湖北省宜昌市夷陵区2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（含答案解析）

2024年中考适应性训练九年级数学试题（满分：120分时限：120分钟）一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填写符合要求的选项前面的字母，本大题共10小题，每题3分，计30分）1.以下四个数中，最小的数是（）A. B.0 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解答此题的关键．【详解】解：，∴最小的数为，故选D．2.如图，神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为．这体现了数学中的（）A.平移 B.中心对称 C.轴对称 D.黄金分割【答案】D【解析】【分析】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是掌握黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值时，约等于．【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618，这体现了数学中的黄金分割，故选：D．3.已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．【详解】解：∵的半径为5，点P在内，∴．故选：D．4.中华鲟是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种，3月28日是中华鲟保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充．将140000000用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．【详解】解：故选B．【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．5.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由（，），，（，），合并同类二次根式，据此进行计算即可．【详解】解：A．，结论错误，不符合题意；B．，结论错误，不符合题意；C．，结论错误，不符合题意；D．，结论正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次根式运算，掌握公式是解题的关键．6.如图，在中，于D，如果和的面积比为，那么的长是（）A.8 B.12 C.16 D.4【答案】C【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先证明，根据相似三角形的性质求出．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵和的面积比为，∴，∵，∴．故选：C．7.如图，在中，，将绕顶点C顺时针方向旋转至的位置，且A，C，三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，弧长的计算，直角三角形的两锐角互余的性质，根据直角三角形两锐角互余求出的度数，然后求出旋转角，再根据弧长公式列式进行计算即可得解．【详解】解：∵，∴，∵绕顶点C顺时针方向旋转至的位置，∴，∴旋转角，又∵，∴点A所经过的最短路线的长．故选：B．8.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，先利用根与系数的关系分别得到和的值，整体代入即可．【详解】根据根与系数的关系得：，所以故选：A．9.如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中不正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断①的正确；利用等边三角形的性质结合①的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断②正确；利用直有三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半判断③的正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断④的错误．【详解】解：由题意得：，为的平分线，，，，为等边三角形，为的垂直平分线，，故A的结论正确；为等边三角形，，，，，，，．，，，，，垂直平分线段，，故B的结论正确；中，，，，，故C的结论正确．，，，，，，，故D的结论错误；故选：D．【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，角平分线，线段垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．10.已知抛物线是常数且经过，下列四个结论：①若此抛物线顶点在第四象限，则；②若抛物线经过，则对称轴为直线；③若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则；④若，此抛物线与x轴交于两点，当时，有．其中正确的结论是（）A.①② B.①②③ C.①②④ D.①③④【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，把点代入解析式得出，再根据抛物线顶点在第四象限得出；根据抛物线经过，，得出对称轴；根据函数的图象与x轴只有一个公共点可得，再根据得出；根据二次函数的对称性，即可判断．【详解】解：①把点代入，得，∴，∵此抛物线顶点在第四象限，∴，∴，故①正确；②∵抛物线经过，，∴抛物线对称轴为直线，故②正确；③当时，∵函数的图象与x轴只有一个公共点，∴，∵，∴，即，∴；故③错误；④∵，∴，∴二次函数图象关于直线对称，与x轴交于两点，且，∴，故④正确；综上，正确的结论是①②④．故选：C．二、填空题（请在答题卷上指定的位置填空．本大题共5小题，每题3分，计15分）11.计算：_____．【答案】2【解析】【分析】本题考查分式的加减，掌握同分母分式的加减法则解题即可．【详解】解：，故答案为：2．12.有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________．【答案】【解析】【分析】根据列表法求概率即可求解．【详解】解：列表如下，清风朗月清清清清风清朗清月风风清风风风朗风月朗朗清朗风朗朗朗月月月清月风月朗月月共有16中等可能结果，其中，抽取的两张卡片上的汉字相同的情形有4种，∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是，故答案为：．【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键．13.为了给山顶供水，决定在山脚A处开始沿山坡铺设水管．现测得斜坡与水平面所成角为，为使出水口高度为35m，那么需要准备____长的水管．（结果保留整数）（）【答案】113【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解直角三角形进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴；故答案为：113．14.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为________．【答案】【解析】【分析】根据题意可知：x株需要6210文，株的运费一株椽的价钱，从而可以列出相应的方程．【详解】解：设这批椽的数量为x株，由题意可得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．15.如图，在中，，，以为直径的圆交的外角平分线于点E，D为的中点，则_____．【答案】6【解析】【分析】本题考查圆的直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理．延长交的延长线于点F，则可得到，进而得到是的中点，然后根据三角形的中位线定理求出长即可．【详解】解：延长交的延长线于点F，∵是圆的直径，∴，又∵平分，∴，∴，∴，∴是的中点，又∵D为的中点，∴，故答案为：6．三、解答题（本大题共9小题，计75分）16.计算：．【答案】3【解析】【分析】本题考查了绝对值，负整数指数幂，先计算绝对值，负整数指数幂，再按照有理数运算顺序计算即可．【详解】解：原式17.如图，将矩形沿对角线折叠，与交于点E，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了矩形与折叠、等腰三角形的判定，根据矩形与折叠的性质得，进而可求证结论，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题的关键．【详解】证明：∵四边形为矩形，，，将沿对角线折叠得到，，，∴．18.某品牌新能源纯电动汽车的电池容量为80千瓦时，小王把车充满电后驾驶汽车从家到300公里外的省城接客人，接到客人后立即返回，请回答相关问题：小王以平均每千米耗电0.2千瓦时的速度驾驶汽车到达省城，返程时由于气温原因，需要开空调，此时平均每千米的耗电量增加了一倍，如果小王往返保持车速不变，不充电能否到家？如果不能，至少还要充多少千瓦时的电量？【答案】不能，至少需要加电才能到家．【解析】【分析】本题主要一元一次方程的应用，首先计算出到省城的用电量，求出剩余电量，设需要加电量为，运用两种方式表示返回用电量，列出方程求解即可．【详解】解：不能到家，因为到家需要电量为：，而剩下电量为：，设需要加电量为，则有，解得．答：至少需要加电才能到家．19.某市开展茶文化论坛，为了解两种绿茶的亩产量，工作人员从两种类型的绿茶产区中各随机抽取亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：亩型绿茶的亩产量：．亩型绿茶中“良好”等级包含的所有数据为：．抽取的型绿茶亩产量统计表：型号平均数中位数众数方差“优秀”等级所占百分比根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：_________，__________，__________；（2）根据以上数据，你认为哪款绿茶更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若该市今年种植型绿茶亩，估计今年型绿茶亩产量在“良好”等级及以上有多少亩？【答案】（1），，；（2）款茶叶更好，理由见解析；（3）亩．【解析】【分析】()根据众数、中位数概念可求出的值，由型中“良好”等级占，“优秀”等级所占百分比为，可求出的值；()比较型、型的平均数、中位数、众数可得答案(答案不唯一)；()用乘“良好”等级及以上的百分比即可得答案；本题考查了统计表和扇形统计图，众数、中位数、平均数，样本估计总体，看懂统计图表是解题的关键．【小问1详解】解：在中，出现次数最多的是，∴众数，∵型中“良好”等级有个，占，“优秀”等级所占百分比为，∴“合格”等级占，即，把型数据从小到大排列后，第个和第个数都是，∴，故答案为：，，；【小问2详解】解：款茶叶更好，理由：两款茶叶的平均数相同，但款茶叶的中位数和众数都大于款茶叶的，所以款茶叶更好；【小问3详解】解：，答：估计今年B型绿茶亩产量在“良好”等级及以上的有亩．20.如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，连接、．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求面积的最大值．【答案】（1）；（2）面积的最大值是【解析】【分析】（1）由、的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点的坐标，代入，求得反比例函数解析式；（2）设点，点，得出关于与的关系式，进而根据三角形面积公式求解，根据二次函数的性质即可求得最大值．【小问1详解】解：把、代入一次函数得：，解得：，∴一次函数的关系式为，将点代入，得，∴点，将点代入，得出∴，【小问2详解】∵点在反比例函数的图象上，点在一次函数的图象上，，设点，点，∴，∴，∵，∴当时，，所以，面积的最大值是．【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的解析式，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解是解决问题的基本思路．21.如图，是的直径，半径，C为上任意一点，D为弦上一点，且．（1）当，时，求．（2）求证：为等腰直角三角形．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定：（1）直接根据线段的和差关系求出的长即可；（2）根据垂径定理证明根据证明得出,再证明即可得出结论【小问1详解】解：∵；【小问2详解】解：连接如图，∵所对的圆周角是，∴，∵，∴点是弧的中点，∴又∴∴，∵是的直径，∴，∵∴∴为等腰直角三角形．22.纸飞机是同学们很喜欢的娱乐项目，纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，其中纸飞机上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径是一条线段，滑行距离受纸飞机滑行比的影响（若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为米，则滑行比为）．如图所示，若小明玩纸飞机，其起抛点A的高度为，当纸飞机的最大高度达到时，它的水平飞行距离为．（1）求这条抛物线的解析式；（2）小明的前方有一堵高的墙壁，小明至少距离墙壁多远，纸飞机才会顺利飞过墙壁？（不考虑墙壁的厚度）（3）小明根据多次实验得到其折叠的纸飞机的滑行比为1:2.5（受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过），纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使水平飞行距离至少为10米？【答案】（1）（2）米（3）在米时，开始滑行【解析】【分析】（1）根据题意得抛物线经过，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可；（2）将代入解析式求解即可；（3）设滑行高度为h米，则水平滑行的距离为米，根据题意列出方程求解即可．【小问1详解】解：根据题意得抛物线经过，∴设抛物线的解析式为，将点代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为，【小问2详解】∵高的墙壁，∴将代入解析式得：，解得：，，∴小明至少距离墙壁米；【小问3详解】设滑行高度为h米，则水平滑行的距离为米，由（1）得，解得：（舍去），，为纸飞机飞行得距离，∴，解得：（舍去），，∴在米时，开始滑行．【点睛】题目主要考查二次函数的应用及一元二次方程的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．23.已知，以三边为斜边向外作等腰直角三角形．（1）如图1，当为等边三角形时，①填空：；②证明：．（2）如图2，当为直角三角形，时，证明：．【答案】（1）①；②见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识：（1）①证明是的垂直平分线，根据是等边三角形可得，由是等腰直角三角形得，可得结论；②连接，证明，得，证出，可得结论；（2）取的中点，连接设交于点，交于点，得出垂直平分垂直平分证明四边形是平行四边形，得出由均为等腰直角三角形再证明可得出结论【小问1详解】解：①∵是等边三角形，∴又是等腰直角三角形，∴∴垂直平分，∴∵是等腰直角三角形，且∴∴故答案为：；②连接如图，∵是等边三角形，∴∵均为等腰直角三角形，且∴∴∴∴，∴∵∴∴∴∴∴；【小问2详解】证明：取的中点，连接设交于点，交于点，如图，，为的中点，∴∵∴垂直平分垂直平分∴为中点，为的中点，∵为的中点，∴分别是的中位线，∴∴四边形是平行四边形，∴∵均等腰直角三角形，∴∴∵∴∴，∴24.如图，平面直角坐标系中，，，，点为上一点，交于点，且，点是点关于原点的对称点．（1）求点的坐标；（2）求的值；（3）已知一次函数，二次函数，是否存在