专题23特殊平行四边形中的最小值问题(原卷版+解析)

专题23特殊平行四边形中的最小值问题解题思路解题思路【类型一利用几何基本事实确定最值】【基本事实1垂线段最短】垂线线段最短：如图1：直线l外有一定点A，点P是l上一动点，当AP⊥l时，线段AP最短。【基本事实2两点间，线段最短】两点间，线段最短根据线段的基本事实可知：AB≤AC+BC当A,C,B三点在一条直线上时，【类型二利用轴对称变换确定最值】线段和最小：如图2，A、B时直线m同侧的两个定点，P时直线m上一动点，作点A关于直线m的对称点A′，直线BA′交直线m于点P，此时PA+PB最小，等于BA′典例分析典例分析【典例1】（2021春•龙口市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（）A． B． C．4 D．3【变式1】（2021春•鄂州期末）在边长为2的等边△ABC中，D是AC上一动点，连接BD，以BD、AD为邻边作平行四边形BDAE，则对角线DE的最小值为（）A． B．1 C． D．2【典例2】（2021•内江）如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为．【变式2-1】（2020•北碚区校级开学）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC+PD的最小值是（）A． B． C． D．【典例3】（2019春•江州区期末）如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠ABC＝60°，且M为BC的中点，P是对角线BD上的一动点，则PM+PC的最小值为（）A．4cm B．cm C．2cm D．2cm【变式3-1】（河西区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为（）A．2 B．4 C． D．2【变式3-2】（2020•枣庄三模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为．夯实基础夯实基础1．（春•惠山区期末）如图，菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝6，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值是（）A．3 B．6 C．2 D．32.（秋•无为县期末）如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在．3．（铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值．4．（2021•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为．5．如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，M是BC的中点，CM＝2．点P是BD上一动点，则PM+PC的最小值．能力提升能力提升6．（2021秋•江汉区月考）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并证明；（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）如图3，连接BG，N为BG中点，若AB＝13，CE＝5，则MN的最大值为9．专题23特殊平行四边形中的最小值问题解题思路解题思路【类型一利用几何基本事实确定最值】【基本事实1垂线段最短】垂线线段最短：如图1：直线l外有一定点A，点P是l上一动点，当AP⊥l时，线段AP最短。【基本事实2两点间，线段最短】两点间，线段最短根据线段的基本事实可知：AB≤AC+BC当A,C,B三点在一条直线上时，【类型二利用轴对称变换确定最值】线段和最小：如图2，A、B时直线m同侧的两个定点，P时直线m上一动点，作点A关于直线m的对称点A′，直线BA′交直线m于点P，此时PA+PB最小，等于BA′典例分析典例分析【典例1】（2021春•龙口市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（）A． B． C．4 D．3【答案】B【解答】解：连接BP，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴四边形PEBF为矩形，∴EF＝BP，当BP⊥AC，BP最短，在Rt△BPC中，BP＝PC，BC＝6，根据勾股定理可解得BP＝3，∴EF得最小值为3．故选：B．【变式1】（2021春•鄂州期末）在边长为2的等边△ABC中，D是AC上一动点，连接BD，以BD、AD为邻边作平行四边形BDAE，则对角线DE的最小值为（）A． B．1 C． D．2【答案】C【解答】解：如图，AB与DE相交于点O，在△ABC中，∠BAC＝60°，∵四边形ADBE是平行四边形，∴OD＝OE，OA＝OB．∴当OD取最小值时，线段DE最短，此时OD⊥AC．∵点O是AB的中点，∴OA＝AB＝1，∵∠ODA＝90°，OA＝1，∠BAC＝60°，∴OD＝，∴ED＝2OD＝，故选：C．【典例2】（2021•内江）如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为．【答案】+1【解答】解：如图，取AD的中点H，连接CH，OH，∵矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，∴CD＝AB＝1，AD＝BC＝2，∵点H是AD的中点，∴AH＝DH＝1，∴CH＝＝＝，∵∠AOD＝90°，点H是AD的中点，∴OH＝AD＝1，在△OCH中，CO＜OH+CH，当点H在OC上时，CO＝OH+CH，∴CO的最大值为OH+CH＝+1，故答案为：+1【变式2-1】（2020•北碚区校级开学）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC+PD的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，∵S△PAB＝S△PCD，∴×4×x＝××4×（6﹣x），∴x＝2，∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD中，EC＝＝4，∵PM垂直平分线段DE，∴PD＝PE，∴PC+PD＝PC+PE≥EC，∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值为4．故选：B．【典例3】（2019春•江州区期末）如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠ABC＝60°，且M为BC的中点，P是对角线BD上的一动点，则PM+PC的最小值为（）A．4cm B．cm C．2cm D．2cm【答案】D【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴点A、C关于BD对称，连接AM，AM即为PM+PC的最小值，∵M是BC的中点，BC＝2，∴CM＝BM＝2，∴AB＝BC＝2×2＝4，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴△ABM是直角三角形，∴AM＝AB＝2，即PM+PC的最小值．故选：D．【变式3-1】（河西区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为（）A．2 B．4 C． D．2【答案】C【解答】解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG中，GE′＝CD﹣BE﹣BF＝4﹣1﹣2＝1，GF＝4，所以E′F＝＝．故选：C．【变式3-2】（2020•枣庄三模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为．【答案】2【解答】解：∵点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，AB＝CD，∴点P到AB的距离等于点P到CD的距离，∴点P在BC的垂直平分线上，∴PB＝PC，∴PC+PD＝BP+PD，当点B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值等于对角线BD的长，又∵AB＝CD＝4，BC＝6，∴对角线BD＝＝＝2，∴PC+PD的最小值为2，故答案为：2夯实基础夯实基础1．（春•惠山区期末）如图，菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝6，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值是（）A．3 B．6 C．2 D．3【答案】C【解答】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE＝PG，CE＝CG＝2，连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH＝∠CBH＝45°，∴Rt△BHC中，BH＝CH＝＝3，∴HG＝3﹣2＝，∴Rt△BHG中，BG＝＝＝2，∵当点F与点B重合时，PE+PF＝PG+PB＝BG（最短），∴PE+PF的最小值是2．故选：C．2.（秋•无为县期末）如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在．【答案】AD的中点【解答】解：作出B关于AD的对称点B'，连接CB'，如图；∵长方形ABCD，∴AB＝CD，∠B'AP＝∠PDC＝90°，∵AB'＝AB，∴AB'＝CD，在△B'AP与△CDP中，∴△B'AP≌△CDP（AAS），∴AP＝PD，故答案为：AD的中点．3．（铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值．【答案】【解答】解：∵四边形CDEF是正方形，∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD，∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠COA+∠AOD＝90°，∠AOD+∠DOB＝90°，∴∠COA＝∠DOB，∵在△COA和△DOB中，∴△COA≌△DOB（ASA），∴OA＝OB，∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB＝＝OA，要使AB最小，只要OA取最小值即可，根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，∵正方形CDEF，∴FC⊥CD，OD＝OF，∴CA＝DA，∴OA＝CF＝1，即AB＝，故答案为：．4．（2021•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为．【答案】﹣1【解答】解：如图，取AD的中点T，连接BT，GT，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°，在△DAE和△ABF中，，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠BAF+∠DAF＝90°，∴∠EDA+∠DAF＝90°，∴∠AGD＝90°，∵DT＝AT，∴GT＝AD＝1，BT＝＝＝，∴BG≥BT﹣GT，∴BG≥﹣1，∴BG的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．5．如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，M是BC的中点，CM＝2．点P是BD上一动点，则PM+PC的最小值．【答案】2【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴点A、C关于BD对称，连接AM，AM即为PM+PC的最小值，∵M是BC的中点，CM＝2，∴AB＝BC＝2×2＝4，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴△ABM是直角三角形，∴AM＝AB＝×4＝2，即PM+PC的最小值．故答案为：2．能力提升能力提升6．（2021秋•江汉区月考）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并证明；（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）如图3，连接BG，N为BG中点，若AB＝13，CE＝5，则MN的最大值为9．【答案】（1）DM⊥EM，DM＝ME（2）结论仍然成立，DM⊥EM，DM＝EM（3）9【解答】解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM，理由如下：如图1中，延长EM交AD于H，∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，∴∠ADE＝∠CEF＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME（ASA），∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME；（2）如图2中，结论仍然成立，DM⊥EM，DM＝EM，理由如下：如图2中，延长EM交DA的延长线于H，