专题19正方形中“半角”模型(原卷版+解析)

专题19正方形中“半角”模型解题思路解题思路【模型归纳】典例分析典例分析【典例1】（春•十堰期末）如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（6，6），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝3．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（）A．2 B． C． D．﹣1【变式1-1】（溧水区二模）如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝2．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（）A．1 B． C． D．﹣1【典例2】（罗湖区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝2，且∠ECF＝45°，则CF的长为（）A． B． C． D．【变式2-1】（防城区期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为．【典例3】（2021春•澄城县期末）正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝CF+AE；（2）当AE＝2时，求EF的长．【变式3-1】（2020•饶平县校级模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．（1）求证：EF＝MF；（2）当AE＝1时，求EF的长．【变式3-2】（春•越秀区校级期中）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF．（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，求证：GE＝BE+GD．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12．E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求直角梯形ABCD的面积．夯实基础夯实基础1．（2022春•峡江县期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长线上一点．（1）△GAB≌△FAD吗？说明理由．（2）猜想线段DF、BE、EF之间的数量关系并说明理由．2．（2022春•雁塔区校级期末）阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°．解决下列问题：（1）图（1）中的线段BE、EF、FD之间的数量关系是．（2）图（2），已知正方形ABCD的边长为8，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，求△EFC的周长．3．（2021秋•兰州期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长线上一点．①△GAB≌△FAD吗？说明理由．②若线段DF＝4，BE＝8，求线段EF的长度．③若DF＝4，CF＝8．求线段EF的长度．4．（2021秋•伊通县期末）如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝MF（2）若AE＝2，求FC的长．5．（2021秋•启东市校级月考）（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：．（2）如图2：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．点E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．请说明理由（提示：延长FD到点C，使DG＝BE，连结AG．）6．（2021秋•宿豫区期中）（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．7．（2021秋•龙岩校级期中）如图，点E，F分别是正方形ABCD的对角线AC上的两个动点，∠EBF＝45°．求证：EF2＝AE2+CF2．8．（2021春•阜南县期末）如图，已知正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，∠MAN＝45°．（1）求证：MN＝BM+DN；（2）当AB＝6，MN＝5时，求△CMN的面积．9．（2021春•合肥期末）如图1，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．（1）求证：△AGE≌△AFE；（2）若BE＝2，DF＝3，求AH的长．28．（2020秋•周村区期末）（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG；（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．10．（2022秋•邹城市校级期末）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．（1）求证：CE＝CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE＝45°，判断线段GE、BE、GD之间的数量关系，并说明理由．能力提升能力提升11．（2021春•安陆市期中）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，∠ECG＝45°，那么EG与图中两条线段的和相等？证明你的结论．（2）请用（1）中所积累的经验和知识完成此题，如图2，在四边形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠ECG＝45°，BE＝4，求EG的长？12．（2019秋•宿城区校级月考）阅读分析过程，解决问题：如图1，正方形ABCD（四条边都相等，四个角都是90°）中，点E、F在CD、BC上，并且∠EAF＝45°．（1）求证：EF＝DE+BF．（2）如图2，△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，且∠BDC＝120°．求证：AD＝BD+CD．13．（2019•夏津县二模）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45度．则有结论EF＝BE+FD成立；（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由．（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．专题19正方形中“半角”模型解题思路解题思路【模型归纳】典例分析典例分析【典例1】（春•十堰期末）如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（6，6），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝3．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（）A．2 B． C． D．﹣1【答案】A【解答】解：如图，连接EF，延长BA，使得AM＝CE，在△OCE和△OAM中，，∴△OCE≌△OAM（SAS）．∴OE＝OM，∠COE＝∠MOA，∵∠EOF＝45°，∴∠COE+∠AOF＝45°，∴∠MOA+∠AOF＝45°，∴∠EOF＝∠MOF，在△OFE和△OFM中，，∴△OFE≌△FOM（SAS），∴EF＝FM＝AF+AM＝AF+CE，设AF＝x，∵CE＝＝＝3，∴EF＝3+x，EB＝3，FB＝6﹣x，∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，∴x＝2，∴点F的纵坐标为2，故选：A．【变式1-1】（溧水区二模）如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝2．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（）A．1 B． C． D．﹣1【答案】B【解答】解：如图，连接EF，延长BA，使得AM＝CE，∵OA＝OC，∠OCE＝∠AOM，∴△OCE≌△OAM（SAS）．∴OE＝OM，∠COE＝∠MOA，∵∠EOF＝45°，∴∠COE+∠AOF＝45°，∴∠MOA+∠AOF＝45°，∴∠EOF＝∠MOF，在△OFE和△OFM中，，∴△OFE≌△FOM（SAS），∴EF＝FM＝AF+AM＝AF+CE，设AF＝x，∵CE＝＝＝2，∴EF＝2+x，EB＝2，FB＝4﹣x，∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，∴x＝，∴点F的纵坐标为，故选：B【典例2】（罗湖区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝2，且∠ECF＝45°，则CF的长为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：把△FCD绕点C逆时针旋转90°得△F′CB，此时E，B，F'三点共线，则△CBF'≌△CDF，连接EF．∴CF＝CF′，∵∠FCF′＝90°，∴∠ECF＝45°，∴∠ECF＝∠ECF′＝45°，∵CE＝CE，∴△CEF≌△CEF'（SAS），∴EF＝EF'．在Rt△EBC中，，∴AE＝AB﹣BE＝2．设DF＝x，则AF＝4﹣x．∵DF＝BF′，∴EF＝EF'＝BE+BF'＝2+x，在Rt△FCD中，EF2＝AE2+AF2，∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，解得：．在Rt△CDF中，，∴，解得：．故选：A．【变式2-1】（防城区期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为．【答案】【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝5，CB＝4，∴BE＝3，∴AE＝1，设AF＝x，则DF＝4﹣x，GF＝3+（4﹣x）＝7﹣x，∴EF＝＝，∴（7﹣x）2＝1+x2，∴x＝，即AF＝，∴DF＝4﹣＝，∴CF＝＝＝，故答案为：．【典例3】（2021春•澄城县期末）正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝CF+AE；（2）当AE＝2时，求EF的长．【答案】（1）略（2）EF＝5【解答】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，∴F、C、M三点共线，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，在△DEF和△DMF中，∵，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF，∴EF＝CF+AE；（2）解：设EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，则EF＝5．【变式3-1】（2020•饶平县校级模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．（1）求证：EF＝MF；（2）当AE＝1时，求EF的长．【答案】（1）略（2）EF的长为．【解答】（1）证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，F，C，M三点共线，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝45°，∴∠EDF＝∠FDM．又∵DF＝DF，DE＝DM，∴△DEF≌△DMF，∴EF＝MF；（2）解：设EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝1，AB＝BC＝3，∴EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，BM＝BC+CM＝3+1＝4，∴BF＝BM﹣MF＝4﹣x．在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，即22+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝，则EF的长为．【变式3-2】（春•越秀区校级期中）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF．（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，求证：GE＝BE+GD．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12．E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求直角梯形ABCD的面积．【答案】（1）略（2）略（3）108．【解答】解：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，又∵BE＝DF，∴△CBE≌△CDF（SAS），∴CE＝CF；（2）成立．∵∠GCE＝45°，∴∠BCE+∠GCD＝45°，∵△BEC≌△DFC，∴∠BCE＝∠DCF，∴∠DCF+∠GCD＝45°，即∠GCF＝45°，∴∠GCE＝∠GCF，且GC＝GC，CE＝CF，∴△GCE≌△GCF（SAS），∴GE＝GF，∴GE＝GD+DF＝BE+GD；（3）如图：过点C作CF⊥AD于F，∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠A＝90°，∵∠A＝∠B＝90°，FC⊥AD，∴四边形ABCF是矩形，且AB＝BC＝12，∴四边形ABCF是正方形，∴AF＝12，由（2）可得DE＝DF+BE，∴DE＝4+DF，在△ADE中，AE2+DA2＝DE2．∴（12﹣4）2+（12﹣DF）2＝（4+DF）2．∴DF＝6，∴AD＝6，∴S四边形ABCD＝＝＝108夯实基础夯实基础1．（2022春•峡江县期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长线上一点．（1）△GAB≌△FAD吗？说明理由．（2）猜想线段DF、BE、EF之间的数量关系并说明理由．【解答】解：（1）△GAB≌△FAD，理由：过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长线上一点，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，∴∠ABG＝90°，∴∠ABG＝∠D．在△GAB和△FAD中，，∴△GAB≌△FAD（ASA）；（2）线段DF、BE、EF之间的数量关系为：DF+BE＝EF．理由：由（1）知：△GAB≌△FAD，∴BG＝DF，AG＝AF．∵∠DAF+∠BAF＝90°，∠GAB＝∠FAD，∴∠GAB+∠FAB＝90°，∴∠GAF＝90°．∵∠EAF＝45°，∴∠GAE＝∠FAE＝45°．在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝BG+BE，∴DF+BE＝EF．2．（2022春•雁塔区校级期末）阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°．解决下列问题：（1）图（1）中的线段BE、EF、FD之间的数量关系是BE+DF＝EF．（2）图（2），已知正方形ABCD的边长为8，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，求△EFC的周长．【解答】解：（1）如图，延长CB至点H使BH等于DF，连接AH．在△ADF和△ABH中，∴△ADF≌△ABH（SAS），∴AF＝AH，∠HAB＝∠FAD，∵∠BAE+∠FAD＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠BAE+∠HAB＝∠HAE＝∠EAF＝45°，在△FAE和△HAE中，∴△FAE≌△HAE（SAS），∴EF＝EH，∵EH＝BH+BE，∴EF＝FD+BE；故答案为：EF＝FD+BE．（2）由（1）可得：∠AEB＝∠AEG，∠AFE＝∠AFD，在△ABE和△AGE中：，∴△ABE≌AGE（AAS），∴BE＝EG，在△AGF和△ADF中：，∴△AGF≌ADF（AAS），∴GF＝DF，∴△EFC的周长＝EG+GF+EC+CF＝BE+EC+DF+CF＝BC+DC＝8+8＝16．3．（2021秋•兰州期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长线上一点．①△GAB≌△FAD吗？说明理由．②若线段DF＝4，BE＝8，求线段EF的长度．③若DF＝4，CF＝8．求线段EF的长度．【解答】解：①全等．证明：∵四边形ABCD为正方形∴AB＝AD，∠ABG＝∠D，在△ABG和△ADF中，∠GAB＝∠FAD，AB＝AD，∠ABG＝∠D∴△GAB≌△FAD．②解：∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°∴∠DAF+∠BAE＝45°∵△GAB≌△FAD∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF∴∠GAB+∠BAE＝45°∴∠GAE＝45°∴∠GAE＝∠EAF在△GAE和△FAE中∵AG＝AF，∠GAE＝∠EAF，AE＝AE∴△GAE≌△FAE（SAS）∴EF＝GE．∵△GAB≌△FAD∴GB＝DF∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝8+4＝12．③设EF＝x，则BE＝GE﹣BG＝x﹣4．∵EC＝BC﹣BE，∴EC＝12﹣（x﹣4）＝16﹣x．在Rt△EFC中，依据勾股定理可知：EF2＝FC2+EC2，即（16﹣x）2+82＝x2，解得：x＝10．∴EF＝10．4．（2021秋•伊通县期末）如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝MF（2）若AE＝2，求FC的长．【解答】解：（1）∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，∴F、C、M三点共线，∴DE＝DM，∠EDM＝90°．∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF．（2）设EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4．在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2．即42+（8﹣x）2＝x2，∴解得：x＝5，即FM＝5．∴FC＝FM﹣CM＝5﹣2＝3．5．（2021秋•启东市校级月考）（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：．（2）如图2：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．点E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．请说明理由（提示：延长FD到点C，使DG＝BE，连结AG．）【解答】解：（1）结论：EF＝BE+DF．理由如下：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又EF′＝BE+BF′＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF；（2）结论：EF＝BE+DF成立．理由如下：如图2中，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°，∵AB＝AD，∴△ABE≌△△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠DAF＝∠EAF＝60°，∴∠FAG＝∠GAD+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝60°，∴∠FAE＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△FAE≌△FAG（SAS），∴EF＝FG，∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF．6．（2021秋•宿豫区期中）（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【解答】解：（1）如图1，EF＝BE+DF，理由如下：延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝90°，又∵BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵∠EAF＝45°，∴∠1+∠3＝45°，∴∠2+∠3＝∠MAE＝45°＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF，（2）如图2，EF＝BE+DF，仍然成立，理由如下：延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠4＝180°，∴∠D＝∠4，又∵AB＝AD，BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵，∴∠1+∠3＝∠EAF，∴∠MAE＝∠2+∠3＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF．7．（2021秋•龙岩校级期中）如图，点E，F分别是正方形ABCD的对角线AC上的两个动点，∠EBF＝45°．求证：EF2＝AE2+CF2．【解答】证明：如图，将△CBF绕点B逆时针旋转90°，可得△ABN，连接EN，由旋转的性质可得BN＝BF，AN＝CF，∠BAN＝∠BCF＝45°，∠CBF＝∠ABN，∴∠CAN＝∠CAB+∠BAN＝90°，∴EN2＝AE2+AN2，∵∠EBF＝45°，∴∠CBF+∠ABE＝45°，∴∠ABE+∠ABN＝45°＝∠NBE＝∠EBF，在△EBF和△EBN中，，∴△EBF≌△EBN（SAS），∴EF＝EN，∴EF2＝AE2+CF2．8．（2021春•阜南县期末）如图，已知正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，∠MAN＝45°．（1）求证：MN＝BM+DN；（2）当AB＝6，MN＝5时，求△CMN的面积．【解答】解：（1）延长CB到G，使BG＝DN，在△ADN和△ABG中，，∴△ADN≌△ABG（SAS），∴AN＝AG，∵∠MAN＝45°，∴∠MAB+∠NAD＝∠MAB+∠BAG＝45°，在△MAN和△MAG中，，∴△MAN≌△MAG（SAS），∴MN＝MG＝MB+BG＝MB+DN；（2）由（1）得，，∵S△AMN＝S△ABM+S△ABG，∴S△AMN＝S△ABM+S△ADN＝15，∴S△CMN＝S正方形ABCD﹣2S△AMN＝36﹣30＝6．9．（2021春•合肥期末）如图1，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．（1）求证：△AGE≌△AFE；（2）若BE＝2，DF＝3，求AH的长．【解答】（1）证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，DF＝BG，在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠GAB+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°，又∵AF＝AG，AE＝AE，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）解：由（1）可得：△AGE≌△AFE（SAS），∴∠AEB＝∠AEH，∵AB⊥BC，AH⊥EF，∴AH＝AB，设AB＝BC＝CD＝DA＝x，则FC＝x﹣3，EC＝x﹣2，EF＝GE＝BE+GB＝BE+DF＝5，在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，解得：x1＝6，x2＝﹣1（舍去），∴AH＝AB＝6．28．（2020秋•周村区期末）（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG；（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，在△FAE和△GAF中，，∴△FAE≌△FAG（SAS），∴EF＝FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．∴MN2＝BM2+NC2．∵BM＝1，CN＝3，∴MN2＝12+32，∴MN＝．10．（2022秋•邹城市校级期末）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．（1）求证：CE＝CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE＝45°，判断线段GE、BE、GD之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，在△CBE与△CDF中，，∴△CBE≌△CDF（SAS），∴CE＝CF；（2）解：GE＝BE+GD，理由：由（1）得△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF，CE＝CF．∵∠GCE＝45°，∴∠BCE+∠DCG＝45°，∴∠GCF＝∠DCF+∠DCG＝45°，在△ECG与△FCG中，，∴△ECG≌△FCG（SAS），∴GE＝GF，∴GE＝DF+GD＝BE+GD．能力提升能力提升11．（2021春•安陆市期中）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，∠ECG＝45°，那么EG与图中两条线段的和相等？证明你的结论．（2）请用（1）中所积累的经验和知识完成此题，如图2，在四边形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠ECG＝45°，BE＝4，求EG的长？【解答】解：（1）EG＝BE+DG．如图1，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝DC，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∵∠CDF＝180﹣∠ADC，∴∠CDF＝90°，∴∠ABC＝∠CDF，∵BE＝DF，∴△EBC≌△FDC（SAS），∴∠BCE＝∠DCF，EC＝FC，∵∠ECG＝45°，∴∠BCE+∠GCD＝∠BCD﹣∠ECG＝90°﹣45°＝45°，∴∠GCD+DCF＝∠FCG＝45°，∴∠ECG＝∠FCG，∵GC＝GC，∴△ECG≌△FCG（SAS），∴EG＝GF，∵GF＝GD+DF＝GD+BE，∴EG＝GD+BE．（2）如图2，过点C作CD⊥AG，交AG的延长线于D．∵AG∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠B＝90°，∴∠A＝