专项21切线的判定与性质的综合应用(原卷版+解析)

专项21切线的判定与性质的综合应用【类型一：有公共点：连半径，证垂直】【典例1】（2021秋•吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．【变式1-1】（2021秋•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB＝10，CD＝8，求CE的长．【变式1-2】（2021秋•温岭市期末）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝8，CD＝12，求半径的长度．【典例2】（2020•中宁县一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD＝1，求⊙O的直径．【变式2-1】（2021秋•甘井子区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．【变式2-2】（2021秋•天津期末）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝6，求ED的长．【典例3】（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．【变式3-1】（2021秋•金湖县期末）如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交⊙O于B，连接AD、AB，AB是⊙O的切线．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为4，AB＝8，求平行四边形OAEC的面积．【类型一：没有公共点：作垂直，证半径】【典例4】（2020•八步区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D，AB＝5，BE＝3．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）求线段AC的长．【变式4-1】（2021秋•莆田期末）如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为A、B，CO平分∠BCD．（1）求证：CD是半圆O的切线．（2）若AD＝20，CD＝50，求BC和AB的长．1.（2021秋•龙沙区期末）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长．2．（2021秋•聊城期末）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AC平分∠BAD，且AD⊥CD于点D．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AD＝4，CD＝2，求⊙O的半径．3．（2022春•长兴县月考）如图，已知等边△ABC的边长为6，点O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边AC，AB分别交于点D，E，过点D作DF⊥BC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连结EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径．4．（2022•西湖区校级开学）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若∠C＝30°，CD＝10cm，求⊙O的半径．5．（2021秋•曲靖期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，DQ⊥AB，DQ＝DC，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点D，交BC于点E、交AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CD＝4，求CE的长．6．（2021秋•海淀区期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AC，过A作AF⊥AC，交⊙O于点F，连接DF，过B作BG⊥DF，交DF的延长线于点G．（1）求证：BG是⊙O的切线；（2）若∠DFA＝30°，DF＝4，求FG的长．7．（2021秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为5，BC＝8，求DE的长．8．（2021秋•平罗县期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝2，CE＝1，求BD的长度．9．（2021秋•博白县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC＝10，CD＝6，求DE的长．10．（2022•任城区三模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF；（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由．（2）若⊙O的半径为4，AF＝3，求AC的长．专项21切线的判定与性质的综合应用【类型一：有公共点：连半径，证垂直】【典例1】（2021秋•吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OP＝OB，∴∠B＝∠OPB，∴∠OPB＝∠C，∴OP∥AC，∵PD⊥AC，∴OP⊥PD，∴PD是⊙O的切线；（2）解：连接AP，如图，∵AB为直径，∴∠APB＝90°，∴BP＝CP，∵∠CAB＝120°，∴∠BAP＝60°，在Rt△BAP中，AB＝6，∠B＝30°，∴AP＝AB＝3，∴BP＝AP＝3，∴BC＝2BP＝6．【变式1-1】（2021秋•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB＝10，CD＝8，求CE的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵BD为∠ABC平分线，∴∠1＝∠2，∵OB＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE，则四边形ODCG为矩形，∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝6，∵OG⊥BE，OB＝OE，∴BE＝2BG＝12．解得：BE＝12，∵AC是⊙O的切线，∴CD2＝CE•CB，即82＝CE（CE+12），解得：CE＝4或CE＝﹣16（舍去），即CE的长为4．【变式1-2】（2021秋•温岭市期末）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝8，CD＝12，求半径的长度．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB+∠CDA＝90°，∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA+∠ADO＝90°，∴∠CDO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：在Rt△CDO中，CD2+OD2＝OC2，∴122+r2＝（8+r）2，∴r＝5，∴半径的长度为5．【典例2】（2020•中宁县一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD＝1，求⊙O的直径．【解答】（1）证明：连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．（2）设该圆的半径为x．在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴PO＝2OA＝OD+PD，又∵OA＝OD，∴1+x＝2x，解得：x＝1∴OA＝PD＝1，所以⊙O的直径为2【变式2-1】（2021秋•甘井子区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．【解答】（1）证明：连接OE，∵EF⊥AC，∴∠EFD＝∠EFC＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，∴∠OEB＝∠C，∴OE∥AC，∴∠OEF＝∠EFC＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：过点O作OG⊥AD，垂足为G，∴∠OGF＝90°，∵∠OEF＝∠EFG＝90°，∴四边形OEFG是矩形，∴OG＝EF＝3，设⊙O的半径为x，∴AB＝AC＝2x，∵CD＝4，∴AD＝AC﹣CD＝2x﹣4，∵OG⊥AD，∴AG＝AD＝x﹣2，在Rt△OAG中，AG2+OG2＝OA2，∴（x﹣2）2+9＝x2，∴x＝，∴⊙O的半径为．【变式2-2】（2021秋•天津期末）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝6，求ED的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE⊥AE，∴∠AED＝90°，∵AD平分∠BAE，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥DO，∴∠EDO＝180°﹣∠E＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ECB＝180°﹣∠ACB＝90°，∵∠E＝∠EDO＝90°，∴四边形ECFD是矩形，∴DE＝CF，∠CFD＝90°，∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵OD⊥BC，∴CF＝BC＝4，∴DE＝CF＝4，∴ED的长为4【典例3】（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OE、OD，在△AOD和△EOD中，，∴△AOD≌△EOD（SSS），∴∠OED＝∠BAC＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵△AOD≌△EOD，∴∠AOD＝∠EOD，∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，∵∠AOE＝∠B+∠OEB，∴∠BEO＝∠EOD，∴OD∥BC，又AO＝BO，∴OD＝BC＝5，由勾股定理得，AO＝＝3，则⊙O的半径为3．【变式3-1】（2021秋•金湖县期末）如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交⊙O于B，连接AD、AB，AB是⊙O的切线．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为4，AB＝8，求平行四边形OAEC的面积．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBA＝90°，∵四边形OAEC是平行四边形，∴AO∥EC，∴∠AOD＝∠ODC，∠AOB＝∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠AOB＝∠AOD，又∵OA＝OA，OD＝OB，∴△AOB≌△AOD（SAS），∴∠OBA＝∠ODA，∴∠ODA＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴AD为⊙O的切线；（2）解：∵OB＝4，AB＝8，∴S△ABO＝AB•OB＝×4×8＝16，∵△AOB≌△AOD，∴S△AOD＝16，∴平行四边形OAEC的面积＝2S△AOD＝32．【类型一：没有公共点：作垂直，证半径】【典例4】（2020•八步区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D，AB＝5，BE＝3．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）求线段AC的长．【解答】（1）证明：过点D作DF⊥AC于F；∵AB为⊙D的切线，∴∠B＝90°，∴AB⊥BC，∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴BD＝DF，∴AC与⊙D相切；（2）解：在△BDE和△DCF中；，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴EB＝FC．∵AB＝AF，∴AB+EB＝AF+FC，即AB+EB＝AC，∴AC＝5+3＝8．【变式4-1】（2021秋•莆田期末）如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为A、B，CO平分∠BCD．（1）求证：CD是半圆O的切线．（2）若AD＝20，CD＝50，求BC和AB的长．【解答】（1）证明：过点O作OE⊥CD，垂足为点E，∵BC是半圆O的切线，B为切点，∴OB⊥BC，∵CO平分∠BCD，∴OE＝OB，∵OB是半圆O的半径，∴CD是半圆O的切线；（2）解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F，∴∠DFB＝90°，∵AD是半圆O的切线，切点为A，∴∠DAO＝90°，∵OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∴四边形ADFB是矩形，∴AD＝BF＝20，DF＝AB，∵AD，CD，BC是半圆O的切线，切点分别为A、E、B，∴DE＝AD＝20，EC＝BC，∵CD＝50，∴EC＝CD﹣DE＝50﹣20＝30，∴BC＝30，∴CF＝BC﹣BF＝10，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF＝＝＝20，∴AB＝DF＝20，∴BC的长为30，AB的长为20．1.（2021秋•龙沙区期末）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长．【解答】（1）证明：连接OC，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠1＝90°，又∵∠DCB＝∠CAD，∵∠CAD＝∠OCA，∴∠OCA＝∠DCB，∴∠DCB+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，∴OC2+CD2＝OD2，∴OB2+42＝（OB+2）2，∴OB＝3，∴AB＝6，∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，∴AE是⊙O的切线，∵CD是⊙O的切线；∴AE＝CE，∵AD2+AE2＝DE2，∴（6+2）2+AE2＝（4+AE）2，解得AE＝6．2．（2021秋•聊城期末）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AC平分∠BAD，且AD⊥CD于点D．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AD＝4，CD＝2，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图中，连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图，过点O作OE⊥AD于点E，得矩形OEDC，∴OE＝CD＝2，DE＝OC，∴AE＝AD﹣DE＝4﹣OC＝4﹣OA，在Rt△AEO中，根据勾股定理，得OA2＝AE2+OE2，∴OA2＝（4﹣OA）2+22，解得OA＝．∴⊙O的半径为．3．（2022春•长兴县月考）如图，已知等边△ABC的边长为6，点O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边AC，AB分别交于点D，E，过点D作DF⊥BC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连结EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连结OD，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠C＝∠B＝60°，∵∠DAO＝60°，OD＝OA，∴△DOA是等边三角形，∴∠ODA＝∠C＝60°，∴OD∥BC，又∵∠DFC＝90°，∴∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；（2）解：设半径为r，等边△ABC的边长为6，由（1）可知：AD＝r，则CD＝6﹣r，BE＝6﹣2r在Rt△CFD中，∠C＝60°，CD＝6﹣r，∴CF＝（6﹣r），∴BF＝a﹣（6﹣r），又∵EF是⊙O的切线，∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°，∴BF＝2BE，∴6﹣（6﹣r）＝2（6﹣2r），解得：r＝2，∴⊙O的半径为2．4．（2022•西湖区校级开学）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若∠C＝30°，CD＝10cm，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴OD∥AC，∴∠CED＝∠ODE，∵DE⊥AC，∴∠CED＝∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是圆的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵D是BC的中点，∴AB＝AC，∵∠C＝30°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AD，∵CD＝10cm，∴BD＝10cm，设AD＝xcm，则AB＝2xcm，∴x2+102＝4x2，∴x＝或x＝﹣（舍去），∴AD＝（cm），AB＝（cm），∴⊙O的半径为cm．5．（2021秋•曲靖期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，DQ⊥AB，DQ＝DC，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点D，交BC于点E、交AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CD＝4，求CE的长．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵∠C＝90°，DQ⊥AB，DQ＝DC，∴BD是△ABC的角平分线，∴∠OBD＝∠DBC，∴∠ODB＝∠DBC，∴OD∥BC，∴∠ODA＝∠C＝90°，∵AC经过⊙为的半径OD的端点D，且AC⊥OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：如图，作OG⊥BE于点G，则BG＝EG，∠OGB＝90°，∵∠ODC＝∠C＝∠OGC＝90°，∴四边形ODCG是矩形，∵CD＝4，OB＝OD＝5，∴OG＝CD＝4，GC＝OD＝5，在Rt△BOG中，OB2＝OG2+BG2，∴BG＝＝＝3，∴EG＝3，∴CE＝GC﹣EG＝5﹣3＝2．6．（2021秋•海淀区期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AC，过A作AF⊥AC，交⊙O于点F，连接DF，过B作BG⊥DF，交DF的延长线于点G．（1）求证：BG是⊙O的切线；（2）若∠DFA＝30°，DF＝4，求FG的长．【解答】（1）证明：∵C，A，D，F在⊙O上，∠CAF＝90°，∴∠D＝∠CAF＝90°．∵AB⊥CE，BG⊥DF，∴∠BED＝∠G＝90°．∴四边形BEDG中，∠ABG＝90°．∴半径OB⊥BG．∴BG是⊙O的切线．（2）解：连接CF，∵∠CAF＝90°，∴CF是⊙O的直径．∴OC＝OF．∵直径AB⊥CD于E，∴CE＝DE．∴OE是△CDF的中位线．∴OE＝＝2．∵＝，∠AFD＝30°，∴∠ACD＝∠AFD＝30°．∴∠CAE＝90°﹣∠ACE＝60°．∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形．∵CE⊥AB，∴E为AO的中点，∴OA＝2OE＝4，OB＝4．∴BE＝OB+OE＝6．∵∠BED＝∠D＝∠G＝90°，∴四边形BEDG是矩形．∴DG＝BE＝6．∴FG＝DG﹣DF＝2．7．（2021秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为5，BC＝8，求DE的长．【解答】（1）证明：如图1，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥半径OD，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝＝4，∴AD＝＝3，∵DE⊥AC，∴S△ACD＝，∴5•DE＝3×4，∴DE＝，∴DE的长是．8．（2021秋•平罗县期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝2，CE＝1，求BD的长度．【解答】（1）证明：如图，连接OD，CD，则∠OAD＝∠ODA．∵A