专题3平行线中的“拐点”模型研究(原卷版+解析)

专题3平行线中的“拐点”模型研究（原卷版）第一部分典例精析+变式训练类型一基本模型：M型，U型，Z型结论探究典例1如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？证明你的结论；（2）当点P移动到图（2）、图（3）的位置时，∠P、∠A、∠C又有怎样的关系？请分别写出你的结论．类型二基本模型简单变式典例2（2021秋•沈阳期末）如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2﹣∠1的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．110°变式训练1．（2022春•南京期中）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上．若∠1＝40°，则∠2的度数为．2．（2021春•福州期中）如图，AB∥DE，∠1＝26°，∠2＝116°，则∠BCD＝°．类型三“M”型套“M”型典例3（2021春•奉化区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠AFC＝120°，∠EAF=13∠EAB，∠ECF=13∠ECD，则∠AEC＝变式训练1．（2021春•海淀区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，则∠AFC与∠类型四“M”型叠“M”型典例4（2019春•老河口市期中）如图，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，则∠A+∠C的度数为．变式训练1．（2022春•鄞州区校级期中）如图，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度数为．

类型五过拐点作平行线——“Z”型图形研究典例5（2020春•硚口区期末）已知AB∥CD（1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°（2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F①若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．②若∠BFC﹣∠BEC＝74°，则∠BEC＝°．变式训练1．（静安区期中）（1）如图α示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC＝∠A+∠C的理由．（2）现在如图b示，仍有AB∥CD，但点E在AB与CD的上方，①请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系．②请说明理由．类型六过拐点作平行线——“U”型图形研究典例6（2022春•沭阳县月考）（1）如图①，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝；如图②，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝，请你说明理由；（2）如图③，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝；（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝130°，求∠BFD的度数．

变式训练1．（2022春•丛台区校级期末）如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直．（1）当∠EDC＝∠DCB＝120°时，求∠CBA；（2）连杆BC、CD可以绕着B、C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA的度数分别为α，β，γ，请画出示意图，并直接写出示意图中α，β，γ之间的数量关系．（1）解：过点C作CP∥DE，延长CB交FG于点H，∵DE∥FG，∴PC∥FG（）．∴∠PCD＝180°﹣∠D＝60°（）．∴∠PCH＝120°﹣∠PCD＝60°．∴∠CHA＝∠PCH＝60°（）．又∵AB⊥FG，∴∠ABH＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABH＝°．2．（2022春•奉贤区期中）已知：AB∥DE．（1）如图1，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A+∠D是多少吗？这一题的解决方法有很多，例如（i）过点C作AB的平行线；（ii）过点C作DE的平行线；（iii）联结AD；（iv）延长AC、DE相交于一点．请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由．（2）如图2，点C1、C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C1+∠C2+∠D＝度，并说明理由．（3）如图3，随着AB与CD之间点增加，那么∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D＝度．（不必说明理由）类型七几种基本图形的组合典例7（2021春•金坛区期末）将一根铁丝AF按如下步骤弯折：第一步，在点B，C处弯折得到图1的形状，其中AB∥CF；第二步，将CF绕点C逆时针旋转一定角度，在点D，E处弯折，得到图2的形状，其中AB∥EF．解答下列问题：（1）如图①，若∠C＝3∠B，求∠B的度数；（2）如图②，求证：∠B+∠C＝∠D+∠E；（3）将另一根铁丝弯折成∠G，如图③摆放，其中∠ABC＝3∠CBG，∠CDE＝3∠CDG．若∠C＝88°，∠E＝130°，直接写出∠G的度数．变式训练1．（2022春•无棣县期末）如图1，已知∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，点E在直线AB，CD之间．（1）求证：AB∥CD；（2）若AH平分∠BAE，FG∥CE．①如图2，若∠AEC＝84°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．

专题提优训练1．（2020•钟山区模拟）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝29°，则∠2的度数为（）A．18° B．16° C．14° D．12°2．（2020•碑林区校级模拟）如图，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝120°，则∠C的度数为（）A．60° B．80° C．75° D．70°3．（2022春•怀集期末）如图，已知直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝．4．（2022春•高青县期末）已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE（1）如图①，当∠A＝58°，∠B＝118°时，求∠C的度数；（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．

5．（2020春•固安县期末）如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC．（1）求∠BAC+∠B+∠C的度数．阅读并补充下面的推理过程解：过点A作ED∥BC．∴∠B＝，∠C＝∠DAC（）又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°∴∠B+∠BAC+∠C＝180°（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数（提示：过点C作CF∥AB）；（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，点B在点A的左侧，∠ABC＝50°，BE、DE分别为∠ABC、∠ADC的角平分线，且交于点E，点E在直线AB与CD之间，求∠BED的度数．6．（2021春•肥东县期末）（1）如图1，已知点A是BC上方的一点，连接AB，AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面的求解过程，解：过点A画ED∥BC．根据“”，可以得到∠B＝，∠C＝∠DAC．而∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数（提示：过点C画CF∥AB）．（3）如图3，AB∥EF，BC⊥DC于点C，设∠B＝x，∠D＝y，∠E＝z，请用一个含x，y，z的等式表示∠B，∠D，∠E三者之间的数量关系．（直接写出结果）

7．（2021春•渝北区期末）已知，AB∥CD．直线MN分别与AB，CD交于点E．F．（1）如图1．∠AEF和∠EFC的角平分线交于点G，∠AEG的角平分线EH与∠CFG的角平分线FH交于点H．①填空：∠G＝°．②求出∠EHF的度数；（2）如图2，∠AEF和∠EFC的角平分线交于点G．点H、K在直线AB、CD之间，且满足∠AEG＝m∠AEH，∠CFG＝m∠CFH，∠BEG＝n∠BEK．∠DFG＝n∠DFK（其中m，n为常数且m＞1，n＞1），请用m，n的代数式直接表示∠EKF与∠EHF的数量关系．8．已知，AB∥CD，点E在两条平行线之间、连接AE、CE，作AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．（1）如图1，求证∠AEC＝2∠AFC；（2）如图2，当∠AEC＝60°时，求∠AFC的度数；（3）如图3，延长CF交AB于点G．当AE∥CG，∠AEC+∠BAF＝180°时，过点G作GH⊥GC交∠GCD的角平分线于点H，在射线GH上取点K、连接CK、已知3∠DCK+34∠K=∠CHG

9．（2021春•沧县期中）引入在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型﹣﹣“猪蹄模型”．如图所示，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，求证：∠AEC＝∠BAE+∠DCE．嘉琪想到了下面的思路，请根据思路继续完成求证：证明：如图，过点E作EF∥AB．思考当点E在如图所示的位置时，其他条件不变，写出∠BAE，∠AEC，∠DCE三者之间的数量关系并说明理由．应用如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠BAE＝132°，∠DCE＝118°，求∠MEC的度数．提升点E、F、G在直线AB与CD之间，连接AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图．若∠EFG＝m°，直接写出∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的总度数．专题3平行线中的“拐点”模型研究（解析版）第一部分典例精析+变式训练类型一基本模型：M型，U型，Z型结论探究典例1如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？证明你的结论；（2）当点P移动到图（2）、图（3）的位置时，∠P、∠A、∠C又有怎样的关系？请分别写出你的结论．思路引领：（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质进行推导，即可得出∠APC＝∠A+∠C；（2）如图2，过点P作PE∥AB，根据平行线的性质进行推导，即可得出∠APC+∠A+∠C＝360°；如图3，过点P作PE∥AB，根据平行线的性质进行推导，即可得出∠APC＝∠C﹣∠A．解：（1）∠APC＝∠A+∠C．证明：如图1，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠A+∠C．（2）如图2，∠APC+∠A+∠C＝360°，理由：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，∴∠APC+∠A+∠C＝360°；如图3，∠APC＝∠C﹣∠A．理由：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠C＝∠CPE，∠A＝∠APE，∴∠APC＝∠CPE﹣∠APE＝∠C﹣∠A．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作辅助线构造内错角．类型二基本模型简单变式典例2（2021秋•沈阳期末）如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2﹣∠1的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．110°思路引领：作BF∥AD，利用平行线的性质分析得出答案．解：如图，作BF∥AD，∵AD∥CE，∴AD∥BF∥EC，∴∠1＝∠3，∠4+∠2＝180°，∠3+∠4＝110°，∴∠1+∠4＝110°，∴∠2﹣∠1＝70°．故选：C．总结提升：此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠1+∠4＝110°，∠2+∠4＝180°是解题关键．变式训练1．（2022春•南京期中）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上．若∠1＝40°，则∠2的度数为．思路引领：因为m∥n，所以∠2+∠BAC+∠ABC+∠1＝180°，根据直角三角形可知∠BAC+∠ABC＝90°，∠1＝40°，进而可以求出∠2．解：∵m∥n，∴∠2+∠BAC+∠ABC+∠1＝180°，∵△ABC为直角三角形，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠1＝40°，∴∠2＝180°﹣90°﹣40°＝50°．故答案为：50°．总结提升：本题考查平行四边形的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的计算．2．（2021春•福州期中）如图，AB∥DE，∠1＝26°，∠2＝116°，则∠BCD＝°．思路引领：由平行公理的推论得CF∥DE，其性质得求得∠4的度数为64°，再根据CF∥AB，得到∠1＝∠3＝26°，最后由角的和差求出∠BCD的度数为90°．解：过点C作CF∥AB，如图所示：∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE，∴∠2+∠4＝180°，又∵∠2＝116°，∴∠4＝180°﹣∠2＝64°，又∵CF∥AB，∴∠1＝∠3，又∵∠1＝26°，∴∠3＝26°，又∵∠BCD＝∠3+∠4，∴∠BCD＝90°，故答案为：90．总结提升：本题综合考查了平行线的性质，角的和差等相关知识点，解题的关键是作辅助线构建平行线．类型三“M”型套“M”型典例3（2021春•奉化区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠AFC＝120°，∠EAF=13∠EAB，∠ECF=13∠ECD，则∠AEC＝思路引领：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，利用平行线的性质可得出∠AEM＝∠EAB，∠CEM＝∠ECD，∠AFN＝∠FAB，∠CFN＝∠FCD，由∠EAF=13∠EAB，∠ECF=13∠ECD可得出∠EAB=34∠FAB，∠ECD=34∠FCD，结合∠AEC＝∠AEM+∠CEM可得出∠AEC解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，如图所示．∵EM∥AB，AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠AEM＝∠EAB，∠CEM＝∠ECD．同理，可得：∠AFN＝∠FAB，∠CFN＝∠FCD．又∵∠EAF=13∠EAB，∠ECF=1∴∠EAB=34∠FAB，∠ECD=3∴∠AEC＝∠AEM+∠CEM＝∠EAB+∠ECD=34（∠FAB+∠FCD）=34（∠AFN+∠CFN）故答案为：90．总结提升：本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．变式训练1．（2021春•海淀区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，则∠AFC与∠思路引领：连接AC，设∠EAF＝x°，∠ECF＝y°，∠EAB＝3x°，∠ECD＝3y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD＝180°，求出∠CAE+∠ACE＝180°﹣（4x°+4y°），求出∠AEC＝4（x°+y°），∠AFC＝3（x°+y°），即可得出答案．解：如图，连接AC，设∠EAF＝x°，∠ECF＝y°，∠EAB＝4x°，∠ECD＝4y°，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°＝180°，∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（3x°+3y°），∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）＝180°﹣[180°﹣（4x°+4y°）]＝4x°+4y°＝4（x°+y°），∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣[180°﹣（3x°+3y°）]＝3x°+3y°＝3（x°+y°），∴∠AFC=34∠故答案为：∠AFC=34∠总结提升：本题考查了平行线性质和三角形内角和定理，熟记平行线的性质及正确作出辅助线是解题关键．类型四“M”型叠“M”型典例4（2019春•老河口市期中）如图，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，则∠A+∠C的度数为．思路引领：延长AE，CG，交于点H，过H作HP∥AB，依据平行线的判定与性质即可得到∠A+∠C的度数．解：如图所示，延长AE，CG，交于点H，过H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴PH∥CD，∴∠A＝∠AHP，∠C＝∠CHP，∴∠A+∠C＝∠AHC，∵∠F＝∠CGF＝30°，∴EF∥CH，∴∠AHC＝∠AEF＝35°，∴∠A+∠C＝35°，故答案为：35°．总结提升：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等，熟记性质是解题的关键．变式训练1．（2022春•鄞州区校级期中）如图，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度数为．思路引领：先延长AE，DG交于点Q，根据∠A+∠D＝∠Q，∠B+∠H+∠C＝360°，以及∠Q＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，可得∠A+∠D＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，即∠F＝∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D），再根据∠AEF+∠DGF＝∠H，可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠F＝∠B+∠C+∠H，据此得出结论．解：如图所示，延长AE，DG交于点Q，由题可得，∠A+∠D＝∠Q，∠B+∠H+∠C＝360°，又∵∠Q＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，∴∠A+∠D＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，即∠F＝∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D），又∵∠AEF+∠DGF＝∠H，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠F＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D）＝∠B+∠C+∠H＝360°，故答案为：360°．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线，依据两直线平行，同旁内角互补进行计算求解．类型五过拐点作平行线——“Z”型图形研究典例5（2020春•硚口区期末）已知AB∥CD（1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°（2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F①若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．②若∠BFC﹣∠BEC＝74°，则∠BEC＝32°．思路引领：（1）过E作EF∥AB，根据平行线的性质可求∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，进而可证明结论；（2）①易求∠ABE＝52°，根据（1）的结论可求解∠DCE＝154°，根据角平分线的定义可得∠DCG＝77°，过点F作FN∥AB，结合平行线的性质利用∠BFC＝∠BFN+∠NFC可求解；②根据平行线的性质即角平分线的定义可求解∠BFC＝∠FCE＝180°﹣∠ECG＝180°﹣（90°−12∠BEC）＝90°+12∠BEC，设∠ABE=12∠FBE＝x，∠ECG＝∠DCG=12∠DCE＝（1）证明：如图1，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴DC∥EF，∴∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，∴∠C+∠B﹣∠BEC＝180°，即：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；（2）解：①∵FB∥CE，∴∠FBE＝∠BEC＝26°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠FBE＝52°，由（1）得：∠DCE＝180°﹣∠ABE+∠BEC＝180°﹣52°+26°＝154°，∵CG平分∠ECD，∴∠DCG＝77°，过点F作FN∥AB，如图2，∵AB∥CD，∴FN∥CD，∴∠BFN＝∠ABF＝26°，∠NFC＝∠DCG＝77°，∴∠BFC＝∠BFN+∠NFC＝103°，②∵BF平分∠ABE，CG平分∠DCE，设∠ABE=12∠FBE＝x，∠ECG＝∠DCG=12∠由（1）可知，∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°，∴2x+2y﹣∠BEC＝180°，由（2）可知，∠BFC＝∠ABF+∠DCG，∴∠BFC＝x+y，∵∠BFC﹣∠BEC＝74°，∴x+y＝74°+∠BEC，∴2（74°+∠BEC）﹣∠BEC＝180°解得∠BEC＝32°．故答案为32°．总结提升：本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．变式训练1．（2019春•静安区期中）（1）如图α示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC＝∠A+∠C的理由．（2）现在如图b示，仍有AB∥CD，但点E在AB与CD的上方，①请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系．②请说明理由．思路引领：（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可；（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可．解：（1）过点E作EF∥AB；∴∠A＝∠AEF（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD（平行的传递性），∴∠FEC＝∠C（两直线平行，内错角相等），∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC（图上可知）∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代换）；（2）∠1+∠2﹣∠E＝180°，说理如下：过点E作EF∥AB∴∠AEF+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD（平行的传递性），∴∠FEC＝∠2（两直线平行，内错角相等），即∠CEA+∠AEF＝∠2∴∠AEF＝∠2﹣∠CEA（等式性质）∴∠2﹣∠CEA+∠1＝180°（等量代换），即∠1+∠2﹣∠AEC＝180°总结提升：本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．类型六过拐点作平行线——“U”型图形研究典例6（2022春•沭阳县月考）（1）如图①，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝；如图②，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝，请你说明理由；（2）如图③，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝；（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝130°，求∠BFD的度数．思路引领：（1）①根据两直线平行，同旁内角互补即可得∠A1+∠A2；如图②过A2作PA2∥MA1，根据两直线平行，同旁内角互补即可得答案；（2）如图③，过A2作PA2∥MA1，过A3作QA3∥MA1，根据两直线平行，同旁内角互补即可得答案；（3）根据平行线的性质、角平分线的定义及四边形内角和求解即可．解：（1）如图①，根据MA1∥NA2，可得∠A1+∠A2＝180°，故答案为：180°；如图②，过A2作PA2∥MA1，∵MA1∥NA3，∴PA2∥MA1∥NA3，∴∠A1+∠A1A2P＝180°，∠A3+∠A3A2P＝180°，∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3＝360°，故答案为：360°；（2）如图③，过A2作PA2∥MA1，过A3作QA3∥MA1，∵MA1∥NA3，∴QA3∥PA2∥MA1∥NA3，∴∠A1+∠A1A2P＝180°，∠QA3A2+∠A3A2P＝180°，∠A4+∠A4A3Q＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°；故答案为：540°；（3）如图④，∵AB∥CD，∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝130°，∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠E＝230°，∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，∴∠EBF=12∠ABE，∠EDF=1∵∠BFD+∠EBF+∠EDF+∠E＝360°，∴∠BFD＝360°﹣∠E﹣∠EBF﹣∠EDF＝360°﹣130°﹣（∠EBF+∠EDF）=12（∠ABE+∠CDE）＝360°﹣130°总结提升：此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．变式训练1．（2022春•丛台区校级期末）如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直．（1）当∠EDC＝∠DCB＝120°时，求∠CBA；（2）连杆BC、CD可以绕着B、C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA的度数分别为α，β，γ，请画出示意图，并直接写出示意图中α，β，γ之间的数量关系．（1）解：过点C作CP∥DE，延长CB交FG于点H，∵DE∥FG，∴PC∥FG（）．∴∠PCD＝180°﹣∠D＝60°（）．∴∠PCH＝120°﹣∠PCD＝60°．∴∠CHA＝∠PCH＝60°（）．又∵AB⊥FG，∴∠ABH＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABH＝°．思路引领：（1）过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，依据平行线的性质，即可得到∠CHA＝∠PCH＝60°，依据三角形外角性质，即可得到∠CBA的度数；（2）分六种情况讨论，分别过C作CM∥DE，过B作BN∥FG，依据平行线的性质，即可得到α，β，γ之间的数量关系．解：（1）如图，过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，∵DE∥FG，∴PC∥FG（平行于同一直线的两直线平行），∴∠PCD＝180°﹣∠D＝60°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠PCH＝120°﹣∠PCD＝60°，∴∠CHA＝∠PCH＝60°（两直线平行，内错角相等），又∵AB⊥FG，∴∠ABH＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABH＝150°．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；150；（2）分六种情况：①如图所示，过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，∵DE∥FG，∴PC∥FG，∴∠D+∠PCD＝180°，∠FHC+∠PCH＝180°，∴∠D+∠DCH+∠FHC＝360°，又∵∠CBA是△ABH的外角，AB⊥FG，∴∠AHB＝∠ABC﹣90°，∴∠FHC＝180°﹣（∠ABC﹣90°）＝270°﹣∠ABC，∴∠D+∠DCH+270°﹣∠ABC＝360°，即∠D+∠DCB﹣∠ABC＝90°．即α+β﹣γ＝90°．②如图所示，过C作CM∥DE，过B作BN∥FG，则∠D＝∠DCM，∠ABN＝90°，∵DE∥FG，∴CM∥BN，∴∠BCM+∠CBN＝180°，即∠BCD﹣∠DCM+∠ABC﹣∠ABN＝180°，∴β﹣α+γ﹣90°＝180°，即β﹣α+γ＝270°；③如图所示，过C作CM∥DE，过B作BN∥FG，易得∠D＝∠DCM，∠ABN＝90°，CM∥BN，∴∠BCM＝∠CBN，即∠BCD﹣∠DCM＝∠ABC﹣∠ABN，∴β﹣α＝γ﹣90°，∴α﹣β+γ＝90°；④如图所示，过C作CM∥DE，过B作BN∥FG，易得∠D+∠DCM＝180°，∠ABN+∠BAF＝180°，∠BCM+∠CBN＝180°，∴∠D+∠BCD+∠ABC+∠FAB＝540°，即α+β+γ+90°＝540°，∴α+β+γ＝450°．⑤如图，同法可得β+γ﹣α＝90°．⑥如图，同法可得α﹣β+γ＝270°．综上，α+β﹣γ＝90°或β﹣α+γ＝270°或α﹣β+γ＝90°或α+β+γ＝450°或β+γ﹣α＝90°或α﹣β+γ＝270°．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．2．（2022春•奉贤区期中）已知：AB∥DE．（1）如图1，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A+∠D是多少吗？这一题的解决方法有很多，例如（i）过点C作AB的平行线；（ii）过点C作DE的平行线；（iii）联结AD；（iv）延长AC、DE相交于一点．请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由．（2）如图2，点C1、C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C1+∠C2+∠D＝度，并说明理由．（3）如图3，随着AB与CD之间点增加，那么∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D＝度．（不必说明理由）思路引领：（1）过点C作AB的平行线CF，利用平行线的性质，即可得到∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°，再根据AC⊥CD，即可得出∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；（2）过C1作C1F∥AB，过C2作C2G∥DE，则利用平行线的性质，即可得到∠A+∠C1+∠C2+∠D的度数；（2）利用规律即可得到∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D的度数．解：（1）如图1，过点C作AB的平行线CF，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠A+∠ACF＝180°，∠DCF+∠D＝180°，∴∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°，又∵AC⊥CD，∴∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；（2）如图2，过C1作C1F∥AB，过C2作C2G∥DE，则∵AB∥DE，∴C1F∥AB∥C2G∥DE，∴∠A+∠AC1F＝180°，∠FC1C2+∠C1C2G＝180°，∠GC2D+∠D＝180°，∴∠A+∠AC1C2+∠C1C2D+∠D＝180°×3＝540°，故答案为：540；（3）如图3，∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D＝180°×（n+2），故答案为：180（n+2）．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．类型七几种基本图形的组合典例7（2021春•金坛区期末）将一根铁丝AF按如下步骤弯折：第一步，在点B，C处弯折得到图1的形状，其中AB∥CF；第二步，将CF绕点C逆时针旋转一定角度，在点D，E处弯折，得到图2的形状，其中AB∥EF．解答下列问题：（1）如图①，若∠C＝3∠B，求∠B的度数；（2）如图②，求证：∠B+∠C＝∠D+∠E；（3）将另一根铁丝弯折成∠G，如图③摆放，其中∠ABC＝3∠CBG，∠CDE＝3∠CDG．若∠C＝88°，∠E＝130°，直接写出∠G的度数．思路引领：（1）根据AB∥CF，得∠B+∠C＝180°，则4∠B＝180°即可求出答案；（2）分别过点D，C作DN∥AB，CM∥AB，根据平行线的性质可证得结论；（3）由（2）知：∠ABC+∠C＝∠E+∠CDE，则∠ABC﹣∠CDE＝130°﹣88°＝42°，从而∠CBG﹣∠CDG＝14°，从而求出答案．解：（1）∵AB∥CF，∴∠B+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠C＝3∠B，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，（2）证明：分别过点D，C作DN∥AB，CM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥DN∥CM∥EF（同平行于一条直线的两直线平行），∵AB∥CM，∴∠B+∠BCM＝180°（两直线平行，同旁内角互补），同理，∠E+∠NDE＝180°，∵DN∥CM，∴∠NDC＝∠MCD（两直线平行，内错角相等），∴∠B+∠BCD＝∠E+∠CDE．（3）由（2）知：∠ABC+∠C＝∠E+∠CDE，∴∠ABC+88°＝130°+∠CDE，∴∠ABC﹣∠CDE＝130°﹣88°＝42°，∴3∠CBG﹣3∠CDG＝42°，∴∠CBG﹣∠CDG＝14°，又∵∠CBG+∠C＝∠CDG+∠G，∴∠CBG﹣∠CDG＝∠G﹣∠C＝14°，∴∠G＝∠C+14°＝102°．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，旋转的性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解题的关键，属于中考常考题型．变式训练1．（2022春•无棣县期末）如图1，已知∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，点E在直线AB，CD之间．（1）求证：AB∥CD；（2）若AH平分∠BAE，FG∥CE．①如图2，若∠AEC＝84°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．思路引领：（1）过E作EN∥AB，可得∠BAE＝∠AEN，∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，证得∠ECD＝∠CEN，故EF∥CD∥AB；（2）①HF平分∠DFG，设∠GFH＝∠DFH＝x，根据平行线的性质可以得到∠AHF的度数；②设∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到∠AHF与∠AEC的数量关系．解：（1）如图1，过点E作直线EN∥AB，∴∠BAE＝∠AEN，∵∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，∴∠BAE+∠ECD＝∠AEC，∵∠AEN+∠CEN＝∠AEC，∴∠ECD＝∠CEN，∴EN∥CD，∴CD∥AB；（2）∵AH平分∠BAE，∴∠BAH＝∠EAH，①∵HF平分∠DFG，设∠GFH＝∠DFH＝x，又CE∥FG，∴∠ECD＝∠GFD＝2x，又∠AEC＝∠BAE+∠ECD，∠AEC＝84°，∴∠BAH＝∠EAH＝42°﹣x，如图2，过点H作HM∥AB，∴∠BAH＝∠AHM，∵HM∥AB，∴HM∥CD，∴∠DFH＝∠MHF，∴∠AHF＝∠BAH+∠DFH＝42°﹣x+x＝42°；②设∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y，∵HF平分∠CFG，∴∠GFH＝∠CFH＝90°﹣x，由（1）知∠AEC＝∠BAE+∠ECD＝2x+2y，如图3，过点H作HK∥AB，∴∠BAH＝∠AHK，∵HK∥AB，∴HK∥CD，∴∠KHF+∠CFH＝180°，∴∠AHF﹣y+∠CFH＝180°，即∠AHF﹣y+90°﹣x＝180°，∠AHF＝90°+（x+y），∴∠AHF＝90°+12∠总结提升：此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质作出辅助线是解本题的关键．专题提优训练1．（2020•钟山区模拟）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝29°，则∠2的度数为（）A．18° B．16° C．14° D．12°思路引领：由平行线的性质得得∠1＝∠3，∠2＝∠4，再由等腰直角三角形的性质得∠3+∠4＝45°，则∠1+∠2＝45°，即可得出答案．解：由平行线的性质得：∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠3+∠4＝45°，∴∠1+∠2＝45°，∴∠2＝45°﹣∠1＝45°﹣29°＝16°．故选：B．总结提升：本题考查了等腰直角三角形以及平行线的性质，利用“两直线平行，同位角相等”证出∠1＝∠3，∠2＝∠4是解题的关键．2．（2020•碑林区校级模拟）如图，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝120°，则∠C的度数为（）A．60° B．80° C．75° D．70°思路引领：根据平行线的性质得出∠A+∠AFD＝180°，求出∠CFE＝∠AFD＝60°，根据三角形内角和定理求出即可．解：∵AB∥CD，∴∠A+∠AFD＝180°，∵∠A＝120°，∴∠AFD＝60°，∴∠CFE＝∠AFD＝60°，∵∠E＝40°，∴∠C＝180°﹣∠E﹣∠CFE＝180°﹣40°﹣60°＝80°，故选：B．总结提升：本题考查了平行线的性质的应用，能根据平行线的性质求出∠AFD是解此题的关键．3．（2022春•怀集县期末）如图，已知直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝．思路引领：过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后计算出∠1+∠2＝30°，结合∠1比∠2大4°，即可得解．解：如图，过点A作l1的平行线AC，过点B作l2的平行线BD，则∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°，∵∠1＝∠2+4°，∴∠1＝17°，故答案为：17°．总结提升：本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记性质并作辅助线是解题的关键．4．（2022春•高青县期末）已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE（1）如图①，当∠A＝58°，∠B＝118°时，求∠C的度数；（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．思路引领：（1）过点C作CF∥AD，则CF∥BE，根据平行线的性质可得出∠ACF＝∠A、∠BCF＝180°﹣∠B，将其代入∠ACB＝∠ACF+∠BCF即可求出∠ACB的度数；（2）过点Q作QM∥AD，则QM∥BE，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出∠AQB=12（∠CBE﹣∠CAD），结合（1）的结论可得出2∠AQB+∠（3）由（2）的结论可得出∠CAD=12∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE＝180°②，联立①②可求出∠CAD、∠CBE的度数，再结合（1）的结论可得出∠ACB的度数，将其代入∠DAC：∠ACB：∠解：（1）在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．∵CF∥AD∥BE，∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180°﹣∠B，∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝180°﹣（∠B﹣∠A）＝120°．（2）在图②中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．∵QM∥AD，QM∥BE，∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ．∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，∴∠NAD=12∠CAD，∠EBQ=1∴∠AQB＝∠BQM﹣∠AQM=12（∠CBE﹣∠∵∠C＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝180°﹣2∠AQB，∴2∠AQB+∠C＝180°．（3）∵AC∥QB，∴∠AQB＝∠CAP=12∠CAD，∠ACP＝∠PBQ=1∴∠ACB＝180°﹣∠ACP＝180°−12∠∵2∠AQB+∠ACB＝180°，∴∠CAD=12∠又∵QP⊥PB，∴∠CAP+∠ACP＝90°，即∠CAD+∠CBE＝180°，∴∠CAD＝60°，∠CBE＝120°，∴∠ACB＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝120°，∴∠DAC：∠ACB：∠CBE＝60°：120°：120°＝1：2：2．总结提升：本题考查了平行线的性质、邻补角、角平分线以及垂线，解题的关键是：（1）根据平行线的性质结合角的计算找出∠ACB＝180°﹣（∠B﹣∠A）；（2）根据平行线的性质、角平分线的定义找出∠AQB=12（∠CBE﹣∠CAD）；（3）由AC∥QB、QP⊥PB结合（1）（2）的结论分别求出∠DAC、∠ACB、∠5．（2020春•固安县期末）如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC．（1）求∠BAC+∠B+∠C的度数．阅读并补充下面的推理过程解：过点A作ED∥BC．∴∠B＝，∠C＝∠DAC（）又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°∴∠B+∠BAC+∠C＝180°（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数（提示：过点C作CF∥AB）；（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，点B在点A的左侧，∠ABC＝50°，BE、DE分别为∠ABC、∠ADC的角平分线，且交于点E，点E在直线AB与CD之间，求∠BED的度数．思路引领：（1）根据平行线的判定与性质即可补充推理过程；（2）如图2，过点C作CF∥AB，由AB∥ED，可得CF∥AB∥ED，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠B+∠BCD+∠D的度数；（3）结合（1）和（2）的方法，再根据BE、DE分别为∠ABC、∠ADC的角平分线和平行线的性质即可求出∠BED的度数．解：（1）过点A作ED∥BC．∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC（两直线平行，内错角相等），又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．故答案为：∠EAB，两直线平行，内错角相等；（2）如图2，过点C作CF∥AB，∴∠B+∠BCF＝180°，∵AB∥ED，∴CF∥ED，∴∠D+∠DCF＝180°∴∠B+∠BCD+∠D＝∠B+∠BCF+∠D+∠DCF＝360°，∴∠B+∠BCD+∠D的度数为360°；（3）如图3，过点E作EF∥AB，∴∠BEF＝∠ABE，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠DEF＝∠CDE，∵BE、DE分别为∠ABC、∠ADC的角平分线，∠ABE=12∠ABC∠CDE=12∠ADC∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠ABE+∠CDE＝60°，∴∠BED的度数为60°．总结提升：本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．6．（2021春•肥东县期末）（1）如图1，已知点A是BC上方的一点，连接AB，AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面的求解过程，解：过点A画ED∥BC．根据“”，可以得到∠B＝∠，∠C＝∠DAC．而∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数（提示：过点C画CF∥AB）．（3）如图3，AB∥EF，BC⊥DC于点C，设∠B＝x，∠D＝y，∠E＝z，请用一个含x，y，z的等式表示∠B，∠D，∠E三者之间的数量关系．（直接写出结果）思路引领：利用平行线的性质，两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补．解：（1）故答案为：两直线平行，内错角相等，∠BAE，（2）过点C画CF∥AB，∠B+∠BCD+∠D＝∠B+∠BCF+∠DCF+∠D，两直线平行，同旁内角互补，∠B+∠BCF+∠DCF+∠D＝180°+180°＝360°，∠B+∠BCD+∠D＝360°，（3）过点C画CG∥AB，过点D画DH∥AB，如图∠BCG＝∠B＝x，∠CDH＝∠DCG＝90°﹣x，∠E＝∠EDH＝y﹣（90°﹣x）＝x+y﹣90°，x+y﹣∠E＝90°，即∠B+∠D﹣∠E＝90°．总结提升：本题主要考查平行线的性质，解题关键是辅助线的作法．7．（2021春•渝北区期末）已知，AB∥CD．直线MN分别与AB，CD交于点E．F．（1）如图1．∠AEF和∠EFC的角平分线交于点G，∠AEG的角平分线EH与∠CFG的角平分线FH交于点H．①填空：∠G＝°．②求出∠EHF的度数；（2）如图2，∠AEF和∠EFC的角平分线交于点G．点H、K在直线AB、CD之间，且满足∠AEG＝m∠AEH，∠CFG＝m∠CFH，∠BEG＝n∠BEK．∠DFG＝n∠DFK（其中m，n为常数且m＞1，n＞1），请用m，n的代数式直接表示∠EKF与∠EHF的数量关系．思路引领：（1）①如图1，分别过点H、G作MN∥AB、OP∥AB．由AB∥OP，得∠AEG＝∠EGP．由AB∥CD，得OP∥CD，故∠PGF＝∠CFG．由EG平分∠AEF，GF平分∠AFE，得∠AEG=12∠AEF，∠CFG=1②与（1）同理．（2）由题得∠AEG+∠BEG＝m∠AEH+n∠BEK＝180°，∠CFG+∠DFG＝m∠CFH+n∠DFK＝180°，得m∠AEH+n∠BEK+m∠CFH+n∠DFK＝360°，进而推断出m∠EHF+n∠EKF＝360°．解：（1）如图1，分别过点H、G作MN∥AB、OP∥AB．①∵AB∥OP，∴∠AEG＝∠EGP．又∵AB∥CD，∴OP∥CD．∴∠PGF＝∠CFG．∴∠EGF＝∠EGP+∠FGP＝∠AEG+∠CFG．∵EG平分∠AEF，GF平分∠AFE，∴∠AEG=12∠AEF，∠∴∠AEG+∠CFG=1∴∠EGF=1又∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°．∴∠EGF=1故答案为：90．②：与①同理可证：∠EHF＝∠AEH+∠CFH．由①得：∠AEG=12∠AEF，∠CFG=12∵EH平分∠AEG，FH平分∠CFG，∴∠AEH=12∠AEG，∠∴∠AEH+∠AFH=1=1=1=1=1＝45°．∴∠EHF＝45°．（2）由（1）得：∠EHF＝∠AEH+∠C