符？二者为不可交换算符。故：物理量和算符

3、线性算符和自轭算符

线性算符:自轭算符（也称厄米算符）:为任意合格波常数。或物理量和算符

例8证明算符为自轭算符。量子力学需要用线性自轭算符，是为了使和算符对应的本征值能为实数。物理量和算符

4、物理量算符的构成规则

时间和坐标对应的算符就是其本身

动量算符物理量和算符

证明动量算符若波函数：物理量和算符

物理量算符物理量可表示:

则物理量算符:获得相应物理量的算符，首先是为该物理量写出包含坐标(x,y,z)和动量沿着坐标分量px,py,pz的经典表达式，再整理化简。物理量和算符

例9计算总能量算符(Hamilton)

2:Laplace物理量和算符

力学量角动量的z轴分量*动量的x轴分量算符经典力学表达式动能势能能量*位置若干物理量对应的算符本征态和本征值

三、本征态、本征值和Schrödinger方程自轭算符本征函数和本征值的性质

A.自轭算符本征值是实数

假设Ⅲ：若，为常数，则此状态下该力学量A有确定的值。称为算符的本征值，

称为的本征函数，称为本征方程。

本征态和本征值

证明自轭算符的本征值一定为实数。

例10因此，a=a*，即a必为实数。

本征态和本征值

B.自轭算符给出的本征函数形成一个正交、归一的函数组δij称为(克罗内克或狄拉克符号)物理意义：例如，同一原子的各原子轨道间不能形成有效重叠。本征态和本征值

证明自轭算符的本征函数一定是正交。

例11例12试问下列二函数是否是的本征函数，若是，求出本征值。

本征态和本征值

Schrödinger方程将总能量算符代入本征方程，则得方程——

方程即：也称定态方程。态叠加原理

四、态叠加原理假设Ⅳ：若

1,

2,…

n为某一微观体系可能的状态，则由它们线性组合所得到的

也是该体系可能存在的状态。其数值大小反映

i对

的贡献。ci2表示

i在

中所占的百分数物理意义：例如，s轨道和p轨道线性组合得到的杂化轨道。态叠加原理

1、物理量的确定值若微观体系粒子的运动状态是某个物理量算符的本征态，则在该状态时，力学量有确定值，其值可由本征方程求得。为该物理量得确定值态叠加原理

2、物理量的平均值

若不是的本征函数，即体系处于某个任意状态，则在此状态，该物理量没有确定值，只能求平均值。若为归一化波函数，则：

平均值公式：例一维势箱中粒子，，对应能量，

，对应能量。

求体系在状态时，能量的平均值<E>。

归一化时，

例sp杂化,两个杂化波函数可以写为杂化轨道中s，p成分的大小由组合系数cij来决定。

态叠加原理

Pauli原理

五、保里（Pauli）原理假设Ⅴ：在同一个原子轨道或分子轨道上，最多只能容纳两个电子，这两个电子的自旋状态必须相反。或者说两个自旋相同的电子不能占据同一轨道。PauliPauli原理

许多实验现象（比如光谱的谱线分裂，光谱的精细构）都证明了电子除轨道运动外还有其他运动。1925年G.Uhlenbeck(乌仑贝克）和S.Goudsmit（哥希密特）等提出电子自旋的假设，认为电子具有不依赖于轨道运动的自旋运动，具有固有的自旋角动量和相应的自旋磁矩。实验证实Pauli原理

描述电子运动状态的完全波函数空间坐标（x,y,z）外，还应包括自旋坐标（

），对一个具有n个电子的体系来说，其完全波函数应为:q是广义坐标，例如q1代表第1号粒子的4个坐标(x1,y1,z1,

)。微观粒子的全同性如两电子体系，

(q1,q2)代表这个体系的状态，而

(q2,q1)代表电子1和电子2交换坐标后的状态，若这个波函数的平方能经得起坐标q1和q2的对换:就体现了不可分辨的要求.Pauli原理

Pauli原理

费米子Pauli原理指出：对于电子、质子、中子等自旋量子数s为半数的体系（费米子），描述其运动状态的全波函数必须是反对称波函数，即：玻色子光子、介子、粒子等自旋量子数为整数的波色子，则要求对称波函数。波色子不受Pauli不相容原理的制约，多个波色子可以占据同一量子态，如激光：Pauli原理

反证：倘若电子1和电子2具有相同的空间坐标(x1=x2,y1=y2,z1=z2),自旋相同(

1=

2),Pauli原理表示为：这个结论说明处在三维空间同一坐标位置上，两个自旋相同的电子，其存在的概率密度为零。Pauli原理

Pauli原理的引申Pauli不相容原理

在一个多电子体系中，两个自旋相同的电子不能占据同一个轨道。也就是说，在同一原子中，两个电子的量子数不能完全相同。Pauli排斥原理

在一个多电子体系中，自旋相同的电子尽可能分开、远离。习题习题习题习题习题习题习题习题习题一维势箱中粒子的Schrödinger方程§1-3一维势箱中粒子的Schrödinger方程及其解

假设有一个沿一维空间运动的粒子，它的运动方向设为x方向，它的运动服从势函数：一、一维势箱模型ⅠⅡⅢ实例：金属中的自由电子、化学中的离域键电子等，可近似按一维势箱模型处理。一维势箱中粒子的Schrödinger方程二、定态Schrödinger的建立及其解箱内：定态Schrödinger方程:即:一维势箱中粒子的Schrödinger方程令:二阶齐次方程Schrödinger方程为:解为：常微分方程：辅助方程：一维势箱中粒子的Schrödinger方程归一化：波函数：一维势箱中粒子的Schrödinger方程把两个波函数进行线性组合:尤拉公式：波函数：有虚数通解一维势箱中粒子的Schrödinger方程一维势箱定态Schrödinger方程:通解：一维势箱中粒子的Schrödinger方程根据边界条件确定方程的特解

边界条件为：因为所以一维势箱能级公式:一维势箱波函数:一维势箱中粒子的Schrödinger方程根据归一化条件确定归一化系数

一维势箱波函数一维势箱中粒子的Schrödinger方程三、解的讨论A.能量量子化

粒子的能量是不连续的，随n

不同，能量取一系列不连续的分立值。一维势箱中粒子的Schrödinger方程

当粒子质量m和箱长l增大时，能级间隔变小。对于宏观物体来说，m和l很大，这个间隔可以当作零看待，还原到能量可以连续变化的经典力学；但对于原子，分子那样大小的体系，这种能量量子化就变得非常突出了。

一维势箱中粒子的Schrödinger方程B.零点能效应

体系最低能量状态能量值不为零的现象，为零点能效应。经典力学中最低动能可以为零，因为经典质点放在箱内，它完全可以处在动能为零的静止状态。最低动能恒大于零意味着粒子永远在运动，即运动是绝对的。这也可以理解成是热力学第三定律的起源。一维势箱中粒子的Schrödinger方程C.离域效应

这种由于粒子运动范围扩大而产生能量降低的效应称为离域效应。一维势箱中粒子的Schrödinger方程D.波函数和几率密度一维势箱中粒子的Schrödinger方程按经典力学模型，对箱中粒子来说，所有位置都是一样的。但按量子力学模型，箱中各处粒子的概率密度是不均匀的，呈现波性。但这并不是说粒子本身像波一样分布，粒子在箱中没有经典的运动轨道，只是描述粒子在箱中运动状态及概率密度的函数的分布像波，并服从波动方程。一维势箱中粒子的Schrödinger方程在箱中的粒子由于呈现波性，

可以为正值，可以为负值，也可以为零。

=0的点称为节点，其数目为n-1。节点多，能量高。一维势箱中粒子的Schrödinger方程E.几率波F.波函数的正交归一一维势箱中粒子的Schrödinger方程能量量子化存在零点能没有经典运动轨道，只有概率分布存在节点，节点多，能量高上述这些微粒的特性，统称量子效应。随着粒子质量的增大，箱子的长度增长，量子效应减弱。当质量、长度增大到宏观的数量时，量子效应消失，体系变为宏观体系，其运动规律又可用经典力学描述。四、一维势箱中有关物理量的计算一维势箱中粒子的Schrödinger方程x无确定的值，应求其平均值（非本征态的平均值）A.粒子在箱中的平均位置

B.粒子的动量沿x轴的分量px

px无确定的值，应求其平均值（非本征态的平均值）一维势箱中粒子的Schrödinger方程C.粒子动量的平方值px2

表明动量平方有确定的值。箱中粒子的动量平方有确定的数值，而动能的计算结果和以前的结果完全一致。一维势箱中粒子的Schrödinger方程五.自由电子模型（FEM）在化学中的应用

丁二烯的离域效应

丁二烯有4个碳原子，每个碳原子以sp2杂化轨道形成3个σ键后，尚余1个pZ轨道和一个π电子，即可认为有4个电子在一维势箱中运动。CCCCE1定域键一维势箱中粒子的Schrödinger方程

l↑，E↓离域键CCCC4/9E11/9E13

l日本白川英树合成的导电高聚物（获2000年诺贝尔化学奖），可以用一维势箱模型解释。插花一维势箱中粒子的Schrödinger方程吸收光谱和红移现象

丁二烯电子组态：当电子在E2，E3轨道之间跃迁时，吸收光波长最长。

一维势箱中粒子的Schrödinger方程实验值：一维势箱中粒子的Schrödinger方程例花菁染料的吸收光谱（水溶性染料）

电子数：HOMO:第r+2个轨道（相当于第n个）LUMO:第r+3个轨道（相当于第n+1个）设运动范围为：CH一维势箱中粒子的Schrödinger方程※量子力学处理微观体系的一般步骤：①根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schrödinger方程；②解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及

En，求得

n;③描绘

n，

n*

n等图形，讨论其分布特点；④用力学量算符作用于

n，求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质；⑤联系实际问题，应用所得结果。三维势箱中粒子的Schrödinger方程三维势箱粒子的势能函数的特点：Schrödinger方程三维势箱中粒子的Schrödi