专题01实数(精讲精练)(原卷版+解析)

第01讲实数理解有理数的意义，能用数轴表示有理数借助数轴理解绝对值的意义，掌握有理数的绝对值的方法，知道的含义掌握有理数的四则运算理解乘方的意义理解有理数的运算律了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内的平方根了解无理数和实数的概念，了解实数与数轴上的点一一对应能求实数的相反数与绝对值能估计无理数的大致范围了解近似数的概念★简单；★★易错；★★★中等；★★★★难；★★★★★压轴TOC\o"1-1"\h\u考点1：实数的分类 3考点2：数轴的相关计算 10考点3：相反数 16考点4：绝对值 21考点5：科学记数法 29考点6：近似数 33考点7：实数的大小比较 39考点8：平方根、算术平方根、立方根 43考点9：实数的运算 50课堂总结：思维导图 55分层训练：课堂知识巩固 56考点1：实数的分类①实数分类②无理数几种常见类型：1.开不尽的数型：如eq\r(5)，eq\r(8)等开方开不尽的数；2.构造型：如0.1010010001…；3.π及含π的数：如π，π＋4等．另外依靠勾股定理的计算，估算无理数的大小.4.三角函数｛无理数-判断★｝在下列实数中，无理数是A． B． C．0.3 D．｛实数概念综合★｝下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数都是带根号的数；③负数没有立方根；④的平方根是．其中正确的有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个｛实数分类★｝下列说法正确的是A．正整数、负整数统称为整数 B．正分数、负分数统称为分数 C．正数、负数统称为有理数 D．整数、分数、小数都是有理数｛无理数-程序图★★｝（凉山州·中考真题）有一个数值转换器，原理如下：当输入的为64时，输出的是A． B． C． D．8｛实数概念综合★｝（河北·中考真题）如图为张小亮的答卷，他的得分应是A．100分 B．80分 C．60分 D．40分｛实数-新定义★★｝（2020•长沙）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．其中表述正确的序号是A．②③ B．①③ C．①④ D．②④｛无理数-判断★｝（2020•遂宁）下列各数3.1415926，，，，，，中，无理数的个数有个．｛实数概念综合★★｝下列说法：①的平方根是；②任何数的平方都是非负数，因而任何数的平方根也是非负数；③任何一个非负数的平方根都不大于这个数；④平方根等于本身的数是0．其中正确的是A．④ B．①② C．②③ D．③｛实数分类★｝下列说法中，正确的是【知识拓展】（自然数：。）A．正有理数和负有理数统称有理数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．零不是自然数，但它是有理数 D．正分数、零、负分数统称分数｛实数-新定义★★★｝（2021•随州）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为．（2021•永州）在0，，，，中无理数的个数是个．（通辽·中考真题）实数，，0，，，，，（相邻两个3之间依次多一个，其中无理数的个数是A．4 B．2 C．1 D．3考点2：数轴的相关计算（1）三要素：原点、正方向、单位长度（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大｛数轴的几何意义★★｝（泰安·中考真题）如图，四个实数，，，在数轴上对应的点分别为，，，，若，则，，，四个实数中，绝对值最大的一个是A． B． C． D．｛实数的几何意义★｝如图，数轴上点所表示的数是A． B． C．3.6 D．3.7｛数轴的计算★｝（2021•福州模拟）若实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则①；②；③；④的结论中，正确的是A．①② B．①④ C．②③ D．③④｛实数的几何意义★｝（成都中考真题）如图，数轴上点表示的实数是．｛数轴的计算★｝（2019•北京）在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数，2，将点向右平移1个单位长度，得到点，若，则的值为A． B． C． D．1｛数轴的计算★★★｝有一题目：点、、分别表示数、1、5，三点在数轴上同时开始运动，点运动方向是向左，运动速度是；点、的运动方向是向右，运动速度分别、，如图，在运动过程中，甲、乙两位同学提出不同的看法：甲：的值不变；乙：的值不变；下列选项中，正确的是A．甲、乙均正确 B．甲正确、乙错误 C．甲错误、乙正确 D．甲、乙均错误（2021•广州）如图，在数轴上，点、分别表示、，且，若，则点表示的数为A． B．0 C．3 D．（2019•福建）如图，数轴上、两点所表示的数分别是和2，点是线段的中点，则点所表示的数是．考点3：相反数（1）概念：只有符号不同的两个数（2）代数意义：a、b互为相反数a+b=0（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等｛相反数的定义★｝下列两个数互为相反数的是A．和B．和 C．和 D．和｛相反数的定义★★｝下列说法正确的是A．符号相反的两个数互为相反数 B．一个数的相反数一定是正数 C．一个数的相反数一定比这个数本身小 D．一个数的相反数的相反数等于原数｛相反数的代数意义★｝若与互为相反数，则的值为．｛相反数-符号化简★｝下列化简正确的是A． B． C． D．｛相反数的定义★｝若一个数的相反数等于它本身，那么这个数一定是【知识拓展】（倒数等于它本身：；绝对值等于它本身：。）A．0 B．1 C． D．｛相反数的定义★｝已知与互为相反数，则下列式子：①；②；③；④，其中一定成立的是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个｛相反数的代数意义★｝如果和互为相反数，和互为倒数，那么｛相反数的代数意义★｝若与互为相反数，则的值为．（2021•烟台）若的相反数是3，则的值是A． B． C．3 D．（2021•深圳）的相反数A．2021 B． C． D．考点4：绝对值（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离（2）运算性质：（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0｛绝对值的定义★｝下列说法中错误的个数是①绝对值是它本身的数有两个，是0和1②一个有理数的绝对值必为正数③0.5的倒数的绝对值是2④任何有理数的绝对值都不是负数．A．0 B．1 C．2 D．3｛运算性质★★｝若，，，那么的值是A．2或0 B．或0 C．或3 D．或9｛运算性质★｝若时，化简A．1 B． C． D．｛运算性质★★｝若实数、、满足，，则的值为A．6 B．7 C．6或8 D．6或7｛运算性质★★｝若，则的值为A．或 B．或0或 C．或0 D．0或｛绝对值-非负性★｝若，则A．2 B．7 C．8 D．9｛几何意义★★★｝的最小值是．｛几何意义★★★｝式子有最小值，其最小值是．｛运算性质★｝下列各式的结论成立的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则｛运算性质★｝若，且，，则A．7 B． C．3 D．｛运算性质★｝已知，，，则．｛绝对值符号化简★★｝已知，则．｛运算性质★｝已知，化简．｛绝对值-非负性★｝若，则．｛绝对值-非负性★｝，则．｛几何意义★★★｝适合的整数的值有A．4个 B．5个 C．7个 D．9个（2021•阿坝州）的绝对值为A． B．0 C．3 D．（2021•大庆）下列说法正确的是A． B．若取最小值，则 C．若，则 D．若，则考点5：科学记数法（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）｛科学记数法-表示较小的数★｝用科学记数法表示为A． B． C． D．｛科学记数法-表示较大的数★｝2021年春节档电影《你好，李焕英》，体现了深厚的母女之情．收获好评的同时也成为了票房黑马．截止3月6日，《你好，李焕英》票房成功突破50亿，成为中国影史上第三部突破50亿票房大关的电影．其中50亿用科学记数法表示为A． B． C． D．｛科学记数法-表示较大的数★｝2021年国庆档电影《长津湖》上映16天票房收入超45.6亿元，成为中国影史排名第五名．其中45.6亿元用科学记数法可表示为A．元 B．元 C．元 D．元｛科学记数法-表示较大的数★｝今年是中国共产党建党100周年，截至2021年6月5日，中国共产党党员总数为9514.8万名，将9514.8万用科学记数法表示为A． B． C． D．（2021•攀枝花）2021年5月，由中国航天科技集团研制的天问一号探测器的着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区．中国航天器首次奔赴火星，就“毫发未损”地顺利出现在遥远的红色星球上，完成了人类航天史上的一次壮举．火星与地球的最近距离约为5500万千米，该数据用科学记数法可表示为千米．A． B． C． D．（2021•日照）实验测得，某种新型冠状病毒的直径是120纳米纳米米），120纳米用科学记数法可表示为A．米 B．米 C．米 D．米考点6：近似数（1）定义：一个与实际数值很接近的数.（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.｛近似数-有效数字★｝截止2021年5月16日，全球累计新冠肺炎死亡病例3352109例，将3352109用科学记数法表示，并保留3个有效数字，应记为．｛近似数★｝按要求填空：（1）753.1968（精确到；（2）753.1968（精确到十分位）；（3）753.1968（精确到百位）；（4）近似数3.60万精确到位；（5）近似数0.0702精确到位；（6）近似数，精确到．｛近似数★｝用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是A．0.1（精确到 B．0.051（精确到千分位） C．0.05（精确到百分位） D．0.0502（精确到｛近似数★｝据报道，国新办于2021年5月11日上午就第七次人口普查主要数据结果举行发布会，发布会上透露全国人口已达141178万人．用四舍五入法，对141178万取近似值，精确到百万位的结果是A．1412 B．1412000000 C．141200万 D．｛近似数★｝用四舍五入法，按括号里的要求取近似值．（1）3.0688（精确到；（2）23489（精确到千位）；（3）（精确到万位）．｛近似数★｝用四舍五入法按要求对0.7831取近似值，其中正确的是A．0.783（精确到百分位）B．0.78（精确到 C．0.7（精确到 D．0.7830（精确到｛近似数★｝下列数据中，是近似数的为A．一年有12个月B．药店每人限购10个口罩 C．每间寝室住3人 D．某校大约有2000名师生｛近似数★｝下列近似数，只有三个有效数字的是A．6.010 B．0.6010 C．0.061 D．0.601｛近似数★｝用四舍五入法，0.00356精确到万分位的近似数是A．0.003 B．0.004 C．0.0035 D．0.0036｛近似数★｝用四舍五入法将130541精确到千位，正确的是A． B． C．131000 D．（2020•济宁）用四舍五入法将数3.14159精确到千分位的结果是A．3.1 B．3.14 C．3.142 D．3.141考点7：实数的大小比较（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.（3）作差比较法：a－b＞0a＞b；a－b=0a=b；a－b＜0a＜b.（4）平方法：a＞b≥0a2＞b2.｛实数的大小比较-性质法★｝大于而又不大于的整数有A．7个 B．6个 C．5个 D．4个｛实数的大小比较-性质法★｝有理数，满足，，，则下列结论正确的是A． B． C． D．｛实数的大小比较-平方法★｝（2019•陕西）比较大小：．｛实数的大小比较-作差法★｝通过估算，比较大小：．｛实数的大小比较-作差法★｝比较大小：．｛实数的大小比较-作差法★｝比较实数大小：（填“”或“”．｛实数的大小比较-作差法★｝比较大小关系1.5（填“”、“”或“”．（2021•朝阳）在有理数2，，，0中，最小的数是A．2 B． C． D．0（2018•宜昌）如图，一块砖的，，三个面的面积比是．如果，，面分别向下放在地上，地面所受压强为，，，压强的计算公式为，其中是压强，是压力，是受力面积，则，，，的大小关系正确的是A． B． C． D．（2021•临沂）比较大小：5（选填“”、“”、“”．考点8：平方根、算术平方根、立方根平方根、算术平方根：若x2=a（a≥0）,则x=.其中是算术平方根.立方根：若x3=a,则x=.｛平方根★★｝的平方根为A．13 B． C． D．｛平方根的性质★★｝若与是同一个正数的平方根，则这个正数为A．1 B．4 C． D．｛平方根、算术平方根、立方根★｝下列说法错误的是A．4的算术平方根是2 B．是2的一个平方根 C．的立方根是 D．化简结果是｛立方根的性质★｝已知，若，则的值约为A．326000 B．32600 C．3.26 D．0.326｛算术平方根的性质★｝请同学们观察下如表：0.044400400000.2220200已知，，运用你发现的规律求．｛算术平方根的性质★｝根据以下程序，当输入时，输出的值为A． B． C． D．5｛立方根、算术平方根★｝若一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是A． B． C．2 D．4｛立方根★｝已知为实数，且，则的算术平方根为A．3 B．2 C．3和 D．2和｛平方根、立方根★｝4的平方根是，27的立方根是，则的值为A．2 B．3 C．5或1 D．5或｛算术平方根★｝（2018•安顺）的算术平方根是A． B． C． D．2｛平方根、算术平方根、立方根★★｝下列说法中正确的有①0的算术平方根是0；②8的算术平方根是4；③是11的平方根；④是25的平方根；⑤是8的平方根；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个｛平方根、算术平方根、立方根★★｝（2021•福建模拟）下列说法不正确的是A．21的平方根是 B．的平方根是 C．0.01的算术平方根是0.1 D．是25的一个平方根｛算术平方根★★｝若方程的两根分别为和，且，则下列结论中正确的是A．是19的算术平方根 B．是19的平方根 C．是19的算术平方根 D．是19的算术平方根｛立方根的性质★｝若，，那么．｛立方根的性质-新定义★★★｝按照下面的思路可以口算得到．（1）由，，能确定是个两位数；（2）由59319的个位上的数是9，可以确定个位上的数是9；（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而，，由此可以确定十位上的数字是3；类比以上思路，已知912673是整数的立方，那么．（2021•东营）16的算术平方根为A． B．4 C． D．8（2021•凉山州）的平方根是A．9 B． C．3 D．（2021•包头）一个正数的两个平方根是和，则的立方根为．考点9：实数的运算①乘方：几个相同因数的积;负数的偶（奇）次方为正（负）②零指数幂：a0=1(a≠0)③负指数幂：a－p=（a≠0，p为整数）④混合运算：先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，使问题简单化.｛★★｝计算：．｛★★｝计算：．｛★★｝计算：．｛★★｝（2019•内江）计算：（﹣1）2019+（﹣）﹣2+|﹣2|+3tan30°．｛★★｝（2019•安顺）计算：（﹣2）﹣1﹣+cos60°+（）0+82019×（﹣0.125）2019．｛★★｝（2019•常德）计算：6sin45°+|2﹣7|﹣（）﹣3+（2019﹣）0．｛★｝计算：．｛★｝计算：．｛★｝计算：．求值：．计算：．计算：．课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1．的相反数是A． B．3 C． D．2．的绝对值是A． B．2022 C． D．3．如图，，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从大到小的顺序排列，正确的是A． B． C． D．4．已知有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论不正确的是A． B． C． D．5．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，创造了中国航天员连续在轨飞行时间的最长纪录，该乘组共在轨飞行约15800000秒，将15800000用科学记数法表示为A． B． C． D．6．植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的，七年级2班植树棵数是这批树苗总数的，则七年级2班植树的棵数是A．36 B．60 C．100 D．1807．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为A．3 B． C． D．8．在式子“〇中的“〇”内填入下列运算符号，计算后结果最大的是A． B． C． D．9．若，互为相反数，的倒数是4，则的值为A． B． C． D．1610．数轴上的点到原点的距离是6，则点表示的数为A．12或 B．6 C． D．6或11．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是A． B． C． D．12．估计的值应在A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间13．在实数，，，中，最小的数是A． B． C． D．14．如图，数轴上有，，，四点，以下线段中，长度最接近的是A．线段 B．线段 C．线段 D．线段15．实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是A．2 B． C． D．16．如图，已知正方形的面积为5，点在数轴上，且表示的数为1．现以为圆心，为半径画圆，和数轴交于点在的右侧），则点表示的数为A．3.2 B． C． D．17．估计的值应在A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间18．已知，，，．若为整数且，则的值为A．43 B．44 C．45 D．4619．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是A． B． C． D．20．的平方根是A． B．5 C． D．1．下面关于0的说法，正确的是A．0既不是正数也不是负数 B．0既不是整数也不是分数 C．0不是有理数 D．0的倒数是02．有理数、在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是A． B． C． D．3．下列说法中，正确的是A．不带负号的数都是正数 B．最大的负有理数是 C．一个有理数不是正的就是负的 D．一个有理数不是整数就是分数4．有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列说法正确的是A． B． C． D．5．下列各数：，，3.14，，，有理数的个数有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．如图是一个简单的数值运算程序，若开始输入，则最后输出的结果是A． B． C． D．7．点、在同一条数轴上，其中点表示的数为1，若点到点的距离为4，则点表示的数是A．3 B．5 C．3或 D．5或8．三位同学在计算：时，用了不同的方法．嘉嘉说：12的、和分别是3、2和6，所以结果是；琪琪说：先计算括号里面的数，，再乘12，得结果；嘉琪说：利用分配律，先把12与、和分别相乘，得结果．对于三位同学的计算方式，下面描述正确的是A．三位同学都用了运算律 B．琪琪使用了加法结合律 C．嘉琪使用了分配律 D．嘉嘉使用了乘法交换律9．下列说法中正确的个数有①0是最小的有理数；②3.3不是整数；③正有理数、负有理数统称为有理数；④非负有理数不包括零；⑤一个有理数不是整数就是分数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．下列说法正确的个数为（1）0是绝对值最小的有理数；（2）乘以任何数仍得这个数；（3）数轴上原点两侧的数互为相反数；（4）一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数；（5）一对相反数的平方也互为相反数A．0个 B．1个 C．2个 D．3个11．“十四五”期间，我省高端装备制造产业要保持中高速增长，力争到2025年营业收入超过5500亿元，其中数据“5500亿”用科学记数法可表示为A． B． C． D．12．定义一种新的运算：★，如：3★，则5★2的值为A． B． C． D．13．估计的取值范围在A．20到21之间 B．6到7之间 C．8到9之间 D．5到6之间14．若，且、为两个连续的正整数，则等于A．7 B．8 C．9 D．1015．若，则、，，这四个数中A．最大，最小B．最大，最小 C．最大，最小 D．最大，最小16．实数，，0，，0.15，中，有理数的个数为，无理数的个数为，则的值是A．2 B．3 C．7 D．517．下列说法：①是整数；②是分数；③0是有理数；④是无理数，其中正确的是A．①② B．①③ C．②③ D．③④18．在下列说法中：①无理数和有理数统称为实数；②实数和数轴上的点是一一对应的；③0的算术平方根是0；④无限小数都是无理数．正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19．下列实数：、0、、0.120135、、0.16、，其中属于无理数的个数是A．3 B．4 C．5 D．620．已知为整数，且，则等于A．5 B．6 C．7 D．821．若整数满足，则的值是A．8 B．9 C．10 D．1122．对于“”，有下列说法：①它是一个无理数；②它是数轴上离原点个单位长度的点所表示的数；③若，则整数为2；④它表示面积为7的正方形的边长．其中正确的说法是A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④23．已知的整数部分为，的整数部分为，那么的平方根是．1．估计的值应在A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间2．已知实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是A． B． C．0 D．23．若，则A． B． C． D．4．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是A． B．或 C． D．5．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母，，，，依次对应0，1，2，，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文对应密文字母序号0123456789101112字母序号13141516171819202122232425按上述规定，将明文“”译成密文后是．6．在数学中，为了简便，记．，，，，，则．第01讲实数理解有理数的意义，能用数轴表示有理数借助数轴理解绝对值的意义，掌握有理数的绝对值的方法，知道的含义掌握有理数的四则运算理解乘方的意义理解有理数的运算律了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内的平方根了解无理数和实数的概念，了解实数与数轴上的点一一对应能求实数的相反数与绝对值能估计无理数的大致范围了解近似数的概念★简单；★★易错；★★★中等；★★★★难；★★★★★压轴TOC\o"1-1"\h\u考点1：实数的分类 3考点2：数轴的相关计算 10考点3：相反数 16考点4：绝对值 21考点5：科学记数法 29考点6：近似数 33考点7：实数的大小比较 39考点8：平方根、算术平方根、立方根 43考点9：实数的运算 50课堂总结：思维导图 55分层训练：课堂知识巩固 56考点1：实数的分类①实数分类②无理数几种常见类型：1.开不尽的数型：如eq\r(5)，eq\r(8)等开方开不尽的数；2.构造型：如0.1010010001…；3.π及含π的数：如π，π＋4等．另外依靠勾股定理的计算，估算无理数的大小.4.三角函数｛无理数-判断★｝在下列实数中，无理数是A． B． C．0.3 D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：．，是无理数，故本选项符合题意；．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；．0.3是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；故选：．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．｛实数概念综合★｝下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数都是带根号的数；③负数没有立方根；④的平方根是．其中正确的有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】直接利用实数与数轴的关系以及无理数的定义、立方根、平方根的定义分别分析得出答案．【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，符合题意；②无理数是无限不循环小数，原说法不合题意；③负数也有立方根，原说法不合题意；④的平方根是，原说法不合题意．故选：．【点评】此题主要考查了实数与数轴的关系以及无理数的定义、立方根、平方根的定义，正确掌握相关定义是解题关键．｛实数分类★｝下列说法正确的是A．正整数、负整数统称为整数 B．正分数、负分数统称为分数 C．正数、负数统称为有理数 D．整数、分数、小数都是有理数【分析】根据有理数的定义及其分类求解可得．【解答】解：．正整数、零、负整数统称为整数，故本选项不合题意；．正分数、负分数统称为分数，说法正确，故本选项符合题意；．正有理数、0、负有理数统称为有理数，故本选项不合题意；．整数、分数、小数都是有理数，说法错误，无限不循环小数不是有理数，故本选项不合题意；故选：．【点评】本题考查了有理数，掌握有理数的相关定义是解答本题的关键．｛无理数-程序图★★｝（凉山州·中考真题）有一个数值转换器，原理如下：当输入的为64时，输出的是A． B． C． D．8【分析】把代入数值转换器中计算确定出即可．【解答】解：由题中所给的程序可知：把64取算术平方根，结果为8，是有理数，结果为无理数，．故选：．【点评】此题考查了实数，弄清数值转换器中的运算是解本题的关键．｛实数概念综合★｝（河北·中考真题）如图为张小亮的答卷，他的得分应是A．100分 B．80分 C．60分 D．40分【分析】根据绝对值、倒数、相反数、立方根以及平均数进行计算即可．【解答】解：的绝对值为1，2的倒数为，的相反数为2，1的立方根为1，和7的平均数为3，故小亮得了80分，故选：．【点评】本题考查了实数，掌握绝对值、倒数、相反数、立方根以及平均数的定义是解题的关键．｛实数-新定义★★｝（2020•长沙）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．其中表述正确的序号是A．②③ B．①③ C．①④ D．②④【分析】根据实数的分类和的特点进行解答即可得出答案．【解答】解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，所以表述正确的序号是②③；故选：．【点评】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“”的意义是解题的关键．｛无理数-判断★｝（2020•遂宁）下列各数3.1415926，，，，，，中，无理数的个数有3个．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，找出无理数的个数．【解答】解：在所列实数中，无理数有，，这3个，故答案为：3．【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的掌握无理数的三种形式：①开方开不尽得到的无限不循环小数，②无限不循环小数，③含或由构造的无限不循环小数．｛实数概念综合★★｝下列说法：①的平方根是；②任何数的平方都是非负数，因而任何数的平方根也是非负数；③任何一个非负数的平方根都不大于这个数；④平方根等于本身的数是0．其中正确的是A．④ B．①② C．②③ D．③【分析】根据平方根的定义即可求出答案．【解答】解：①负数没有平方根，故①不符合题意．②一个正数的平方根有两个，且互为相反数，故②不符合题意．③的平方根为，此时的平方根大于，故③不符合题意．④平方根等于本身的数是0，故④符合题意．故选：．【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．｛实数分类★｝下列说法中，正确的是【知识拓展】（自然数：。）A．正有理数和负有理数统称有理数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．零不是自然数，但它是有理数 D．正分数、零、负分数统称分数【分析】根据有理数的分类，可得答案．【解答】解：、整数和分数统称有理数，故错误；、整数和分数统称有理数，故正确；、零是自然数，是有理数，故错误；、正分数、负分数统称分数，故错误；故选：．【点评】本题考查了有理数，利用了有理数的意义．｛实数-新定义★★★｝（2021•随州）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为．【分析】根据“调日法”逐次进行计算求解．【解答】解：，利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：，且，再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数为：．故答案为：．【点评】本题考查简单的推理与证明，根据“调日法”的定义进行计算是解决本题的关键，是基础题，考查了计算能力．（2021•永州）在0，，，，中无理数的个数是1个．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【解答】解：0，，是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；无理数有，共1个．故答案为：1．【点评】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．（通辽·中考真题）实数，，0，，，，，（相邻两个3之间依次多一个，其中无理数的个数是A．4 B．2 C．1 D．3【分析】掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，结合题意判断即可．【解答】解：在实数，，0，，，，，（相邻两个3之间依次多一个中，无理数有：，，（相邻两个3之间依次多一个，共3个，故选：．【点评】此题主要考查了无理数的定义，熟记无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数是解题的关键．考点2：数轴的相关计算（1）三要素：原点、正方向、单位长度（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大｛数轴的几何意义★★｝（泰安·中考真题）如图，四个实数，，，在数轴上对应的点分别为，，，，若，则，，，四个实数中，绝对值最大的一个是A． B． C． D．【分析】根据可以得到、的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决．【解答】解：，和互为相反数，0在线段的中点处，绝对值最大的点表示的数，故选：．【点评】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．｛实数的几何意义★｝如图，数轴上点所表示的数是A． B． C．3.6 D．3.7【分析】利用数轴表示数得到，利用基本作图得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后利用数轴表示数的方法得到点表示的数．【解答】解：，，，，点表示的数是，故选：．【点评】本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系；以及勾股定理的基本计算．也考查了基本作图．｛数轴的计算★｝（2021•福州模拟）若实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则①；②；③；④的结论中，正确的是A．①② B．①④ C．②③ D．③④【分析】①根据在数轴上，右边的点表示的数比左边的大即可判断；②根据异号两数的加法法则判断；③注意到是一个真分数，所以，而，从而作出判断；④先判断与的大小，再开方即可．【解答】解：①根据在数轴上，右边的点表示的数比左边的大可知：，符合题意；②异号两数相加，取绝对值较大数的符号，取的符号正号，所以，不符合题意；③，，，不符合题意；④，，，，符合题意；故选：．【点评】本题考查了实数与数轴，解题的关键是注意到是一个真分数，所以．｛实数的几何意义★｝（成都中考真题）如图，数轴上点表示的实数是．【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出点对应的实数．【解答】解：由图形可得：到的距离为，则数轴上点表示的实数是：．故答案为：．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出到的距离是解题关键．｛数轴的计算★｝（2019•北京）在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数，2，将点向右平移1个单位长度，得到点，若，则的值为A． B． C． D．1【分析】根据可得点表示的数为，据此可得．【解答】解：点在原点的左侧，且，点表示的数为，．故选：．【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．｛数轴的计算★★★｝有一题目：点、、分别表示数、1、5，三点在数轴上同时开始运动，点运动方向是向左，运动速度是；点、的运动方向是向右，运动速度分别、，如图，在运动过程中，甲、乙两位同学提出不同的看法：甲：的值不变；乙：的值不变；下列选项中，正确的是A．甲、乙均正确 B．甲正确、乙错误 C．甲错误、乙正确 D．甲、乙均错误【分析】设运动时间为，用含的代数式表示、、，代入和计算即可得到答案．【解答】解：设运动时间为，点、、分别表示数、1、5，运动后表示的数是，运动后表示的数是，运动后表示的数是，，，，，，的值不变，的值随的增大而增大，甲正确、乙错误，故选：．【点评】本题考查数轴上点表示的数，解题关键是掌握数轴上点移动后表示的数的规律：左减右加．（2021•广州）如图，在数轴上，点、分别表示、，且，若，则点表示的数为A． B．0 C．3 D．【分析】根据相反数的性质，由，得，，，故．进而推断出．【解答】解：，，即与互为相反数．又，．．．，即点表示的数为．故选：．【点评】本题主要考查相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键．（2019•福建）如图，数轴上、两点所表示的数分别是和2，点是线段的中点，则点所表示的数是．【分析】根据、两点所表示的数分别为和2，利用中点公式求出线段的中点所表示的数即可．【解答】解：数轴上，两点所表示的数分别是和2，线段的中点所表示的数．即点所表示的数是．故答案为：【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．考点3：相反数（1）概念：只有符号不同的两个数（2）代数意义：a、b互为相反数a+b=0（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等｛相反数的定义★｝下列两个数互为相反数的是A．和B．和 C．和 D．和【分析】将每组中的两个数进行求和运算，根据结果和互为相反数的意义进行判断即可．【解答】解：因为，所以与是互为相反数，因此选项符合题意；因为，因此和不是互为相反数，因此选项不符合题意；因为，因此选项不符合题意；因为，因此和不是互为相反数，所以选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查互为相反数，掌握互为相反数的意义是正确判断的前提．｛相反数的定义★★｝下列说法正确的是A．符号相反的两个数互为相反数 B．一个数的相反数一定是正数 C．一个数的相反数一定比这个数本身小 D．一个数的相反数的相反数等于原数【分析】利用相反数的意义对每个选项进行辨别，对于错误的选项可以举出反例，选出正确选项．【解答】解：相反数是只有符号不同的两个数，零的相反数仍旧是零．和的符号相反，但3和不是相反数，选项错误；的相反数是，选项错误；的相反数是2，，选项错误；一个数的相反数的相反数是它本身，选项正确；故选：．【点评】本题主要考查了相反数的意义，熟记相反数的定义是解题的关键．｛相反数的代数意义★｝若与互为相反数，则的值为4．【分析】直接利用相反数的性质得出，进而得出答案．【解答】解：与互为相反数，，，．故答案为：4．【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．｛相反数-符号化简★｝下列化简正确的是A． B． C． D．【分析】根据相反数的定义解答即可．【解答】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；、，原计算正确，故此选项符合题意；、，原计算错误，故此选项不符合题意；、，原计算错误，故此选项不符合题意；故选：．【点评】此题主要考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的定义．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．｛相反数的定义★｝若一个数的相反数等于它本身，那么这个数一定是【知识拓展】（倒数等于它本身：；绝对值等于它本身：。）A．0 B．1 C． D．【分析】根据相反数的定义解答．【解答】解：的相反数是0，如果一个数的相反数等于它本身，那么这个数是0．故选：．【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．｛相反数的定义★｝已知与互为相反数，则下列式子：①；②；③；④，其中一定成立的是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：与互为相反数，①，正确；②，正确；③错误；④，原式错误，故选：．【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．｛相反数的代数意义★｝如果和互为相反数，和互为倒数，那么10【分析】直接利用相反数和倒数的定义得出，，进而得出答案．【解答】解：和互为相反数，和互为倒数，，，．故答案为：10．【点评】此题主要考查了相反数和倒数，正确掌握相关定义是解题关键．｛相反数的代数意义★｝若与互为相反数，则的值为．【分析】直接利用相反数的定义进而得出等式，进而得出，的关系．【解答】解：与互为相反数，，则，故．故答案为：．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．（2021•烟台）若的相反数是3，则的值是A． B． C．3 D．【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数．【解答】解：的相反数是3，．故选：．【点评】本题主要考查的是相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．（2021•深圳）的相反数A．2021 B． C． D．【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．【解答】解：，则的相反数是．故选：．【点评】本题考查了相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．考点4：绝对值（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离（2）运算性质：（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0｛绝对值的定义★｝下列说法中错误的个数是①绝对值是它本身的数有两个，是0和1②一个有理数的绝对值必为正数③0.5的倒数的绝对值是2④任何有理数的绝对值都不是负数．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据绝对值的定义，可得答案．【解答】解：①绝对值是它本身的数有非负数，故①说法错误；②0的绝对值等于0，故②说法错误；③0.5的倒数是2，2的绝对值是2，故③说法正确；④任何有理数的绝对值都是非负数，故④说法正确；故选：．【点评】本题考查了绝对值，根据绝对值的定义求解是解题关键，注意选错误的．｛运算性质★★｝若，，，那么的值是A．2或0 B．或0 C．或3 D．或9【分析】根据绝对值、有理数的除法法则、有理数的减法解决此题．【解答】解：，，，．或，．又，．与异号．当时，，此时；当时，，此时．综上：或．故选：．【点评】本题主要考查绝对值、有理数的除法、有理数的减法，熟练掌握绝对值、有理数的除法法则、有理数的减法法则是解决本题的关键．｛运算性质★｝若时，化简A．1 B． C． D．【分析】直接利用绝对值的性质化简求出答案．【解答】解：，．故选：．【点评】此题主要考查了绝对值的性质，正确利用的取值范围化简是解题关键．｛运算性质★★｝若实数、、满足，，则的值为A．6 B．7 C．6或8 D．6或7【分析】根据条件得：，，然后分四种情况分别计算即可．【解答】解：，，，，当，时，，原式；当，时，，原式；当，时，，原式；当，时，，原式；故选：．【点评】本题考查了绝对值的定义，体现了分类讨论的数学思想，分类做到不重不漏是解题的关键．｛运算性质★★｝若，则的值为A．或 B．或0或 C．或0 D．0或【分析】分4种情况分别计算，根据绝对值的性质化简即可得出答案．【解答】解：若，，都是正数，那么原式；若，，中有1个负数，不妨设是负数，那么原式；若，，中有2个负数，不妨设，是负数，那么原式；若，，都是负数，那么原式；故选：．【点评】本题考查了绝对值的性质，体现了分类讨论的数学思想，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0是解题的关键．｛绝对值-非负性★｝若，则A．2 B．7 C．8 D．9【分析】根据非负数的性质列式求出、，然后代入计算即可得解．【解答】解：由题意得，，，解得，，所以，．故选：．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．｛几何意义★★★｝的最小值是6．【分析】根据绝对值的定义解决此题．【解答】解：表示对应的点到对应的点的距离，表示2对应的点到对应的点的距离，表示对应的点到对应的点、2对应的点的距离之和．的最小值是．故答案为：6．【点评】本题主要考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键．｛几何意义★★★｝式子有最小值，其最小值是7．【分析】表示在数轴上表示数的点到表示数3与表示数的距离之和，因此当在3与之间时，这个距离之和最小，最小值为3与之间的距离7．【解答】解：表示在数轴上表示数的点到表示数3与表示数的距离之和，因此当时，这个距离之和最小，最小值就是3与之间的距离，为7，当时，有最小值，最小值是7．故答案为：7．【点评】本题考查了绝对值的非负数性质．解题的关键是明确数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点距离的计算方法是正确计算的前提．｛运算性质★｝下列各式的结论成立的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【分析】根据绝对值的性质逐一判断即可．【解答】解：．若，则或，故原说法错误，选项不符合题意；．若，则，，故原说法错误，选项不符合题意；．若，则，故原说法错误，选项不符合题意；．若，则，正确，选项符合题意；故选：．【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．｛运算性质★｝若，且，，则A．7 B． C．3 D．【分析】由绝对值的定义，得，，再根据，，确定、的具体对应值，最后代入计算的值．【解答】解：，，，，，，，，．故选：．【点评】主要考查了绝对值的运算，先确定绝对值符号中、的取值再去计算结果．注意绝对值等于一个正数的数有两个；两个负数，绝对值大的反而小．｛运算性质★｝已知，，，则或．【分析】首先根据绝对值的性质，求出、的值，然后代值求解即可．【解答】解：，，，；又因为，当，时，；当，时，．故的值为或．故答案为：或．【点评】此题主要考查绝对值的性质：绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．｛绝对值符号化简★★｝已知，则2．【分析】结合绝对值的性质进行化简求解即可．【解答】解：，，，．故答案为：2．【点评】本题考查了绝对值的性质，解答本题的关键在于熟练掌握绝对值的性质．｛运算性质★｝已知，化简5．【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后化简即可．【解答】解：，．故答案为：5．【点评】本题考查了整式的加减、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．｛绝对值-非负性★｝若，则．【分析】根据绝对值的非负性解决此题．【解答】解：，，当时，，．，．．故答案为：．【点评】本题主要考查绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键．｛绝对值-非负性★｝，则．【分析】根据非负数的性质列出二元一次方程组，求解得到、的值，再代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，，由①得，，把代入②得，，解得，．故答案为：．【点评】本题考查了解二元一次方程组，利用非负数的性质．解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法，能够正确利用非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0求出、的值．｛几何意义★★★｝适合的整数的值有A．4个 B．5个 C．7个 D．9个【分析】此方程可理解为到和3的距离的和，由此可得出的值，继而可得出答案．【解答】解：表示到点的距离，表示到3点的距离，由到3点的距离为8，故到3之间的所有点均满足条件，即，又由为整数，故满足条件的有：，，，，，0，1，2，3共9个，故选：．【点评】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，关键是利用数轴进行解答．（2021•阿坝州）的绝对值为A． B．0 C．3 D．【分析】利用绝对值的意义解答即可．【解答】解：，．故选：．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，熟记负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．（2021•大庆）下列说法正确的是A． B．若取最小值，则 C．若，则 D．若，则【分析】根据绝对值的定义以及绝对值的非负性逐一分析四个选项，即可得出结论．【解答】解：、当时，，故此选项错误，不符合题意；、，当时，取最小值，故此选项错误，不符合题意；、，，，，故此选项错误，不符合题意；、，，，，故此选项正确，符合题意．故选：．【点评】本题考查了绝对值，牢记绝对值的定义以及绝对值的非负性是解题的关键．考点5：科学记数法（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）｛科学记数法-表示较小的数★｝用科学记数法表示为A． B． C． D．【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：．故选：．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．｛科学记数法-表示较大的数★｝2021年春节档电影《你好，李焕英》，体现了深厚的母女之情．收获好评的同时也成为了票房黑马．截止3月6日，《你好，李焕英》票房成功突破50亿，成为中国影史上第三部突破50亿票房大关的电影．其中50亿用科学记数法表示为A． B． C． D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．【解答】解：50亿．故选：．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．｛科学记数法-表示较大的数★｝2021年国庆档电影《长津湖》上映16天票房收入超45.6亿元，成为中国影史排名第五名．其中45.6亿元用科学记数法可表示为A．元 B．元 C．元 D．元【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【解答】解：45.6亿元元元．故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．｛科学记数法-表示较大的数★｝今年是中国共产党建党100周年，截至2021年6月5日，中国共产党党员总数为9514.8万名，将9514.8万用科学记数法表示为A． B． C． D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【解答】解：9514.8万．故选：．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．（2021•攀枝花）2021年5月，由中国航天科技集团研制的天问一号探测器的着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区．中国航天器首次奔赴火星，就“毫发未损”地顺利出现在遥远的红色星球上，完成了人类航天史上的一次壮举．火星与地球的最近距离约为5500万千米，该数据用科学记数法可表示为千米．A． B． C． D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．【解答】解：火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为千米，故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．（2021•日照）实验测得，某种新型冠状病毒的直径是120纳米纳米米），120纳米用科学记数法可表示为A．米 B．米 C．米 D．米【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【解答】解：120纳米米米．故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．考点6：近似数（1）定义：一个与实际数值很接近的数.（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.｛近似数-有效数字★｝截止2021年5月16日，全球累计新冠肺炎死亡病例3352109例，将3352109用科学记数法表示，并保留3个有效数字，应记为．【分析】根据科学记数法的表示方法，将“3352109”取近似数，再将其用科学记数法表示即可得到答案．【解答】解：3352109这个数字用科学记数法并保留3个有效数字表示为．故答案为：．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法和有效数字．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值，注意保留的数位．｛近似数★｝按要求填空：（1）753.1968（精确到；（2）753.1968（精确到十分位）；（3）753.1968（精确到百位）；（4）近似数3.60万精确到位；（5）近似数0.0702精确到位；（6）近似数，精确到．【分析】（1）利用四舍五入法求近似值；（2）利用四舍五入法求近似值；（3）利用四舍五入法并结合科学记数法求近似值；（4）先将原数还原，然后再看原数中的末位数字所处的数位；（5）看原数中末位数字所处的数位；（6）原数还原，然后再看原书中的末位数字所处的数位．【解答】解：（1）753.1968（精确到；故答案为：753.197；（2）753.1968（精确到十分位）；故答案为：753.2；（3）753.1968（精确到百位）；故答案为：；（4）近似数3.60万，精确到百位；故答案为：百；（5）近似数0.0702精确到万分位；故答案为：万分；（6）近似数，精确到百位；故答案为：百．【点评】此题考查了科学记数法与有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．｛近似数★｝用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是A．0.1（精确到 B．0.051（精确到千分位） C．0.05（精确到百分位） D．0.0502（精确到【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．【解答】解：．（精确到，所以选项不符合题意；．（精确到千分位），所以选项符合题意；．（精确到百分位），所以选项不符合题意；．（精确到，所以选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．｛近似数★｝据报道，国新办于2021年5月11日上午就第七次人口普查主要数据结果举行发布会，发布会上透露全国人口已达141178万人．用四舍五入法，对141178万取近似值，精确到百万位的结果是A．1412 B．1412000000 C．141200万 D．【分析】先把141178万化为1411780000，用科学记数法表示，最后求近似值．【解答】解：141178万．故选：．【点评】本题主要考查了科学记数法与有效数字，掌握大于100的数取近似值的方法是解题关键．｛近似数★｝用四舍五入法，按括号里的要求取近似值．（1）3.0688（精确到；（2）23489（精确到千位）；（3）（精确到万位）．【分析】（1）利用四舍五入法求近似值；（2）利用四舍五入法求近似值；（3）利用四舍五入法求近似值．【解答】解：（1）3.0688（精确到，故答案为：3.07；（2）23489（精确到千位），故答案为：；（3）（精确到万位），故答案为：．【点评】此题考查了科学记数法与有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．｛近似数★｝用四舍五入法按要求对0.7831取近似值，其中正确的是A．0.783（精确到百分位）B．0.78（精确到 C．0.7（精确到 D．0.7830（精确到【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．【解答】解：．（精确到百分位），所以选项不符合题意；．（精确到，所以选项符合题意；．（精确到，所以选项不符合题意；．（精确到，所以选项不符合题意．故选：．【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．｛近似数★｝下列数据中，是近似数的为A．一年有12个月B．药店每人限购10个口罩 C．每间寝室住3人 D．某校大约有2000名师生【分析】根据各个选项中的说法，可以判断其中的数据是近似数还是准确数．【解答】解：一年有12个月，这里的12是准确数，不是近似数，故选项不符合题意；药店每人限购10个口罩，这里的10是准确数，不是近似数，故选项不符合题意；每间寝室住3人，这里的3是准确数，不是近似数，故选项不符合题意；某校大约有2000名师生，这里的2000是近似数，故选项符合题意；故选：．【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数的含义．｛近似数★｝下列近似数，只有三个有效数字的是A．6.010 B．0.6010 C．0.061 D．0.601【分析】根据有效数字的定义和各个选项中的数据，可以写出相应的有效数字，从而可以解答本题．【解答】解：6.010有4个有效数字，故选项不符合题意；0.6010有4个有效数字，故选项不符合题意；0.061有2个有效数字，故选项不符合题意；0.601有3个有效数字，故选项符合题意；故选：．【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确有效数字的定义，写出数字的有效数字．｛近似数★｝用四舍五入法，0.00356精确到万分位的近似数是A．0.003 B．0.004 C．0.0035 D．0.0036【分析】根据近似数的精确度把十万分位上的数字6进行四舍五入即可．【解答】解：（精确到万分位）．故选：．【点评】本题考查了近似数和有效数字，经过四舍五入得到的数叫近似数．｛近似数★｝用四舍五入法将130541精确到千位，正确的是A． B． C．131000 D．【分析】先利用科学记数法表示，然后把百位上的数字5进行四舍五入即可．【解答】解：130541精确到千位是．故选：．【点评】本题考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字的说法．（2020•济宁）用四舍五入法将数3.14159精确到千分位的结果是A．3.1 B．3.14 C．3.142 D．3.141【分析】把万分位上的数字5进行四舍五入．【解答】解：3.14159精确到千分位的结果是3.142．故选：．【点评】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．考点7：实数的大小比较（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.（3）作差比较法：a－b＞0a＞b；a－b=0a=b；a－b＜0a＜b.（4）平方法：a＞b≥0a2＞b2.｛实数的大小比较-性质法★｝大于而又不大于的整数有A．7个 B．6个 C．5个 D．4个【分析】根据实数的大小关系解决此题．【解答】解：根据实数的大小关系，大于而又不大于的整数有、、0、1、2、3，共6个．故选：．【点评】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小关系是解决本题的关键．｛实数的大小比较-性质法★｝有理数，满足，，，则下列结论正确的是A． B． C． D．【分析】不妨设，，则，，从而得出大小关系．【解答】解：不妨设，，则，，，，故选：．【点评】本题考查了有理数的比较大小，用特殊值来比较大小是解题的关键，本题也可以通过数轴来比较大小．｛实数的大小比较-平方法★｝（2019•陕西）比较大小：．【分析】因为是两个无理数比较大小，所以应把根号外的数整理到根号内再进行比较．【解答】解：，，，．故结果为：．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，此题要比较的两个数都是带根号的无理数时，应把根号外的数整理到根号内，然后比较被开方数的大小．｛实数的大小比较-作差法★｝通过估算，比较大小：．【分析】由，得，故，那么．【解答】解：，，即．，即．．故答案为：．【点评】本题主要考查算术平方根的性质以及不等式的性质，熟练掌握算术平方根的性质以及不等式性质是解题关键．｛实数的大小比较-作差法★｝比较大小：．【分析】根据被开方数大平方根大即可解决问题．【解答】解：，，．故答案为：．【点评】本题考查了实数的大小比较，利用被开方数大的平方根大．｛实数的大小比较-作差法★｝比较实数大小：（填“”或“”．【分析】根据实数比较大小的原则，比较大小即可．【解答】解：，，，，．故答案为：．【点评】本题考查了实数大小的比较，在有无理数时，先估算无理数的范围，再进行大小比较．｛实数的大小比较-作差法★｝比较大小关系1.5（填“”、“”或“”．【分析】先估算出的范围，再求出的范围即可．【解答】解：，，，即，故答案为：．【点评】本题考查了估算无理数的大小和实数的大小比较，能估算出的范围是解此题的关键．（2021•朝阳）在有理数2，，，0中，最小的数是A．2 B． C． D．0【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．依此即可求解．【解答】解：，在有理数2，，，0中，最小的数是．故选：．【点评】本题考查了有理数大小比较，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．（2018•宜昌）如图，一块砖的，，三个面的面积比是．如果，，面分别向下放在地上，地面所受压强为，，，压强的计算公式为，其中是压强，是压力，是受力面积，则，，，的大小关系正确的是A． B． C． D．【分析】直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．【解答】解：，，随的增大而减小，，，三个面的面积比是，，，的大小关系是：．故选：．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确把握反比例函数的性质是解题关键．（2021•临沂）比较大小：5（选填“”、“”、“”．【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．【解答】解：，，而，．故填空答案：．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题．考点8：平方根、算术平方根、立方根平方根、算术平方根：若x2=a（a≥0）,则x=.其中是算术平方根.立方根：若x3=a,则x=.｛平方根★★｝的平方根为A．13 B． C． D．【分析】根据算术平方根、平方根的定义解决此题．【解答】解：，的平方根为．故选：．【点评】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解决本题的关键．｛平方根的性质★★｝若与是同一个正数的平方根，则这个正数为A．1 B．4 C． D．【分析】根据平方根的定义解决此题．【解答】解：由题意得：．当，则，此时，那么这个正数为．这个正数为4．故选：．【点评】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键．｛平方根、算术平方根、立方根★｝下列说法错误的是A．4的算术平方根是2 B．是2的一个平方根 C．的立方根是 D．化简结果是【分析】根据算术平方根、平方根、立方根、有理数的乘方解决此题．【解答】