流体力学-第5章

第5章 量纲分析和相似原理§5.3

相似理论基础§5.2量纲分析法§5.4模型实验§5.1

量纲分析的意义和量纲和谐原理§5.1

量纲分析的意义和量纲和谐原理5.1.1量纲的概念1.量纲基本量纲：无任何联系、相互独立的量纲。质量（M）、长度（L）、时间（T）、温度（）基本量纲具有独立性、唯一性，如：量纲，又称为因次，是指物理量的属性（性质和种类）。用[]或dim表示，如[m]、[l]、[t]、[p]、[v]

、dimt物理量q属性dimq量度单位1.基本量纲和导出量纲导出量纲：可以由基本量纲导出的量纲导出量纲：速度[v]=LT-1加速度dima=LT-2密度dim

=ML-3

力dimF=MLT-2

压强dimp=ML-1T-2

表面张力dim

=MT-2

体积模量dimK=ML-1T-2

动力粘度dim

=ML-1T-1

运动粘度dim

=L2T-1基本量纲：质量（M）、长度（L）、时间（T）、温度（）国际单位制不可压缩流体运动的量纲公式：常用物理量的量纲（因次）5.1.2无量纲量无量纲量：量纲指数为零（α=β=γ=0）的物理量无量纲量

*具有客观性

*不受运动规模的影响

*可进行超越函数运算雷诺数是无量纲量5.1.3量纲和谐原理正确描述自然现象的物理方程，其各项的量纲必然相同。用量纲表示的物理方程必定是齐次性的。满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余各项，使其变为无量纲方程，即准则方程式例如:伯努利方程无量纲方程在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法有两种：用定性物理量x1、x2、….、xn的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量y基本思想：假定各物理量之间是指数形式的乘积组合。式中，k为无量纲系数，由试验确定。

a1、a2、….、an为待定指数，根据量纲一致性原则求出。5.2.1瑞利法§5.2

量纲（因次）分析法[例1]

已知管流的特征流速vc与流体的密度ρ、动力粘度μ和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立vc的公式结构。[解]式中k为无量纲常数。将各物理量的量纲代入指数方程，则得相应的量纲方程假定根据量纲齐次性原理，有解上述三元一次方程组得：故得：其中常数k需由实验确定。瑞利法一般用于影响流动的参数个数不超过4个时较为方便。5.2.2

定理（巴金汉定理）基本思想：如果一个物理过程涉及到n个物理量,且n个变量互为函数关系，而这些变量中含有m个基本量纲，则这个物理过程可以由n个物理量组成的n-m个无量纲量（相似准则数

i）的函数关系来描述,即:即:[例2]

实验发现，球形物体在粘性流体中运动所受阻力FD与球体直径d、球体运动速度v、流体的密度ρ和动力粘度μ有关，试用π定理量纲分析法建立FD的公式结构。[解]选基本物理量ρ、v、d，根据π定理，上式可变为其中假定对π1：代入，并就FD解出，可得解上述三元一次方程组得：其中同理：式中为绕流阻力系数，由实验确定。5.2.3量纲分析方法的讨论量纲分析方法的理论基础是量纲和谐原理。量纲分析为组织实验研究，以及整理实验数据提供了科学的方法。量纲分析是判别经验公式是否完善的基础。应用量纲分析方法得到的物理公式是否符合客观规律，与所选入的物理量是否正确有关。作业：5-14，16§5.3

相似理论基础5.3.1相似概念流场的几何形状流体微团的运动状态流体微团的动力性质模型与原型的全部对应线形长度的比例相等，任意相应两线段的夹角相同。1、几何相似

长度比例尺面积比例尺体积比例尺夹角4类表征流动过程的物理量：边界条件和初始条件模型与原型的流场所有对应点上、对应时刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。2、运动相似

速度比例尺加速度比例尺时间比例尺速度相似，加速度必然相似。反之亦然体积流量比例尺动力相似，要求受同名力作用，模型与原型的流场所有对应点作用在流体微团上的各种力彼此方向相同，而它们大小的比例相等。3、动力相似

力的比例尺——总压力——切向力——重力——惯性力惯性力相似是其它合力作用相似的结果。所以动力相似是运动相似的保证边界条件相似，指两个流动相应边界性质相同。4、边界条件和初始条件相似

边界条件相似可归于几何相似非恒定流动要求初始条件相似恒定流动不存在初始条件相似5、几何相似、运动相似和动力相似三者间的关系

动力相似是决定运动相似的主导因素。几何相似、运动相似和动力相似是模型流场和原型流场相似的重要特征。几何相似是流动力学相似的前提条件。运动相似是几何相似和动力相似的表现。满足几何相似(包含边界条件相似)

、运动相似、动力相似的流动被称为相似流动。

6、基本比例尺、其它动力学比例尺

长度比例尺速度比例尺密度比例尺常选取ρ、l、v的比例尺为为基本比例尺

用基本比例尺表示的其它动力学比例尺力矩（功、能）比例尺压强（应力）比例尺功率比例尺动力粘度比例尺5.3.2相似准则一、牛顿相似准则——牛顿数模型与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必定相等。二、各单项力相似准则模型与原型的流场动力相似，则作用在流场上的各种性质的力（如重力、粘滞力、总压力、弹性力、表面力等）都要服从牛顿相似准则，即各单项力作用下的相似准则。重力相似准则粘滞力相似准则表面力相似准则非定常性相似准则弹性力相似准则压力相似准则1.重力相似准则在重力作用下相似的流动，其重力场相似。代入

Fr——弗劳德数，意义？？1.重力相似准则在重力作用下相似的流动，其重力场相似。

Fr——弗劳德数，惯性力与重力的比值。弗劳德数准则2.粘滞力相似准则在粘滞力作用下相似的流动，其粘滞力场相似。代入

Re——雷诺数，惯性力与粘滞力的比值。雷诺数准则3.压力相似准则在压力作用下相似的流动，其压力场相似。代入

Eu——欧拉数，总压力与惯性力的比值。欧拉数准则4.弹性力相似准则对于可压缩流的模型试验，由压缩引起的弹性力场相似。代入

Ca——柯西数，惯性力与弹性力的比值。气体弹性力相似准则

M——马赫数，惯性力与弹性力的比值。对于气体满足（c为声速），5.非定常性相似准则对于非定常流动的模型试验，模型与原型的流动随时间的变化必相似。代入

St——斯特劳哈尔数，当地惯性力与迁移惯性力的比值。6.表面力相似准则在表面张力作用下相似的流动，其表面张力分布相似。代入

We——韦伯数，惯性力与张力的比值。三、定性准则和导出准则若决定流动的作用力是重力、粘滞力、压力,则只要其中两个同名作用力和惯性力成比例,令一个同名力也将成比例。如图。由于压力通常是待求量，这样只要重力、粘滞力相似，压力自行相似。即弗劳德准则、雷诺准则成立，欧拉准则自行成立。所以弗劳德准则、雷诺准则称为定性准则（独立准则），欧拉准则称为导出准则。FGnFInFpnFμnFGmFImFpmFμm流体的运动是边界条件和作用力决定的，当两个流动一旦实现了几何相似和动力相似，就必然以相同的规律运动。几何相似和定性准则成立是实现流体力学相似的充分和必要条件§5.4模型实验模型实验是根据相似原理，制成与原型相似的小尺度模型进行实验研究，并以实验的结果预测出原型将会发生的流动现象。进行模型实验要解决下面两个问题。一、模型律的选择理论上要求各独立的相似准则均满足，但实际上同时满足各准则很困难，甚至是不可能的。雷诺准则：弗劳德准则：同时满足弗劳德准则和雷诺准则：当选用模型与原型为同种流体时即是原型测试而非模型实验当选用模型与原型为不同种流体时假设模型试验要做到完全相似非常困难，一般只能做到近似相似。在设计模型和组织模型试验时，在与流动过程有关的定性准则中只考虑那些对流动过程起主导作用的定性准则，而忽略那些对过程影响较小的定性准则，以达到模型流动与原型流动的近似相似。这就遇到模型律的选择问题例如:1、有压的粘性管流，潜体绕流因为对流动起主导作用的力是粘性力,不是重力。故,忽略弗劳德准则,只考虑雷诺准则。2、明渠流动因为对流动起主导作用的力是重力。故只考虑弗劳德准则。二、模型设计实验场地等条件相似准则例题1为了评估西陵长江大桥的抗风稳定性，在风洞中进行1/120的全桥气动弹性模型试验，已知桥面处的设计风速为30.8m/s，颤振验算风速为37m/s，（1）试设计确保桥梁安全的风洞试验风速；（2）如果模型在风洞紊流场的试验中当风速为2.9m/s时，由风振引起的模型跨中的振幅为23.8mm，弯矩为0.072N·m，扭矩为0.033N·m，试问对应于实桥的工况如何？

Tacoma桥风毁解：（1）实桥的颤振验算风速为37m/s，应该求出这一风速对应的模型风速作为确保桥梁安全的控制性试验风速。风速的对应比值取决于弗劳德准则，因此按弗劳德准则计算。即

因为

所以

风洞中的3.38m/s风速相当于实桥的37m/s风速，当全桥气动弹性模型在风洞中经受3.38m/s风速而不发生破坏性的颤振时，实桥在37m/s风速时就不会发生颤振，因此，为确保桥梁安全，试验中控制的最大风洞风速不得低于3.38m/s。

（2）对应实桥风速

对应实桥振幅

弯矩的相似准则为

对应实桥弯矩

对应实桥扭矩

所以模型对应的工况是实桥在31.8m/s风速时跨中振幅为2856mm，气动弯矩为14929920N·m，气动扭矩为6842880N·m例题2高454m的上海东方明珠电视塔在结构设计时需要风荷载数据，因此采用1/100的模型在风洞中进行风荷载测量试验，试验中的关键是要模拟圆柱绕流相似，原型柱直径为9m，已知建筑结构荷载规范[7]给出的塔址处的设计风速为30m/s，（1）试确定试验风速范围；（2）写出根据试验数据计算阻力Fd、横风向力Fl、底部弯矩M的公式。解：(1)本试验应满足雷诺准则

因此

原型塔设计风速30m/s对应的试验风速是3000m/s，显然这在风洞中是不可能实现的，必须另找办法。圆柱结构存在一个雷诺数“自准区”，也就是说，当雷诺数超过某一数值（约为