第14讲二元一次方程组的实际应用问题(原卷版+解析)-2021-2022学年七年级数学下册常考点(数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升)

二元一次方程组的实际应用问题（原卷版）类型一图形面积问题典例1（2021•仙桃校级模拟）现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（）A．15 B．16 C．17针对训练11．如图，7个大小、形状完全相同的小长方形组成一个周长为68的大长方形ABCD．求大长方形ABCD的面积．2．如图，在长方形ABCD中，放入8个完全相同的小长方形．（1）每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？（2）图中阴影部分面积为多少平方厘米？

类型二调配与配套问题典例2某水利工地派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？典例3（2019春•曲阜市校级期中）现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3：7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4：1，今要得到酒精与水的比为3：2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？针对训练23．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？4．一个长方体的包装盒由1个侧面和2个底面组成．如果每张白卡纸可以做侧面2个，或者做底面3个，现有14张白卡纸，那么用多少张白卡纸做侧面，多少张白卡纸做底面，做出的侧面和底面恰好能配成包装盒？

类型三经济利润问题典例4有甲、乙两种商品，甲商品的利润率为5%，乙商品的利润率为4%，共获利46元．价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共获利44元，则两种商品的进价分别是（）A．400元，600元 B．600元，400元 C．580元，440元 D．520元，460元典例5随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售．其中，甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元，（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问：打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？针对训练35．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按定价的9折出售，这样商店共获利157元，求：（1）甲服装的成本和乙服装的成本分别是多少元？（2）若两件服装都打8折，商店共可获利多少元？6．（2021秋•三水区期末）某药店销售A、B两种型号的口罩，两天内共销售500个，销售收入900元，A型口罩每个2元，B型口罩每个1.5元，问A、B两种型号的口罩分别销售了多少个？

类型四行程问题典例6（2021秋•广南县期末）如图，已知点A、点B在数轴上表示的数分别是﹣20、64，动点M从点A出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点N从点B出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动．若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出发10秒后与点N相遇．动点M、N运动的速度分别是多少？典例7（2021秋•涡阳县期末）某体育场的环行跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习徒步和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔90s乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？针对练习47．甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？8．小明从甲地步行到乙地要走一段上坡路与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地步行到乙地需54min，从乙地步行到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少km？

类型五工程问题典例8（2021秋•中原区期末）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程．问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？小明所列方程：6y=x+204y=x+4；小亮所列方程：4(x+20)6根据以上信息，解答下列问题．（1）以上两个方程（组）中x意义是否相同？（填“是”或“否”）；（2）小亮的方程所用等量关系（填序号，“①每个小时生产的零件数”或“②4个小时生产的零件数相等”）；（3）从以上两个方程（组）中任选一个求解，完整解答老师提出的问题．针对练习59．甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？10．（2021秋•济南期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下：小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据题意，得x+y=()()+()=20小华同学：设整治任务完成后，m表示，n表示；得m+n=208m+12n=180请你补全小明、小华两位同学的解题思路．（2）求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个解题思路写出完整的解答过程．类型六优化方案问题典例9一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？（2）已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？（3）装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200元（即装修前后每天盈利不变），你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由．（可用（1）（2）问的条件及结论）针对练习611．（2021秋•韶关期末）为发展校园足球运动，我市四校决定联合购买一批足球运动装备．经市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球多60元，5套队服与8个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是每购买10套队服，送1个足球；乙商场优惠方案是购买队服超过80套，则购买足球打8折．（1）求每套队服和每个足球的价格各是多少？（2）若这四所学校联合购买100套队服和a（a＞10）个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用．（3）在（2）的条件下，若a＝70，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？请说明理由．

类型七分段分类问题典例10某水果批发市场香蕉的价格如下表：购买香蕉数（千克）不超过20千克20千克以上但不超过40千克40千克以上每千克价格6元5元4元张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元．由此，你能知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克吗？如果能，请写出合理的分析过程并求出结果．针对练习712．（2020秋•东西湖区期末）为了增强市民的节约用电意识，实行阶梯收费、收费标准如下表：每月用电量收费第一档不超过180度的部分电费0.55元/度第二档180度以上至400度的部分每度比上一档提价0.05元第三档400度以上的部分每度比上一档提价0.25元（1）若小新家9月份用电200度，则小新家9月份应缴电费元（直接写出结果）；（2）若小新家10月份的平均电费为0.57元/度，则小新家10月份的用电量为多少度？（3）若小新家11月，12月共用电800度，11月和12月一共缴电费487元，已知11月份用电比12月份少，求小新家11，12月各用多少度电（电费每个月缴一次）？

第二部分专题提优训练一．选择题1．（2021秋•包河区期末）有四个完全不同的小方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的位置摆放，按照图中所示尺寸，小长方形的长与宽的差是（）A．5.5 B．5 C．4 D．2.52．（2021秋•驿城区期末）小聪到商店要买两种作业本，一种每本2元，另一种每本3元．若小聪恰好花完带的17元钱，则小聪购买的方案（）A．有无数种 B．只有1种 C．只有3种 D．只有4种3．（2021秋•驿城区校级期末）现有一批脐橙运往外地销售，A型车载满一次可运3吨，B型车载满一次可运4吨，现有脐橙31吨，计划同时租用A，B两种车型，一次运完且恰好每辆车都载满脐橙，租车方案共有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种4．（2021秋•宿松县期末）把1～9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则xy的值为（）A．9 B．1 C．8 D．﹣85．（2021秋•锦州期末）如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形ABCD，若CD＝21，则长方形ABCD的周长为（）A．100 B．102 C．104 D．1066．（2021秋•瑶海区期末）在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用260元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品只能购买3个或4个且钱全部用完的情况下（注：每种方案中都有三种奖品），共有多少种购买方案（）A．12种 B．13种 C．14种 D．15种7．（2021秋•新郑市期末）在学习完“垃圾分类”的相关知识后，小明和小丽一起收集了一些废电池，小明说：“我比你多收集了7节废电池啊！”小丽说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”．如果他们说的都是真的，设小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，则可列方程组为（）A．x−y=7，x−8=2(y+8) B．x−y=7，C．x−y=7，2(x−8)=y D．8．（2021秋•开江县期末）某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是（）A．95元，180元 B．155元，200元 C．100元，120元 D．150元，125元9．（2021秋•福田区校级期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（）A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米10．（2021秋•市北区期末）现有八个大小相同的长方形，可拼成如图①、②所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，则每个小长方形的面积是（）A．50 B．60 C．70 D．80二．填空题11．（2021秋•崂山区期末）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每间每天60元，两人间每间每天50元，一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费1100元，则三人间客房租了间．12．（2021秋•荣昌区期末）为了应对世界百年未有之大变局，促进国际国内大循环，2021年初，甲、乙两厂生产同一种产品，均计划把全年的产品销往重庆，这样两厂的产品就能占有重庆市场同类产品的34；截止2021年底统计显示，实际情况并不理想，甲厂仅有12的产品、乙厂仅有13的产品销到了重庆，两厂的产品和仅占了重庆市场同类产品的113．（2021秋•城阳区期末）为加快“智慧校园”建设，我市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机，求今年每套A型、B型一体机的价格分别是多少万元？设今天每套A型一体机的价格是x万元，B型一体机的价格是y万元，根据题意可列二元一次方程组为y=x+0.6500x+200y=96014．（2021秋•大东区期末）某校八年某班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表：捐款（元）1234人数67表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可列二元一次方程组为．三．解答题15．（2021秋•双流区期末）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．求1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？16．（2021秋•砚山县期末）疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”，用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒，25元/盒．（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计900人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？17．（2021秋•长清区期末）本学期某学校开展以“庆百年建党”为主题的研学活动，组织120名学生参观山东省党史馆和济南战役纪念馆，每一名学生只能参加其中一项活动，学校租车一次性支付车票2200元．车票信息如下：地点票价山东省党史馆20元/人济南战役纪念馆16元/人（1）请问参观山东省党史馆和济南战役纪念馆的人数各是多少人？（2）若学生都去参观济南战役纪念馆，则能节省车票票款多少元？18．（2021秋•玉林期末）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货13吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货14吨．某物流公司现有45吨货物，计划租用A型车a辆，B型车b辆（一种或两种车型都可），一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）若A型车每辆需租金110元/次，B型车每辆需租金150元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．

19．（2021秋•宜兴市期末）某厂计划生产A，B两种产品若干件，已知两种产品的成本价和销售价如表：类别价格A种产品B种产品成本价（元/件）400300销售价（元/件）560450（1）第一次工厂用220000元资金生产了A，B两种产品共600件，求两种产品各生产多少件？（2）第二次工厂生产时，工厂规定A种产品生产数量不得超过B种产品生产数量的一半．工厂计划生产两种产品共3000件，应如何设计生产方案才能获得最大利润，最大利润是多少？20．（2021秋•济南期末）为了响应“阳光运动一小时”校园体育活动，我校计划再购买一批篮球，已知购买2个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球共需380元；购买4个A品牌的篮球和2个B品牌的篮球共需360元．（1）求A、B两种品牌的篮球的单价．（2）我校打算网购20个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球，“双十一”期间，京东购物打折促销，其中A品牌打八折，B品牌打九折，问：打折后学校购买篮球需用多少钱？

21．（2021秋•渝中区期末）蹦床是一项有利于提高全身协调性、增进亲子关系的运动，安吉蹦床推出了一种家庭套票，采用网络购票和现场购票两种方式，从网上平台购买4张套票的费用比现场购买3张套票的费用少32元，从网上购买2张套票的费用和现场购买1张套票的费用共304元．（1）求网上购买套票和现场购买套票的价格分别是多少元？（2）2022年元旦当天，安吉蹦床按各自的价格在网上和现场售出的总票数为100张．元旦刚过，玩蹦床的人数下降，于是安吉蹦床决定1月3日的网上购票的价格保持不变，现场购票的价格下调．结果发现现场购票每降价2元，1月3日的总票数就会比元旦当天总票数增加4张．经统计，1月3日的总票数中有3522．面对“新冠疫情”，甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动．已知甲公司有20人，乙公司有30人，第一次甲公司平均每人捐款比乙公司多100元，甲、乙两公司第一次共捐款8000元．（1）求第一次甲公司、乙公司平均每人捐款分别为多少元？（2）为了进一步支持抗击“新冠疫情”，甲、乙两公司全体员工进行了第二次捐款活动，甲公司第二次平均每人捐款在第一次的基础上增加了30%，乙公司第二次平均每人捐款在第一次的基础上增加了m5元；结果甲、乙两公司第二次捐款总额比第一次捐款总额多3000元，求m23．（2021秋•天桥区期末）某学校举行“疫情防控”宣传活动，故购买A、B两种奖品以鼓励积极参与的学生．经市场调查发现，若购买A种6件、B种1件，共需100元；若购买A种5件、B种2件，共需88元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）学校决定现要购买A种奖品8件、B种奖品15件，那么总费用是多少元？

24．（2021秋•琼海期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？25．（2021秋•建宁县期末）某超市计划购买甲、乙两种玩具，已知购买2件甲种玩具与1件乙种玩具共需87元，购买1件甲种玩具与2件乙种玩具共需84元．（1）求甲、乙两种玩具每件的价格分别是多少元；（2）如果卖方仅给予甲种玩具优惠，优惠方案为：购进甲种玩具超过a件时，超出部分可以享受7折优惠．若购买30件甲种玩具需支付855元，求a的值．26．（2021秋•锦州期末）2022年北京冬奥会期间体育中心将举行短道速滑比赛，观看短道速滑比赛的门票分为两种：A种门票600元/张，B种门票120元/张．某旅行社为一个旅行团代购部分门票，若旅行社购买A，B两种门票共15张，总费用5160元，求旅行社为这个旅行团代购的A种门票和B种门票各多少张？（要求列方程组解答）27．（2021秋•萧县期末）我市为加快“美好乡村“建设，对A、B两类村庄进行了全面改建，根据预算，改建一个A类村庄和一个B类村庄共需资金300万元；甲镇改建了2个A类村庄和5个B类村庄共需资金1140万元．（1）改建一个A类村庄和一个B类村庄，分别所需资金多少万元？（2）乙镇需要改建3个A类村庄和6个B类村庄，共需资金多少万元？

28．（2021秋•海州区期末）疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”，用33000元购进甲、乙两种医用口罩共计1000盒，甲、乙两种口罩的售价分别是30元/盒、35元/盒．（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒、25个/盒，按照市教育局要求学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计1000人，每人每天2个口罩，购买的口罩数量是否能满足市教局的要求？29．（2021秋•西乡县期末）西乡某中学计划拟组织七年级师生去劳动基地开展劳动教育，下面是后勤张老师和诗雅、明宇同学有关租车问题的对话：张老师：“客运公司有A种和45座B种两种型号的客车可供租用，B种的客车每辆每天的租金比A种的客车便宜300元．”诗雅：“咱们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了3辆A种和4辆B种的客车到该地，一天的租金共计4400元．”明宇：“我们七年级师生租用5辆A种和2辆B种的客车正好坐满．”根据以上对话，解答下列问题：（1）客运公司A种和B种的客车每辆每天的租金分别是多少元？（2）按明宇提出的租车方案，七年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？（2021秋•济阳区期末）某一天，蔬菜经营户王大叔花270元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共70千克，到菜市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示：（1）王大叔当天批发了黄瓜和茄子各多少千克？（2）他卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？品名黄瓜茄子批发价/（元/千克）53零售价/（元/千克）7431．（2021秋•阳山县期末）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗40棵，B种树苗15棵，共花费1750元；第二次购进A种树苗20棵，B种树苗6棵，共花费860元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变）（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）因受季节影响，A种树苗价格下降10%，B种树苗价格上升20%，计划购进A种树苗25棵，B种树苗20棵，问总费用是多少元？32．（2021秋•和平县期末）为了响应“阳光运动一小时”校园体育活动，我校计划再购买一批篮球，已知购买2个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球共需380元；购买4个A品牌的篮球和2个B品牌的篮球共需360元．（1）求A、B两种品牌的篮球的单价．（2）我校打算网购20个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球，“双十一”期间，京东购物打折促销，其中A品牌打八折，B品牌打九折，问：学校购买打折后的篮球所花的费用比打折前节省了多少钱？二元一次方程组的实际应用问题（解析版）类型一图形面积问题典例1（2021•仙桃校级模拟）现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（）A．15 B．16 C．17思路引领：根据题意、结合图形可以得到方程组a+3b=30a=3b，解出a|B解：∵大长方形的宽为30cm，a+3b＝30，根据图③可得3b＝a，组成方程组a+3b=30a=3b解得：a=15b=5∵阴影面积为3（a﹣b）2，整个图形的面积为：4a（a+3b），∴阴影部分面积与整个图形的面积之比为3(a−b)故选：B．点睛：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是看懂图示，找出题目中的等量关系，求出a和b．针对训练11．如图，7个大小、形状完全相同的小长方形组成一个周长为68的大长方形ABCD．求大长方形ABCD的面积．解：设小长方形的长为x，宽为y，依题意，得：2x=5y2(2x+x+y)=68解得：x=10y=4∴S大长方形＝2x•（x+y）＝2×10×（10+4）＝280．答：大长方形的面积为280．2．如图，在长方形ABCD中，放入8个完全相同的小长方形．（1）每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？（2）图中阴影部分面积为多少平方厘米？解：（1）设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，依题意，得：x+4y=18x+y=12解得：x=10y=2答：每个小长方形的长和宽分别是10厘米，2厘米；（2）∵每个小长方形的长和宽分别是10厘米，2厘米，∴图中阴影部分面积为18×（12+2）﹣8×2×10＝92（平方厘米）．答：图中阴影部分面积为92平方厘米．类型二调配与配套问题典例2某水利工地派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？思路引领：设x人去挖土，则有（48﹣x）人运土，根据如果每人每天平均挖土5方或运土3方，正好能使挖出的土及时运走可列方程求解．解：设x人去挖土，5x＝3（48﹣x），x＝18，48﹣18＝30．有18人挖土，有30人运土，刚好合适．点睛：本题考查理解题意的能力，把土正好运走，所以的挖土的方数和运土的方数正好相等，所以以此做为等量关系可列方程求解．典例3（2019春•曲阜市校级期中）现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3：7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4：1，今要得到酒精与水的比为3：2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？思路引领：设取甲种酒精溶液xkg，乙种酒精溶液ykg，根据“甲溶液酒精质量+乙溶液酒精质量＝混合溶液酒精质量、甲溶液水质量+乙溶液水质量＝混合溶液水质量”列方程组求解可得．解：设取甲种酒精溶液xkg，乙种酒精溶液ykg，根据题意，得：310解得x=20y=30答：取甲种酒精溶液20kg，乙种酒精溶液30kg．点睛：本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．针对训练23．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？解：设x人生产螺栓，y人生产螺母刚好配套，根据题意可得：x+y=902×15x=24y解得：x=40y=50答：40人生产螺栓，50人生产螺母刚好配套．4．一个长方体的包装盒由1个侧面和2个底面组成．如果每张白卡纸可以做侧面2个，或者做底面3个，现有14张白卡纸，那么用多少张白卡纸做侧面，多少张白卡纸做底面，做出的侧面和底面恰好能配成包装盒？解：设x张白卡纸做侧面，y张白卡纸做底面，根据题意，有x+y=142×2x=3y解得：x=6y=8答：用6张白卡纸做侧面，8张白卡纸做底面，做出的侧面和底面恰好能配成包装盒．类型三经济利润问题典例4有甲、乙两种商品，甲商品的利润率为5%，乙商品的利润率为4%，共获利46元．价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共获利44元，则两种商品的进价分别是（）A．400元，600元 B．600元，400元 C．580元，440元 D．520元，460元思路引领：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，根据题意列出x和y的二元一次方程组，求出x和y的值即可．解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，根据题意可得：5%x+4%y=464%x+5%y=44解得：x=600y=400答：甲商品的进价为600元，乙商品的进价为400元，故选：B．点睛：本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据利润＝进价×利润率列出方程组，此题难度不大．典例5随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售．其中，甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元，（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问：打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？思路引领：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出二元一次方程组，解之即可论；（2）根据节省钱数＝甲品牌粽子节省的钱数+乙品牌粽子节省的钱数，即可求出节省的钱数．解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据题意得：6x+3y=66050×0.8x+40×0.75y=5200解得：x=70y=80答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）80×70×（1﹣80%）+100×80×（1﹣75%）＝3120（元）．答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．针对训练35．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按定价的9折出售，这样商店共获利157元，求：（1）甲服装的成本和乙服装的成本分别是多少元？（2）若两件服装都打8折，商店共可获利多少元？解：（1）设甲服装的成本为x元，乙服装的成本为y元，依题意得：x+y=5000.9×[(1+50%)x+(1+40%)y]−500=157解得：x=300y=200答：甲服装的成本为300元，乙服装的成本为200元．（2）0.8×[（1+50%）×300+（1+40%）×200]﹣500＝0.8×[450+280]﹣500＝0.8×730﹣500＝584﹣500＝84（元）．答：若两件服装都打八折，商店共可获利84元．6．（2021秋•三水区期末）某药店销售A、B两种型号的口罩，两天内共销售500个，销售收入900元，A型口罩每个2元，B型口罩每个1.5元，问A、B两种型号的口罩分别销售了多少个？思路引领：设A型口罩销售了x个，B型口罩销售了y个，利用总价＝单价×数量，结合销售两种型号口罩500个且销售收入为900元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设A型口罩销售了x个，B型口罩销售了y个，依题意得：x+y=5002x+1.5y=900解得：x=300y=200答：A型口罩销售了300个，B型口罩销售了200个．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．类型四行程问题典例6（2021秋•广南县期末）如图，已知点A、点B在数轴上表示的数分别是﹣20、64，动点M从点A出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点N从点B出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动．若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出发10秒后与点N相遇．动点M、N运动的速度分别是多少？思路引领：设动点M、N运动的速度分别是每秒x、y个单位长度，根据M行驶的路程+N行驶的路程＝AB的长度可列出二元一次方程组，求解即可．解：设动点M、N运动的速度分别是每秒x、y个单位长度，∵点A、B表示的数分别是﹣20、64，∴线段AB长为84，∴由题意得，12(x+y)=847y+10(x+y)=84解得x=5y=2∴动点M每秒运动5个单位长度，动点N每秒运动2个单位长度．点睛：本题属于二元一次方程组的应用﹣行程问题，解题关键是找全题干中的有用信息，找到等量关系．典例7（2021秋•涡阳县期末）某体育场的环行跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习徒步和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔90s乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？思路引领：利用题中的等量关系有：①反向而行，则两人30秒共走400米；②同向而行，则80秒乙比甲多跑400米，进而得出方程组求出即可．解：设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒．根据题意可得：①根据反向而行，得方程为30（x+y）＝400；②根据同向而行，得方程为90（y﹣x）＝400．那么列方程组30(x+y)=40090(y−x)=400解得：x=40答：甲的速度是409m/s，乙的速度是809m/点睛：此题主要考查了二元一次方程组的应用，本题要注意追及问题和相遇问题不同的求解方法是解题关键．针对练习47．甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲的速度是x千米/时，乙速度是y千米/时，依题意得：(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得：x=6y=3.6答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时．8．小明从甲地步行到乙地要走一段上坡路与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地步行到乙地需54min，从乙地步行到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少km？解：设坡路长xkm；平路长ykm，由题意得：x3解得：x=1.5y=1.6则x+y＝3.1，答：甲地到乙地全程是3.1km．类型五工程问题典例8（2021秋•中原区期末）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程．问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？小明所列方程：6y=x+204y=x+4；小亮所列方程：4(x+20)6根据以上信息，解答下列问题．（1）以上两个方程（组）中x意义是否相同？是（填“是”或“否”）；（2）小亮的方程所用等量关系②（填序号，“①每个小时生产的零件数”或“②4个小时生产的零件数相等”）；（3）从以上两个方程（组）中任选一个求解，完整解答老师提出的问题．思路引领：（1）由小明所列的方程组和小亮所列的方程即可得出结论；（2）由小亮所列的方程可知，小亮的方程所用等量关系是4个小时生产的零件数相等，即可得出结论；（3）由加减消元法解方程组，再由去分母法解方程即可．解：（1）由小明所列的方程组可知，小明所列的方程组中x表示的是一箱零件的个数，由小亮所列的方程可知，小亮所列的方程中x表示的是一箱零件的个数，∴以上两个方程（组）中x意义相同，故答案为：是；（2）由小亮所列的方程可知，小亮的方程所用等量关系是4个小时生产的零件数相等，故答案为：②；（3）6y=x+20①4y=x+4②①﹣②得：2y＝16，解得：y＝8，把y＝8代入②得：32＝x+4，解得：x＝28，答：这一箱零件数为28个，该工人每小时能生产的零件数是8个．4(x+20)6=去分母得：4（x+20）＝6x+24，去括号得：4x+80＝6x+24，移项得：4x﹣6x＝24﹣80，合并得：﹣2x＝﹣56，系数化为1得：x＝28，∴28+206答：这一箱零件数为28个，该工人每小时能生产的零件数是8个．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，理解方程组和方程中x的意义是解题的关键．针对练习59．甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？解：设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm，根据题意得，150=30(x+y)150=(30−5)[(1+50%)x+y]解得x=2y=3答：甲工程队原计划平均每月修建2km，乙工程队原计划平均每月修建3km．10．（2021秋•济南期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下：小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据题意，得x+y=()()+()=20小华同学：设整治任务完成后，m表示，n表示；得m+n=208m+12n=180请你补全小明、小华两位同学的解题思路．（2）求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个解题思路写出完整的解答过程．解：（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下：小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据题意得x+y=180x小华同学：设整治任务完成后，m表示甲工程队整治河道用的天数，n表示乙工程队整治河道用时的天数；得m+n=208m+12n=180故答案为：甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用时的天数；（2）选小明同学所列方程组解答如下：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．由题意得：x+y=180x解得：x=120y=60答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米．类型六优化方案问题典例9一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？（2）已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？（3）装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200元（即装修前后每天盈利不变），你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由．（可用（1）（2）问的条件及结论）思路引领：（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据“若请甲乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据所需总费用＝每天应付钱数×工作天数，分别求出单独请甲、乙两组完成所需费用，比较后即可得出结论；（3）根据损失总钱数＝每天盈利×装修时间+装修队所需费用，分别求出单独请甲、乙两组及请甲乙两组同时完成所损失的总钱数，比较后即可得出结论．解：（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据题意得：8x+8y=35206x+12y=3480解得：x=300y=140答：甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元．（2）单独请甲组所需费用为：300×12＝3600（元），单独请乙组所需费用为：140×24＝3360（元），∵3600＞3360，∴单独请乙组所需费用最少．（3）商店请甲乙两组同时装修，才更有利，理由如下：单独请甲组完成，损失钱数为：200×12+3600＝6000（元），单独请乙组完成，损失钱数为：200×24+3360＝8160（元），请甲乙两组同时完成，损失钱数为：200×8+3520＝5120（元）．∵8160＞6000＞5120，∴商店请甲乙两组同时装修，才更有利．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据所需总费用＝每天应付钱数×工作天数，分别求出单独请甲、乙两组完成所需费用；（3）根据损失总钱数＝每天盈利×装修时间+装修队所需费用，分别求出单独请甲、乙两组及请甲乙两组同时完成所损失的总钱数针对练习611．（2021秋•韶关期末）为发展校园足球运动，我市四校决定联合购买一批足球运动装备．经市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球多60元，5套队服与8个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是每购买10套队服，送1个足球；乙商场优惠方案是购买队服超过80套，则购买足球打8折．（1）求每套队服和每个足球的价格各是多少？（2）若这四所学校联合购买100套队服和a（a＞10）个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用．（3）在（2）的条件下，若a＝70，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？请说明理由．解：（1）设每个足球的价格是x元，每套队服的价格为y元，由题意得：y=x+605y=8x解得：x=100y=160答：每套队服的价格各是160元，每个足球的价格是100元．（2）到甲商场购买装备所花的费用为：100×160+100（a﹣10）＝（100a+15000）（元），到乙商场购买装备所花的费用为：100×160+100×0.8a＝（80a+16000）（元）；（3）到乙商场购买比较合算，理由如下：当a＝70时，到甲商场购买装备所花的费用是：100a+15000＝100×70+15000＝22000（元），到乙商场购买装备所花的费用是：80a+16000＝80×70+16000＝21600（元），∵22000＞21600，∴到乙商场购买比较合算．类型七分段分类问题典例10某水果批发市场香蕉的价格如下表：购买香蕉数（千克）不超过20千克20千克以上但不超过40千克40千克以上每千克价格6元5元4元张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元．由此，你能知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克吗？如果能，请写出合理的分析过程并求出结果．思路引领：设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克，分0＜x＜10，10≤x≤20，20＜x＜25三种情况考虑，根据两次购买香蕉50千克共付款264元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克．当0＜x＜10时，有x+y=506x+4y=264解得：x=32y=18当10≤x≤20时，有x+y=506x+5y=264解得：x=14y=36当20＜x＜25时，有x+y=505x+5y=264方程组无解．答：张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．针对练习712．（2020秋•东西湖区期末）为了增强市民的节约用电意识，实行阶梯收费、收费标准如下表：每月用电量收费第一档不超过180度的部分电费0.55元/度第二档180度以上至400度的部分每度比上一档提价0.05元第三档400度以上的部分每度比上一档提价0.25元（1）若小新家9月份用电200度，则小新家9月份应缴电费元（直接写出结果）；（2）若小新家10月份的平均电费为0.57元/度，则小新家10月份的用电量为多少度？（3）若小新家11月，12月共用电800度，11月和12月一共缴电费487元，已知11月份用电比12月份少，求小新家11，12月各用多少度电（电费每个月缴一次）？解：（1）根据题意得：0.55×180+（0.55+0.05）×20＝111（元）；（2）设小新家10月份用电量为x度，∵当用电量为400度时平均电费为180×0.55+(x−180)×(0.55+0.05)4000.55＜0.57＜0.5775，∴小新家10月份用电量为第二档，依题意得：180×0.55+（x﹣180）×（0.55+0.05）＝0.57x，解得：x＝300，则小新家10月份用电量为300度；（3）设小新家11月份用电y度，则12月份用电（800﹣y）度，第二档电费为0.55+0.05＝0.6（元/度）；第三档电费为0.55+0.05+0.25＝0.85（元/度），∵11月份用电量小于12月份用电量，∴y＜400，800﹣y＞400，①当0≤y≤180时，0.55y+180×0.55+0.6×（400﹣180）+0.85（800﹣y﹣400）＝487，解得：y＝280（舍去）；②当180＜y＜400时，180×0.55+0.6（y﹣180）+180×0.55+0.6×（400﹣180）+0.85（800﹣y﹣400）＝487，解得：y＝300，则小新家12月份用电量为800﹣y＝800﹣300＝500（度），答：小新家11月份用电量为300度，12月份用电量为500度．第二部分专题提优训练一．选择题1．（2021秋•包河区期末）有四个完全不同的小方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的位置摆放，按照图中所示尺寸，小长方形的长与宽的差是（）A．5.5 B．5 C．4 D．2.5思路引领：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意由大长方形的长度相等列出方程求出x﹣y的值，即为长与宽的差．解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：20+y﹣x＝10+x﹣y，即2x﹣2y＝20﹣10，整理得：x﹣y＝5．则小长方形的长与宽的差是5．故选：B．点睛：此题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程，注意整体思想的运用．2．（2021秋•驿城区期末）小聪到商店要买两种作业本，一种每本2元，另一种每本3元．若小聪恰好花完带的17元钱，则小聪购买的方案（）A．有无数种 B．只有1种 C．只有3种 D．只有4种思路引领：设小聪购买一种作业本x本，另一种作业本y本，由题意：一种每本2元，另一种每本3元．小聪恰好花完带的17元钱，列出二元一次方程，求出正整数解即可．解：设小聪购买一种作业本x本，另一种作业本y本，由题意得：2x+3y＝17，则x=17−3y∵x、y为正整数，∴x=1y=5或x=4y=3或∴小聪的购买方案有3种，故选：C．点睛：此题考查二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．3．（2021秋•驿城区校级期末）现有一批脐橙运往外地销售，A型车载满一次可运3吨，B型车载满一次可运4吨，现有脐橙31吨，计划同时租用A，B两种车型，一次运完且恰好每辆车都载满脐橙，租车方案共有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种思路引领：设租用A型车x辆，B型车y辆，由题意：A型车载满一次可运3吨，B型车载满一次可运4吨，现有脐橙31吨，计划同时租用A，B两种车型，一次运完且恰好每辆车都载满脐橙，列出二元一次方程，求出正整数解即可．解：设租用A型车x辆，B型车y辆，由题意得：3x+4y＝31，则x=31−4y∵x、y为正整数，∴x=1y=7或x=5y=4或∴租车方案共有3种，故选：B．点睛：本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．4．（2021秋•宿松县期末）把1～9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则xy的值为（）A．9 B．1 C．8 D．﹣8思路引领：由题意列出方程组，解方程组即可得出答案．解：依题意得，x+y+5=8+2+5x+8=2+7解得：x=1y=9∴xy＝19＝1，故选：B．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程组是解题的关键．5．（2021秋•锦州期末）如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形ABCD，若CD＝21，则长方形ABCD的周长为（）A．100 B．102 C．104 D．106思路引领：由图可看出本题的等量关系：小长方形的长×2＝小长方形的宽×5；小长方形的长+宽＝21，据此可以列出方程组求解．解：设小长方形的长为x，宽为y．由图可知：5y=2x解得．x=15y=6所以长方形ABCD的长为5y＝5×6＝30，宽为21，∴长方形ABCD的周长为2×（30+21）＝102，故选：B．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．6．（2021秋•瑶海区期末）在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用260元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品只能购买3个或4个且钱全部用完的情况下（注：每种方案中都有三种奖品），共有多少种购买方案（）A．12种 B．13种 C．14种 D．15种思路引领：有两个等量关系：购买A种奖品钱数+购买B种奖品钱数+购买C种奖品钱数＝260；C种奖品个数为3或4个．设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．解：设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，当C种奖品个数为3个时，根据题意得10m+20n+30×3＝260，整理得m+2n＝15，∵m、n都是正整数，0＜2n＜15，∴n＝1，2，3，4，5，6，7；当C种奖品个数为4个时，根据题意得10m+20n+30×4＝260，整理得m+2n＝17，∵m、n都是正整数，0＜2n＜14，∴n＝1，2，3，4，5，6；∴有7+6＝13种购买方案．故选：B．点睛：本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．要注意题中未知数的取值必须符合实际意义．7．（2021秋•新郑市期末）在学习完“垃圾分类”的相关知识后，小明和小丽一起收集了一些废电池，小明说：“我比你多收集了7节废电池啊！”小丽说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”．如果他们说的都是真的，设小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，则可列方程组为（）A．x−y=7，x−8=2(y+8) B．x−y=7，C．x−y=7，2(x−8)=y D．思路引领：根据小明说：“我比你多收集了7节废电池啊！”可以得到x﹣y＝7，根据小丽说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”，可以得到2（x﹣8）＝y+8，从而可以得到相应的方程组，本题得以解决．解：由题意可得，x−y=72(x−8)=y+8故选：B．点睛：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．8．（2021秋•开江县期末）某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是（）A．95元，180元 B．155元，200元 C．100元，120元 D．150元，125元思路引领：设每件商品定价x元，进价y元，由题意表示出销售8件和销售12件的利润，进而列出方程组，求出方程组的解即可．解：设每件商品定价x元，进价y元，根据题意得：x=y+458(0.85x−y)=12×(45−35)解得：x=200y=155即该商品每件进价155元，定价每件200元，故选：B．点睛：本题考查了二元一次方程的应用，找出正确等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．9．（2021秋•福田区校级期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（）A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米思路引领：设小长方形地砖的长为x厘米，宽为y厘米，由大长方形的宽为60厘米，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设小长方形地砖的长为x厘米，宽为y厘米，根据题意得：x+y=603x=2x+3y解得：x=45y=15则每个小长方形的周长＝2（x+y）＝120（厘米），故选：D．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．10．（2021秋•市北区期末）现有八个大小相同的长方形，可拼成如图①、②所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，则每个小长方形的面积是（）A．50 B．60 C．70 D．80思路引领：设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小正方形的面积．解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：3x=5yx+2=2y解得：x=10y=6∴xy＝10×6＝60．故选：B．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．二．填空题11．（2021秋•崂山区期末）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每间每天60元，两人间每间每天50元，一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费1100元，则三人间客房租了间．思路引领：设两人间客房租了x间，三人间客房租了y间，根据旅游团的人数及一天花去住宿费的金额，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出结论．解：设两人间客房租了x间，三人间客房租了y间，依题意得：2x+3y=5050x+60y=1100解得：x=10y=10∴三人间客房租了10间．故答案为：10．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．12．（2021秋•荣昌区期末）为了应对世界百年未有之大变局，促进国际国内大循环，2021年初，甲、乙两厂生产同一种产品，均计划把全年的产品销往重庆，这样两厂的产品就能占有重庆市场同类产品的34；截止2021年底统计显示，实际情况并不理想，甲厂仅有12的产品、乙厂仅有13的产品销到了重庆，两厂的产品和仅占了重庆市场同类产品的1思路引领：由题意可设甲、乙两厂的年产量分别为x、y，根据计划和实际表示出重庆市场的总产品数，即相等，列出二元一次方程，从而求出甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比．解：设甲、乙两厂的年产量分别为x、y，根据题意得：x÷34+y÷34解得：xy故答案为：2：1．点睛：此题考查的是二元一次方程组的应用，关键是找出相等关系，根据计划和实际表示出重庆市场的总产品数相等．13．（2021秋•城阳区期末）为加快“智慧校园”建设，我市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机，求今年每套A型、B型一体机的价格分别是多少万元？设今天每套A型一体机的价格是x万元，B型一体机的价格是y万元，根据题意可列二元一次方程组为y=x+0.6500x+200y=960思路引领：根据每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机，可以列出相应的二元一次方程组．解：设今年每套A型一体机的价格是x万元，B型一体机的价格是y万元，由题意可得y=x+0.6500x+200y=960故答案为：y=x+0.6500x+200y=960点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．14．（2021秋•大东区期末）某校八年某班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表：捐款（元）1234人数67表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可列二元一次方程组为．思路引领：根据该班共有40名同学捐款且捐款总额为100元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．解：∵该班共有40名同学为“希望工程”捐款，∴6+x+y+4＝40；∵该班捐款总额为100元，∴1×6+2x+3y+4×7＝100．∴根据题意，可列二元一次方程组为6+x+y+7=401×6+2x+3y+4×7=100故答案为：6+x+y+7=401×6+2x+3y+4×7=100点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．三．解答题15．（2021秋•双流区期末）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．求1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？思路引领：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，依题意得：2x+y=10x+2y=11解得：x=3y=4答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．16．（2021秋•砚山县期末）疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”，用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒，25元/盒．（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计900人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？思路引领：（1）设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，根据总价＝单价×数量，结合用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）利用购进口罩的总数量＝每盒的个数×购进数量，可求出购进口罩的总数量，利用市教育局的要求数＝2×该校师生人数×10，可求出学校需要口罩的总数量，比较后即可得出结论．解：（1）设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，依题意得：x+y=90020x+25y=19000解得：x=700y=200答：甲种口罩购进了700盒，乙种口罩购进了200盒．（2）20×700+25×200＝14000+5000＝19000（个），2×900×10＝18000（个），∵19000＞18000，∴购买的口罩数量能满足市教育局的要求．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）利用购进口罩的总数量＝每盒的个数×购进数量，求出购进口罩的总数量．17．（2021秋•长清区期末）本学期某学校开展以“庆百年建党”为主题的研学活动，组织120名学生参观山东省党史馆和济南战役纪念馆，每一名学生只能参加其中一项活动，学校租车一次性支付车票2200元．车票信息如下：地点票价山东省党史馆20元/人济南战役纪念馆16元/人（1）请问参观山东省党史馆和济南战役纪念馆的人数各是多少人？（2）若学生都去参观济南战役纪念馆，则能节省车票票款多少元？思路引领：（1）设参观山东省党史馆的有x人，参观济南战役纪念馆的有y人，由题意：组织120名学生参观山东省党史馆和济南战役纪念馆，每一名学生只能参加其中一项活动，学校租车一次性支付车票2200元．结合车票信息列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）由车票款2200元﹣都去参观济南战役纪念馆的款数，列式计算即可．解：（1）设参观山东省党史馆的有x人，参观济南战役纪念馆的有y人，依题意，得：x+y=12020x+16y=2200解得：x=70y=50答：参观山东省党史馆的有70人，参观济南战役纪念馆的有50人．（2）2200﹣120×16＝280（元）．答：若学生都去参观济南战役纪念馆，则能节省车票票款280元．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18．（2021秋•玉林期末）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货13吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货14吨．某物流公司现有45吨货物，计划租用A型车a辆，B型车b辆（一种或两种车型都可），一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）若A型车每辆需租金110元/次，B型车每辆需租金150元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．思路引领：（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货13吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货14吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据“一次性运45吨货物，且恰好每辆车都载满货物”，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为自然数，即可得出各租车方案，再求出选择各租车方案所需租车费，比较后即可得出结论．解：（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，依题意得：2x+y=13x+2y=14解得：x=4y=5答：1辆A型车载满货物一次可运货4吨，1辆B型车载满货物一次可运货5吨．（2）依题意得：4a+5b＝45，∴b＝9−45又∵a，b均为自然数，∴a=0b=9或a=5b=5或∴共有3种租车方案，方案1：租用9辆B型车，所需总租金为150×9＝1350（元）；方案2：租用5辆A型车，5辆B型车，所需总租金为110×5+150×5＝1300（元）；方案3：租用10辆A型车，1辆B型车，所需总租金为110×10+150×1＝1250（元）．∵1350＞1300＞1250，∴最省钱的租车方案为：租用10辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1250元．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．19．（2021秋•宜兴市期末）某厂计划生产A，B两种产品若干件，已知两种产品的成本价和销售价如表：类别价格A种产品B种产品成本价（元/件）400300销售价（元/件）560450（1）第一次工厂用220000元资金生产了A，B两种产品共600件，求两种产品各生产多少件？（2）第二次工厂生产时，工厂规定A种产品生产数量不得超过B种产品生产数量的一半．工厂计划生产两种产品共3000件，应如何设计生产方案才能获得最大利润，最大利润是多少？思路引领：（1）设生产了A种产品x件，B种产品y件，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设A种产品生产m件，总利润为w元，由题意：工厂规定A种产品生产数量不得超过B种产品生产数量的一半．列出一元一次不等式，得m≤1000，再求出w＝10m+450000，然后由一次函数的性质求解即可．解：（1）设生产了A种产品x件，B种产品y件，由题意得：x+y=600400x+300y=220000解得：x=400y=200答：生产了A种产品400件，B种产品200件；（2）设A种产品生产m件，由题意得：m≤12（3000﹣∴m≤1000，设总利润为w元，由题意得：w＝（560﹣400）m+（450﹣300）（3000﹣m）＝10m+450000，∵10＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝1000时，w最大＝460000，此时3000﹣m＝2000，答：生产A种产品1000件，B种产品200件，才能获得最大利润，最大利润是460000元．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．20．（2021秋•济南期末）为了响应“阳光运动一小时”校园体育活动，我校计划再购买一批篮球，已知购买2个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球共需380元；购买4个A品牌的篮球和2个B品牌的篮球共需360元．（1）求A、B两种品牌的篮球的单价．（2）我校打算网购20个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球，“双十一”期间，京东购物打折促销，其中A品牌打八折，B品牌打九折，问：打折后学校购买篮球需用多少钱？思路引领：（1）设A品牌的篮球的单价为x元，B品牌的篮球的单价为y元，根据“购买2个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球共需380元；购买4个A品牌的篮球和2个B品牌的篮球共需360元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出A、B两种品牌的篮球的单价；（2）利用总价＝单价×数量，即可求出打折后学校购买篮球所需费用．解：（1）设A品牌的篮球的单价为x元，B品牌的篮球的单价为y元，依题意得：2x+3y=3804x+2y=360解得：x=40y=100答：A品牌的篮球的单价为40元，B品牌的篮球的单价为100元．（2）40×80%×20+100×90%×3＝640+270＝910（元）．答：打折后学校购买篮球需用910元．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．21．（2021秋•渝中区期末）蹦床是一项有利于提高全身协调性、增进亲子关系的运动，安吉蹦床推出了一种家庭套票，采用网络购票和现场购票两种方式，从网上平台购买4张套票的费用比现场购买3张套票的费用少32元，从网上购买2张套票的费用和现场购买1张套票的费用共304元．（1）求网上购买套票和现场购买套票的价格分别是多少元？（2）2022年元旦当天，安吉蹦床按各自的价格在网上和现场售出的总票数为100张．元旦刚过，玩蹦床的人数下降，于是安吉蹦床决定1月3日的网上购票的价格保持不变，现场购票的价格下调．结果发现现场购票每降价2元，1月3日的总票数就会比元旦当天总票数增加4张．经统计，1月3日的总票数中有35思路引领：（1）设网上购买套票的价格为x元，现场购买套票的价格为y元，由题意：从网上平台购买4张套票的费用比现场购买3张套票的费用少32元，从网上购买2张套票的费用和现场购买1张套票的费用共304元．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设安吉蹦床在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了m元，会多卖出4m2解：（1）设网上购买套票的价格为x元，现场购买套票的价格为y元，由题意得：3y−4