1998-历年全国初中数学试题98-05

1998年全国初中数学竞赛试卷...........................1

1998年全国初中数学赛参考答案.............................................2

1999年全国初中数学竞赛试卷...............................................8

1999年全国初中数学竞赛答案...............................................10

2000年全国初中数学竞赛试题解答..........................................21

2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷.....................................29

2002年全国初中数学竞赛试题..............................................31

2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题.............................34

2003年“TRULY"信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案......................37

2004年全国初中数学竞赛试题..............................................45

2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题..................................48

1998年全国初中数学竞赛试卷

一、选择题：(每小题6分，共30分)

I、已知a、b、c都是实数，并且a>b>c,那么下列式子中正确的是()

cb

(A)ah>bc(B)a+b>h+c(C)a-h>h-c(D)—>—

ac

2、如果方程/+〃¥+1=0仿>0)的两根之差是1,那么p的值为()

(A)2(B)4(C)V3(D)V5

3、在AABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD_LCE,BD=4,CE=6,那

么△ABC的面积等于()

(A)12(B)14(C)16(D)18

4、已知并且竺2==*=那么直线丁=〃％+〃一定通过第()

cab

象限

(A)一、二(B)二、三(C)三、四(D)一、四

9x—a>0

5、如果不等式组1的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数a、b

8x-8<0

的有序数对(a、b)共有()

（A）17个（B）64个（C）72个（D）81个

二、填空题：（每小题6分，共30分）

6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点，PE1BD,PF

±AC,E、F分别是垂足，那么PE+PF=o

7、已知直线y=—2x+3与抛物线y=V相交于A、B两点，O为坐标原点，那么AOAB

的面积等于。

8、已知圆环内直径为acm,外直径为bcm,将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一

条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为cm。

9、已知方程//一（3/-84,+2。2-13〃+15=0（其中a是非负整数），至少有一个

整数根，那么a=。

10、B船在A船的西偏北45。处，两船相距10后km,若A船向西航行，B船同时向南航

行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是km。

三、解答题：（每小题20分，共60分）

11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1,NA=90。，点E为腰AC中点，点F/

在底边BC上，且FE_LBE,求4CEF的面积。/

H

12、设抛物线丁=/+（24+1卜+2。+1的图象与x轴只有一个交点，（1）求a

的值；（2）求秩+323d的值。

13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市

18台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；

从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D

市、E市的运费为400元和500元。

（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关

于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。

（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表

示总运费亚（元），并求W的最大值和最小值。

1998年全国初中数学赛参考答案

一、选择题

1.B

根据不等式性质.

2.D

由△=p2-4>0及p>2,设X],X2为方程的两根，那么有xi+X2=-p,xjX2=l.又

由

(xpX2)2=(x]+X2)2-4X]x2,

得?=(-p)24/.p2=5,

p=V5(p>2).故选D.

3.C

如图连ED,

则S四坊越BCDE=5BD•CE=12.

又丁DE是AABC两边中点连线.

_4_4_

,・S(IABC=gS四达用BCDE=1X12=16.

故选C.

4.B

a+b=pc,

由条件得＜b+c=pa,,三式相加，

a+c=pb.

得2(a+b+c)=p(a+b+c).

/.有p=2或a+b+c=O.

当p=2时，y=2x+2.则直线通过第一、二、三象限.

当a+b+c=O时，不妨取a+b=-c,于是

a+b/

P-------------1.(C卢0)

C

・・・y=-x-l,则直线通过第二、三、四象限.

综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限，故选B.

5.C

由原不等式组可得

yo

在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图

T03123b45

98

不难看出3<^<4.

9o

由得0<a<9,

/.a=l,2,3-9,共9个.

由3<4得3X8<b<4X8,

O

...b=3X8+L3X8+2,3X8+3,…，3X8+8.共8个.

79X8=72(个)，故选C.

二、填空题

6.解如图，过A作AGJ_BD于G,

•••”等腰三角底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高”.

，PE+PF=AG.

VAD=12,AB=5,

；.BD=13.

12X5_6060

/.AG=13=I3.,.PE+PFl3,

7.解如图，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(l,1),B(-3,9),

作AA],BB]分别垂直于x轴，垂足为A],Bp

.•・S/\OAB=S梯形AAiBiB-Sz\AAiO-SaBB]O

=lx(l+9)X(l+3)-1xiXl-lx9X3=6.

―--义2=2a+b(cm).

8.解如图，当圆环为3个时，链长为3a+2

当圆环为50个时，链长为50a+2X上」=49a

2

+b(cm).

9.解,/a^O,解微i=：3=2

a-535

X==-------=1----.

aa

故a可取1,3或5.

10.解如图，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A],Bp设AA]=x,

于是BB]=2x.

由AB=10应，得AC=BC=10.

,

..A1C=|10-x|,B]C=[10-2x|.

/.AJBJ=J|10-X|2+|10-2X|2

=J5(X-6)2+20.

当x=6时，A3i=26最小.

三、解答题

11.解法1过C作CD_LCE与EF的延长线交于D,

VZABE+ZAEB=90°,

ZCED+ZAEB=90°,

：.NABE=/CED.

于是RtZ\ABEs^CED,

.$ACDE_zCE2_1CE_AB_

S&EABAB4CDAE

又NECF=NDCF=45°,所以，CF是NDCE的平分线，点F至UCE和CD的距.离

相等.

.S&CEF=CE

S&CDFCD

s二s

°ACEF30ACDE3AABE

=2XJ.X—S=—

342AAsc24'

解法2作FH_LCE于H,设FH=h.

VZABE+ZAEB=90°,

ZFEH+ZAEB=90°,

AZABE=ZFEH.

ARtAEHF^RtABAE.

..EHAB.

.——=——=2,

FHAE

/.HC=--2h.

即EH=2h,2

又：HC=FH,

h=~―2h,h=—,.

26

•，•SACEP==lx

dCEF222624

12.解(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程

X，+(2a+l)x+2a+9=0有两个相等实根，于是

△=(2a+I)2-4(2a+-)=0,即a2-a-LO

,1土石

..a=---.

2

(2)由⑴知，a2=a+l,反复利用此式可得

a4=(a+l)2=a2+2a+1=3a+2,

a8=(3a+2)2=9a2+12a+4=2la+13,

a16=(21a+13)2=441a2+546a+169=987a+610.

a18=(987a+610)(a+l)=987a2+1597a+610=2584a+1597.

又/=-____-________1_______

a6a4a2(3a+2)(a-1)

1

-8a+5'

a2-a-1=0,，64a2-64a-65=-1,

即(8a+5)(8a-13)=-l.

1

-8a+13.

8a+5

:.a18+323a-6=2584a+1597+323(-8a+13)=5796.

13.解(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分x,x,18-2x,发

往E市的机器台数分别为10-x,10-x,2X-10.于是

W=200x+300x+400(l8-2x)+800(l0-x)+700(l0-x)+500(2x-l0)=-800x+17200.

b<x<io,.oCxCio,

X[0<18-2x<8,[5<x<9,

，5WxW9.

；.W=-800x+17200(5WxW9,x是整数)

由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000

元；当x=5时，W取到最大值13200元.

(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x,y,18-x-y,发

往E市的机器台数分别是10-x,10-y,x+y-10,于是

W=200x+800(l0-x)+300y+700(l0-y)+400(l9-x-y)+500(x+y-10)=-500x-300y-17

200

0<x<10.

y-0<y<10.

0<18-x-y<8,

0<x<10,

10<x+y<18,

;.W=-500x-300y+17200,

0<x<10,

且，04yC10,(x,y为整数)

10<x+y<18,

W=-200x-300(x+y)+l7200

2・200X10-300X18+17200=9800.

当x=10,y=8时，W=9800.所以，W的最小值为9800.

又W=-200x-300(x+y)+17200W-200X0-300X10+17200=14200.

当x=0,y=10时，W=14200,所以，W的最大值为14200.

1999年全国初中数学竞赛试卷

一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分.每小题均给出了代号为A,B,C,

D的四个结论，其中只有一个是正确的.请将正确答案的代号填在题后的括号里）

1.一个凸n边形的内角和小于1999°,那么n的最大值是（）.

A.11B.12C.13D.14

2.某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8

元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费.已知某用户4月份的煤

气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（）.

A.60元B.66元C.75元D.78元

--1<?|=1—+1«^|

3.已知。门,那么代数式。।的值为（）.

A.—B.--C.-V5D.V5

22

4.在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5,AD=6,BD=10,CD=5,那么

三角形ABC的面积是（）.

A.30B.36C.72D.125

5.如果抛物线y=x2-（k-l）x-k-l与x轴的交点为A,B,项点为C,那么三角形ABC

的面积的最小值是（）.

A.1B.2C.3D.4

6.在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P,使得4PCD与4BCD的面积相等，并

且4ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为（）.

A.2B.3C.4D.5

二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）

x=1J1

7.已知+&、巧-0,那么X：+y2的值为.

8.如图1,正方形ABCD的边长为10cm,点E在边CB的延长线上，且

EB=10cm,点P在边DC上运动，EP与AB的交点为F.设DP=xcm,AEFB与

四边形AFPD的面积和为yen?,那么，y与x之间的函数关系式是

（0<x<10）.

图1

9.已知ab¥O,a2+ab-2b2=0,那么2a+b的值为.

10.如图2,已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A,B两点在第I象限

内，0A与x轴的夹角为30°,那么点B的坐标是..

11.设有一个边长为1的正三角形，记作用（如图3）,将4的每条边三等分，在

中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A?（如图4）；

将Az的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如图5）；再将船的每条

边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A”，那么人的周长是_____________.

12.江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等.如果

用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完.如果要在

10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机台.

三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）

13.设实数s,t分别满足19s2+99s+1=0,t2+991+19=0,并且stWl,

st+4s+1

求t的值.

14.如图6,已知四边形ABCD内接于直径为3的圆0,对角线AC是直径，对角线AC

和BD的交点是P,AB=BD,且PC=0.6,求四边形ABCD的周长.

15.有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加

法，也可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将

上次的运算结果乘2或乘3.例如，30可以这样得到：

8—^10^^30.

(1)(10分)证明：可以得到22；

(2)(10分)证明：可以得到2'°°+2”—2.

1999年全国初中数学竞赛答案

一、1.C2.B3.D4.B5.A6.D

选择题

1.解因为凸n边形的内角和为(n-2)•180°,所以(n-2)•180°<1999°,

n-2V12,n<14.

又凸13边形的内角和为

(13-2)X180°=1980°<1999°,

故n的最大值是13.答(C).

2.解因为〉，所以这用户4月份用的煤气超过60立方米.设用了x立方米,

那么

6OXO.8+1.2(x-,

，x=75,75X0.88=66(元).答(B).

3.解由已知，可得到a,l+|a|都是正数，所以

a

(--|a[)2=1,4+|a「=3,(1+,归=5,二+同=有.

aaaa

答(D).

4.解如图，过点C作CH，AD于H,因为4ACD是等腰三角形，所以，在

直角三角形ACH中，AC=5,AH=3.于是CH=4.

5D=-AD♦CH=1x6x4=12,

AAe22

a_BC_l5y1__„

SJLABC--x12-36・

答：(B).

5.解首先，A=(k-1)2+4(k+1)=k2+2k+5=(k+1)2+4>0,所以对于任意的k

值，抛物线与x轴总有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标为xi，X2,那么

=/k2+2k+5・

又抛物线的顶点坐标是0（土异，k，+：k+1）,所以

-=1U■三——二---二I1+2k+川

Si1ABeWJk+2k+5*-

=.Jg+2k+5）K

因为11-4-2k-+-5=（k+1）2+4>4,当k=—1时等

毋成立，所以S&-c1.答，CA）.

6.解如图，点P只能在直线1]（即直线BE）与直线12上，其中12与直线CD

的距离等于L与直线CD的距离，所以，等腰三角形PAB中，AB为底边时，AB的

垂直平分线与11交于P1，与12交于P2.

等腰三角形PAB中，PA为底边时，以B为圆心，BA为半径在直线h上可截得

点P3、P4.等腰三角形PAB中，PB为底边时，点E符合条件.

所以，共有P「P2,P3，?4-E五个点符合条件.答：（D）.

5十1/-1+后1+5、64

二、7.108.y=5x+509.33io.22H.912.6

填空题

7.解因为xy=J5+、加，所以

x2+y2=（近_短『+（、后+鱼产=10.

8.解由DP=x得

PC=10-X,FB=^（10-x）.

所以y=Axl0xA（i0-x）4--i[10--1-（10-x）4-

x]X10

=5x+50.

9.解由a2+ab-2b2=0得a=b或a=-2b,

2a-b_2b—b_1

于是

2a-Ft>2b+E>3

2a—b_—4b—b_5

或

2a+t>—4b4-b3

10.解作AD_Lx轴于D,BE_Lx轴于E,AF_LBE于F.易知

△AFB^AADO,

FB=OD,FA=ED=DA.

因为OA=1,ZDOA=30°,

J-FA=ED=—.

2

XOI>='—DA2=，所以

2

EB=EF+=IDA+OI>=1+'后,

2

_1-i—、后

OE=or>-=OE>>。A=--------

2

所以.点B■的尘杆为（一1：6•

11.解从A］开始，每进行一次操作，所得

到的图形的周长是原来图形周长的2倍・

月f以V,A?的1唐）~^:是:等X3=4,_A.3^3唐）4^:是13X

-16.&it—i।+1»=»41664

4=§-A_4白勺J®JpC—x3=9-

12.解设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a立方米，管涌每分钟涌出的

水量为b立方米，又设每台抽水机每分钟可抽水c立方米(cr0),由条件可得

{n-I-Ot>=NxOex

a.I1£t>=x15o

;_1夕。c

_t>—J-■奉昱阳•-彳导/

t>=——Q

L三

如果要在10分钟内抽完水，至水需要抽水机的台数为

16020

a+10b3,+©

-JJ—rs

10c-10c-

E.13.解：TsWO,...第一个等式可以变形为:

+99@+19=0

又•.'stWl,

工

...S,t是一元二次方程x2+99x+19=0的两个不同的实根，于是,

有

l+r=-99,l.f=19

55.

即st+1=-99s,t=19s.

st+4s+1-99s+4su

.・・t195

14.解：设圆心为0,连接BO并延长交AD于H.

VAB=BD,0是圆心，

ABH±AD.

XVZADC=90°,

ABH//CD.

从而△0PBs/\CPD.图7

CDCPBnCD0.6

BOPO'1.51.5-0.6,

；.CD=1.

22

于是AD=^C-CD==2点.

_i2

又OH=1CD=1,于是

AB=J>lff2+即2=72+4=J6,

BC=>lAC2-AB2=79^6=73.

所以，四边形ABCD的周长为1+2/+啰+后.

15.证明：

(1)

^10^-^20—^22.

也可以倒过来考虑：

2220104^-^2^-^1.

(或者2—^4^^8—^11^^22.)

(2)

1上~3x2-4—^-3x2-21f3x2?-4—^93x2?-2」f3x23-4

—^3X23-2……(不断乘以2,再加2)上f3x296-4—3x296-13-2。9+

或倒过来考虑:

10097_^^9996_^2_^9S)96

2+222+212+2_3^3^3X296_1^3^3X296_4

-^3X295-2

3x295-4—^f3x294-2」T3X294_4,

（不断地除以2,再减去2）

—^3x23-2=22,

2220104^-^2^-^1.

注意：加法与乘法必须是交错的，否则不能得分.

2000年全国初中数学竞赛试题及参考答案

一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）

1.设a、b、c的平均数为M,a、b的平均数为N,N、c的平均数为P.若a>b>c,则M

与P的大小关系是（）.

A.M=P

B.M>P

C.M<P

D.不确定

2.某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b<a）,再前

进c千米，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图（图1）是（）.

图】

3.甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁.那么（）.

A.甲比乙大5岁

B.甲比乙大10岁

C.乙比甲大10岁

D.乙比甲大5岁

4.一个一次函数的图象与直线y=54x+954平行，与x釉、y轴的交点分别为A、B,并且过点

（-1,-25）,则在线段AB上（包括端点A、B）,横、纵坐标都是整数的点有（）.

A.4个

B.5个

C.6个

D.7个

aa+b

5.设a,b,c分别为△ABC的三边的长，且3a+b+ct则它的内角NA、NB的关系

是（）.

A.ZB>2ZA

B.ZB=2ZA

C.ZB<2ZA

D.不确定

6.已知△ABC的三边长分别为a、b、c,面积为S；4A'B'C'的三边长分别为a'、b'、

c',面积为S',且a>a',b>b',c>c',则S与S'的大小关系一定是（）.A.S

>S'

B.SVS'

C.S=S'

D.不确定

二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）

7.已知a=游+也+/，那么3/a+3/aM-l/a^=.

B

DE

图2

8.如图2,在梯形ABCD中，AB〃CD,AB=8,BC=6亚，ZBCD=45°,ZBAD

=120°,则梯形ABCD的面积等于_

9.已知关于x的方程(a-1)x?+2x-a—1=0的根都是整数，那么符合条件的整数a有

个.

图3

10.如图3,工地上竖立着两根电线杆AB、CD,它们相距15m,分别自两杆上高出地面4m、6

m的A、C处，向两侧地面上的E、D,B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD

与BC的交点P离地面的高度为.m.

rB(15,6)

OA

图4

11.如图4,在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(15,6),直线y=l/3x+b

恰好将矩形0ABC分成面积相等的两部分，那么b=__.

12.某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润率增加了8个百分点，

那么经销这种商品原来的利润率是—.

销售价-进价

(注：利润率=进价X100%)

三、解答题(本题共3小题，每小题20分，满分60分)

13.设m是不小于一1的实数，使得关于x的方程x?+2(m—2)x+nV—3m+3=0有两个不相

等的实数根x“x2.

(1)若X『+X2?=6,求m的值;

22

mN]+

(2)求1_勺]一芯2的最大值.

图5

14.如图5,已知四边形ABCD的外接圆00的半径为2,对角线AC与BD的交点为E,AE=

EC,AB=V2AE,且BD=2右.求四边形ABCD的面积.

15.一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33

层中的某一层停一次.对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分

不满意.现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层.问：电梯停在哪一层，

可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上

楼)参考答案

参考答案

一、选择题

-、，a+c5a+b_N+ca+3+2c

1.•.・M=------------,N=-----，尸=------

3224

a+b-2c

M-P=

12

)c+c-2c

乂•：a>b>c,..--------------=0,

1212

.*.M>P.

2.因为图A没有反映休息所消耗的时间，图D没有反映沿原路返回的一段路程，图B尽管表明了折

返后s的变化，但没有表示消耗的时间，所以上述三图均有误，故选C.

3.设甲现在x岁，乙现在y岁，显然x>y,依题设，有

y—(x—y)=10,①

x+(x-y)=25,②

②一①，得x—y=5.

故选A.

4.设y=5x/4+b,由-25=5/4X(-1)+b,得b=-95/4,二y=5x/4-95/4.A

有A(19,0),B(0,-95/4).

由y=5(x-19)/4,0WxW19,取x=3,7,11,15,19时，y是整数.

因此，在线段AB上(包括端点A、B),横、纵坐标都是整数的点有5个.选B.

5.由条件，得a'+ab+ac=ab+b~,即

b2=a(a+c),

.\b/a=(a4-c)/b.

如图6,延长CB至D,使BD=AB,于是CD=a+c.

在△ABC与△DAC中，NC为公共角，且AC/BC=DC/AC,

AAABC^ADAC,NBAC=ND.

•・•NBAD=ND,

故NABC=ND+NBAD=2ND=2NBAC.选B.

6.构造aABC与4A'B'C‘如下：

(1)作△ABCS^A'B'C',显然S/S'=(a/a')2>1,即S>S'.

(2)设a=b=7101,c=20,则hc=l,S=10,a'=b'=c'=10,则S'=J

/4X100>10,即有SVS'.

(3)设a=b=VlOl,c=20,则h0=1,S=10,a'=b'=729,c'=10,则hJ

=2,S'=10,即有S=S'.

因此，S与S'的大小关系不确定.选D.

二、填空题

7.因为(北一1)a=2-1,即1/a=%一1,

所以3/a+3/al+l/a'=[3+3/a+1/a/a

=(瑜7乂3+3(短7)+服_训

=(时-1)(彝+时+1)=2-1=1.

8.作AE、BF垂直于DC,垂足分别为E、F.

由BC=6亚，ZBCD=45",得AE=BF=FC=6.由NBAD=120°,得NDAE=

30°.因AE=6,得DE=2看.

AB=EF=8,DC=2后+8+6=14+2右.

所以S极修ABC尸(8+14+2右)72X6=66+6^3.

9.(1)当a=1时，x=1.

2

(2)当aWl时，易知x=l是方程的一个整数根，再由l+x=l一以且x是整数，知1—a=土1,

±2.

所以a=-L0,2,3.

由(1)、(2)得符合条件的整数a有5个.

10.作PQ_LBD,垂足为Q,设BQ=xm,PQ=ym.由AB〃PQ〃CD,得

y/6=x/15,①

4-15②

①+②得5y/12=l,所以y=12/5=2.4,即点P离地面的高度为2.4m.

11.设矩形OABC的对角线的交点为P,则P是它的对称中心，P点的坐标为(7.5,3).过矩

形对称中心的直线，总是将矩形分成面积相等的两部分.将P点的坐标代入y=x/3+b,得b=l/2

(或0.5).

一―五

12.设原进价为x元，销售价为y元.那么按原进价销售的利润率为XX100%,原进价降低后

y-93.6%x丁一文y-93.6%x

在销售时的利润率为93.6%xxioo%,根据题意，得xxioo%+8%=93.6%xx100%,

解得y=1.17x.

1.17x-x

故这种商品原来的利润率为XX100%=17%.

三、解答题

13.因为方程有两个不相等的实数根，所以A=4•(m-2)2-4(m-3m+3)=-4m+4>0,

解得mVI.

结合题设知一lWmVl.

2

(1)因为X5+X22=(x1+x2)"—2x)x2=4(m—2)~—2(m?—3m+3)=2m—10m+10,

所以2m2—10m+10=6,

5-Vn

解方程，并考虑一IWmVl,故111=2

=心飞一川+苫??。…)]

(1-々)(1-叼)

2

_幽NJ+x2-XrX2(X1+X2)

一占一X?+1

_冽[(2加2-10w+10)+(冽*-3m+3)(2掰-4)]

(m1-3fn+3)+(2加-4)+1

_幽(2幽3g幽2+gw-2)

冽2—冽

_2也伽一1)(加'-3冽+1)

m(m-1)

=2(m2—3m4-l).

设y=2(m2—3m+l)=2(m—3/2)2—5/2,—IWmVl.因为y在一IWmVI上是递减的,

所以当m=-1时，，y的最大值为10.

MX、2+mx)2

故1-再1-*2的最大值为10.

14.由题设得AB?=2AE?=AE・AC,

AB/AC=AE/AB.

又NEAB=NBAC,

AAABE^AACB,

・・・NABE=NACB,

AB=AD.

连结AO,交BD于H,则BH=HD=J3,所以

OH=《O那-BH，

AH=OA—OH=1,

SAAHD=12BD•AH=

因为E是AC的中点，所以SAABE=SABCE,SDE=SACDE，

•♦SZiABD=SABCD.

・・♦S四边形ABCD=2S△ABD=2V.

15.易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人.对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层

数一定不小于直接上楼的人所住的层数.事实上，设住s层的人乘电梯，而住t层的人直接上楼，s<

t.交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少.

设电梯停在第x层，在第一层有y个人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为

s=3[1+2+-+(33-x)]+3(1+2H----1-y)+[1+2+-+(x-y-2)]

_3x(33-x)(34-x)3y(y+1)(x-y-2)(x-.y-1)

2