全等三角形基本模型综合训练(二)(原卷版+解析)(北师大版)

全等三角形基本模型综合训练（二）1．如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=，则∠C的度数为（

）A．40° B．41° C．42° D．43°2．如图，已知正方形的边长为3，点E是边上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转到，连接，则当之和取最小值时，的周长为（

）A． B． C． D．3．如图，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面积9，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（

）A．5 B．6 C．8 D．104．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，点E是BC边上的一个动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接AF，则AF的最小值为（）A．2 B． C． D．5．如图，P为等边△ABC内一点，∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=6，CP=3，DP=7，则BD的长为______.6．如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO．若CA=2，CO=，那么CB的长为________．7．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正确的结论有________（填序号）．

8．如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝(AB＋AD)，若∠D＝115°，则∠B＝________．9．已知在中，，，．点为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值是__________．10．在矩形ABCD中，AD，CD边的中点分别为E，F，连接BF，CE交于点G，若，，则BG的长为______．11．如图，已知∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，点D在AB上，连接CE，点M，点N分别为BD，CE的中点，则MN的长为_____．12．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F．（1）如图1，当EF与斜边BC不相交时，请证明EF=BE+CF；（2）如图2，当EF与斜边BC相交时，其他条件不变，写出EF、BE、CF之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，猜想EF、BE、CF之间又存在怎样的数量关系，写出猜想，不必说明理由．13．如图①，在四边形中，，，．点在边上，，点是边上一动点．以为斜边作，若点在四边形的边上，则称点是线段的“勾股点”．(1)如图①，线段的中点到的距离是______．A．

B．

C．3

D．(2)如图②，当时，求的长度．(3)是否存在点，使线段恰好有两个“勾股点”？若存在，请直接写出的长度或取值范围；若不存在，请说明理由．14．已知，，点P从点A出发，沿方向以每秒的速度向终点B运动，同时，动点Q从点B出发沿方向以每秒的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．(1)如上左图，若，求t的值；(2)如上中图，若，求t的值；(3)如上右图，将沿翻折至处，当t为何值时，四边形为菱形？15．图1是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（与重合）的图形．(1)操作：固定，将绕点C按顺时针方向旋转20°，连结AD，BE，如图2，则______度，并直接写出线段BE与AD的数量关系____．(2)操作：若将图1中的，绕点C按顺时针方向旋转120°，使点B、C、D在同一条直线上，连结AD、BE，如图3．①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数量关系；②求的度数．(3)若将图1中的，绕点C按逆时针方向旋转一个角，当等于多少度时，的面积最大？请直接写出答案．16．知识再现：已知，如图1，四边形ABCD是正方形，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN，且，延长CB至G使，连接AG，根据三角形全等的知识，我们可以证明．(1)知识探究：如图1中，作，垂足为点H，猜想AH与AB有什么数量关系？并进行证明．(2)知识运用：如图2，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，F为边CD上一点，，，求DF的长．(3)知识拓展：已知，于点D，且，，求CD的长．全等三角形基本模型综合训练（二）1．如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=，则∠C的度数为（

）A．40° B．41° C．42° D．43°【答案】B【详解】解：如图，连接AO、BO．由折叠的性质可得EA=EB=EO，∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，∵DO=DA，FO=FB，∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，又∵∠CDO+∠CFO=98°，∴2∠DAO+2∠FBO=98°，∴∠DAO+∠FBO=49°，∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=139°，∴∠C=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣139°=41°，故选B．2．如图，已知正方形的边长为3，点E是边上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转到，连接，则当之和取最小值时，的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，且EF=DE，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG=AE，∴F点在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C'，∵EG=DA，FG=AE，∴AE=BG，∴BG=FG，∴∠FBG=45°，∴∠CBF=45°，∴BF是∠CBC′的角平分线，即F点在∠CBC′的角平分线上运动，∴C'点在AB的延长线上，当D、F、C'三点共线时，DF+CF=DC'最小，在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，∴DC'=3，∴DF+CF的最小值为3，∴此时的周长为．故选：A．3．如图，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面积9，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】B【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，，如图所示：由对称性可知，，，的周长，，，，，，，当时，最短，此时的周长最小，，的面积9，，的周长最小值为6，故选：B．4．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，点E是BC边上的一个动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接AF，则AF的最小值为（）A．2 B． C． D．【答案】B【详解】解：当AF⊥AB时，AF的值最小，过D作DG⊥BC，∵DG⊥BC，AF⊥AB∴∠DGB=∠DGE=∠DAF=90°∴∠B+∠BDG=90°，∠GDE+∠DEG=90°∵△ABC和△DEF都是等边三角形∴DF=EF，∠B=∠FDE=60°，∠BDG=30°∴∠ADF+∠GDE=180°-∠BDG-∠FDE=180°-60°-30°=90°∴∠ADF=∠DEG又∵∠DGE=∠DAF=90°，DE=DF∴△DEG≌△FDA（AAS）∴AF=DG

故选：B．5．如图，P为等边△ABC内一点，∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=6，CP=3，DP=7，则BD的长为______.【答案】2.【详解】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，∴CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，∵等边△ABC，∴∠ACP+∠PCB=60°，∴∠ECB+∠PCB=60°,即∠ECP=60°，∴△ECP为等边三角形，∴∠CPE=∠CEP=60°，PE=6，∴∠DEB=90°，∵∠APC=150°，∠APD=30°，∴∠DPC=120°，∴∠DPE=180°，即D、P、E三点共线，∴ED=3+7=10，∴BD==2.故答案为2.6．如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO．若CA=2，CO=，那么CB的长为________．【答案】+2【详解】如图，在BC上截取BD=AC=2，连接OD，∵四边形AFEB是正方形，∴AO=BO，∠AOB=∠ACB=90°，∴∠CAO=90°-∠ACH，∠DBO=90°-∠BHO，∵∠ACH=∠BHO，∴∠CAO=∠DBO，∴△ACO≌△BDO，∴DO=CO=，∠AOC=∠BOD，∵∠BOD+∠AOD=90°，∴∠AOD+∠AOC=90°，即∠COD=90°，∴CD=，∴BC=BD+CD=．故答案为：．7．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正确的结论有________（填序号）．

【答案】①②④【详解】解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△EBC中，,∴△ABD≌△EBC（SAS），∴①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，∴②正确；③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=AE=EC，∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直与BC，∴EF≠EC，∴③错误；④过E作EG⊥BC于G点，∵E是BD上的点，∴EF=EG，在Rt△BEG和Rt△BEF中，,∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG=BF，在Rt△CEG和Rt△AFE中，,∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），∴AF=CG，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，∴④正确．故答案为①②④．8．如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝(AB＋AD)，若∠D＝115°，则∠B＝________．【答案】65°【详解】试题分析：如图，在AB上截取AF=AD，连接CF，∵AC平分∠BAD，AC为公共边，∴△AFC≌△ADC，∴∠ADC=∠AFC，∵AE=（AB+AD），AF=AD，∴AF+EF=（AF+BF+AF），∴EF=BF，∴EF=BE，∵CE⊥AB，∴∠ABC=∠BFC，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠D=115°，∴∠B=65°．9．已知在中，，，．点为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值是__________．【答案】【详解】解：如图作F点关于AC的对称点，连接A并延长交BC延长线于点B′，作BD⊥AB′于点D，由对称性可得EF=E，由垂线段的性质可得B到AB′的最短距离为BD，∴EF+EB=E+EB=B≥BD，Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=15°，∴∠BAD=2∠BAC=30°，Rt△ABD中，AB=5，∠BDA=90°，∠BAD=30°，∴BD=，∴线段的最小值是，故答案为：；10．在矩形ABCD中，AD，CD边的中点分别为E，F，连接BF，CE交于点G，若，，则BG的长为______．【答案】【详解】解：如图，延长AD交BF的延长线于M．∵AD，CD边的中点分别为E，F，，∴，．∵，∴．∵四边形ABCD是矩形，∴，，∴，．在与中，∴，∴．设，则．∵，∴，，∴，∴．∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴．∵，∴，∴．故答案为：．11．如图，已知∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，点D在AB上，连接CE，点M，点N分别为BD，CE的中点，则MN的长为_____．【答案】【详解】解：连接DN并延长DN交AC于F，连接BF，如图，∵∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，，，，∵点N为CE的中点，，在和中，，，，∵点M为BD的中点，是的中位线，，，，在和中，，，．12．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F．（1）如图1，当EF与斜边BC不相交时，请证明EF=BE+CF；（2）如图2，当EF与斜边BC相交时，其他条件不变，写出EF、BE、CF之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，猜想EF、BE、CF之间又存在怎样的数量关系，写出猜想，不必说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2)EF=BE-CF，理由见解析；（3）EF=CF-BE，理由见解析.【详解】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠EBA，在△ABE和△CAF中，∴△BEA≌△AFC（AAS），∴EA=FC，BE=AF，∴EF=EA+AF=BE+CF．（2）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△ACF中，，∴△BEA≌△AFC（AAS），∴EA=FC，BE=AF，∵EF=AF-AE，∴EF=BE-CF．（3）EF=CF-BE，理由是：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFA=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△ACF中，，∴△BEA≌△AFC（AAS），∴EA=FC，BE=CF，∵EF=EA-AF，∴EF=CF-BE．13．如图①，在四边形中，，，．点在边上，，点是边上一动点．以为斜边作，若点在四边形的边上，则称点是线段的“勾股点”．(1)如图①，线段的中点到的距离是______．A．

B．

C．3

D．(2)如图②，当时，求的长度．(3)是否存在点，使线段恰好有两个“勾股点”？若存在，请直接写出的长度或取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)C；(2)；(3)或【解析】(1)如图1，过点M作

MQ⊥AB交BA的延长线于点Q，过点O作

OE⊥BC，垂足为E，过点M作MF⊥BC，垂足为F，连接AC，∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，，，，AM=2，∴△ABC≌△ADC，∴∠D=∠B=90°，AC=，∴∠DAC=∠BAC=∠QAM=60°，∠DCA=BCA=∠QMA=30°，∴∠DAC=∠BAC=60°，∠DCA=BCA=30°，∴QA=1，QM=，∵MQ⊥AB，OE⊥BC，，∴四边形MQBF是矩形，∴MF=QB=AB+QA=5+1=6,，∵MF⊥CB，OE⊥BC，∴OE∥MF，∴，∵OM=ON，∴NE=EF，∴OE=MF=3，故选C．(2)过点M作MQ⊥AB交BA的延长线于点Q，∵点是线段的“勾股点”．∴∠MPN=90°，∴∠QPM=∠BNP，∴△QPM∽△BNP，∴，∵，∴BN=．(3)根据(2)得，BN=时，点是线段的“勾股点”．过点N作NG⊥DC，垂足为G，当DM=DP=3时,点是线段的“勾股点”．∵点是线段的“勾股点”．∴∠MPN=90°，∴PG=GN,设BN=x，则NC=(),根据(2)，得∠NCG=60°，∴PG=GN=，GC=，∴+=，解得x=，故当BN=或，线段恰好有两个“勾股点”．14．已知，，点P从点A出发，沿方向以每秒的速度向终点B运动，同时，动点Q从点B出发沿方向以每秒的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．(1)如上左图，若，求t的值；(2)如上中图，若，求t的值；(3)如上右图，将沿翻折至处，当t为何值时，四边形为菱形？【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(1)解：由题意可得：，，，则，∵，∴，∴，∴，∴，∴．(2)过点P作交于E点，如图，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得：．(3)如图，连接交于D，∵四边形为菱形，∴，，∵点Q的速度是每秒，∴，过点P作于O，则四边形是矩形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵点P的运动速度是每秒，∴，∴，解得：．15．图1是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（与重合）的图形．(1)操作：固定，将绕点C按顺时针方向旋转20°，连结AD，BE，如图2，则______度，并直接写出线段BE与AD的数量关系____．(2)操作：若将图1中的，绕点C按顺时针方向旋转120°，使点B、C、D在同一条直线上，连结AD、BE，如图3．①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数量关系；②求的度数．(3)若将图1中的，绕点C按逆时针方向旋转一个角，当等于多少度时，的面积最大？请直接写出答案．【答案】(1)40，BE＝AD；(2)①存在，理由见详解；②60°(3)当α＝150°或330°时，的面积最大【解析】(1)∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴BC＝AC，