山东省淄博市张店区第九中学2024-2025学年九年级数学第一次月考（10月）试卷

初三数学试题一，选择题1．（4分)下列从左到右的变形是分解因式的是（）A． B．C． D．2．（4分）下列分式中，是最简分式的是（）A． B． C． D．3．（4分）对于算式，下列说法错误的是（）A．能被98整除 B．能被99整除 C．能被100整除 D．能被101整除4．（4分)如果把分式中的和都同时扩大3倍，那么分式的值（）A．不变 B．扩大3倍 C．缩小 D．扩大9倍5．（4分)若，则的值为（)A．5 B． C．10 D．6．（4分）如图是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（）A． B． C． D．7．（4分）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A． B． C． D．8．（4分)已知三角形的三边，，满足，则是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．（4分）计算的结果是（）A． B． C． D．10．（4分）定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（）A．与 B．与 C．与 D．与二，填空题．11．（4分)要使分式有意义，则需满足的条件是_____________．12．（4分)若多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则____________．13．（4分)分式的值为0，则___________．14．（4分)已知，那么的值为_____________．15．（4分)已知对于正数，我们规定：，例如：，则___________．三．解答题（共8小题）16．（10分)因式分解：（1) （2)．17．（10分)计算：（1); （2)18．（10分)先化简：，并在，0，1，2中选一个合适的数求值．19．（10分)下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．解：设，原式（第一步)（第二步)（第三步)（第四步)回答下列问题；（1）该同学第二步到第三步运用了什么公式进行因式分解？（2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．20．（12分)计算下列各式：（1)_________________；（2)_____________;（3)______________;请你根据所学知识寻找计算上面的算式的简便方法，利用你找到的简便方法计算下式：．21．（12分)阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组法．请回答下列问题：（1)尝试填空：______________;（2）解决问题：因式分解；．（3）拓展应用：已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．22．（13分)请仔细阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：．，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式)，例如：．（1）将分式化为带分式；（2）当取哪些整数值时，分式的值也是整数？（3）当的值变化时，分式的最大值为_____________________．23．（13分)“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．例1：如图1，可得等式：；例2：由图2，可得等式：．（1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为__________________；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值．（3)如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为．设，若的值与无关，求与之间的数量关系．

初三数学试题答案1．【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．从左到右的变形是多项式乘法，不是分解因式，故本选项不符合题意；B．等式的右边不是整式的积的形式，即从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；C．从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；D．等号两边的式子不相等，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．2．【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【解答】解：A、分子与分母没有公分母，是最简分式；B、原式可化简为，故不是最简分式;C、原式可化简为，不是最简分式;D、原式可化简为，不是最简分式，故选：A．【点评】考查了最简分式的知识，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．3．【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可得出答案．【解答】解：∵，∴原式能被99，100，98整除，故选：D．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握是解题的关键．4．【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的性质进行化简即可．【解答】解：，即如果把分式中的和都同时扩大3倍，那么分式的值扩大3倍，故选：B．【点评】本题考查了分式的基本性质，能灵活运用分式的性质进行变形是解此题的关键．5．【分析】根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据对应项的系数相等列出方程，求解即可得到、的值，再代入计算即可．【解答】解：由，比较系数，得，，解得，，则．故选：C．【点评】本题考查了多项式的乘法法则，根据对应项系数相等列式是解题的关键．6．【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是，则面积是．故选：A．【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．7．【分析】根据分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变，可得答案．【解答】解：A、只改变了分子的符号，故A错误；B、只改变了分子的符号，故B错误；C、改变了分子分母的符号，故C正确；D、只改变了分子的符号，故D错误；故选：C．8．【分析】对等式进行变形得到，根据若，则或即可得出答案．【解答】解：∵，∴，∴，∴，∴或，∴或，∴是等腰三角形或直角三角形，故选：D．【点评】本题考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理，掌握若，则或是解题的关键．9．【分析】同分母分式减法，根据法则分母不变分子相减，再约分即可．【解答】解：原式．故选：B．【点评】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式加减运算法则是解题关键．10．【分析】分别算出各分式的差与积，再由和谐分式的定义即可得出结论．【解答】解：∵，，∴和不是和谐分式，故A不符合题意；∵，，∴和不是和谐分式，故B不符合题意;∵，，∴，故C符合题意;，，∴和不是和谐分式，故D不符合题意．故选C．【点评】本题考查的是分式的加减法，熟知分式的加减法则是解答此题的关键．二．填空题（共4小题）11．【分析】根据分母不为0可得：，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：，解得：，故答案为：．12．【分析】直接利用完全平方公式得出的值．【解答】解：∵多项式可以用完全平方公式进行因式分解，∴，∴．故答案为：．13．【分析】根据分式的值为0即分子的值为0以及分母不为0，进行列式计算，【解答】解：∵分式的值为0，∴，，∴故答案为：．14．【分析】利用平方差公式分解因式，然后代入值计算即可．【解答】解：∵，∴，故答案为：16．15．【分析】由题干中的数据总结出，然后将原式整理计算即可．【解答】解：由题干中已知条件可得，，原式故答案为：．16、解：（1)；（2）．17、解：（1)；（2)原式；18、解：原式又∵分母不能为0，∴不能取，0，2，当时，原式．19、解：（1)，用到的是完全平方公式;（2)∵，∴因式分解不彻底;（3）设，∴20、解：（1）;（2);（3);故答案为：;；；原式．21、解：（1)，，，，故答案为：；（2），，（3）这个三角形是等边三角形，理由如