湖北省咸宁市2023-2024学年高一年级下册期末考试数学试卷（解析版）

湖北省咸宁市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4=卜卜=1082（2—x）},5={y[y=2*—",则4B=（）

A.（0,2）B,[0,2]C.（0,+动D.（-oo,2]

K答案XA

k解析》A集合表示函数y=log2（2—力的定义域，则4=卜卜＜2},

8集合表示函数y=244的值域，则§={,»＞0},

故A6=（0,2）.

故选：A.

2.在复平面内，复数Z对应的点在第三象限，则复数z7°25对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

[答案工D

k解析》复数z对应的点在第三象限，设2=。+历，则。＜0力＜。,

z.i2°25=z-i=—b+ai，由一人＞0,。＜0,则复数[•产必对应的点在第四象限.

故选：D.

3.设机，”是两条不同的直线，名尸是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若根_L",_L。，则nlla

B.若La,则〃J_a

C.若mJIa,mlI/3,则M//?

D.“直线a,b不相交”是“直线a,b为异面直线”的充分不必要条件

[答案XB

K解析X对于A,若mJ■外加_L。，则〃〃。或“ua,故A错误;

对于B,若根〃”,m_La,则〃_Ler,故B正确；

对于C,若“2〃％加〃尸，则a〃4或a与夕相交，故C错误;

对于D,直线不相交，则直线a/平行或异面,

故“直线a,b不相交”是“直线a,b为异面直线”的必要不充分条件，故D错误.

故选：B.

4.设/（力=£-2ta+4（xeR）,则关于x的不等式““＜。有解的一个必要不充分条

件是（）

A.—2<a<0B.。＜—2或々＞2C.|a|>4D.|«|^2

（答案ID

k解析U/（x）=f—2依+4＜0有解，即对于方程/一2依+4=0的A=4〃—16＞0,

则网＞2；可知D选项为一个必要不充分条件.

故选：D.

5.在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F,G分别满足

3.3

AF=-AD,BG=-BC,设A3=a,A£>=b,若EFLEG,贝I()

44

A.忖=；同B.|^|=|^|C,|/?|=j|a|D.忖=2,

K答案1C

3-1-13-

k解析UEF=AF-AE=-b——a,EG=EB+BG=-a+-b,

4224

由跖,EG=0，得■万+g@]=0，得9b2=4。2,即得忖=|■问，

则C选项正确.

故选：C.

6.在直三棱柱ABC-46。中，NB4c=90。且3与=4,已知该三棱柱的体积为26，

且该三棱柱的外接球表面积为20K,若将此三棱柱掏空（保留表面，不计厚度）后放入一个

球，则该球最大半径为（）

D.^1

A.1B.昱

222

k答案UB

k解析》设5。中点为。，4G中点为2，。2中点为。,

外接球球心在中点。处,

设AB=x,AC=y,BC=z,

该三棱柱的体积为2后,54=4,

•s-真rv-A/3

,•—2，人）—Y'，

■该三棱柱的外接球表面积为20兀，

外接球半径R=即OC=J?,BC=2,x2+y~=4,

:.AB=6，AC=1,

底面ABC内切圆半径r=2s冬BC=_立〒=1二1,

x+y+z1+2+J32

正口＜2,因此该球最大半径为叵口.

22

故选：B.

7.矩形的周长为16cm，把一Afi。沿AC向八位）。折叠，A3折过去

后交。C于点尸，则△ADP的最大面积为（）

A.48-1672B.48-320

C.108-7272D.192-12872

K答案1B

K解析［设AB=X,AD=8—X,CF=Q,其中0VXV8,则。P=x-〃,AP=a,

在直角八40?中，由勾股定理得：（8-x）2+（x-a）2=«2,

炉—8x+328x-32

解得:a=---------------DP=x—a=

xx

.-.5ADp=l(8-x)-DP=48-4x--<48-2^4x-=48-3272,

192—

当且仅当4x=—,即x=40时等号成立.

x

故选：B.

8.定义在R上的函数“X)满足"％+2)为偶函数，且〃力在(2,+8)上单调递增，若

%e[l,3],不等式/(依)</(1—2)恒成立，则实数。的取值范围为()

A.B.(1,5)C.D.(-1,0)

k答案1A

K解析X定义在R上的函数/(%)满足〃x+2)为偶函数，所以“X)关于x=2对称，

/(%)在(2,+“)上单调递增，则/(%)在(-8,2)上单调递减，

所以/(%)越靠近对称轴x=2函数值越小，

由2)^|tzx-2|<|x-2-2|,

由于xe[l,3],所以％_4<0,4—%>0,

故元一4〈依一2<4-%，

0A9f\

可得1一一<a<——1,即]6[1,3]时1一一<a<——1恒成立，

XXXX

可得---j<6Z<f--1j,

V冗/max〈X/min

2rT△211

由于y=l——在xe[l,3]时单调递增，1一一=-,此时x=3,

%Vmax3

>=屋1xe[1,3]时单调递减，g_i

1，此时x=3f

X一\X/mmiiln

则实数。的取值范围为

故选：A.

二、多项选择题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图

所示的频率分布直方图，其中分组的区间为

[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],若同一组中数据用该组区间中间

值作为代表值，则下列说法中正确的是（）

频率

0.030-----............-|—।

0.020..............T-J-l—i

0.015……厂

0.010……-------------------

0.005—1—

10506070809060，绩

A.考生参赛成绩的平均分约为72.8分

B.考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分

C.分数在区间[60,70）内的频率为0.2

D.用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间[70,80）应

抽取30人

[答案XBC

K解析》对A,平均成绩为

元=45x0.05+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.2+95x0.1=72.5,故A错误；

对B,由频率分布直方图知第75百分位数位于[80,90）内，

075—07

则第75百分位数为80+=82.5,故B正确；

0.02

对C,分数在区间[60,70）内的频率为0.02义10=0.2,故C正确；

对D,区间[70,80）应抽取200x0.3=60人，故D错误.

故选：BC.

10.己知向量a=(l,2),b=(—2,2),c=(4,左)，则下列说法正确的是()

A.若(a+b)〃c,则左=一16

B.a在方上的投影向量为1一万,万］

C.若a与c的夹角为锐角，则左＞—2

D.若要使卜+可最小，贝旷=一：

(答案UABD

(解析》对于A：因为a=(1,2)力=(—2,2),所以。+沙=(一1,4),

又C=(4㈤，且(a+b)〃c,所以—％=16,解得：k=—16,故A正确;

对于B：由a=(1,2),6=(—2,2),则同='『+22=6利=J(—2『+22=2拒,

a-b

所以〃在人上的投影向量为-故B正确;

对于C：当〃与。共线时，有左二8,此时〃与c方向相同,

当。与G的夹角为锐角，有a・c=4+2左＞0,解得左＞—2,

所以上＞—2且左。8时，。与。的夹角为锐角，故C错误；

对于D：由a+%=(1—2/,2+2，)，,+或={(1-21)+(2+2%)=+4/+5,

结合二次函数的性质可知，/=-4时取最小值，故D正确.

4

故选：ABD.

11.如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角一ABC沿向上翻折，得三棱锥

A—BCD.设8=2,点E产分别为棱3C,的中点，M为线段AE上的动点.下列说法

正确的是()

A,翻折过程中存在某个位置，使A3,CD

B.当时，A。与平面ABC所成角的正弦值为好

5

C.在翻折过程中，三棱锥A-BCD体积的最大值为2

D.当A3=AD时，CM+FM的最小值为“+2夜

（答案1ACD

k解析》对于A：当平面ABC1平面时，AB1CD,

证明如下：因为平面ABC1平面BCD,平面ABCc平面3cD=3C,

BC^CD,CDu平面BCD,则CD,平面ABC,

因为A5u平面ABC,所以A6LCD,故A正确；

对于B：当AELEF时，等腰直角中，点E为棱的中点，有AEL3C,

EF\BC=E,跖,3。匚平面5。。，则4£，平面6。。，

AEu平面ABC，有平面ABCJ_平面BCD,由A选项知CDJ_平面ABC,

所以/ZMC是直线A£＞与平面ABC所成的角；

由CD=2,有BC=26，AE=EC=5AC=#，BD=4,

AD7AC"=回'则加/加0=器=5=半'故B错误;

对于C：当三棱锥A-BCD体积取得最大值时，平面ABC,平面BC。,

即AE是三棱锥A—BCD的高,^A-BCD=§S&BCD,AE=2,故C正确;

对于D：当A3=A。时，因为P为3。的中点，所以A户"LBD,则寸■=。6—4=后,

又因石为的中点，所以跖=,。。=1,

2

又AE=+,所以所2+A产2=4石2,所以

如图将AAEF沿AE旋转，得到AAEF',使其与△ACfi在同一平面内且尸'在AAEB内,

则当C,M,尸三点共线时，QW+9=QW+F'M最小，即aw+9的最小值为CF',

AF'_46

在RtAAEF'中，sinZAEF'=

~AE~~T

A/6

则cosNCEF'=cos(NAEP+ZAEC)=-sinZAEF'

一3

所以在qCE尸中，由余弦定理得CF=

所以CM+府的最小值为“+2叵，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知角a满足2sinIcif——I—cosI<7+—I=1,则tanI——I=.

K答案工±巫

4

K解析I***2sinf——j—cos[or+—j=1,

71兀r

・・・2sinc^---cosa+-=1,

I3~~2

13.已知函数/'(x)='"，则关于％的方程/(/(x))=l的不等实根的个数为

inIx+1),%>U

K答案H2

k解析』由题意得，当y(x)wo时，/(%)+i=i,即y(x)=o,

即xVO时X+1=O,解得％=—1W0,符合题意；

尤>0时In(%+1)=0,解得x=0,舍；

当〃x)>0时，如(〃x)+l)=l,gp/(x)=e-l,

尤<0时x+l=e-l,解得x=e-2>0,舍;

%>。时，ln(x+l)=e-l,解得％=eeT-l>0，符合题意;

综上，关于X的方程/■(/■(力)=1的不等实根为1=—1和％=6,-1—1,共2个.

故[答案X为：2.

14.在锐角ABC中，角A5C的对边为。，"c,S为二ABC的面积，且2s=力—9—蛾,

5b+c

则-----的取值范围为.

a

K答案》(5,5A/2]

K解析U由2s二片一(b—of=—(02+/)+2bc,则hcsinA=2Z?c-2Z?ccosA,

所以sinA=2-2cosA,BP(sinA)2=1-cos2A=4cos2A-8cosA+4,

c34

即58$271—88524+3=0'解得cosA二1或cosA=1(舍去)，可得sinA二二,

5b+c_5sinB+sinC=：(5sin(A+C)+sinC)=^(4cosC+3sinC+sinC)=50sin

asinA

0<C<-

兀兀K

271471713343371

因为一A5c是锐角三角形，则有，所以9C+-e--A,—,

,-714(4444)

A+C〉—

2

sinA=g,乐鸿,贝咛<A<?有泮乎人苫

,-r,5KV6+A/2A/2.3K

田十sin——=-------->----=sin——，

12424

故k答案』：(5,572].

四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.己知关于x的不等式212+x>2av+a(aeR).

(1)若。=1,求不等式的解集；

(2)解关于*的不等式.

解：⑴由2*+%>2依+。,.”(2%+1)>。(2%+1),.，.(％—0)(2%+1)>0,

当a=l时，可得解集为1x|x〉l或x<-g}.

(2)对应方程的两个根为a,-一，

2

当。=---时，原不等式的解集为<XXH---->,

2[2

当a〉—Q时，原不等式的解集为“xx<—5或x>a},

当a<—!■时，原不等式的解集为{x|x<a或X〉一：}.

16.如图，在梯形ABCD中，48=2。。,/比1。=90。,43=AD=2,E为线段5C中点,

记AB=a,AD=b.

(1)用表示向量AE；

(2)求AK的值；

(3)求AE与RD夹角的余弦值.

解：(1)AE——(AB+AC——\cib—〃]二—OH—b.

2、>2[2J42

(2)由于/BAD=90，可得o力=0，又有=2,W=2,

咐、一不2(31-Y9.23・71,29/1/13

所以AE=—a+—b=—a+—a-b+—b2=——x4+—x4=—•

<42J16441644

(3)由于/BAD=90，可得〃./?=0，又有=2,W=2,

所以|-(Z?-a\=--a2+—/?2=--x4+—x4=-l,

142户>4242

由正=9,可得网=平,

AEBDV26

/.cosAC,BD=

|AE|.|B£)|叵2血

2

17.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。是正方形，丛，5。,3。，面上钻，且

上旬的面积为2a.

（1）求证：。。，面24£）；

（2）当四棱锥P-A5CD的外接球体积最小时，求平面PCD与平面PBC所成二面角的余

弦值.

解：（1）证明：5。_1_面尸48,24匚面245,，5。，？4,

又PA工BD,BCBD=B,BC、

CD在面ABCD内，；.PALCD,

.底面ABCD是正方形，.•.ADLCD,

又A。PA^A,AD.PAu面HW,\CDA面B4ZZ

（2）因为上4,平面ABC。，ABu平面ABCD，

所以

设PA=x,AB=y,SAPAB=3孙=2虚，

设四棱锥P-A6CD的外接球的半径为R,

则（2R『=必+丁+J=尤2+2y2>2及xy=16

（当且仅当x=J5y,即x=20,y=2取等号）,

可得AB=AD=2,PA=2A/2-故PD=PB=26

过B作BHLPC交PC于H,连接DH,

由.PBC=PDC(SSS),则DHLPC,

故ZBHD为平面PCD与平面PBC所成的二面角的平面角,

由(1)知CD,面QA£),PDu面QA。，故CDLPD,

在R/VPCD中，可得pc=4PD?+CD)=4,

由等面积可得BH=DH=PDxCD=232=百

PC4

又BD=y)AB2+AD2=2及，

BH?+DH?-BD?3+3—8]_

/.cos/BHD=

2BHxDH26•百3

平面PC。与平面PBC所成二面角的余弦值为-g.

18.已知函数=sin(o尤+2。)+百cosox—2cos((za+ebsine(oeN*),若函数

在（0,71）上恰好有两个零点.

（1）求函数/（尤）的单调递增区间;

JT

（2）当xe0,-时，关于x方程/（%）=/律有两个不同的实根，求实数加的取值范围;

(3)在_ABC中，设内角A、AC所对的边分别为。、氏c,其中

/国=①。=而。=2,/B4C的角平分线交5C于O,求线段A。的长度.

解：(1)/(x)=sin(69%+^+^)-2cos(69%+0^•sin^+A/3COS^A:

=sin(s+6〉cos。一cos(s+8)•sin。+A/5coss

=sin^x+6CGS①x=2sin(vx+—,

I3j

由JV£(0,71)得§<G%+g*<①兀+g"'

冗58

由函数/(%)在(0,兀)上恰好有两个零点得2n<am+-<3n,-<a)<-,

CDGN；：.3=2,

：./(x)=2sin[2x+1]，

兀兀兀

由—5+2EV2x+,<5+2E/eZ,

57rir

得函数/(x)的单调递增区间为-石+E,历+E，攵eZ.

八兀，令—y，则打衅,

(2)xG0,一

2

兀4兀.、

由题意得2sin%=根在，ey,—上有两个不同的头根,

—e-,1me[^,2).

2L2J

(3)由/[m]=2sin[A+1]=G得sin[A+g)=曰,;<A+g<F，

,71271.71

...AH—=—,A=一

333

因为〃=巫,c=2,则由a?二/+。2-2/?℃osA=6=〃+4—2人=/?2一2人一2二0,

解得：人=省+1,

=

由SBACSBAD+SDAC,

得工x2(6+1^=—x2ADxsin巴+—x(6+1)xADxsin—,

:.AD=2.

19.己知函数/(%)和g(x)的定义域分别为2和2,若对任意演6。1，恰好存在九个不

同的实数玉，龙2,•，当用。2,使得g(%)=〃Xo)(其中i=l,2,…,〃,〃eN*),则称g(%)

为/(%)的“”重覆盖函数

(1)判断g(x)=产—4卜GR)是否为“耳=》—4卜44,8))的“〃重覆盖函数”，如果

是，求出”的值；如果不是，请说明理由；

⑵若g(x)=iJJ为〃x)=log,的“3重覆盖函数”,

V7[|x-l|,x>0八)62eA+l

求实数。的取值范围；

(3)若8("=5足"-个]卜€[0,2兀])为/3=一^卜«0,+8))的“2024重覆盖

函数”，求正实数。的取值范围.

解：(1)因为g(x)=b*-4，xwR,/(x)=x-4,xe(4,8),

则〃口«。,4),

任取代(0,4),令产—4卜/,

可得e*-4=±z.

即e，=4+/e(4,8)或e*=4—fe(O,4),

可得x=ln(4+f),或x=ln(4-f),

所以对于任意飞«4,8),能找到两个王，使得卜否—4|=%—4,

所以g(x)是八％)的"〃重覆盖函数"，且〃=2.

(2)可得/("=1。82'|7^|=1。82,+最片)的定义域为口，

即对任意x()eR,存在3个不同的实数%