2021年北师大版（2019）专题复习《对数运算与对数函数》

2021年北师大版(2019)专题复习《对数运算与对数函数》

一.选择题(共15小题)

1.（2019秋•河东区期末）已知a=log23"，（A）b=5,c=log32,则a,b,c的大小关系

为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

2.（2020秋•洛阳期末）已知2"=5'=10,则』+上的值为（）

ab

A.1B.2C.7D.10

3.（2020秋•桃城区校级期末）三个数lognCl.B,3"，sin*^的大小关系是（）

TTTT

A.Iogn0.3<sin—O11B.logn0.3<31T<sin_

1010

TT

C.sin—<logn0.3<3KD.CR-I•冗

1010

4.（2020秋•河南期末）若p=log56><k）g67Xk）g78><log89Xlog910,则（）

A.pW（0,1）B.p=lC.pW（1,2）D.p=2

5.（2020秋•荆州区校级期末）若〃=202秒2,^-logo.22021,c=（0.2）2021,则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

J_

6.（2020秋•景德镇期末）已知函数fG）=（工）㈤，记a=f（d）3），b=f（log.—

2332

c=f（logj5），则mb,c的大小关系为（）

T

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

7.（2020秋•湖北期末）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测

宇宙中普通物质的原子总数N约为心。.已知0.4771</g3<0.4772,则下列各数中与旦最

N

接近的是（）

A.1033B.1053C.1073D.1093

8.（2020秋•江苏期末）已知log32=a,3、=5,则log]C无用〃表示为（）

A1+a+bB1+a+b

-1+b-2（1+b）

C.世D.a+b

1+b2（1+b）

9.（2020秋•盐城期末）已知a=2」L3,6=Iog2.il.3,c=sin2021°,则a、b、c的大小关

系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

10.（2020秋•池州期末）已知〃=4叫8=0.253,c=iog（）25o.4,贝ljQ,b,c的大小关系

为（）

A.a<h<cB.a<c<hC.c<a<hD.c<h<a

11.（2020秋•福田区校级期末）已知函数/（x）是定义在[2,+8）的单调递增函数，若于

（2廿-5〃+4）V/（j+a+4）,则实数a的取值范围是（）

A.（一8,A）|J（2,+co）B.[2,6）

C.（0,/]U[2,6）D.（0）6）

d,xE[-1,0）

12.（2020秋•东湖区校级期末）若/（x）=|1,则况/'（10832）]的值

-（1）x,x€[0,1]

为（）

A.返B.c._AD.-2

332

13.（2021•金水区校级四模）已知3*=2>'=力且2•4A=2，则》=（）

xy

A.2^6B.C.36D.6

14.（2020秋•惠州期末）已知y=logax（a>0,aWl）的图象经过点P（3,1）,则y=f

的图象大致为（）

A.

15.（2020秋•湖北期末）已知a",c为正实数，满足=T=2-c,

则小b,c的大小关系为（）

A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

二.填空题（共7小题）

16.（2020秋•盐城期末）log23Xlog34Xlog45Xlogs6XIog67Xlog78=.

17.（2020秋•海安市期末）若如表中恰有一个对数的值是错误的，则该对数是,

其正确的值为.

对数依6lg2lg3Igl2饮25

值1+b-cI-a-ca+b-a+b-2c+2（a+c）2

2

18.(2020秋•赣州期末)计算：ylg8+lg50+(y)0+(s|-)3=.

19.(2019秋•天宁区校级期末)若欠二匚是函数f(x)—2cos(3x+<p),(p€(0,ir)的一条

12

对称轴，则函数f(x)在区间［与，兀］上的单调递减区间为.

20.(2020秋•北海期末)函数f(x)=log〃(x-1)+1(a>0且aWl)的图象恒过定点A,

则点A的坐标为.

21.(2020秋•义乌市期末)设函数f(x)=\ln(x+2)|-2—(aGR),若其定义域内不存

ax-l

在实数x,使得/(x)<0,则“的取值范围是.

22.(2018秋•定远县期末)若函数/(x)=|x-2|(x-4)在区间(5a,4a+l)上单调递减，

则实数。的取值范围是.

三.解答题(共8小题)

23.(2020秋•辽阳期末)已知函数/(x)=log2(?-4).

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)求不等式f(x)>3的解集.

2

24.(2020秋•南京期末)(1)计算：2log25+(0.125)一行+睡陋%

(2)已知a=logo.43,b=log43,求证：ab<a+b<0.

25.(2020秋•十堰期末)已知函数/(x)=log«(3-ax)(a>0,且a#l).

(1)求/(x)的定义域.

(2)是否存在实数a,使函数f(x)在区间［1,2］上单调递减，并且最大值为2?若存在，

求出。的值：若不存在，请说明理由.

26.(2020秋•武汉期末)(1)已知f(x)=(/)x，g(x)=(*)r，比较/(X)与g(x)的

大小；

(2)比较log45,log56的大小.

27.(2020秋•吉安期末)已知对数函数/(x)=(a2+a-5)logar.

(1)若函数g(x)=f(x+2)4/(5-x),讨论函数g(x)的单调性；

(2)对于(1)中的函数g(x),若在［-1,3］,不等式g(x)-"Llog23<0的解集非

空，求实数，”的取值范围.

28.(2020秋•越秀区期末)己知函数=log«A(a>0,且aWl).

(1)若0<xi<x2,试比较仪I22)与112的大小，并说明理由：

(2)若且A(z,/(f)),B02,f(r+2)),C(r+4,f(/+4))(f^2)三点在函

数y=/(x)的图象上，记AABC的面积为S,求S=g(f)的表达式，并求g(t)的值

域.

29.(2020秋•镜湖区校级期末)记函数f(x)=«K的定义域为集合A，函数g(x)=/g［(x

-«+l)(x-«-1)］的定义域为集合艮

(I)求集合A;

(II)若AAB=A,求实数a的取值范围.

30.(2020秋•南昌期末)定义在。上的函数f(x),如果满足：对任意存在常数M

20，都有［/■(x)|WM成立，则称/(x)是。上的有界函数，其中M称为函数/(x)的

一个上界.已知函数£&)=1+2e尸+号)汽g(x)=log工詈.

~2

(1)若函数g(x)为奇函数，求实数。的值；

(2)在(1)的条件下，求函数g(x)在区间卑，3］上的所有上界构成的集合；

(3)若函数/G)在［0,+8)上是以5为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

2021年06月25日ZY刘老师的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共15小题）

I.（2019秋•河东区期末）己知a=log23"，（A）h=5,c=log32,则a,b,c的大小关系

2

为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

【考点】对数值大小的比较.

【专题】规律型.

【分析】利用指数运算与对数运算的互逆性求出儿再根据对数函数的单调性判断小氏

。的范围，可得答案.

【解答】解：（―）=5=/?=log15=Tog25=log2」且匕<0；

275

a=log23i=log2』>k）g2Xfla<0；

35

0<c=log32<l；

故b<a<c,

故选：B.

【点评】本题借助对数值大小的比较，考查了对数的性质及对数函数的单调性，关键是

利用对数的单调性求出出b、c•的范围.

2.（2020秋•洛阳期末）已知2“=5。=10,则工+工的值为（）

ab

A.1B.2C.7D.10

【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质.

【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】把指数式化为对数式，再求代数式上+工的值.

ab

【解答】解：由2。=54=10,得。=log210,Z?=log510,

所以工+」=-------+-------=/g2+/g5=/gl0=l.

ablog210log510

故选：A.

【点评】本题考查了指数式与对数式的互化问题，也考查了对数的运算问题，是基础题.

3.(2020秋•桃城区校级期末)三个数lognO.3,3,sin卡•的大小关系是（）

JTjr

A.Iogn0.3<sin—<3nB.logn0.3<3TT<sin—

1010

TTIT

C.sin—<logn0.3<3KD.3yogn0.3Vsinj

10

【考点】对数的运算性质.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】利用指数函数、对数函数、正弦函数的单调性直接求解.

【解答】解：•••logn0.3<log1tl=0,

3“>3°=1,

0<sin—TT<1,

10

jr

.,•logn0.3<sin—<3n.

10

故选：A.

【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数、正弦函数的单调性

等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

4.(2020秋•河南期末)若p=k)g56Xlog67Xbg78X|og89Xk)g910,贝lj()

A.pe(0,1)B.p=\C.pE(1,2)D.p=2

【考点】对数的运算性质.

【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】利用对数换底公式求出p=log510,由此能求出结果.

【解答】解：

p^og^Xlog^Xlog^Xlog^Xloglgg6lO^lgX7^Xlg8^Xl^gl-O^og^O

而logs5<logs10<log525,

所以(1,2),

故选：C.

【点评】本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则、换底公式等基础知识,

考查运算求解能力，是基础题.

5.（2020秋•荆州区校级期末）若a=2021°Vfe=logo.2202bc=（0.2）2021,则（）

A.a>h>cB.h>a>cC.a>c>hD.c>a>b

【考点】对数值大小的比较.

【专题】函数思想；定义法：函数的性质及应用；数学运算.

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.

【解答】解：：420210-2>4°=1,

/?=logo.22021<logo.21=0,

0<c=(0.2)2021<0.2°=1,

:・a>c>b.

故选：C.

【点评】本题考查三个数的大小关系的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础

知识，考查运算求解能力，是基础题.

6.(2020秋•景德镇期末)已知函数f(x)=(')㈤，记a=f(/)1)，b=f(lOg3-Z-).

c=f(log।5)，贝Ub,c的大小关系为()

T

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【考点】函数单调性的性质与判断；对数值大小的比较.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.

2X,x<0

【解答】解：•••函数f(x)=(/)反|=,J,

x,x〉0‘

0<(A)3<(A)°=1,Ing—>log33=l,

33叼2

7

llogj51=1-Iog35|=log35>log3-L,

T2

当x>0时，/(x)=(A)X是减函数,

2

1

v3>

a=f((y))b=f(log3y)，c=f(logj_5)，

:.a,b,c的大小关系为丁>b>c.

故选：A.

【点评】本题考查三个数的大小的判断，涉及到指数函数、对数函数的单调性、考查了

化归与转化思想，是基础题.

7.(2020秋•湖北期末)根据有关资料•，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测

宇宙中普通物质的原子总数N约为心。.已知0.4771<欣3<0.4772,则下列各数中与土最

接近的是()

A.1()33B.1053C.1073D.1093

【考点】对数的运算性质.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】根据条件可得M心3361,由对数性质有3=10侬g10。卬7,从而得到M

改3361sss10172.2,由此能求出结果.

【解答】解：•••围棋状态空间复杂度的上限例约为3361,

可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1O80.

：.M^336i,W^IO80,

根据对数性质有3=10320。.477,

.,.AP®3361ss(IO0477)36I«slO172-2,

|r172.2

J5—-------=1()92.22|。93,

80

N10

故选：D.

【点评】本题考查对数的运算，涉及到对数的性质、运算法则，考查化归与转化思想，

是基础题.

8.(2020秋•江苏期末)已知log32=a,3”=5,则用6表示为()

A1+a+bB1+a+b

•1+b'2(1+b)

C.还D.a+b

1+b2(1+b)

【考点】对数的运算性质.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】利用指数式和对数式的互化，求出b=10g35,利用对数的换底公式得

=log标,由此能求出结果.

10gg15

【解答】解：,.・log32=m3力=5,

••人=log35，

.L—l°g3痴—2"108330

loS

"l5^30__log315_一log33+log35

（log35+log32+log33）_y（b+a+l）_1+a+b

1+1ogg51+b2（1+b）

故选:B.

【点评】本题考查对数式的表示，考查对数的性质、运算法则、换底公式等基础知识，

考查运算求解能力，是基础题.

9.（2020秋•盐城期末）已知”=2.止3,ft=log2,il.3,c=sin2021°,则。、b、c的大小关

系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

【考点】对数值大小的比较.

【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.

【解答】解:"：2.113>2.\'>2,：.a>2,

'：0=10g2.i1<10g2.il.3<10g2,i2.1=l,：.0<b<\,

：sin2021°=sin221°<0,，c<0,

.'.a>h>c,

故选：A.

【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数

和指数函数的性质的合理运用.

10.（2020秋•池州期末）已知a=4°-4,b=0.25一吟c=logo.250.4,则a,b,c的大小关系

为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【考点】对数值大小的比较.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.

【解答】解:因为6=0.25<5=4°5>a=4°4>4°=1,

c=logo.250.4<logo.250.25=1,

所以c<a<b.

故选：C.

【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，

考查运算求解能力，是基础题.

11.(2020秋•福田区校级期末)已知函数f(x)是定义在[2,+8)的单调递增函数，若f

(2a2-5a+4)<f(«2+«+4),则实数a的取值范围是()

A.(-co,-L)U(2,+8)B.[2,6)

C.(o,/]U[2,6)D.(0,6)

【考点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质与判断.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】由函数的定义域和单调性可得2W2a2-5“+4<“2+”+4,再求出。的取值范围.

【解答】解：函数/G)是定义在[2,+8)的单调递增函数，

若/(2/-5〃+4)</(/+〃+4),则2W2/-5a+4V/+〃+4,

解得OVaW』或2Wx<6,

2

所以实数a的取值范围为(0,1]U[2,6),

2

故选：C.

【点评】本题考查了根据函数的单调性求参数的范围，考查了转化思想，属于基础题.

d,xE[-1,o)

12.(2020秋•东湖区校级期末)若/(x)=|1，则用'(10832)]的值

-(1)x,x€[0,1]

为()

A.返B.jZlC.」D.-2

332

【考点】函数的值；对数的运算性质.

【专题】计算题；函数的性质及应用.

【分析】分解函数解析式先求f(10g32),然后可求得力(10g32)]的值.

3X,x€[-l,0)

【解答】解:

—'_g)x,xW[0,汀

I1

log2og

.V(log32)=_(-L)3=-3-log32=_33T=-A,

（））］（）4=返,

.♦Wkg32=/-1=

33

故选：A.

【点评】本题考查函数的求值，属基础题,分段函数求值要注意“对号入座”.

13.（2021•金水区校级四模）已知31=2）'=3且工J=2，贝卜=（）

xy

A.2^/6B.VfiC.36D.6

【考点】指数式与对数式的互化.

【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】化指数式为对数式可得X,»代入工」=2,再由对数的运算性质求解九

xy

【解答】解：V3x=2y=Z,/.x=log3/,y=log2h

又［4^=2，

Xy

•*--~~--~~—=log+3+log+2=log+6=2，贝U/=近.

log3tlog2tttt

故选：B.

【点评】本题考查有理指数塞的运算，考查指数式与对数式的互化，是基础题.

14.（2020秋•惠州期末）已知y=logax（a>0,〃#1）的图象经过点P（3,1）,则y=f

的图象大致为（）

A.

【考点】函数的图象与图象的变换；对数函数的图象与性质.

【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象.

【分析】根据对数函数过的定点求出“的值，进而求出事函数的解析式，然后根据基函

数的性质即可判断.

【解答】解：因为y=k>gox经过尸（3,1）,所以log“3=l,所以a=3,

所以嘉函数为），=丁，显然），=/为奇函数，排除人C,

又因为），=/在（1,+8）时，增长趋势比y=x快速，所以排除£）,

故选:B.

【点评】本题考查了对数函数的性质以及基函数的图象性质，考查了学生的识图能力，

属于基础题.

b2

5（2020秋•湖北期末）已知m'c为正实数，满足（±）a=log2a，（y）=b^c万二2一5

则mb,c的大小关系为（）

A.a〈c〈bB.b<c<aC.c〈a<bD.c<b〈a

【考点】对数值大小的比较.

【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】画出函数尸（l）x,y=logn,），=乂万，尸，的图象，由图象交点坐标即可判

断出“，b,c的大小关系.

£

【解答】解：画出函数尸（/产y=log2x,y=x2,），=*2的图象，

如图所示：

由图象可知，c<b<a,

【点评】本题主要考查了利用指数函数、对数函数、基函数的图象比较大小，是基础题.

二.填空题（共7小题）

16.（2020秋•盐城期末）log23Xlog34Xlog45Xlog56Xlog67Xlog78=3.

【考点】对数的运算性质.

【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】利用对数的性质、运算法则、换底公式直接求解.

【解答］解：k>g23Xlog34Xlog45Xlog56Xlog67Xlog78

=lg3lg4lg5lg6lg7lg8

Ig2"liT"而"1i5”申,有

=lg8

Ig2

=31g2

IgT

=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查对数的运算，考查对数的性质、运算法则、换底公式等基础知识，考

查运算求解能力，是基础题.

17.(2020秋•海安市期末)若如表中恰有一个对数的值是错误的，则该对数是仅25，其

正确的值为2(a+c)

对数/g6lg3/gl2:25

值\+b-c]-a-ca+b-a+b-2c+2(a+c)2

【考点】对数的运算性质.

【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】利用对数的运算法则直接求解.

【解答】解：由对数的运算法则得：

<lg2+lg3=lg6

,Ig2+lg5=l

4Ig25=21g5

Ig2+lg6=lgl2

表中伙25错误，收25=2(a+c).

故答案为：lg25,2(a+c).

【点评】本题考查对数的运算，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

2

3

18.(2020秋•赣州期末)计算：—lg8+lg50+(—)0+(3^-)

3289

【考点】有理数指数嘉及根式；对数的运算性质.

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】进行对数和分数指数幕的运算即可.

2

【解答】解：原式=/g2+/g50+l+3户=碌00+1屋=2+1屋具.

8999

故答案为：31

9

【点评】本题考查了对数和指数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题.

19.(2019秋•天宁区校级期末)若是函数f(x)=2cos(3x+<p),(p£(0,H)的一条

12

对称轴，则函数/(x)在区间号，冗］上的单调递减区间为_［今—等］

【考点】函数的单调性及单调区间.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；函数的性质及应用；三角函数的图象与性质；

数学抽象.

【分析】根据题意，由余弦函数的对称性可得(三+<p)=AF,即<p=hr-2L,结合(p

44

的范围分析可得年的值，即可得/G)的解析式，据此求出函数/(X)的递减区间，分

析可得答案.

【解答】解：根据题意，若X啥是函数/(X)=2cos(3x+(p),则有(A+<p)=加，

即(p=kn-

4

又由<p£(0,TT)则(p=—TT,

4

则/(x)=2cos(3x+—TT),

4

又由2E;W3x+-inW2内T+TT,解可得：且三三-ILwxW其f(x)的递减区

434312

间为［型L-工，2k兀+三；

34312

当无=1时，其一个递减区间为［且L,12L|,

124

则在区间「工，兀］上，其递减区间为［三，”］;

L224

故答案为：［IL,22L］.

24

【点评】本题考查余弦函数的性质，注意求出中的值，属于基础题.

20.(2020秋•北海期末)函数f(x)=log“(x-1)+1(4>0且aWl)的图象恒过定点A,

则点A的坐标为(2,1).

【考点】对数函数的单调性与特殊点.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数据分析.

【分析】令真数等于零，求得X、y的值，可得函数的图象经过的定点坐标.

【解答】解：对于函数/(x)=logn(X-1)+1(40且aHl),令X-1=1,求得x=2,

y=l,

可得函数f(x)的图象恒过定点(2,1),

故答案为：(2,1).

【点评】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题.

21.(2020秋•义乌市期末)设函数/(x)=\ln(x+2)I-二一(aGR),若其定义域内不存

ax-l

在实数X,使得了(x)W0,则a的取值范围是f--，0］.

2

【考点】对数函数的图象与性质.

【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】由题意，对定义域内任意实数x,使得f(x)>0恒成立，由此进行讨论分析可

求a的取值范围.

【解答】解：由题意，其定义域内任意实数x,使得>0,

f(x)=\ln(x+2)|--J—,解析式要有意义，则有(x>-2,

ax-1lax-17t0

①当。=0时，f(x)=\In(x+2)|+2,定义域为(-2,+°°),满足/(x)>0恒成立；

②当.=-工时，/(%)=|加(x+2)|+——，定义域为(-2,+8),满足f(x)>0恒

2x+2

成立；

③当〃<0时，有--2.在(-2,+8)上恒成立，

ax-l

所以!a<°,解得上<4<0；

(-2a-l<02

④当°>0时，在x略大工时，有F(x)<0,不符合题意.

a

综上，。的取值范围是［-工，01，

2

故答案为：［-工，01.

2

【点评】本题考查函数的定义域，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是解题的关

键，属于中档题.

22.(2018秋•定远县期末)若函数f(x)=|x-2|(^-4)在区间(5a,4«+1)上单调递减,

则实数a的取值范围是_24a

52

【考点】函数的单调性及单调区间.

【专题】计算题；函数的性质及应用.

【分析】将函数化成分段函数的形式，不难得到它的减区间为(2,3).结合题意得：(5a,

4a+l)£(2,3),由此建立不等关系，解之即可得到实数a的取值范围.

【解答】解：函数/(x)=Q2|(…)，亍2,

[(2-x)(x-4)(x<2)

，函数的增区间为(-8,2)和(3,+8),减区间是(2,3).

•・•在区间(5a,4a+l)上单调递减,

/.(5a,4a+l)Q(2,3),得『《二，解之得看

故答案为：

5飞飞2

【点评】本题给出含有绝对值的函数，在已知减区间的情况下求参数〃的取值范围，着

重考查了函数的单调性和单调区间求法等知识，属于中档题.

三.解答题(共8小题)

23.(2020秋•辽阳期末)已知函数/(x)=log2(?-4).

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)求不等式/(x)>3的解集.

【考点】对数函数的图象与性质；指、对数不等式的解法.

【专题】转化思想；换元法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】(1)先求函数的定义域，然后设t=7-4,利用复合函数的单调性，可求函数一

(%)的单调区间；

(2)利用对数函数的单调性建立不等式，然后解一元二次不等式即可.

【解答】解：(1)函数/(X)的定义域为(-8,-2)U(2,+8),

设£=X2-4,则g(f)=10g2f,函数g(f)是单调递增函数，

函数4的单调递增区间为(0,+8),单调减区间为(-8,0),

所以根据复合函数的单调性，及/(x)的定义域可得了(尤)的单调递增区间为(2,+8),

单调递减区间为(-8,-2).

(2)由/(x)>3,得log?(x2-4)>3，即7-4>23=8,

所以x2-12=(x-2/§)(x+2正)>0，

解得X〉入质或x<-2虫.

故不等式的解集为{x|x〉入门或x<-2/§}.

【点评】本题主要考查了复合函数的单调性，以及对数不等式的解法，解题的关键是弄

清复合函数单调性的判定方法，属于基础题.

2

24.(2020秋•南京期末)(1)计算：2log25+(0.125)"T+log^；

(2)已知。=logo.43,b=log43,求证：ab<a+b<0.

【考点】对数的运算性质.

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】(1)利用对数的运算性质求解.

(2)由函数y=logo.4x的单调性可得ab<G,由函数y=logm的单调性可得OvLJLv1,

ab

进一步得到ah<a+h<0.

_2_

-3

【解答】解：(1)原式=5+[(2)]~+10§73(近)4=5+4+4=13.

(2)证明：因为y=logo,4X在(0,+8)上递减，y=log4x在(0,+°°)上递增，

所以a=logo.43<logo.41=0,/?=log43>log41=0,所以ab<0,

因为」+」=log30.4+log34=log3(0.4X4)=logs1.6,且y=log3i在(0,+°0)递增，

ab

所以0=log31<k)g31.6<log33=l,即0<工+」<1,

ab

所以(A+A)>ah,即出?<a+bV0.

ab

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，考查了对数函数的性质，是中档题.

25.(2020秋•十堰期末)已知函数/(%)=log〃(3-O¥)(«>0,且QWI).

(1)求/(x)的定义域.

(2)是否存在实数”，使函数/(x)在区间［1,2］上单调递减，并且最大值为2?若存在,

求出a的值；若不存在，请说明理由.

【考点】对数函数的图象与性质.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】(1)令3-加>0,解不等式即可求解；

(2)假设存在。满足题意，利用复合函数的单调性以及对数函数的性质和函数的最值即

可求解.

【解答】解：(1)由题意可得3-奴>0,即然<3,

因为所以解得x〈旦.

a

故/(X)的定义域为(-8,3);

a

(2)假设存在实数“，使函数/(x)在区间口，2］上单调递减，并且最大值为2.

设函数g(x)=3-ax,由a>0,得-a<0,

所以g(x)在区间［1，2］上为减函数且g(x)>0恒成立，

贝Ug(2)>0,解得

2

又因为f(x)在区间［1,2］上单调递减，

所以心>1,即i<a<2，

2

又因为f(x)在区间［1,2］上的最大值为2,

所以/(元)m(1)=loga(3-Q)=2,

整理得次+“-3=0,解得(a>0)-

因为所以@=吗-1€(1,Q

所以存在实数a=W3-l，使函数/'(x)在区间［1,2］上单调递减，并且最大值为2.

2

【点评】本题考查了对数函数的图形性质，涉及到复合函数的单调性，考查了学生的运

算能力，属于中档题.

26.(2020秋•武汉期末)(1)已知f(x)=(/)x，g(x)=(/)f，比较f(x)与g(x)的

大小；

(2)比较log45,log56的大小.

【考点】对数值大小的比较.

【专题】数形结合；函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】(1)在同一直角坐标系中作出f(x)=(])x，g(x)=(/)r=2'图象，数形结

合能求出结果.

(2)法一：log”(?l+l)—l+10gnIl+->l+10gn+lI1+—>l+10gn+ln+^—log<n+l)(〃+2),

nnn+1

从而log八(n+1)>Iog(n+1)(M+2),由此能求出Iog45>log56.

法二：设/(x)=logA(x+1),x>l,求出/(x)=xlj._(x+l)]n(x+D,利用导数

x(x+1)(lnx)2

性质求出/(x)在(1,+8)上是减函数，从而Iog45>log56.

【解答】解：⑴f(x)吗产g(x)吗)-x=H

在同一直角坐标系中作出f(x)=(工)叫g(x)=(』)-X=2X图象如下：

当x〈0时，f(x)>g(x)；当x=0时，f(x)=g(x)；当冗>0时，g(x)>f(x).

(2)解法一：

log/?(/?+1)=l+log〃R+l>l+log〃+i-n+l>i+iog〃+].n+2=]og”])(〃+2),(及EN*,〃22),

nnn+1

故log〃(n+1)>log5+i)(〃+2),(〃WN*,〃22),

/.Iog45>log56.

解法二：设/(x)=logx(x+1),x>1,则/(x)=ln(x+l),x>\,

lnx

.f(%)=xlnx-(x+l)ln(x+l)

x(x+l)(lnx)2

(x)=工伉¥在(1,+°°)上是增函数，:・g(x)-g(x+1)<0,

:・f(x)<0,：.f(x)在(1,+8)上是减函数，

(4)>f(5),/.Iog45>log56.

【点评】本题考查两数大小的比较，考查函数图象、构造法、导数性质等基础知识，考

查运算求解能力，是中档题.

27.(2020秋•吉安期末)已知对数函数/(x)=(a2+a-5)log«x.

(1)若函数g(x)—f(x+2)V(5-x),讨论函数g(x)的单调性；

(2)对于(1)中的函数g(x),若3],不等式g(x)-机-log23W0的解集非

空，求实数，”的取值范围.

【考点】对数函数的定义；对数函数的图象与性质.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理.

【分析】(1)先利用对数函数的定义得到“2+“-5=1,求出〃的值即可得到/(x)的解

析式，然后表示出函数g(