第十三讲角、相交线与平行线(原卷版+解析)

第十三讲角、相交线与平行线命题点1直线和线段1．（2022•柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（）A．① B．② C．③ D．④2．（2022•桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝cm．命题点2角与角平分线3．（2022•舟山）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（）A． B． C． D．4．（2022•甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（）A．50° B．60° C．140° D．160°5．（2022•连云港）已知∠A的补角为60°，则∠A＝°．命题点3角的平分线6．（2021•福建）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是．7．（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝．8．（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．9．（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2 C．4 D．4+2命题点4类型一角的辨识10．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（）A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角 C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角11．（2022•贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（）A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4类型二相交线求角度12．（2022•北京）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（）A．30° B．60° C．120° D．150°13．（2022•自贡）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝30°，则∠2的度数是（）A．30° B．40° C．60° D．150°类型三垂线与垂线段最短14．（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行15．（2022•台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°16．（2022•威海）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点17．（2022•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A．26° B．36° C．44° D．54°类型四线段垂直平分线18．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．19．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．命题点5平行线性质求角度或证明类型一平行线性质20．（2022•六盘水）如图，a∥b，∠1＝43°，则∠2的度数是（）A．137° B．53° C．47° D．43°21．（2022•南通）如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．80°22．（2022•兰州）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C．若∠1＝52°，则∠2＝（）A．52° B．45° C．38° D．26°23．（2022•内蒙古）如图，直线a∥b，截线c，d相交成30°角，∠1＝146°33′，则∠2的度数是（）A．63°27′ B．64°27′ C．64°33′ D．63°33′24．（2022•菏泽）如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知∠ABC＝36°，则∠D1AD＝（）A．48° B．66° C．72° D．78°类型二平行线性质与判定结合25．（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行26．（2022•郴州）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠427．（2022•新疆）如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，则∠D＝（）A．20° B．30° C．40° D．50°28．（2022•湘潭）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝．29．（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．（1）求∠BAD的度数；（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．类型三直角三角板结合30．（2022•东营）如图，直线a∥b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，∠1＝40°，则∠2＝（）A．40° B．50° C．60° D．65°31．（2022•百色）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为°．命题点6命题32．（2022•上海）下列说法正确的是（）A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题33．（2022•盘锦）下列命题不正确的是（）A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B．负数的立方根是负数 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．五边形的外角和是360°34．（2022•梧州）下列命题中，假命题是（）A．﹣2的绝对值是﹣2 B．对顶角相等 C．平行四边形是中心对称图形 D．如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b35．（2022•岳阳）下列命题是真命题的是（）A．对顶角相等 B．平行四边形的对角线互相垂直 C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点 D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形36．（2022•无锡）请写出命题“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命题：．第十三讲角、相交线与平行线命题点1直线和线段1．（2022•柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【解答】解：根据题意可得，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是②．故选：B．2．（2022•桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝cm．【答案】4【解答】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，故答案为：4命题点2角与角平分线3．（2022•舟山）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：由图可知，选项A、B、C中的线都可以作为角平分线；选项D中的图作出的是平行四边形，不能保证角中间的线是角平分线，故选：D．4．（2022•甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（）A．50° B．60° C．140° D．160°【答案】A【解答】解：∵∠A＝40°，∴∠A的余角为：90°﹣40°＝50°，故选：A5．（2022•连云港）已知∠A的补角为60°，则∠A＝°．【答案】120【解答】解：∵∠A的补角为60°，∴∠A＝180°﹣60°＝120°，故答案为：120．命题点3角的平分线6．（2021•福建）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是．【答案】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于E，∵AD是△ABC的角平分线．∠B＝90°，DE⊥AC，∴DE＝BD＝，∴点D到AC的距离为，故答案为．7．（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝．【答案】1【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．8．（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【答案】3【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．9．（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2 C．4 D．4+2【答案】C【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C命题点4类型一角的辨识10．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（）A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角 C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角【答案】D【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：D．11．（2022•贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（）A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4【答案】B【解答】解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠1和∠2是对顶角，故A错误；B、∠1和∠3是同位角，故B正确；C、∠2和∠3是内错角，故C错误；D、∠3和∠4是邻补角，故D错误．故选：B．类型二相交线求角度12．（2022•北京）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【解答】解：根据对顶角相等的性质，可得：∠1＝30°，故选：A．13．（2022•自贡）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝30°，则∠2的度数是（）A．30° B．40° C．60° D．150°【答案】A【解答】解：∵∠1＝30°，∠1与∠2是对顶角，∴∠2＝∠1＝30°．故选：A．类型三垂线与垂线段最短14．（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【解答】解：小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是垂线段最短，故选：A．15．（2022•台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°【答案】C【解答】解：A．由∠2＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，∴∠1＝∠4，∴两条铁轨平行，故该选项符合题意；D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；故选：C．16．（2022•威海）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【答案】B【解答】解：根据直线的性质补全图2并作出法线OK，如下图所示：根据图形可以看出OB是反射光线，故选：B．17．（2022•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A．26° B．36° C．44° D．54°【答案】B【解答】解：∵EO⊥CD，∴∠COE＝90°，∵∠1+∠COE+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠COE＝180°﹣54°﹣90°＝36°．故选：B．类型四线段垂直平分线18．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【答案】6【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．19．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【答案】40°【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°命题点5平行线性质求角度或证明类型一平行线性质20．（2022•六盘水）如图，a∥b，∠1＝43°，则∠2的度数是（）A．137° B．53° C．47° D．43°【答案】D【解答】解：∵a∥b，∠1＝43°，∴∠2＝∠1＝43°．故选：D．21．（2022•南通）如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．80°【答案】C【解答】解：如图：∵a∥b，∴∠1＝∠4，∵∠3是△ABC的一个外角，∴∠3＝∠4+∠2，∵∠3＝80°，∴∠1+∠2＝80°，∵∠1﹣∠2＝20°，∴2∠1+∠2﹣∠2＝100°，∴∠1＝50°，故选：C．22．（2022•兰州）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C．若∠1＝52°，则∠2＝（）A．52° B．45° C．38° D．26°【答案】C【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠ABC＝52°，∵AC⊥b，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝38°，故选：C．23．（2022•内蒙古）如图，直线a∥b，截线c，d相交成30°角，∠1＝146°33′，则∠2的度数是（）A．63°27′ B．64°27′ C．64°33′ D．63°33′【答案】A【解答】解：如图，∵∠1＝146°33′，∴∠3＝180°﹣∠1＝33°27'，∵a∥b，∴∠4＝∠3＝33°27'，∵∠A＝30°，∠2＝∠4+∠A，∴∠2＝33°27'+30°＝63°27'．故选：A．24．（2022•菏泽）如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知∠ABC＝36°，则∠D1AD＝（）A．48° B．66° C．72° D．78°【答案】C【解答】解：根据题意可得：∠BAD＝∠BAD1，∵矩形纸片的对边平行，即ED∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝36°，∴∠BAD＝180°﹣36°＝144°，∴∠BAD1＝∠BAD＝144°，∴∠D1AD＝360°﹣∠BAD1﹣∠BAD＝360°﹣144°﹣144°＝72°．故选：C．类型二平行线性质与判定结合25．（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行【答案】D【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选：D．26．（2022•郴州）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4【答案】C【解答】解：A、若∠3＝∠4时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；B、若∠1+∠5＝180°时，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；C、若∠1＝∠2时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合题意；D、由a∥b推知∠4+∠5＝180°．若∠1＝∠4时，则∠1+∠5＝180°，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意．故选：C．27．（2022•新疆）如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，则∠D＝（）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】D【解答】解：∵∠A＝∠B＝30°，∴AC∥DB，又∵∠C＝50°，∴∠D＝∠C＝50°，故选：D．28．（2022•湘潭）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝．【答案】40°【解答】解：∵一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，∴∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，在△ODE中，∠OED＝180°﹣∠AOB﹣∠EDO＝180°﹣120°﹣20°＝40°，∴∠AEF＝∠OED＝40°．故答案为：40°．29．（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．（1）求∠BAD的度数；（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．【解答】（1）解：∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝80°，∴∠BAD＝100°；（2）证明：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝50°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝50°，∵∠BCD＝50°，∴∠AEB＝∠BCD，∴AE∥DC类型三直角三角板结合30．（2022•东营）如图，直线a∥b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，∠1＝40°，则∠2＝（）A．40° B．50° C．60° D．65°【答案】B【解答】解：如图：∵∠4＝90°，∠1＝40°，∠1+∠3+∠4＝180°，∴∠3＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠3＝50°．故选：B．31．（2022•百色）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为°．【答案】135【解答】解：根据题意可得，∠BAC＝90°+45°＝135°．故答案为：135命题点6命题32．（2022•上海）下列说法正确的是（）A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题【答案】A【解答】解：A、命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意，B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的对应角相等，没有逆定理，故本选项说法错误，不符合