专题24四边形中动点问题(原卷版+解析)

专题24四边形中动点问题解题思路解题思路考点一：四边形中的动点问题考点二：特殊平行四边形的存在性1．坐标系中的平行四边形：（1）对边平行且相等：（2）对角线互相平分：即A、C中点与B、D中点重合．以上两条可统一为：典例分析典例分析【典例1】（2021春•荔湾区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为ts．（1）CD边的长度为cm，t的取值范围为；（2）从运动开始，当t＝时，PQ∥CD，当t＝时，PQ＝CD．（3）从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？（4）从运动开始，当t取何值时，△DQC是等腰三角形？【变式1】（2019春•崇川区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝30cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当∠PQC＝150°时，求t的值；（2）当PQ＝CD时，求t的值．【典例2】在平面直角坐标系中，有点O（0，0），A（﹣1，1），B（2，2）（1）求点C，使以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．（2）如图，连接OA，过点B作直线l∥OA，分别交x轴、y轴于点D、点E，若点Q在直线l上，在平面直角坐标系中求点P，使以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形．【变式2-1】（2020春•昂昂溪区期末）如图，平行四边形ABCD在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中OA＝4，OB＝3，AD＝6，E是线段OD的中点．（1）直接写出点C，D的坐标；（2）平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．夯实基础夯实基础1．（2021春•渝中区校级期中）如图，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为．2．（2021秋•凤翔县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．（1）请用含有t的式子填空：AQ＝，AP＝，PM＝；（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由．3．（2020春•个旧市期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，点p从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts．（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（等腰梯形的两腰相等，两底角相等）能力提升能力提升4．（2021春•安国市期末）如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），连接OD，点E是线段OD的中点．（1）求点E和点D的坐标；（2）平面内是否存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．专题24四边形中动点问题解题思路解题思路考点一：四边形中的动点问题考点二：特殊平行四边形的存在性1．坐标系中的平行四边形：（1）对边平行且相等：（2）对角线互相平分：即A、C中点与B、D中点重合．以上两条可统一为：典例分析典例分析【典例1】（2021春•荔湾区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为ts．（1）CD边的长度为cm，t的取值范围为；（2）从运动开始，当t＝时，PQ∥CD，当t＝时，PQ＝CD．（3）从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？（4）从运动开始，当t取何值时，△DQC是等腰三角形？【答案】（1）10，0≤t≤9（2）t＝4时；t＝8或4（3）t＝6时（4）t＝5或6或【解答】解：（1）如图1，过点D作DE⊥BC于E，则∠DEB＝∠DEC＝90°，∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠B＝90°，∴∠A＝∠B＝∠DEB＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴DE＝AB＝8，BE＝AD＝12，∵BC＝18，∴CE＝18﹣12＝6，由勾股定理得：CD＝＝10（cm）∵点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，AD＝12cm，∴点P运动到D的时间为：12s，同理得：点Q运动到点B的时间为：＝9s，∴0≤t≤9；（2）如图2，∵AD∥BC，∴PD∥CQ，当PD＝CQ时，四边形DPQC是平行四边形，∴PQ＝CD，∴12﹣t＝2t，∴t＝4，即当t＝4时，PQ∥CD，此时PQ＝CD；如图3，过点P作PF⊥BC于F，过点D作DE⊥BC于E，当PQ＝CD时，∵PF＝DE，∴Rt△PQF≌Rt△DCE（HL），∴FQ＝CE＝6，∵∠PFE＝∠DEF＝∠ADE＝90°，∴四边形DPFE矩形，∴PD＝EF＝12﹣t，∴CQ＝QF+EF+CE，即6+6+12﹣t＝2t，∴t＝8，当t＝8或4时，PQ＝CD；（3）如图4，∵∠B＝90°，AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，即t＝18﹣2t，解得：t＝6，∴当t＝6时，四边形PQBA是矩形；（4）分三种情况：①如图5，当CD＝CQ时，即2t＝10，∴t＝5；②如图6，DQ＝CD，过点D作DE⊥BC于E，∴CQ＝2CE，∴2t＝2×6，∴t＝6；③如图7，DQ＝CQ，过点D作DE⊥BC于E，∵CQ＝2t，∴DQ＝2t，EQ＝6﹣2t，由勾股定理得：DE2+EQ2＝DQ2，即82+（6﹣2t）2＝（2t）2，解得：t＝，综上，当t＝5或6或时，△DQC是等腰三角形【变式1】（2019春•崇川区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝30cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当∠PQC＝150°时，求t的值；（2）当PQ＝CD时，求t的值．【答案】（1）t＝﹣2（2）t＝6s或9s【解答】解：（1）作PE⊥BC于E，由题意得，AP＝t，QC＝3t，则BE＝AP＝t，∴QE＝30﹣4t，∵∠PQC＝150°，∴∠PQE＝30°，∴QE＝PE，即30﹣4t＝8，解得，t＝﹣2；（2）∵当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形，则PQ＝CD，∴24﹣t＝3t，解得，t＝6（s）；当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD．设运动时间为t秒，则有AP＝tcm，CQ＝3tcm，∴BQ＝30﹣3t，作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，则NC＝BC﹣AD＝30﹣24＝6．∵梯形PQCD为等腰梯形，∴NC＝QM＝6，∴BM＝（30﹣3t）+6＝36﹣3t，∴当AP＝BM，即t＝36﹣3t，解得t＝9，∴t＝9s时，四边形PQCD为等腰梯形．综上所述t＝6s或9s时，PQ＝CD．【典例2】在平面直角坐标系中，有点O（0，0），A（﹣1，1），B（2，2）（1）求点C，使以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．（2）如图，连接OA，过点B作直线l∥OA，分别交x轴、y轴于点D、点E，若点Q在直线l上，在平面直角坐标系中求点P，使以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形．【答案】（1）C（﹣3，﹣1）或（3，1）或（1，3）（2）（2，﹣2）或（﹣2，2）或（2，﹣2）或（4，4）【解答】解：（1）如图所示：∵点O（0，0），A（﹣1，1），B（2，2），∴C（﹣3，﹣1），C1（3，1），C2（1，3），∴当点C（﹣3，﹣1）或（3，1）或（1，3），使以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形；（2）如图所示，∵A（﹣1，1），∴OA的解析式为：y＝﹣x，∵OA∥ED，∴设ED的解析式为：y＝﹣x+b，把B（2，2）代入y＝﹣x+b中，b＝4，∴ED的解析式为：y＝﹣x+4，∴D（4，0），①当OD为边，P在第四象限时，四边形OPQD是菱形，则OP＝OD＝4，过P作PG⊥x轴于G，∵∠POG＝45°，∴OG＝PG＝2，∴P（2，﹣2）；②当OD为边，P1在第二象限时，四边形OP1Q1D是菱形，同理得P1（﹣2，2）；③当OD为对角线时，四边形OP2DQ2是菱形，此时Q2与B重合，点P2（2，﹣2）；④当OD为边，Q3与E重合时，四边形ODP3Q3是菱形，此时点P3（4，4）；综上，点P的坐标为（2，﹣2）或（﹣2，2）或（2，﹣2）或（4，4）．【变式2-1】（2020春•昂昂溪区期末）如图，平行四边形ABCD在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中OA＝4，OB＝3，AD＝6，E是线段OD的中点．（1）直接写出点C，D的坐标；（2）平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）C（3，0）（2）（﹣3，﹣2）或（9，2）或（3，6）．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝6，AD∥BC，∵B、点C都在x轴上，点A在y轴上，OA＝4，∴D（6，4），∵OB＝3，∴OC＝BC﹣OB＝3，∴C（3，0）；（2）存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：∵D（6，4），E为线段OD的中点，∴E（3，2），且A（0，4），设点N的坐标为（x，y），如图，分情况讨论：①当AE为对角线时，＝，＝，解得：x＝﹣3，y＝2，∴N（﹣3，2）；②当DE为对角线时，＝，＝，解得：x＝9，y＝2，∴N'（9，2）；③当AD为对角线时，＝，＝4，解得：x＝3，y＝6，∴N''（3，6）；综上所述，平面内存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为（﹣3，﹣2）或（9，2）或（3，6）．夯实基础夯实基础1．（2021春•渝中区校级期中）如图，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为．【答案】（5，4）或（4，4）【解答】解：当AB为菱形的对角线时，如图1，设菱形的边长为m，∵A（0，4），B（8，0），∴OA＝4，OB＝8，∵四边形ABCD为菱形，∴CA＝AD＝BC，AD∥BC，∴CA＝CB＝8﹣m，在Rt△AOC中，42+（8﹣m）2＝m2，解得m＝5，∴D（5，4）；当AB为菱形的边时，如图2，AB＝＝4，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝AB＝AD＝4，AD∥BC，∴D（4，4），综上所述，D点坐标为（5，4）或（4，4）．故答案为（5，4）或（4，4）．2．（2021秋•凤翔县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．（1）请用含有t的式子填空：AQ＝，AP＝，PM＝；（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由．【答案】（1）t，40﹣2t，t（2）t＝【解答】解：（1）∵点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，∴AQ＝t，∵∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝40，∴AP＝AB﹣BP＝40﹣2t，∵PM⊥BC，∴∠PMB＝90°，∴PM＝PB＝t．故答案为：t，40﹣2t，t；（2）存在，理由如下：由（1）知：AQ＝PM，∵AC⊥BC，PM⊥BC，∴AQ∥PM，∴四边形AQMP是平行四边形，当AP＝AQ时，平行四边形AQMP是菱形，即40﹣2t＝t，解得t＝，则存在t＝，使得平行四边形AQMP成为菱形．3．（2020春•个旧市期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，点p从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts．（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（等腰梯形的两腰相等，两底角相等）【答案】（1）t＝6s（2）7s【解答】解：（1）运动时间为ts．AP＝t，PD＝24﹣t，CQ＝3t，∵经过ts四边形PQCD平行四边形∴PD＝CQ，即24﹣t＝3t，解得t＝6．当t＝6s时，四边形PQCD是平行四边形；（2）如图，过点D作DE⊥BC，则CE＝B