专题04勾股定理的“数”问题(原卷版+解析)

专题04勾股定理的“数”问题知识导航知识导航必备知识点1．勾股定理的性质定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（即：在Rt△ABC中，如果a，b为直角边，c为斜边，那么。）勾股定理的变式：、、、勾股数勾股数的定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；判断方法：（1）确定是三个正整数：a，b，c；（2）确定最大数c题型精炼（3）计算较小两数的平方和是否等于题型精炼一、单选题1．如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，若，则（

）A．5 B．7 C．13 D．152．下列四组数据，不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．5，6，7 C．6，8，10 D．9，40，413．木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（）.A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．13，16，184．下列几组数：①6，8，10；②7，24，25；③9，12，15；④n2﹣1，2n，n2+1（n）（n是大于1的整数），其中是勾股数的有（

）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组5．如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（

）A．47 B．62 C．79 D．986．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4=100，S3=36，则S2=（）A．136 B．64 C．50 D．817．如图，，且，，，则线段AE的长为（

）A． B． C． D．8．下列几组数：①，，；②，，；③，，；④，，（是大于的整数）．其中是勾股数的有A．组 B．组 C．组 D．组9．下列各组数中，是勾股数的是（）A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5C．，， D．7，24，2510．下列说法中，错误的是（

）A．在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长一定为5；B．三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则∠C=90°；C．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是直角三角形；D．△ABC中，若a：b：c=3：4：5，则这个三角形是直角三角形．二、填空题11．可以构成直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数公式为其中m＞n＞0，m、n是互质的奇数，当n＝1时，则有一边长为13的直角三角形的另外两条边长为___．12．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：__________．13．如图，直角三角形的两直角边长分别是6cm和8cm，则带阴影的正方形面积是_____cm2．14．观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a=_____．（提示：5=，13=，…）三、解答题15．我们知道3，4，5是一组勾股数，那么（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么（k是正整数）也是一组勾股数吗？16．如图，四边形的四边，，，，，对角线.求四边形的面积.17．常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a，b与斜边长c之间满足等式：a2+b2＝c2”的一个最简单特例．我们把满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数组，记为（a，b，c）．（1）请在下面的勾股数组表中写出m、n、p合适的数值：abcabc345435512m681072425p15179n41102426116061123537………………平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点（格点）．过x轴上的整点作y轴的平行线，过y轴上的整点作x轴的平行线，组成的图形叫做正方形网格（有时简称网格），这些平行线叫做格边，当一条线段AB的两端点是格边上的点时，称为AB在格边上．顶点均在格点上的多边形叫做格点多边形．在正方形网格中，我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题，其中利用割补法、作图法求面积非常有趣．（2）已知△ABC三边长度为4、13、15，请在下面的网格中画出格点△ABC并计算其面积．18．我们把满足方程x2＋y2＝z2的正整数解(x，y，z)叫做勾股数．如：(3，4，5)就是一组勾股数．(1)请你再写出三组勾股数：---------------------------（不能以3,4,5位基数）(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么以x，y，z为三边的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)，请你加以证明.19．若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．20．给出一组式子：32＋42＝52，52＋122＝132，72＋242＝252，92＋402=412，…（1）你能发现关于上述式子的一些规律吗?

（2）请你运用规律，或者通过试验的方法（利用计算器），给出第五个式子．专题04勾股定理的“数”问题知识导航知识导航必备知识点1．勾股定理的性质定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（即：在Rt△ABC中，如果a，b为直角边，c为斜边，那么。）勾股定理的变式：、、、勾股数勾股数的定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；判断方法：（1）确定是三个正整数：a，b，c；（2）确定最大数c题型精炼（3）计算较小两数的平方和是否等于题型精炼一、单选题1．如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，若，则（

）A．5 B．7 C．13 D．15【详解】∵∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，∵S1=BC2=3，S2=AB2=10，S3=AC2，∴S3=S2−S1=10−3=7，故选：B．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．2．下列四组数据，不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．5，6，7 C．6，8，10 D．9，40，41【详解】解：A、因为32+42＝52，属于勾股数；B、因为52+62≠72，不属于勾股数；C、因为62+82＝102，属于勾股数；D、因为92+402＝412，属于勾股数；故选：B．【点睛】本题考查了勾股数的定义，注意：作为勾股数的三个数必须是正整数，一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．3．木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（）.A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．13，16，18【详解】A、,能够成直角三角形,故本选项错误;B、,能够成直角三角形,故本选项错误;C、,能够成直角三角形,故本选项错误;D、,能够成直角三角形,故本选项正确.所以D选项是正确的.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.4．下列几组数：①6，8，10；②7，24，25；③9，12，15；④n2﹣1，2n，n2+1（n）（n是大于1的整数），其中是勾股数的有（

）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【详解】（1）∴9，12，15是勾股数（2）∴8，15，17是勾股数（3）∴7，24，25是勾股数（4）∴是勾股数故答案选：D.【点睛】本题主要考查的是勾股定理的问题，解题的关键是正确理解勾股数即两个数的平方和等于第三个数的平方.5．如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（

）A．47 B．62 C．79 D．98【详解】解：由题可得：……当故选C【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.6．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4=100，S3=36，则S2=（）A．136 B．64 C．50 D．81【详解】由题意可知：S1=AB2，S2=BC2，S3=CD2，S4=AD2，如果连接BD，在直角三角形ABD和BCD中，BD2=AD2+AB2=CD2+BC2，即S1+S4=S3+S2，因此S2=100-36=64，故选B．7．如图，，且，，，则线段AE的长为（

）A． B． C． D．【详解】根据题意得AC2=AB2+BC2=12+12=2；AD2=AC2+CD2=2+1=3；AE2=AD2+DE2=3+1=4，所以AE=2，故选B.8．下列几组数：①，，；②，，；③，，；④，，（是大于的整数）．其中是勾股数的有A．组 B．组 C．组 D．组【详解】解：①∵92+122=152，∴9，12，15是勾股数；②∵82+152=172，∴8，15，17是勾股数；③∵72+242=252，∴7，24，25是勾股数；④（n2-1）2+(2n)2=（n2+1）2，∴，，（是大于的整数）是勾股数．；共有四组勾股数；故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．9．下列各组数中，是勾股数的是（）A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5C．，， D．7，24，25【详解】A．∵12+22=1+4=5≠32，∴这组数不是勾股数；B．∵0.32+0.42=0.09+0.16=0.25=0.52，但不是整数，∴这组数不是勾股数；C．∵，∴这组数不是勾股数；D．∵72+242=49+576=625=252，∴这组数是勾股数．故选D．【点睛】本题考查了勾股数的定义以及勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．解题的关键是看两小边的平方和是否等于最大边的平方．10．下列说法中，错误的是（

）A．在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长一定为5；B．三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则∠C=90°；C．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是直角三角形；D．△ABC中，若a：b：c=3：4：5，则这个三角形是直角三角形．【分析】利用分类讨论对①进行判断；根据勾股定理的逆定理对②④进行判断；根据三角形内角和计算出∠C的度数，然后根据三角形分类对③进行判断．【详解】解：在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5或，所以A错误；三角形的三边a、b、c满足，则，所以B正确；△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则，所以△ABC是直角三角形，所以C正确；△ABC中，若

a：b：c=3:4：5，则，所以这个三角形是直角三角形，所以D正确．故选A．【点睛】掌握勾股定理及其逆定理的应用是本题的解题关键．二、填空题11．可以构成直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数公式为其中m＞n＞0，m、n是互质的奇数，当n＝1时，则有一边长为13的直角三角形的另外两条边长为___．【分析】利用分类思想，整数的性质求解即可．【详解】当n=1时，得，当a=13时，得=13，即，解得m=，∵m是正整数，∴m=舍去；当b=13时，即m=13，得a==84，c==85；当c=13时，得=13，即，解得m=，∵m是正整数，∴m=-5舍去，∴m=5,∴a==12，∴b=5,故答案为：5,12或84,85．【点睛】本题考查了勾股数，熟练运用分类思想，整数的性质是解题的关键．12．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：__________．【分析】先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理求解即可．【详解】由题意得，每组第一个数是奇数，且逐步递增2，第二、第三个数相差为一故第⑥组的第一个数是13设第二个数为x，第三个数为x+1根据勾股定理得解得则第⑥组勾股数：13，84，85故答案为：13，84，85．【点睛】本题考查了勾股数的规律题，掌握这些勾股数的规律、勾股定理是解题的关键．13．如图，直角三角形的两直角边长分别是6cm和8cm，则带阴影的正方形面积是_____cm2．【分析】设带阴影的正方形面的边长为a，在该直角三角形中，由勾股定理可求出a2，正方形的面积=边长×边长=a2，将求出的a2代入即可求出该正方形的面积．【详解】解：设带阴影的正方形面的边长为a，如图所示：在直角三角形中，由勾股定理可得：a2=62+82=100cm2，该正方形的面积为a2=100cm2．【点睛】本题考查了勾股定理和求正方形的面积公式，根据在直角三角形，由勾股定理可求出正方形边长的平方，即求出了正方形的面积．14．观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a=_____．（提示：5=，13=，…）【详解】观察各勾股数组，根据题目中的提示可设，，解得a=17．点睛：本题主要考查了勾股数，观察各组勾股数的特点，根据题目中提示的方法，找出数据之间的关系，是解决本题的基本思路.三、解答题15．我们知道3，4，5是一组勾股数，那么（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么（k是正整数）也是一组勾股数吗？【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数a、b、c称为勾股数，即可判断（k是正整数）与是不是一组勾股数．【详解】因为，所以（k是正整数）为勾股数．如果a，b，c为勾股数，即，那么．因此，（k是正整数）也是勾股数．【点睛】本题考查勾股数判断，解题的关键是熟练掌握勾股数的定义：满足的三个正整数a、b、c称为勾股数．16．如图，四边形的四边，，，，，对角线.求四边形的面积.【分析】由及AB、BC的长度可以算出AC的长度，再结合CD、AD的长度可知是直角三角形，这样，四边形的面积等于两个直角三角形的面积和，根据直角三角形的面积计算公式可以求得答案．【详解】解：∵，∴，AC=5.∵，∴.∴是直角三角形.∴【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟悉常用勾股数、勾股定理及其逆定理的应用是解题关键．17．常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a，b与斜边长c之间满足等式：a2+b2＝c2”的一个最简单特例．我们把满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数组，记为（a，b，c）．（1）请在下面的勾股数组表中写出m、n、p合适的数值：abcabc345435512m681072425p15179n41102426116061123537………………平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点（格点）．过x轴上的整点作y轴的平行线，过y轴上的整点作x轴的平行线，组成的图形叫做正方形网格（有时简称网格），这些平行线叫做格边，当一条线段AB的两端点是格边上的点时，称为AB在格边上．顶点均在格点上的多边形叫做格点多边形．在正方形网格中，我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题，其中利用割补法、作图法求面积非常有趣．（2）已知△ABC三边长度为4、13、15，请在下面的网格中画出格点△ABC并计算其面积．【分析】（1）根据勾股数的定义计算即可；（2）根据勾股数确定长为13和15的边，再根据三角形的面积公式计算即可．【详解】（1）根据勾股数的定义计算即可；（2）根据勾股数确定长为13和15的边，再根据三角形的面积公式计算即可．解：（1）∵52+122＝132，∴m＝13；∵92+402＝412，∴n＝40，∵82+152＝172，∴p＝8．（2）如图所示：在△ABC中，AB＝15，BC＝4，AC＝13，S△ABC＝SABD﹣S△ACD＝．【点睛】本题考查了勾股数的综合应用，对勾股定理及其逆定理以及常见的勾股数非常熟悉，是解题的关键．18．我们把满足方程x2＋y2＝z2的正整数解(x，y，z)叫做勾股数．如：(3，4，5)就是一组勾股数．(1)请你再写出三组勾股数：---------------------------（不能以3,4,5位基数）(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么以x，y，z为三边的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)，请你加以证明.【分析】（1）根据常用的勾股数和勾股数的定义，可得答案；（2）根据勾股定理的逆定理，可得答案．【详解】（1）（5,12,13），（7,24,25），（8,15,17）；（2）证明：x2+y2=（2n）2+（n2-1）2=4n2+n4-2n2+1=n4+2n2+1=（n2+1）2=z2，∴以x，y，z为三边的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数