2024年吉林省长春市某校九年级6月中考模拟数学试题（含答案）

2024年吉林省长春市第一0八学校九年级6月中考模拟数学试题

2024.6.3

一、选择题（每题3分，共24分）

1.若。=屈，则表示实数°的点会落在数轴的（）

A.段①上B.段②上C.段③上D.段④上

2.若a<6,则下列不等式一定成立的是（）

A.a—3>b—3B.a?<b?C.2—Q>2—bD.ac2<be1

3.数学无处不在，如图是一个螺栓的示意图，它的左视图是（

正面

（第3题）

A.C.且

4.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形，若正方形

A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是（）

（第4题）

A.8B.10C.13D.15

5.如图，含45°角的三角板4BC的直角顶点C在直尺的边上，斜边48与直尺的两边分别交于点D,

E,直角边3C与直尺的边。尸交于点尸，若NBEF=80。,则NZCD的度数为（）

（第5题）

A.55°B.45°C.35°D.30°

6.如图，为了测量河两岸4,3两点间的距离，在河的岸与垂直的方向上取一点C,测得ZC=200米,

ZACB=a,则Z5=（）

（第6题）

A.200・tana米B.200-sina米C.200-cosa米D.米

tana

7.如图，已知NZ08,用直尺、圆规作NN08的角平分线，作法如下:

（第7题）

①以点。为圆心，适当长为半径画弧，交。/于点”，交。5于点N；

②分别以点M,N为圆心，大于工〃乂的长为半径画弧，两弧在NN08内部交于点C.

2

③画射线。C,0c即为所求.

以上作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是（）

A.两点确定一条直线B.SASC.SSSD.全等三角形对应角相等

8.综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的

高度h（cm）是液体的密度p（g/cn?）的反比例函数，其图象如图所示（p>0）.下列说法正确的是（）

A.当液体密度/21g/cm3时，浸在液体中的高度〃220cm

B.当液体密度2=2g/cn?时，浸在液体中的高度力=40cm

C.当浸在液体中的高度0<//W25cm时，该液体的密度2》0.8g/cm3

D.当液体的密度0＜「Wlg/cm3时，浸在液体中的高度〃W20cm

二、填空题（每题3分，共18分）

9.计算：（-4芦4、0,252024=.

10.已知关于x的一元二次方程--2x+〃z=0有两个实数根，则他的取值范围是.

11.将抛物线^=/+4%+1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数

表达式为.

12.如图，正五边形N3CDE的边长为2,以顶点/为圆心，长为半径画圆，图中阴影部分的面积为

13.如图，在直角三角形N2C纸片上剪出如图所示的正方体的展开图，直角三角形的两直角边与正方体展

开图左下角正方形的边重合，斜边恰好经过两个正方形的顶点.已知BC=12cm,则这个展开图中正方形

的边长是cm.

（第13题）

14.如图，正方形/BCD的边长为4,点E在边上，BE=1,NZX4M=45°,点尸在射线上，且

AF=41,过点厂作AD的平行线交BA的延长线于点H,CF与AD相交于点G,连接EC、EG、EF,下

列结论：①AEFH咨ACEB；②AECF是等腰直角三角形；③AAEG的面积为2.5；④

EG=DG+BE；其中正确的是.（填写所有正确结论的序号）

（第14题）

三、解答题（共78分）

15.（6分）先化简，再求值：fl—-—十二，其中x=-2.

Vx+1Jx+1

16.（6分）准备三张纸片，两张纸片上各画一个三角形，另一张纸片画一个正方形（如图所示）.如果将这

三张纸片放在一个盒子里搅匀.甲、乙两人制定了这样的游戏规则：随机地抽取两张纸片，可能拼成一个

菱形（取出的是两张画三角形的纸片），也可能拼成一个房子（取出的是一张画三角形、一张画正方形的纸

片）.若拼成一个菱形，则甲赢；若拼成一个房子，则乙赢.你认为这个游戏公平吗？请说明理由.

17.（6分）某校三个年级为灾区捐款，经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的2,八年级捐款

5

数是全校三个年级捐款数的平均数，己知九年级捐款1964元，求其他两个年级的捐款数.

18.（7分）如图，AB=AC,AE^AF,且NE4B=NF4C,EF=BC.

ci）求证：四边形班（方是矩形.

（2）设乙ABE的面积为E,AACE的面积为邑，矩形BCFE的面积为风，则鸟，S2,其的等量关系

为.

19.（7分）如图，由小正方形构成的8义8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为

1.e。经过N,B,C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图.（保留作图痕迹）

（1）在图1中，作△ABC关于点〃（格点）成中心对称的

（2）在图2中，将△48C绕点/顺时针旋转N48C的度数，作出4'8"C〃；

（3）在图3中，点N在eO上且不在网格线上，作弦8尸=弦的『（点N、P不重合）

20.（7分）为增进学生对数学知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了30名学生两次

活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析.如图1是将这30名学生的第一次活动

成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标绘制而成.

（1）学生甲第一次成绩是70分，则该生第二次成绩是分.

（2）两次成绩均高于90分的学生有个.

（3）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，如图2是这30位学生两次活动平均成绩的频数分布直方

图（数据分成8组：60<x<65,65<x<70,70<x<75,75<x<80,80<x<85,

85<x<90,90<x<95,95<x<100）,在75Wx<80的成绩分别是77、77、78、78、78、79、79,

则这30位学生平均成绩的中位数是分.

（4）假设全校有1200名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数.

第：次成绩/分

100

95

90

85

80

75

70

65

60

55

0556065707580859095100

第一次成绩/分

图1

图2

21.（8分）某游泳池的平面图如图1,宽30米，深水区长40米，浅水区长8米.游泳池应定期换水.图2

是小明给游泳池放水时，游泳池的存水量0（立方米）与放水时间，（小时）的函数图象.其中尸（2.5,1152）

表示正好放到浅水区底部时的状态.

8

深

米

浅

水

30米

区

小

O2345时

图3

（1）观察图1,图2.可知：深水区的面积是平方米，浅水区的面积是平方米，放水速度是

每小时立方米；

（2）求0关于/的函数表达式，并写出自变量f的取值范围；

（3）游泳池清理干净后，又将水放到原来的高度.若进水速度与放水速度相同，请在图3中，画出游泳池

中的水深〃（米）关于进水时间f（小时）的函数图象（请标注关键点的坐标）.

22.（9分）阅读理解：

（1）【学习心得】

小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可

以使问题变得非常容易.我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”.这类题目主要是两种类型。

①类型一：“定点+定长”：如图1,在△NBC中，AB=AC,ZBAC=44°,。是△NBC外一点，且

AD=AC,求N8DC的度数.

解若以点/（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆OA,（请你在图1上画圆）则点C、。必在eA

上，NA4c是e4的圆心角，而N8DC是圆周角，从而可容易得到N8DC=°.

②类型二:“定角+定弦”：如图，中，ABA.BC,AB=6,8c=4,P是△NBC内部的一

个动点，且满足/048=/用。，求线段CP长的最小值.

解：ZABC=90°,：,ZABP+ZPBC=90°,'：ZPAB=ZPBC,：.ZBAP+ZABP=90°,

：.ZAPB=,（定角）

.•.点尸在以（定弦）为直径的e。上，请完成后面的过程.

（2）【问题解决】

如图3,在矩形/BCD中，已知48=6,DC=8,点尸是2c边上一动点（点P不与2,C重合），连接

AP,作点3关于直线AP的对称点“，则线段MC的最小值为.

（3）【问题拓展】

如图4,在正方形4BCD中，40=4,动点E,尸分别在边DC,C5上移动，且满足D£=CF.连接/E

和DR交于点P点£从点。开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P的运动路径长.

23.（10分）已知矩形纸片/OCD中,AB=6cm,BC=8cm,点E从点2出发，沿2C做匀速运动.点

E运动的同时，将△48E沿/E所在直线折叠，得到△4FE.

（1）如图1,点£运动到8C中点时，/尸落在矩形/RR内，则tan/EZE=

（2）如图2,点£运动到C处时，EF与4D交于点G,求证：AAFGmAEDG；

（3）点£运动过程中，/尸恰好落在边上时，既与8。的交点为K,请在图3中画出△ZEE的示意

图.

①直接写出线段DK的长.

②延伸：若点E到达C点后继续匀速沿CD运动，直至到达点。停止，设点£的速度为1c加/s,则点£沿

8-。。运动的整个过程中，直接写出△川£尸能覆盖点K的时长（含边界）.

（4）设BE=n,当0<〃<6时，直接写出点尸到2c的距离d（用含"的式子表示）.

24.（12分）如图1,抛物线^=。/+加+4与x轴交于点幺（―3,0）,5（2,0）,与y轴交于点C,点。

是。C的中点，点P是抛物线上的一个动点.

(2)当PC〃幺8时，求四边形/2CP的面积.

(3)当=时，求点尸的坐标.

(4)如图2,过点尸作直线AD的垂线，垂足为以PN为对角线作正方形尸QMN,当点。落在抛物线

j=ax2+加+4的对称轴上时，请直接写出点P的横坐标.

数学试卷答案2024.6.3

一、选择题（每题3分，共24分）

1.D.2.C.3.B.4.C.5.C.6.A.7.B.8.C.

二、填空题（每题3分，共18分）

6兀

9.1.10.m<\.11.y=x-2.12.—.13.1.5.14.①②④

5

三、解答题（共78分）

15.（6分）3.

16.（6分）拼成菱形的可能性是,，拼成房子的可能性是不公平.

33

17.18.略.

19.

20.解：⑴75；

(2)7；

(3)79；

9

（4）—xl200=360（人），

30

答：估计两次活动平均成绩不低于90分的学生有360人.

21.解：（1）深水区的面积为：40x30=1200（m2）,浅水区的面积为：8x30=240（m2）,

2592-1152

放水速度为:=576(m%),故答案为：1200,240,576；

2.5

（2）。关于，的函数表达式为：0=2592-5767（04/44.5）；

2592-1152

(3)浅水区的深度为：、=1(米),

(40+8)x30

1152

深水区的深度为：——+1=1.96（米）,

1200

久

当0W/W2时，h=——t,即〃=0.48/,

1200

当2</44.5时，A=0.96+——（Z-2）,

1440v）

即：〃=0.4/+0.16,

所函数的图象为：

22.解：(1)①,：4B=4C=4D,

.•.点2,点C,点。在以点/为圆心，48为半径的圆上,

图I

如图1,...N8OC=LNR4c=22。，故答案为：22。；

2

②ZABC=90°,/.ZABP+NPBC=90°,

NPAB=ZPBC,：.ZBAP+NABP=90°,/.ZAPB=90°,

...点P在以（定弦）为直径的e。上，

如图2,连接OC交eO于点尸，此时尸C最小，

图2

•:点、。是AB的中点，

OA=OB—2,

在Rt^BCO中，Z05C=90°,BC=4fOB=3,

OC=yjBC2+OB2=5,PC=OC-OP=5-3=2.

最小值为2,故答案为：90°；

(2)如图3,连接/C,AM,

D

B7c

图3

;点瓦点〃关于直线4P对称，=

...点M在以点/为圆心，48为半径的圆上运动,

当点M在线段NC上时，MC有最小值，

；AB=3,BC=4,：.AC=yjAB2+BC2=10,

.•.CM的最小值为10—6=4,故答案为：4；

(3)

②如图4,连接/C,AD交于点O,

D

H

F

图4

:点P在运动中保持ZAPD=90°,

：.点P的运动路径是以AD为直径的圆的DPO,

907TX2

点P的运动路径长为——=兀.

180

23.解：(1),四边形48cD为矩形，AB=6cm,BC=8cm,：.ZB=90°,

当点£运动到8C中点时，则有8£=，8C=4cm,

2

由折叠的性质可得，AF=AB=6cm,EF=BE=4cm,NFZ5=90°,

F/742

tanZEAF=——=-=-

AF63

­、，

故答案为：一2；

3

(2)•.,四边形/BCD为矩形，，/台二/0二野。，AB=CD,

当点E运动到点C处时，由折叠的性质，

可得NE=N8=90。，AF=AB,：.AF=CD,

NF=ZD=90°

在AAFG和AEDG中，JAAGF=ZEGD

AF=CD

:.AAFG”AEDG(AAS)；

(3)根据题意，画出图形如下:

BEC

①；四边形4SCD为矩形，AB=6cm,BC=8cm,

/./BAD=/ABC=90°,AD=BC=8cm,

BD=4AB-+AD2=V62+82=10cm,

由折叠的性质可得，AF=AB=6cm,ZAFE=ZABC=90°,

又；NB4D=90。,

四边形4BE尸为正方形，

：.DF=AD-AF=8-6=2cm,EF//AB,

DFDK2DK

：.——=——，即nn一=——

ADBD810

解得。K=2.5cm；

②根据题意，点£运动过程中，/尸恰好落在4D边上时，EF与BD的交点、为K,

在点E在8-C-。运动的整个过程中，

当点£在段运动时，如下图，

此阶段△ZEE不能覆盖点K；

当点£在线。段运动时，如下图，

由图形可知，此阶段能覆盖点K,

...四边形48E。片为正方形，

BE0=AB=6cm,

/.CE0=BC—BE0=2cm,

...此阶段运动时间为2cm+lcm/s=2s；

当点E在。。段运动时，如下图，

在/E经过点K之前，/XZE5能覆盖点K,当NE经过点K时，

:四边形/BCD为矩形，AB//CD,:.ADEKs^BAK

DKDE2.5DE

••---=----,即an-------------,

BKAB10-2.56

解得=2cm,

CE=CD—DE=6—2=4cm,

...此阶段运动时间为4cm4-lcm/s=4s.

综上所述，△ZEE能覆盖点K的时长为2+4=6s.

(4)如下图，过点尸作切，8C,交BC于点、H,延长交4D于点G,

则ZBAD=ZABC=NBHG=90°,

，四边形4B8G为矩形，

ZAGF=90°,GH=AB=6cm,BH=AG,

：.EH=BH-BE=AG-BE=AG-n,

设FH=d,则GE=6—d,

由折叠的性质可得，ZAFE=ZABC=90°,EF=BE=n,AF=AB=6cm,

：.ZAFG+AEFH=9Q°,

,ZNAFG+ZFAG=180°-NAGF=90°,：.NFAG=NEFH,

又•；NAGF=ZFHE=90°,Z.AAGF^/\FHE,

•生一处一但即色.士人AG

FEHEFH'nAG-n~T

…口6d\2n-nd-.12n23

整理可得4G=—=----------,解得d=--------

n636+〃

9(2-36+4=0

24.解:(1)把4(-3,0),5（2,0）代入歹=〃v2+法+4得:

4。+26+4=0

2

”422

解得：＜；，，抛物线的表达式为y=—§%+4；

b--

3

2?

(2)在y=—+4中，令x=0得歹=4,・，・C(0,4),

2222

在y=——x29——x+4中，令歹二4得4二——x92——x+4,

3333

解得％=0或%=-1,尸(一1,4),

：.CP=1,OC=4f

・・・/(-3,0),5(2,0),:.AB=5,

.•.1(CP+^)-<9C=|x(l+5)x4=12,

四边形48cp的面积为12；

(3)①当P在x轴下方时，设AP交y轴于K,如图:

:点。是0c的中点，C(O,4),.2),

2

由/(一3,0),£＞(0,2)得直线AD解析式为y=-x+2,

；ZABP=/BAD,：.AD//BP,

24

设直线8P解析式为y=§x+加，把5(2,0)代入得：0=1+机，

424

解得…「.•直线成解析式为"广§

24

y=-x——

联立《-33

:33

x-2、x——4/、

解得《或＜j=6(-4，-4);

b=°I

②当P在x轴上方时，AP交y轴于K,如上图，

•1,ZABP=ABAD=ZABP,K'与K关于x轴对称,

24