(冲刺满分)专题07挑战圆综合应用压轴(六大类型)(原卷版+解析)VIP

冲刺高分必刷专题07挑战圆综合应用压轴（六大类型）【类型一全等三角形有关问题】1．（2020•湘潭）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．2．（2020•安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．3．（2022•永州）如图，已知AB，CE是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，点D在EA的延长线上，AC，OD交于点F，∠MBC＝∠ACD．（1）求证：∠MBC＝∠BAC；（2）求证：AE＝AD；（3）若△OFC的面积S1＝4，求四边形AOCD的面积S．4．（2020秋•平舆县期末）如图，AB为⊙O的直径，点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点E．（1）求证：△CDE≌△CBE；（2）若AB＝6，填空：①当的长度是时，△OBE是等腰三角形；②当BC＝时，四边形OADC为菱形．5．（2020•孝感）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记∠BAC＝α．（1）如图1，若α＝60°，①直接写出的值为；②当⊙O的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为；（2）如图2，若α＜60°，且＝，DE＝4，求BE的长．6．（2020•成都）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半径；（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．【类型二与相似三角形有关问题】7．（2022•株洲）如图所示，△ABC的顶点A，B在⊙O上，顶点C在⊙O外，边AC与⊙O相交于点D，∠BAC＝45°，连接OB、OD，已知OD∥BC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若线段OD与线段AB相交于点E，连接BD．①求证：△ABD∽△DBE；②若AB•BE＝6，求⊙O的半径的长度．8．（2021•枣庄）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．（1）求证：DP∥BC；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．9．（2021•大庆）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P（1）求证：PC＝PG；（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；（3）若G为BC中点，OG＝，sinB＝，求DE的长．10．（2021•株洲）如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上不同的两点，直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．（1）求证：直线CF是⊙O的切线；（2）连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．①求证：△ACD∽△OBE；②过点E作EG∥AB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，若AD＝4，求线段MG的长度．【类型三与锐角三角函数有关问题】11．（2021•宜宾）如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．12．（2021•武汉）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E．连接AC交BD于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若＝，求cos∠ABD的值．13．（2021•甘肃）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．14．（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．15．（2022•扬州）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sinA＝，OA＝8，求CB的长．16．（2022•乐山）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，＝，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．（1）求证：CG＝DG；（2）已知⊙O的半径为6，sin∠ACE＝，延长AC至点B，使BC＝4．求证：BD是⊙O的切线．【类型四与弧、阴影面积计算有关问题】17．（2021•张家界）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，以点O为圆心，OB为半径的圆交BO的延长线于点C，过点C作OA的平行线，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：AD为⊙O的切线；（2）若OB＝2，求弧CD的长．18．（2021•丽水）如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AB于点D，过点D作半圆O的切线，交AC于点E．（1）求证：∠ACB＝2∠ADE；（2）若DE＝3，AE＝，求的长．19．（2021•金华）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．①求∠APO′的度数．②求AP的长．（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．20．（2021•宜昌）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．①求的长；②求AD的长．21．（2021•达州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合）连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．22．（2022•齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积．23．（2022•临沂）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD．过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．（1）求证：∠D＝∠E；（2）若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．24．（2022•内江）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【类型五与特殊四边形有关的问题】25．（2022•福建）如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠ADB的值．26．（2019•南充模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，经过点B，D的圆与BC交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）若四边形ODEB是菱形，时，求⊙O的半径．27．（2022•大冶市校级模拟）如图：AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且点C是劣弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若ED＝DB，求证：3OF＝2DF；（3）在（2）的条件下，连接AD，若CD＝3，求AD的长．28．（2022•蜀山区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．（1）若AB＝8，⊙O的半径为3，求AC的长．（2）过点E作弦EF⊥AB于G，连接AF，若∠AFE＝2∠ABC．求证：四边形ACEF是菱形．29．（2018•盘锦）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B＝∠BAE＝30°．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC＝3，求⊙O的半径r；（3）在（1）的条件下，判断以A、O、E、F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．30．（2020•新野县二模）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝8，，求⊙O的半径；（3）过点B作⊙O的切线交CA的延长线于G，如果连接AE，将线段AC以直线AE为对称轴作对称线段AH，点H正好落在⊙O上，连接BH，请直接写出四边形AHBG的形状．【类型六圆中探究形问题】31．（2022•包头）如图，AB为⊙O的切线，C为切点，D是⊙O上一点，过点D作DF⊥AB，垂足为F，DF交⊙O于点E，连接EO并延长交⊙O于点G，连接CG，OC，OD，已知∠DOE＝2∠CGE．（1）若⊙O的半径为5，求CG的长；（2）试探究DE与EF之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）32．（2022•北海一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F，连接CE、EF．（1）当∠CFE＝45°时，求CD的长；（2）求证：∠BAC＝∠CEF；（3）是否存在点D，使得△CFE是以CF为底的等腰三角形，若存在，求出此时CD的长；若不存在，试说明理由．33．（2021•罗湖区校级模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，O是AC的中点，以点O为圆心在AC的右侧作半径为3的半圆O，分别交AC于点D、E，交AB于点G、F．思考：连接OF，若OF⊥AC，求AF的长度；探究：如图2，将线段CD连同半圆O绕点C旋转．（1）在旋转过程中，求点O到AB距离的最小值；（2）若半圆O与Rt△ABC的直角边相切，设切点为K，连接AK，求AK的长．34．（2020•英德市一模）如图，矩形ABCD中，AB＝13，AD＝6．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．（1）当E是CD的中点时：tan∠EAB的值为；（2）在（1）的条件下，证明：FG是⊙O的切线；（3）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时BE的长；若不能，请说明理由．冲刺高分必刷专题07挑战圆综合应用压轴（六大类型）【类型一全等三角形有关问题】1．（2020•湘潭）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC，在Rt△ADB和Rt△ADC中，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）；（2）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，如图所示：由△ABD≌△ACD知：BD＝DC，又∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．2．（2020•安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△CBA与Rt△DAB中，，∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，∴∠E＝∠BFE，∵BE是半圆O所在圆的切线，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，由（1）知∠D＝90°，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，∵∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，∴∠DAF＝∠BAF，∴AC平分∠DAB．3．（2022•永州）如图，已知AB，CE是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，点D在EA的延长线上，AC，OD交于点F，∠MBC＝∠ACD．（1）求证：∠MBC＝∠BAC；（2）求证：AE＝AD；（3）若△OFC的面积S1＝4，求四边形AOCD的面积S．【解答】（1）证明：∵BM是⊙O的切线，∴AB⊥BM，∴∠ABC+∠MBC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠MBC＝∠BAC；（2）证明：∵AO＝OC，∴∠BAC＝∠ACE，∵∠MBC＝∠ACD，∠MBC＝∠BAC，∴∠ACD＝∠ACE，∵CE是⊙O的直径，∴∠EAC＝∠DAC＝90°，∵AC＝AC，∴△AEC≌△ADC（ASA），∴AE＝AD；（3）解：∵∠BAC＝∠ACD，∴AB∥DC，∴，∴，∴，∵AO∥DC，∴△AOF∽△CDF，∴，∵△OFC的面积S1＝4，∴S△AOF＝2，S△ADF＝S△OCF＝4，S△CDF＝8，∴S四边形AOCD＝S△AOF+S△ADF+S△CDF+S△COF＝2+4+8+4＝18．4．（2020秋•平舆县期末）如图，AB为⊙O的直径，点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点E．（1）求证：△CDE≌△CBE；（2）若AB＝6，填空：①当的长度是π时，△OBE是等腰三角形；②当BC＝3时，四边形OADC为菱形．【解答】解：（1）∵过点C作⊙O的切线l，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∵AB为⊙O的直径，点C为AB上方的圆上一动点，∴AD⊥BD，∴BD⊥OC，∴DE＝BE，∴△CDE≌△CBE（SAS）；（2）①连接OD，当△OBE是等腰三角形时，∵BE⊥OE，∴OE＝BE，∴∠OBE＝∠EOB＝45°，∵AD∥OC，∴∠A＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠COD＝45°，∵AB＝6，∴AO＝3，∴的长度＝＝π，故答案为π；②∵四边形OADC为菱形，∴OA＝OC＝AD＝CD＝3，∵△CDE≌△CBE，∴CD＝BC，∴BC＝3，故答案为3．5．（2020•孝感）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记∠BAC＝α．（1）如图1，若α＝60°，①直接写出的值为；②当⊙O的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为﹣π；（2）如图2，若α＜60°，且＝，DE＝4，求BE的长．【解答】解：（1）如图1，连接OA，AD，∵AF是⊙O的切线，∴∠OAF＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵OA＝OB＝OD，∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∠OAD＝∠ADO＝60°，∵∠BDC＝∠BAC＝60°，∴∠ADF＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠OAD，∴OA∥DF，∴∠F＝180°﹣∠OAF＝90°，∵∠DAF＝30°，∴AD＝2DF，∵∠ABD＝∠CBD，∴，∴AD＝CD，∴CD＝2DF，∴＝，故答案为：；②∵⊙O的半径为2，∴AD＝OA＝2，DF＝1，∵∠AOD＝60°，∴阴影部分的面积为：S梯形AODF﹣S扇形OAD＝﹣＝＝π；故答案为：π；（2）如图2，连接AD，连接AO并延长交⊙O于点H，连接DH，则∠ADH＝90°，∴∠DAH+∠DHA＝90°，∵AF与⊙O相切，∴∠DAH+∠DAF＝∠FAO＝90°，∴∠DAF＝∠DHA，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵，∴∠CAD＝∠DHA＝∠DAF，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠ADF＝∠ABC，∵∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，∴∠ADF＝∠ADB，在△ADF和△ADE中∵，∴△ADF≌△ADE（ASA），∴DF＝DE＝4，∵，∴DC＝6，∵∠DCE＝∠ABD＝∠DBC，∠CDE＝∠CDE，∴△CDE∽△BDC，∴，即，∴BD＝9，∴BE＝DB﹣DE＝9﹣4＝5．6．（2020•成都）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半径；（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠ADO＝∠ACO＝90°，∴OD⊥AB，又∵OC是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）∵tanB＝＝，∴设AC＝4x，BC＝3x，∵AC2+BC2＝AB2，∴16x2+9x2＝100，∴x＝2，∴BC＝6，∵AC＝AD＝8，AB＝10，∴BD＝2，∵OB2＝OD2+BD2，∴（6﹣OC）2＝OC2+4，∴OC＝，故⊙O的半径为；（3）AF＝CE+BD，理由如下：连接OD，DE，由（1）可知：△ACO≌△ADO，∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，又∵CO＝DO，OE＝OE，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠OCE＝∠ODE，∵OC＝OE＝OD，∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，∴CF＝BF＝AF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝CE，∴AF＝BF＝DF+BD＝CE+BD．【类型二与相似三角形有关问题】7．（2022•株洲）如图所示，△ABC的顶点A，B在⊙O上，顶点C在⊙O外，边AC与⊙O相交于点D，∠BAC＝45°，连接OB、OD，已知OD∥BC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若线段OD与线段AB相交于点E，连接BD．①求证：△ABD∽△DBE；②若AB•BE＝6，求⊙O的半径的长度．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝45°，∴∠BOD＝2∠BAC＝90°，∵OD∥BC，∴∠OBC＝180°﹣∠BOD＝90°，∴OB⊥BC，又OB是⊙O的半径，∴直线BC是⊙O的切线；（2）①证明：由（1）知∠BOD＝90°，∵OB＝OD，∴△BOD是等腰直角三角形，∴∠BDE＝45°＝∠BAD，∵∠DBE＝∠ABD，∴△ABD∽△DBE；②解：由①知：△ABD∽△DBE，∴＝，∴BD2＝AB•BE，∵AB•BE＝6，∴BD2＝6，∴BD＝，∵△BOD是等腰直角三角形，∴OB＝BD•sin∠BDO＝×＝，∴⊙O的半径的长度是．8．（2021•枣庄）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．（1）求证：DP∥BC；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．【解答】解：（1）连接OD，∵DP是⊙O的切线，∴DO⊥DP，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∵BC是圆的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAD＝45°，∴∠BOD＝90°，∴OD⊥BC，∴DP∥BC；（2）∵DP∥BC，∴∠ACB＝∠P，∵＝，∴∠ACB＝∠ADB，∴∠P＝∠ADB，∵OD＝OC，∴∠ODC＝45°，∴∠CDP＝45°，∴△ABD∽△DCP；（3）∵AB＝5cm，AC＝12cm，∠BAC＝90°，∴BC＝13cm，在Rt△COD中，CD＝，在Rt△BOD中，BD＝，∵△ABD∽△DCP，∴＝，∴＝，∴CP＝．9．（2021•大庆）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P（1）求证：PC＝PG；（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；（3）若G为BC中点，OG＝，sinB＝，求DE的长．【解答】解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵CP是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∵弦ED垂直AB于点F，AB是⊙O的直径，∴∠GFB＝90°，∵∠FGB+∠FBG＝90°，∠OCB+∠BCP＝90°，∴∠FGB＝∠PCG，∵∠FGB＝∠PGC，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG；（2）如图1，连接EC、CD，∵ED⊥AB，AB是圆O的直径，∴＝，∴∠ECB＝∠BCD，∵PG＝PC，∴∠PCG＝∠PGC，∵∠CGP＝∠E+∠ECB，∠GCP＝∠PCD+∠BCD，∴∠PCD＝∠E，∴△PCD∽△PEC，∴＝，∴PC2＝PE•PD，∵PC＝PG，∴PG2＝PD•PE；（3）如图2，连接OG，EO，∵G为BC中点，∴OG⊥BC，在Rt△BOG中，OG＝，sinB＝，∴OB＝5，BG＝2，∵GF⊥OB，∴∠B+∠FGB＝90°，∠B+∠BOG＝90°，∴∠GOF＝∠FGB，∴△FGB∽△GOB，∴，∴＝，∴FB＝4，∴OF＝1，在Rt△EOF中，OF＝1，EO＝5，∴EF＝2，∴ED＝4．10．（2021•株洲）如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上不同的两点，直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．（1）求证：直线CF是⊙O的切线；（2）连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．①求证：△ACD∽△OBE；②过点E作EG∥AB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，若AD＝4，求线段MG的长度．【解答】（1）证明：∵9（EF2﹣CF2）＝OC2，OC＝3CE，∴9（EF2﹣CF2）＝9EC2，∴EF2＝EC2+CF2，∴∠ECF＝90°，∴OC⊥CF，∴直线CF是⊙O的切线．（2）①证明：∵∠COD＝2∠DAC，∠COD＝2∠BOC，∴∠DAC＝∠EOB，∵∠DCA＝∠EBO，∴△ACD∽△OBE．②解：∵OB＝OC，OC＝3EC，∴OB：OE＝3：2，∵△ACD∽△OBE，∴＝，∴＝＝，∵AD＝4，∴AC＝6，∵M是AC的中点，∴CM＝MA＝3，∵EG∥OA，∴＝＝，∴CG＝2，∴MG＝CM﹣CG＝3﹣2＝1，即线段MG的长度为1．【类型三与锐角三角函数有关问题】11．（2021•宜宾）如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．【解答】解：（1）CD与⊙O相切，理由：如图1，连接OD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠CBD，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，∴∠CDA+∠ADO＝90°，∴∠CDO＝90°，∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切；（2）由（1）知，∠CBD＝∠ADC，∵tan∠ADC＝，∴tan∠CBD＝，在Rt△ADB中，tan∠CBD＝＝，∵∠C＝∠C，∠ADC＝∠CBD，∴△CAD∽△CDB，∴，∴CD＝2CA＝4，∴CB＝2CD＝8，∴AB＝CB﹣CA＝8﹣2＝6，∴OA＝OB＝AB＝3，∴⊙O的半径为3；（3）如图2，连接OE，过点E作EG⊥BD于G，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠BDE＝45°，∴∠BOE＝2∠BDE＝90°，∴BE＝＝3，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2＝62，∵，∴AD＝，BD＝，∵EG⊥BD，∠BDE＝45°，∴∠DEG＝∠BDE＝45°，∴DG＝EG，设DG＝EG＝x，则BG＝BD﹣DG＝﹣x，在Rt△BEG中，EG2+BG2＝BE2＝（3）2＝18，∴x2+（﹣x）2＝18，∴x＝或x＝（舍），∴EG＝，∴sin∠DBE＝＝．12．（2021•武汉）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E．连接AC交BD于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若＝，求cos∠ABD的值．【解答】（1）证明：连接OC交BD于点G，∵点C是的中点，∴由圆的对称性得OC垂直平分BD，∴∠DGC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形EDGC是矩形，∴∠ECG＝90°，∴CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；（2）解：连接BC，设FG＝x，OB＝r，∵＝，设DF＝t，DC＝t，由（1）得，BC＝CD＝t，BG＝GD＝x+t，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCG+∠FCG＝90°，∵∠DGC＝90°，∴∠CFB+∠FCG＝90°，∴∠BCG＝∠CFB，∴Rt△BCG∽Rt△BFC，∴BC2＝BG•BF，∴（t）2＝（x+t）（2x+t）解得x1＝t，x2＝﹣t（不符合题意，舍去），∴CG＝＝＝t，∴OG＝r﹣t，在Rt△OBG中，由勾股定理得OG2+BG2＝OB2，∴（r﹣t）2+（2t）2＝r2，解得r＝t，∴cos∠ABD＝＝＝．方法二、设CF＝n，由△CBF∽△CAB，可得CB2＝CF•CA，则AF＝＝，∵BF＝＝，∵△FDA∽△FCB，∴，∴＝，∴n＝t或t（舍去），∴BF＝3t，∴BD＝4t，∵△FDA∽△FCB，∴＝，∴AD＝t，∴AB＝3t，∴cos∠ABD＝＝．13．（2021•甘肃）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．【解答】（1）证明：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠DCB＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA+∠OCB＝90°，∴∠DCB+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵OE∥BC，∴＝，∵CD＝4，CE＝6，∴＝＝，设BD＝2x，则OB＝OC＝3x，OD＝OB+BD＝5x，∵OC⊥DC，∴△OCD是直角三角形，在Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2，∴（3x）2+42＝（5x）2，解得，x＝1，∴OC＝3x＝3，即⊙O的半径为3，∵BC∥OE，∴∠OCB＝∠EOC，在Rt△OCE中，tan∠EOC＝＝＝2，∴tan∠OCB＝tan∠EOC＝2．14．（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠OCB+∠DCB＝90°，∴OC⊥CD，∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点O作OH⊥BC于点H．∵sin∠BAC＝＝，∴可以假设BC＝4k，AB＝5k，则AO＝OC＝CE＝2.5k，∵OH⊥BC，OC＝OB∴CH＝BH＝2k，∵OA＝OB，AC2＝AB2﹣BC2，∴OH＝AC＝k，∴EH＝CE﹣CH＝2.5k﹣2k＝0.5k，∴tan∠CEO＝＝＝3．15．（2022•扬州）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sinA＝，OA＝8，求CB的长．【解答】解：（1）直线BC与⊙O相切，理由：如图，连接OB，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP，∵∠APO＝∠CPB，∴∠APO＝∠CBP，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO＝90°，∴∠OBA+∠CBP＝90°，∴∠OBC＝90°，∵OB为半径，∴直线BC与⊙O相切；（2）在Rt△AOP中，sinA＝，∵sinA＝，∴设OP＝x，则AP＝5x，∵OP2+OA2＝AP2，∴，解得：x＝或﹣（不符合题意，舍去），∴OP＝×＝4，∵∠OBC＝90°，∴BC2+OB2＝OC2，∵CP＝CB，OB＝OA＝8，∴BC2+82＝（BC+4）2，解得：BC＝6，∴CB的长为6．16．（2022•乐山）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，＝，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．（1）求证：CG＝DG；（2）已知⊙O的半径为6，sin∠ACE＝，延长AC至点B，使BC＝4．求证：BD是⊙O的切线．【解答】证明：（1）连接AD，∵线段AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠CDG＝90°，∵DF⊥BC，∴∠DFA＝∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠CDG＝∠DAF，∵＝，∴∠DAF＝∠DCG，∴∠CDG＝∠DCG，∴CG＝DG；（2）连接OD，交CE于H，∵＝，∴OD⊥EC，∵sin∠ACE＝＝，∵BC＝4，OD＝OC＝6，∴＝＝，∴＝，∵∠COH＝∠BOD，∴△COH∽△BOD，∴∠BDO＝∠CHO＝90°，∴OD⊥BD，∵OD是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线．【类型四与弧、阴影面积计算有关问题】17．（2021•张家界）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，以点O为圆心，OB为半径的圆交BO的延长线于点C，过点C作OA的平行线，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：AD为⊙O的切线；（2）若OB＝2，求弧CD的长．【解答】（1）证明；连接OD，∵∠OAB＝30°，∠B＝90°，∴∠AOB＝60°，又∵CD∥AO，∴∠C＝∠AOB＝60°，又∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，又∵OB＝OD，AO＝AO，∴△AOB≌△AOD（SAS），∴∠ADO＝∠ABO＝90°，又∵点D在⊙O上，∴AD是⊙O的切线；（2）解：由题意得，⊙O的半径OB＝2＝OC，∠COD＝60°，根据弧长公式可得，＝＝，答：弧CD的长．18．（2021•丽水）如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AB于点D，过点D作半圆O的切线，交AC于点E．（1）求证：∠ACB＝2∠ADE；（2）若DE＝3，AE＝，求的长．【解答】（1）证明：连接OD，CD，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ODC+∠EDC＝90°，∵BC为⊙O直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠ODC，∵AC＝BC，∴∠ACB＝2∠DCE＝2∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ACB＝2∠ADE；（2）解：由（1）知，∠ADE+∠EDC＝90°，∠ADE＝∠DCE，∴∠AED＝90°，∵DE＝3，AE＝，∴AD＝＝2，tanA＝，∴∠A＝60°，∵AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2AD＝4，∴，∴的长为＝＝．19．（2021•金华）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．①求∠APO′的度数．②求AP的长．（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．【解答】解：（1）①如图1中，∵BO′是⊙O的切线，∴∠OBO′＝90°，由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°，∠OPB＝∠BPO′，∵∠AOB＝75°，∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∴∠OPO′＝120°，∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．②如图1中，过点B作BH⊥OA于H，在BH上取一点F，使得OF＝FB，连接OF．∵∠BHO＝90°，∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°，∵FO＝FB，∴∠FOB＝∠FBO＝15°，∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°，设OH＝m，则HF＝m，OF＝FB＝2m，∵OB2＝OH2+BH2，∴62＝m2+（m+2m）2，∴m＝或﹣（舍弃），∴OH＝，BH＝，在Rt△PBH中，PH＝＝，∴PA＝OA﹣OH﹣PH＝6﹣﹣＝6﹣2．解法二：连接OO′交PB于T，则BP⊥′OO′，在Rt△OBT中，OT＝OB×sin45°＝3．在Rt△OTP中，OP＝＝2，∴AP＝OA﹣OP＝6﹣2．（2）如图2中，连接AD，OD．∵＝，∴AD＝BD，∠AOD＝∠BOD，由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBD，∵PD∥OB，∴∠DPB＝∠OBP，∴∠DPB＝∠PBD，∴DP＝DB＝AD，∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB，∵AO＝OD＝OB，AD＝DB，∴△AOD≌△BOD，∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝2∠BOD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB，∴∠DOB＝36°，∴∠AOB＝72°，∴的长＝＝．20．（2021•宜昌）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．①求的长；②求AD的长．【解答】解：（1）证明：如图1，过点O作OM⊥BC于点M，∵BD是菱形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠CBD，∵OM⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OM，∴BC是⊙O的切线．（2）①如图2，∵G是OF的中点，OF＝OH，∴OG＝OH，∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴∠OGH＝90°，∴sin∠GHO＝，∴∠GHO＝30°，∴∠GOH＝60°，∴∠HOE＝120°，∵OG＝2，∴OH＝4，∴由弧长公式得到的长：＝．②如图3，过A作AN⊥BD于点N，∵DG＝1，OG＝2，OE＝OH＝4，∴OD＝，OB＝2，DN＝，∴△DOG∽△DAN，∴，∴，∴AD＝．21．（2021•达州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合）连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，∴∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ADC＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠ACO＝∠EAC，∴OC∥AE，∴∠AEC+∠ECO＝180°，∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）解：连接OF，过点O作OG⊥AE于点G，∵∠BAC＝15°，∴∠BAE＝2∠BAC＝30°，∠COF＝2∠EAC＝2∠BAC＝30°，∵OA＝2，∴OG＝OA＝1，AG＝，∵OA＝OF，∴AF＝2AG＝2，∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，OC＝OA＝2，∴CD＝OC＝1，OD＝，∴AE＝AD＝AO+OD＝2+，∴EF＝AE﹣AF＝2﹣，CE＝CD＝1，∴S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF＝×（2﹣+2）×1﹣×π×22＝2﹣﹣π．22．（2022•齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：如图1，连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠FCB，∴∠ACB＝∠FCB，在△DCB和△FCB中，，∴△DCB≌△FCB（SAS），∴∠F＝∠CDB＝90°，∵AB∥CF，∴∠ABF+∠F＝180°，∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF，∵AB为直径，∴BF是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接BD、OE交于点M，连接AE，∵AB是直径，∴AE⊥BC，AD⊥BD，∵∠BAC＝45°，AD＝4，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AD＝4，AB＝＝＝4，∴OA＝OB＝2，∴OE是△ADB的中位线，∴OE∥AD，∴∠BOE＝∠BAC＝45°，OE⊥BD，，∴BM＝BD＝×4＝2，∴S阴影部分＝S扇形BOE﹣S△BOE＝﹣××2＝．23．（2022•临沂）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD．过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．（1）求证：∠D＝∠E；（2）若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴∠OBE＝90°，∴∠E+∠BOE＝90°，∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∴∠D+∠DCB＝90°，∵OE∥BC，∴∠BOE＝∠OBC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BOE＝∠OCB，∴∠D＝∠E；（2）解：∵F为OE的中点，OB＝OF，∴OF＝EF＝3，∴OE＝6，∴BO＝OE，∵∠OBE＝90°，∴∠E＝30°，∴∠BOG＝60°，∵OE∥BC，∠DBC＝90°，∴∠OGB＝90°，∴OG＝，BG＝，∴S△BOG＝OG•BG＝＝，S扇形BOF＝＝π，∴S阴影部分＝S扇形BOF﹣S△BOG＝．24．（2022•内江）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【解答】解：（1）直线AF与⊙O相切．理由如下：连接OC，∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵OF∥BC，∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠AOF＝∠COF，∵在△AOF和△COF中，，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠OAF＝∠OCF＝90°，∴AF⊥OA，又∵OA为圆O的半径，∴AF为圆O的切线；（2）∵∠AOF＝∠COF，OA＝OC，∴E为AC中点，即AE＝CE＝AC，OE⊥AC，∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2，∴tan∠AOF＝，∴∠AOF＝30°，∴AE＝OA＝3，∴AC＝2AE＝6；（3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，OC＝6，∵∠OCP＝90°，∴CP＝OC＝6，∴S△OCP＝OC•CP＝＝18，S扇形AOC＝＝6π，∴阴影部分的面积为S△OCP﹣S扇形AOC＝18﹣6π．【类型五与特殊四边形有关的问题】25．（2022•福建）如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠ADB的值．【解答】解：（1）根据题意作图如下：（2）设∠ADB＝α，⊙A的半径为r，∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四边形AEFG是矩形，又AE＝AG＝r，∴四边形AEFG是正方形，∴EF＝AE＝r，在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，∴∠BAE＝∠ADB＝α，在Rt△ABE中，tan∠BAE＝，∴BE＝r•tanα，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，又∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝r•tanα，∴DE＝DF+EF＝r•tanα+r，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，即DE•tanα＝AE，∴（r•tanα+r）•tanα＝r，即tan2α+tanα﹣1＝0，∵tanα＞0，∴tanα＝，即tan∠ADB的值为．26．（2019•南充模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，经过点B，D的圆与BC交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）若四边形ODEB是菱形，时，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵BD是角平分线，∴∠OBD＝∠DBC，∴∠DBC＝∠ODB．∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴OD⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：连接OE，当四边形ODEB是菱形时，OD＝DE．∴OE＝OD＝DE，∴△ODE是等边三角形，∴∠ODE＝60°．∴∠EDC＝30°，∴，∴BC＝3EC，∵，∴，∴⊙O的半径为．27．（2022•大冶市校级模拟）如图：AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且点C是劣弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若ED＝DB，求证：3OF＝2DF；（3）在（2）的条件下，连接AD，若CD＝3，求AD的长．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，∵AC＝CG，∴＝，∴∠ABC＝∠CBG，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OCB＝∠CBG，∴OC∥BG，∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图1，∵CD⊥BG，∴∠BDE＝90°，∵ED＝DB，∴tanE＝＝，∴∠E＝30°，∴∠EBD＝∠COE＝60°，∴OC＝OE，∴OC＝OA＝AE，∵OC∥BD，∴△EOC∽△EBD，∴，∵OC∥BD，∴△COF∽△BDF，∴，∴3OF＝2DF；（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，∵∠E＝30°∴∠EBD＝60°，∴∠CBD＝∠EBD＝30°，∵CD＝3，∴BD＝3，DE＝9，BE＝6，∴AE＝BE＝2，∴AH＝，∴EH＝3，∴DH＝9﹣3＝6，在Rt△DAH中，AD＝＝．28．（2022•蜀山区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．（1）若AB＝8，⊙O的半径为3，求AC的长．（2）过点E作弦EF⊥AB于G，连接AF，若∠AFE＝2∠ABC．求证：四边形ACEF是菱形．【解答】（1）解：连接OE，∵AB＝8，⊙O的半径为3，∴OB＝8﹣3＝5，∵⊙O与边BC相切于点E，∴OE⊥BC，∴BE＝＝＝4，∵∠BAC＝90°，∴CA是⊙O的切线，∴CA＝CE，在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，即AC2+82＝（4+AC）2，解得：AC＝6；（2）证明：由圆周角定理得：∠AOE＝2∠AFE，∵∠AFE＝2∠ABC，∴∠AOE＝4∠ABC，∵∠AOE＝90°+∠ABC，∴∠ABC＝30°，∴∠AFE＝60°，∵EF⊥AB，∴∠FEB＝60°，∴∠AFE＝∠FEB，∴AF∥BC，∵∠BAC＝90°，EF⊥AB，∴AC∥EF，∴四边形ACEF为平行四边形，∵CA＝CE，∴平行四边形ACEF为菱形．29．（2018•盘锦）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B＝∠BAE＝30°．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC＝3，求⊙O的半径r；（3）在（1）的条件下，判断以A、O、E、F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．【解答】解：（1）如图1，连接OE，∴OA＝OE，∴∠BAE＝∠OEA，∵∠BAE＝30°，∴∠OEA＝30°，∴∠BOE＝∠BAE+∠OEA＝60°，在△BOE中，∠B＝30°，∴∠OEB＝180°﹣∠B﹣∠BOE＝90°，∴OE⊥BC，∵点E在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）如图2，∵∠B＝∠BAE＝30°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝60°，在Rt△ACE中，AC＝3，sin∠AEC＝，∴AE＝＝＝2，连接DE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，在Rt△ADE中，∠BAE＝30°，cos∠DAE＝，∴AD＝＝＝4，∴⊙O的半径r＝AD＝2；（3）以A、O、E、F为顶点的四边形是菱形，理由：如图3，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，连接OF，∴OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴OA＝AF，∠AOF＝60°，连接EF，OE，∴OE＝OF，∵∠OEB＝90°，∠B＝30°，∴∠AOE＝90°+30°＝120°，∴∠EOF＝∠AOE﹣∠AOF＝60°，∵OE＝OF，∴△OEF是等边三角形，∴OE＝EF，∵OA＝OE，∴OA＝AF＝EF＝OE，∴四边形OAFE是菱形．30．（2020•新野县二模）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝8，，求⊙O的半径；（3）过点B作⊙O的切线交CA的延长线于G，如果连接AE，将线段AC以直线AE为对称轴作对称线段AH，点H正好落在⊙O上，连接BH，请直接写出四边形AHBG的形状．【解答】解：（1）证明：如图1，连接OA，OD，则∠OAF＝∠D，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴，∴，∴∠OFD+∠D＝90°，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD，∴∠CAF+∠OAF＝90°，即∠CAO＝90°，∴OA⊥CA，∴AC是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，则OF＝BF﹣OB＝8﹣r，∵在Rt△OFD中，OF2+OD2＝DF2，∴，解得，r1＝6，r2＝2（舍去），∴⊙O的半径为6；（3）四边形AHBG是菱形．证明：如图2，连接EH，由对称性可知AC＝AH，∠CAE＝∠HAE，又∵AE＝AE，∴△CAE≌△HAE（SAS），∴∠C＝∠EHA，∵＝，∴∠EHA＝∠ABE，∴∠C＝∠ABE，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵BE为⊙O的直径，∴∠EAB＝90°，∴∠OAB+∠OAE＝90°，又∵∠CAE+∠OAE＝90°，∴∠CAE＝∠OAB，∴∠C＝∠OBA＝∠OAB＝∠CAE，∴AC＝AB，∴△CAE≌△BAO（ASA），∴AE＝AO＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴∠AEO＝60°，∴∠ABE＝90°﹣∠AEO＝30°，∠AHB＝∠AEO＝60°，∴∠ABG＝90°﹣∠ABE＝60°，∵CA＝AH，CA＝AB，∴AH＝AB，又∠AHB＝60°，∴△ABH是等边三角形，∴AB＝BH＝AH，∵GB，GA是⊙O的切线，∴GB＝GA，又∠ABG＝60°，∴△ABG是等边三角形，∴AB＝BG＝AG，∴BH＝AH＝BG＝AG，∴四边形AHBG是菱形．【类型六圆中探究形问题】31．（2022•包头）如图，AB为⊙O的切线，C为切点，D是⊙O上一点，过点D作DF⊥AB，垂足为F，DF交⊙O于点E，连接EO并延长交⊙O于点G，连接CG，OC，OD，已知∠DOE＝2∠CGE．（1）若⊙O的半径为5，求CG的长；（2）试探究DE与EF之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）【解答】解：（1）连接CE，∵，∴∠COE＝2∠CGE，∵∠DOE＝2∠CGE，∴∠COE＝∠DOE，∵AB为⊙O的切线，C为切点，∴OC⊥AB，∴∠OCB＝