专项08二次函数的图像与性质(原卷版+解析)

专项08二次函数的图像与性质考点1根据函数解析式判断函数性质函数二次函数（a、b、c为常数，a≠0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值，考点2根据函数解析式判断函数图像a的正负决定开口方向a＞0开口向上a＜0开口向下a，b共同决定对称轴位置b=0对称轴为y轴a,b同号对称轴在y左侧a,b异号对称轴在y轴右侧c决定与y轴交点位置C=0抛物线过原点c＞0抛物线与y轴交于正半轴c＜0抛物线与y轴交于负半轴b²-4ac决定与x轴交点个数b²-4ac=0与x轴有唯一交点b²-4ac＞0与x轴有两个交点b²-4ac＜0与x轴没有交点一、选择题1．（2022春•九龙坡区校级期末）已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A． B． C． D．2．（2022•郴州）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（）A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5） C．该函数有最大值，最大值是5 D．当x＞1时，y随x的增大而增大3．（2022•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．②③4．（2022•梧州模拟）在函数①y＝4x2，②，③中，图象开口大小顺序用序号表示应为（）A．①＞②＞③ B．①＞③＞② C．②＞③＞① D．②＞①＞③5．（2022•老河口市模拟）如图，二次函数y＝αx2+bx+c的图象经过点（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，下列结论错误的是（）A．αbc＞0 B．b2﹣4αc＞0 C．2α﹣b＝0 D．3α+2c＜06．（2022•鹿城区校级二模）已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，则m的值为（）A．± B．﹣或 C．﹣或 D．或27．（2022•武进区一模）二次函数y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）8．（2022•岚山区一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1．则下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③3a+c＝0；④若（﹣，y1）（，y2）是图象上的两点，则y1＞y2；⑤若y≤c，则﹣2≤x≤0．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．59．（2022•长清区二模）二次函数y＝ax2﹣6ax﹣5（a≠0），当5≤x≤6时，对应的y的整数值有4个，则a的取值范围是（）A． B． C．或 D．或10．（2022•滦南县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下面结论：①（b+c）2＞a2；②4a+2b+c＞0；③a+b≥m（am+b）；④若此抛物线经过点C（t，n），则2﹣t一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．（2022•吴中区模拟）抛物线y＝2（x+3）（x﹣1）的对称轴是（）A．x＝﹣3 B．x＝1 C．x＝3 D．x＝﹣112．（2022•乐陵市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示，则方程ax2+bx+1.37＝0的根是（）x…04…y…0.37﹣10.37…A．0或4 B．或4﹣ C．1或5 D．无实根13．（2022•泰山区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣4，0），其对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③3b+2c＞0；④a﹣b≥am2+bm．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．（2022•石景山区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x…﹣1013…y…0﹣1.5﹣20…根据表格中的信息，得到了如下的结论：①二次函数y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）2﹣2的形式②二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的两个根为0或2④若y＞0，则x＞3其中所有正确的结论为（）A．①④ B．②③ C．②④ D．①③15．（2022•晋中一模）板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集上肢动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动．如图，是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，板球在点A处击出，落地前的点B处被对方接住，已知板球经过的路线是抛物线，其表达式为y＝﹣x2+x+1，则板球运行中离地面的最大高度为（）A．1 B． C． D．416．（2022•拱墅区模拟）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m﹣6，n），B（m+2，n），则n的值为（）A．﹣32 B．﹣18 C．﹣16 D．﹣1217．（2022•石家庄模拟）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…下列各选项中，正确的是（）A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点 C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 D．这个函数的最小值小于﹣618．（2022•舟山一模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），B（2，1），若抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．﹣＜a≤﹣或a≥1 B．a≥﹣或a＜﹣ C．≤a≤1且a≠0 D．a≤﹣或a≥119．（2022•罗湖区校级一模）如图，将抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形C1，当直线y＝x+b（b＜1）与图形C1恰有两个公共点时，则b的取值范围是（）A．﹣3＜b＜1 B．﹣3≤b＜1 C．﹣1≤b＜1 D．﹣1＜b＜120．（2021•仁怀市模拟）已知二次函数y＝﹣x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线y＝x+m与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（）A． B． C．﹣6≤m≤﹣2 D．﹣7≤m≤﹣321．（2022•历下区一模）已知抛物线P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是（）A． B． C． D．22．（2021秋•房县期末）二次函数y＝﹣x2+2x+1与坐标轴交点情况是（）A．一个交点 B．两个交点 C．三个交点 D．无交点23．（2022•定远县校级开学）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝﹣ax﹣b的图象可能是（）A． B． C． D．24．（2022春•福州期末）若A（﹣6，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝2x2﹣1图象上的三点，则y3，y2，y1的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y325．（2022•兴宁区校级模拟）二次函数的图象（1≤x≤3）如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是（）A．y≥1 B．1≤y≤3 C． D．0≤y≤326．（2021秋•晋江市校级期末）对于函数y＝﹣3（x﹣5）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下 B．x＞5时，y随x增大而增大 C．最大值为0 D．与y轴交点在x轴下方27．（2021秋•峄城区期末）抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标是（）A．（0，2） B．（﹣2，0） C．（﹣2，0）、（1，0） D．（0，﹣2）28．（2021秋•澧县期末）已知二次函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m B．m C．m且m≠1 D．m且m≠129．（2021秋•樊城区期末）对称轴为y轴的二次函数是（）A．y＝（x+1）2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝2x2+1 D．y＝﹣（x﹣1）230．（2022•襄城区模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③3a+c＝0；④b＝2a．其中正确的是（）A．④ B．③ C．② D．①31．（2022•永昌县一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②3a+c＝0；③4a﹣2b+c＜0；④a+b＞m（am+b）其中m是不等于1的实数．则其中结论正确的个数是多少个（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共5小题）32．（2022•泌阳县四模）请写出一个过点（0，1）且开口向上的二次函数解析式．33．（2022春•长春月考）如图，“心”形是由抛物线y＝﹣x2+6和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则AB＝．34．（2022春•崇川区校级月考）抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程x2﹣bx﹣3﹣t＝0（t为实数）在﹣3＜x＜2的范围内有实数根，则t的取值范围是．35．（2021秋•淮安区期末）若函数y＝x2﹣x+m的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是．36．（2021秋•兴山县期末）抛物线y＝ax2+bx+3与x轴的公共点是（﹣1，0），（﹣3，0），该抛物线的对称轴是直线．专项08二次函数的图像与性质考点1根据函数解析式判断函数性质函数二次函数（a、b、c为常数，a≠0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值，考点2根据函数解析式判断函数图像a的正负决定开口方向a＞0开口向上a＜0开口向下a，b共同决定对称轴位置b=0对称轴为y轴a,b同号对称轴在y左侧a,b异号对称轴在y轴右侧c决定与y轴交点位置C=0抛物线过原点c＞0抛物线与y轴交于正半轴c＜0抛物线与y轴交于负半轴b²-4ac决定与x轴交点个数b²-4ac=0与x轴有唯一交点b²-4ac＞0与x轴有两个交点b²-4ac＜0与x轴没有交点一、选择题1．（2022春•九龙坡区校级期末）已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：当a＞0时，y＝ax的函数图像经过原点和一，三象限，y＝﹣ax2+a的图像开口向下，与y轴交于正半轴．当a＜0时，y＝ax函数图像经过原点和二，四象限，y＝﹣ax2+a的图像开口向上，与y轴交于负半轴．故选：C．2．（2022•郴州）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（）A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5） C．该函数有最大值，最大值是5 D．当x＞1时，y随x的增大而增大【答案】D【解答】解：y＝（x﹣1）2+5中，x2的系数为1，1＞0，函数图象开口向上，A错误；函数图象的顶点坐标是（1，5），B错误；函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；函数图象的对称轴为x＝1，x＜1时y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，D正确．故选：D．3．（2022•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．②③【答案】D【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①不符合题意．②由题意可知：＝﹣，∴b＝a，故②符合题意．③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，∴4a﹣2b+c＝0，∵a＝b，∴2a+c＝0，故③符合题意．④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，令y＝1代入y＝ax2+bx+c，∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．故选：D．4．（2022•梧州模拟）在函数①y＝4x2，②，③中，图象开口大小顺序用序号表示应为（）A．①＞②＞③ B．①＞③＞② C．②＞③＞① D．②＞①＞③【答案】C【解答】解：∵|4|＝4，||＝，|﹣|＝，∴＜＜4，∵|a|越小，开口越大，∴②＞③＞①，故选：C．5．（2022•老河口市模拟）如图，二次函数y＝αx2+bx+c的图象经过点（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，下列结论错误的是（）A．αbc＞0 B．b2﹣4αc＞0 C．2α﹣b＝0 D．3α+2c＜0【答案】D【解答】解：∵二次函数开口向下，∴a＜0，∵图象交于y轴正半轴，∴c＞0，∵对称轴x＝＝﹣1，∴b＜0，∴abc＞0，故A选项正确，不符合题意；∵二次函数与x轴有两个不同的交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故B选项正确，不符合题意；∵对称轴x＝＝﹣1，∴﹣b＝﹣2a，∴2a﹣b＝0，故C选项正确，不符合题意；∵2a﹣b＝0，∴b＝2a，∵当x＝1时，y＝a+b+c＝0，即a+2a+c＝0，∴3a+c＝0，∵c＞0，∴3a+2c＞0，故D选项错误，符合题意；故选：D．6．（2022•鹿城区校级二模）已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，则m的值为（）A．± B．﹣或 C．﹣或 D．或2【答案】B【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣4mx，∴对称轴为x＝＝＝2，①当m＞0时，∵二次函数开口向上，∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得：m＝，②当m＜0时，∵二次函数开口向下，∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得：m＝﹣，综上，m的值为或﹣，故选：B．7．（2022•武进区一模）二次函数y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）【答案】B【解答】解：∵二次函数为y＝2（x+1）2+3，∴顶点坐标为：（﹣1，3），故选：B．8．（2022•岚山区一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1．则下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③3a+c＝0；④若（﹣，y1）（，y2）是图象上的两点，则y1＞y2；⑤若y≤c，则﹣2≤x≤0．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∵抛物线的对称轴在x轴的负半轴，∴a，b同号，∴b＞0，∴abc＜0，①错误；设抛物线与x轴的另一个交点为（x，0），由题意得，对称轴x＝＝﹣1，解得x＝1，∴当x＝1时，y＝a+b+c＝0，当x＝2时，y＝4a+2b+c，根据抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大可知，y＞0，即4a+2b+c＞0，②正确；∵对称轴x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，把b＝2a代入a+b+c＝0得3a+c＝0，③正确；设抛物线上与点（﹣，y1）的对称点为（x1，y1），由题意得（﹣+x1）＝﹣1，解得x1＝﹣，∵﹣＜，根据抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大可得，y1＜y2，④错误．由题图可知，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），设抛物线上与（0，c）对称的点的坐标为（x2，c），由题意得（0+x2）＝﹣1，解得x2＝﹣2，由题图可以看出，当y≤c时，﹣2≤x≤0，⑤正确．共有3个选项正确．故选：B．9．（2022•长清区二模）二次函数y＝ax2﹣6ax﹣5（a≠0），当5≤x≤6时，对应的y的整数值有4个，则a的取值范围是（）A． B． C．或 D．或【答案】D【解答】解：原函数化为：y＝a（x﹣3）2﹣9a﹣5，当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x＝3，∴当5≤x≤6时，y随x的增大而增大，∴﹣5a﹣5≤y≤﹣5，∵y的整数值只有4个，∴﹣9＜﹣5a﹣5≤﹣8，∴≤a＜，当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝3，∴当5≤x≤6时，y随x的增大而减小，∴﹣5≤y≤﹣5a﹣5，∵y的整数值只有4个，∴﹣2≤﹣5a﹣5＜﹣1，∴﹣＜a≤﹣．综上：﹣＜a≤﹣或≤a＜，故选：D．10．（2022•滦南县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下面结论：①（b+c）2＞a2；②4a+2b+c＞0；③a+b≥m（am+b）；④若此抛物线经过点C（t，n），则2﹣t一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴＝1，即b＝﹣2a，∴b＞0．①∵（b+c）2﹣a2＝（b+c+a）（b+c﹣a），当x＝1时，y＝a+b+c＞0．∵a＜0，∴﹣a＞0，∵b＞0，c＞0，∴b+c﹣a＞0，∴（b+c+a）（b+c﹣a）＞0，即（b+c）2＞a2，故①正确；②由二次函数图象的对称性可知，当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故②正确；③由图象可知，当x＝1时，二次函数取得最大值，即最大值为a+b+c．∴当x＝m时，y＝am2+bm+c＝m（am+b）+c≤a+b+c，即a+b≥m（am+b）．故③正确；④由二次函数图象的对称性可知，图象上的点C（t，n）关于对称轴x＝1对称的点的坐标为（2﹣t，n），且点（2﹣t，n）在二次函数图象上，∴x＝2﹣t是方程ax2+bx+c＝n的一个根．故④正确．故选：D．11．（2022•吴中区模拟）抛物线y＝2（x+3）（x﹣1）的对称轴是（）A．x＝﹣3 B．x＝1 C．x＝3 D．x＝﹣1【答案】D【解答】解：∵y＝2（x+3）（x﹣1）与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），∴对称轴为x＝＝＝﹣1，故选：D．12．（2022•乐陵市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示，则方程ax2+bx+1.37＝0的根是（）x…04…y…0.37﹣10.37…A．0或4 B．或4﹣ C．1或5 D．无实根【答案】B【解答】解：将（0，0.37）代入y＝ax2+bx+c得c＝0.37，∵抛物线经过（0，0.37），（4，0.37），∴抛物线对称轴为直线x＝2，ax2+bx+1.37＝0可整理为ax2+bx+c＝﹣1，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1的一个交点坐标为（，﹣1），由抛物线的对称性可得：抛物线与直线y＝﹣1的另一交点坐标为（4﹣，﹣1），∴ax2+bx+1.37＝0的根是x1＝或x2＝4﹣．故选：B．13．（2022•泰山区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣4，0），其对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③3b+2c＞0；④a﹣b≥am2+bm．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0．∵对称轴在x轴负半轴，∴x＝﹣＜0，∴＞0，即a，b同号，∴b＜0．∴abc＞0．故①错误；②设抛物线与x轴的另一个交点为（x，0）由题意得，对称轴x＝＝﹣1，解得x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0）．∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0，故②错误；③由②得，当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0，根据抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∴当x＝1时，函数y＝a+b+c＞0∵抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣1，∴a＝b，∴a+b+c＝b+b+c＞0，整理得3b+2c＞0．故③正确；④∵由题意得，（﹣1，y1）是抛物线的顶点坐标，∴当x＝﹣1时，二次函数有最大值y1＝a﹣b+c，∴无论x取何值，二次函数值都不大于y1，∴a﹣b+c≥am2+bm+c，整理得a﹣b≥am2+bm．故④正确．综上所述，以上结论共有2个正确．故选：B．14．（2022•石景山区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x…﹣1013…y…0﹣1.5﹣20…根据表格中的信息，得到了如下的结论：①二次函数y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）2﹣2的形式②二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的两个根为0或2④若y＞0，则x＞3其中所有正确的结论为（）A．①④ B．②③ C．②④ D．①③【答案】D【解答】解：∵x＝﹣1和x＝3时的函数值相同，都是1，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，当x＝1时，y＝﹣2∴抛物线的顶点为（1，﹣2），∴二次函数y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）2﹣2的形式，所以①正确；∵由表格可知x＝1时函数的值最小，∴抛物线的开口向上，故②错误；∵x＝0与x＝2关于对称轴对称，∴x＝0时，y＝﹣1.5，x＝3时，y＝﹣1.5，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的两个根为0或2，故③正确；∵抛物线的开口向上，x＝﹣1和x＝3时，y＝0，∴若y＞0，则x＞3或x＜﹣1，故④错误；综上所述：其中正确的结论有①③．故选：D．15．（2022•晋中一模）板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集上肢动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动．如图，是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，板球在点A处击出，落地前的点B处被对方接住，已知板球经过的路线是抛物线，其表达式为y＝﹣x2+x+1，则板球运行中离地面的最大高度为（）A．1 B． C． D．4【答案】B【解答】解：将二次函数y＝﹣x2+x+1，化成y＝﹣（x﹣4）2+，当x＝4时，y有最大值，y最大值＝，因此，板球运行中离地面的最大高度为．故选：B．16．（2022•拱墅区模拟）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m﹣6，n），B（m+2，n），则n的值为（）A．﹣32 B．﹣18 C．﹣16 D．﹣12【答案】A【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c过点A（m﹣6，n），B（m+2，n），∴对称轴是直线x＝m﹣2．又∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴设抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣m+2）2，把A（m﹣6，n）代入，得n＝﹣2（m﹣6﹣m+2）2＝﹣32，即n＝﹣32．故选：A．17．（2022•石家庄模拟）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…下列各选项中，正确的是（）A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点 C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 D．这个函数的最小值小于﹣6【答案】D【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4），∴抛物线对称轴为直线x＝，∵抛物线经过点（﹣2，6），∴当x＜时，y随x增大而减小，∴抛物线开口向上，且跟x轴有交点，故A，B错误，不符合题意；∴x＞时，y随x增大而增大，故C错误，不符合题意；由对称性可知，在x＝处取得最小值，且最小值小于﹣6．故D正确，符合题意．故选：D．18．（2022•舟山一模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），B（2，1），若抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．﹣＜a≤﹣或a≥1 B．a≥﹣或a＜﹣ C．≤a≤1且a≠0 D．a≤﹣或a≥1【答案】A【解答】解：当a＞0时，x＝﹣2时y≥3，x＝2时，y≥1，∴，解得a≥1，当a＜0时，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+2，联立方程组，∴ax2﹣x﹣1＝0，∴Δ＝+4a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，当x＝﹣2时，y＝4a+4+1＝3，∴a＝﹣，此时抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，∴﹣＜a≤﹣，综上所述：a≥1或﹣＜a≤﹣时，抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，故选：A．19．（2022•罗湖区校级一模）如图，将抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形C1，当直线y＝x+b（b＜1）与图形C1恰有两个公共点时，则b的取值范围是（）A．﹣3＜b＜1 B．﹣3≤b＜1 C．﹣1≤b＜1 D．﹣1＜b＜1【答案】A【解答】解：如图，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，即：x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），当直线y＝x+b经过点B时，与新图象有一个公共点，把B（3，0）代入y＝x+b得：3+b＝0，∴b＝﹣3，当直线y＝x+b经过点A时，与新图象有三个公共点，把A（﹣1，0）代入y＝x+b中得：﹣1+b＝0，∴b＝1，∴当直线y＝x+b（b＜1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围是﹣3＜b＜1．故选：A．20．（2021•仁怀市模拟）已知二次函数y＝﹣x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线y＝x+m与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（）A． B． C．﹣6≤m≤﹣2 D．﹣7≤m≤﹣3【答案】D【解答】解：如图所示，直线l、n在图示位置时，直线与新图象有3个交点，y＝﹣x2+x+6，令y＝0，则x＝3或﹣2，则点A（3，0），将点A的坐标代入y＝x+m并解得：m＝﹣3，二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，对应的函数表达式为：y＝x2﹣x﹣6，联立y＝x2﹣x﹣6、y＝x+m并整理得：x2﹣2x﹣6﹣m＝0，Δ＝4+4（6+m）＝0，解得：m＝﹣7，故答案为：﹣7或﹣3．有上图可以看出：当﹣7＜m＜﹣3时，直线y＝x+m与这个新图象有四个交点，故选：D．21．（2022•历下区一模）已知抛物线P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：设抛物线P'上任意一点（x，y），则点（x，y）原点旋转180°后对应的点为（﹣x，﹣y），∴﹣y＝x2﹣4ax﹣3，∴抛物线P'的解析式为y＝﹣x2+4ax+3，∵y＝﹣x2+4ax+3＝﹣（x﹣2a）2+4a2+3，当x＝2a时，y有最大值4a2+3，∵1≤x≤3，①当2a＜1时，即a＜，x＝1时y有最大值，∴2+4a≤3，∴a≤，此时a≤；②当2a＞3时，即a＞，x＝3时y有最大值，∴﹣6+12a≤3，∴a≤，此时a不存在；③当1≤2a≤3时，即≤a≤，x＝2a时y有最大值，∴4a2+3≤3∴a＝0，此时a不存在；综上所述：0＜a≤，故选：A．22．（2021秋•房县期末）二次函数y＝﹣x2+2x+1与坐标轴交点情况是（）A．一个交点 B．两个交点 C．三个交点 D．无交点【答案】C【解答】解：当x＝0时，y＝1，当y＝0时，0＝﹣x2+2x+1，∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4•（﹣1）•1＝8＞0．∴与x轴有两个交点∴即该函数图象与坐标轴共有三个交点．故选：C．23．（2022•定远县校级开学）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝﹣ax﹣b的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：因为y＝ax2+bx的图象经过原点，故排除B、C；A选项中，因为二次函数图象开口向上，故a＞0，则﹣a＜0，一次函数y＝﹣ax﹣b图象下降，不符合，故A错；D符合题意．故选：D．24．（2022春•福州期末）若A（﹣6，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝2x2﹣1图象上的三点，则y3，y2，y1的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3【答案】A【解答】解：∵A（﹣6，y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y3）为二次函数y＝2x2﹣1图象上的三点，∴y1＝71，y2＝17，y3＝1，∴y3＜y2＜y1．故选：A．25．（2022•兴宁区校级模拟）二次函数的图象（1≤x≤3）如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是（）A．y≥1 B．1≤y≤3 C． D．0≤y≤3【答案】C【解答】解：∵函数y的最小值是，最大值是3，∴函数y的取值范围是≤y≤3，故选：C．26．（2021秋•晋江市校级期末）对于函数y＝﹣3（x﹣5）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下 B．x＞5时，y随x增大而增大 C．最大值为0 D．与y轴交点在x轴下方【答案】B【解答】解：∵﹣3＜0，∴抛物线y＝﹣3（x﹣5）2的开口向下，∴A选项的说法正确；∵抛物线y＝﹣3（x﹣5）2的开口向下，对称轴为直线x＝5，∴当x＞5时，随x增大而减小，∴B选项的说法不正确；∵抛物线y＝﹣3（x﹣5）2的开口向下，顶点为（5，0），∴函数y＝﹣3（x﹣5）2有最大值0．∴C选项的说法正确；∵函数y＝﹣3（x﹣5）2，当x＝0时，y＝﹣75＜0，∴函数y＝﹣3（x﹣5）2与y轴交点为（0，﹣75），在x轴下方，∴D选项的说法正确．综上，说法不正确的是B，故选：B．27．（2021秋•峄城区期末）抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标是（）A．（0，2） B．（﹣2，0） C．（﹣2，0）、（1，0） D．（0，﹣2）【答案】D【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2，∴抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标为（0，﹣2）．故选：D．28．（2021秋•澧县期末）已知二次函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m B．m C．m且m≠1 D．m且m≠1【答案】D【解答】解：令（m﹣1）x2+3x﹣1＝0，则Δ＝32+4（m﹣1）＝4m+5，当4m+5≥0时，即m≥﹣时图象与x轴有交点，∵m﹣1≠0，∴m≥﹣且m≠1，故选：D．29．（2021秋•樊城区期末）对称轴为y轴的二次函数是（）A．y＝（x+1）2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝2x2+1 D．y＝﹣（x﹣1）2【答案】C【解答】解：∵抛物线对称轴为y轴，即直线x＝0，只要解析式一般式缺少一次项即可，故选：C．30．（2022•襄城区模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③3a+c＝0；④b＝2a．其中正确的是（）A．④ B．③ C．② D．①【答案】B【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，∴ac＜0，故①不符合题意．②由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，∴x＜1时，y随x的增大而增大，故②不符合题意．③∵＝1，∴b＝﹣2a，∵抛物线过（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴3a+c＝0，故③符合题意．④∵＝1，∴b＝﹣2a，故④不符合题意．故选：B．31．（2022•永昌县一模）二次函数y＝ax2+b