第13课圆心角（教师版）九年级数学上册讲义（浙教版）

第13课圆心角目标导航目标导航学习目标1.了解圆的中心对称性和旋转不变性，体验利用旋转来研究圆的性质的思想方法.2.理解圆心角的概念,并掌握圆心角定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.3.掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质.4.会运用关于圆心角、弧、弦、弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题.知识精讲知识精讲知识点01圆心角的概念圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的度数等于它所对的弧的度数．知识点02圆心角定理1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对弦的弦心距也相等．2.圆心角定理推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，则它们所对应的其余各对量都相等．能力拓展考点01圆心角的概念能力拓展【典例1】1.下列图形中的角，是圆心角的为（）A．B．C．D．【思路点拨】根据圆心角的定义逐个判断即可．【解析】解：A．顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；B．顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；C．是圆心角，故本选项符合题意；D．顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了圆心角，弧、弦之间的关系和圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．28° B．64° C．56° D．124°【思路点拨】先利用互余计算出∠B＝62°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB＝∠B＝62°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．【解析】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝62°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝62°，∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴的度数为56°．故选：C．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【即学即练1】1．下面图形中的角是圆心角的是（）A． B． C． D．【思路点拨】根据圆心角的定义逐个判断即可．【解析】解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；B．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；D．是圆心角，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了圆心角的定义，注意：顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角，叫圆心角．2．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求的度数．【思路点拨】连接OB，如图，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠EBO＝2∠A，则∠E＝2∠A，再利用∠EOD＝84°得到2∠A+∠A＝84°，解得∠A＝28°，接着计算出∠BOE的度数，从而得到的度数．【解析】解：连接OB，如图，∵OB＝OC，OC＝AB，∴OB＝AB，∴∠A＝∠BOA，∴∠EBO＝∠A+∠BOA＝2∠A，∵OB＝OE，∴∠E＝∠EBO＝2∠A，∵∠EOD＝∠E+∠A，∴2∠A+∠A＝84°，解得∠A＝28°，∴∠E＝∠EBO＝56°，∴∠BOE＝180°﹣∠E﹣∠EBO＝180°﹣56°﹣56°＝68°，∴的度数为68°．故答案为：68°．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点02圆心角定理【典例2】如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．（1）求证：CD＝CE．（2）求证：＝．【思路点拨】（1）连接OC，只要证明△COD≌△COE（SAS）即可解决问题；（2）欲证明＝，只要证明∠MOD＝∠NOE即可；【解析】（1）证明：连接OC．∵＝，∴∠COD＝∠COE，∵OA＝OB，AD＝BE，∴OD＝OE，∵OC＝OC，∴△COD≌△COE（SAS），∴CD＝CE．（2）分别连接OM，ON，∵△COD≌△COE，∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE，∵OC＝OM＝ON，∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC，∴∠OMD＝∠ONE，∵∠ODC＝∠DMO+∠MOD，∠CEO＝∠CNO+∠EON，∴∠MOD＝∠NOE，∴＝．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【即学即练2】如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：（1）＝；（2）AE＝CE．【思路点拨】（1）由AB＝CD，推出＝，推出＝．（2）证明△ADE≌△CBE可得结论．【解析】证明：（1）∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，∴＝．（2）∵＝，∴AD＝BC，∵∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB，∴△ADE≌△CBE（AAS），∴AE＝EC．【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．分层提分分层提分题组A基础过关练1．如图，在⊙O中，＝，∠1＝45°，则∠2＝（）A．60° B．30° C．45° D．40°【思路点拨】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论．【解析】解：∵＝，∴∠2＝∠1＝45°，故选：C．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．2．如图，AB为半圆O的直径，点C、D为的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是（）A．25° B．30° C．50° D．60°【思路点拨】求出∠AOE，可得结论．【解析】解：∵点C、D为的三等分点，∴＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝50°，∴∠AOE＝150°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝30°，故选：B．【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．下列说法正确的个数有（）①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【思路点拨】根据半圆，等圆，等弧等知识一一判断即可．【解析】解：①半圆是弧，正确；②面积相等的两个圆是等圆，正确，③所对的弦长相等的两条弧是等弧，错误，可能一条是优弧，一条是劣弧④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，错误，应该同圆或等圆中．⑤等弧所对的圆心角相等，正确．故选：B．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，半圆，等圆，等弧等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．如图，在两个同心圆中，为60°，则的度数为60°．【思路点拨】求出∠AOB＝60°，可得结论．【解析】解：∵的度数为60°，∴∠AOB＝60°，∴的度数为60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是理解圆心角的度数与所对的弧的度数相等．5．如图，在⊙O中，＝，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝，正确的是①②③④（填序号）．【思路点拨】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．【解析】解：在⊙O中，＝，∴AB＝CD，故①正确；∵BC为公共弧，∴＝故④正确；∴AC＝BD，故②正确；∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．6．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，要使AB＝CD，需要补充的条件是＝（补充一个即可）．【思路点拨】根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．【解析】解：当＝时，AB＝CD，理由如下：∵＝，∴+＝+，即＝，∴AB＝CD，故答案为：＝．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．7．如图，AB是⊙O的直径，AC，CD，DE，EF，FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，求∠AOC与∠COF的度数．【思路点拨】由AC＝CD＝DE＝EF＝FB，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOB，而AB是⊙O的直径，所以∠AOC＝×180°，∠COF＝×180°．【解析】解：∵AC＝CD＝DE＝EF＝FB，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOB，而AB是⊙O的直径，∴∠AOB＝180°，∴∠AOC＝×180°＝36°，∴∠COF＝×180°＝108°．【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．8．如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1＝∠2，求证：AC＝BD．【思路点拨】求出∠AOC＝∠BOD，推出弧AC＝弧BD，即可得出AC＝BD．【解析】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，∴弧AC＝弧BD，∴AC＝BD．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．9．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D为的中点．【思路点拨】根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B＝∠C，∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，求出∠AOD＝∠COD，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．【解析】证明：∵OB＝OC，∴∠B＝∠C，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，∴∠AOD＝∠COD，∴＝，即D为的中点．【点睛】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出∠AOD＝∠COD是解此题的关键．题组B能力提升练10．圆中长度等于半径的弦所对的圆心角的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【思路点拨】根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出即可．【解析】解：连接OA、OB，∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，即圆中长度等于半径的弦所对的圆心角的度数为60°，故选：C．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和等边三角形的性质和判定，能熟记等边三角形的性质和判定定理是解此题的关键．11．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（）A．25 B．25 C． D．【思路点拨】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题．【解析】解：连OC，如图，∵C是的中点，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OBC都是等边三角形，∴S四边形AOBC＝2×＝．故选：D．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．12．如图，在⊙O中，如果＝2，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC【思路点拨】取弧AB的中点D，连接AD，BD，则＝2＝2，由已知条件＝2，得出＝＝，根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到AD＝BD＝AC，又在△ABD中，根据三角形三边关系定理得出AD+BD＞AB，即可得到AB＜2AC．【解析】解：如图，取弧AB的中点D，连接AD，BD，则＝2＝2，∵＝2，∴＝＝，∴AD＝BD＝AC．在△ABD中，AD+BD＞AB，∴AC+AC＞AB，即AB＜2AC．故选：D．【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线，得出AD＝BD＝AC是解题的关键．13．如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（）A．125° B．120° C．130° D．115°【思路点拨】过点O作OE⊥AB于E，OD⊥BC于D，OF⊥AC于F，根据心角、弧、弦的关系定理得到OD＝OE＝OF，根据角平分线的判定定理、三角形内角和定理计算，得到答案．【解析】解：过点O作OE⊥AB于E，OD⊥BC于D，OF⊥AC于F，∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，由题意得，HG＝PQ＝MN，∴OD＝OE＝OF，∵OE⊥AB，OD⊥BC，OF⊥AC，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，故选：C．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、角平分线的判定，掌握圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．14．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数70°．【思路点拨】连接OE，由弧CE的度数为40°，得到∠COE＝40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC＝∠OCE＝70°．【解析】解：连接OE，如图，∵弧CE的度数为40°，∴∠COE＝40°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵弦CE∥AB，∴∠AOC＝∠OCE＝70°．【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等，等腰三角形的性质和平行的性质以及三角形的内角和定理．15．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为35°，则的度数是105°．【思路点拨】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD＝35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．【解析】解：连接OD、OE，∵的度数为35°，∴∠AOD＝35°，∵CD＝CO，∴∠ODC＝∠AOD＝35°，∵OD＝OE，∴∠ODC＝∠E＝35°，∴∠DOE＝110°，∴∠AOE＝75°，∴∠BOE＝105°，∴的度数是105°．故答案为105°．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．16．已知如图所示，P为直径AB上一点，EF，CD为过点P的两条弦，且∠DPB＝∠EPB；（1）求证：；（2）求证：CE＝DF．【思路点拨】（1）根据弧长之间的关系，可证＝；（2）由弧CE＝弧DF推出CE＝DF．【解析】证明：（1）作ON⊥EF，OM⊥CD，∵∠DPB＝∠EPB；∴ON＝OM，∴CD＝EF，∴＝，﹣＝﹣，即．（2）证明：∵∴CE＝DF．【点睛】本题主要考查圆心角，弧和弦之间的关系．17．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB＝弧CD，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．求证：DE＝BF．【思路点拨】由弧CB＝弧CD，根据圆周角定理得到CB＝CD，∠CAE＝∠CAB，而CF⊥AB，CE⊥AD，根据角平分线定理得到CE＝CF，于是有Rt△CED≌Rt△CFB，即可得到结论．【解析】证明：∵弧CB＝弧CD，∴CB＝CD，∠CAE＝∠CAB，又∵CF⊥AB，CE⊥AD，∴CE＝CF，∴Rt△CED≌Rt△CFB，∴DE＝BF．【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了圆周角定理、角平分线定理以及三角形全等的判定与性质．18．如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．（1）求证：AE＝BF；（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长．【思路点拨】（1）连接OA、OB，证明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出结论；（2）连接OA，由垂径定理得出AM＝AB＝6，设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∵＝，∴∠AOE＝∠BOF，在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴AE＝BF．（2）解：连接OA，如图2所示：∵OM⊥AB，∴AM＝AB＝6，设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得：62+x2＝（x+3）2，解得：x＝4.5，∴OM＝4.5．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．题组C培优拔尖练19．如图，半径为5的⊙O中，有两条互相垂直的弦AB、CD，垂足为点E，且AB＝CD＝8，则OE的长为（）A．3 B． C．2 D．3【思路点拨】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC，根据垂径定理得出BM＝AM＝4，DN＝CN＝4，根据勾股定理求出OM和ON，证明四边形OMEN是正方形，即可解决问题．【解析】解：如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC．∴AM＝BM＝4，CN＝DN＝4，∵OA＝OC＝5，∴OM＝＝＝3，ON＝＝＝3，∴OM＝ON，∵AB⊥CD，∴∠OME＝∠ONE＝∠MEN＝90°，∴四边形OMEN是矩形，∵OM＝ON，∴四边形OMEN是正方形，∴OE＝OM＝3，故选：D．【点睛】本题考查垂径定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．20．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（）A．10 B．13 C．12 D．11【思路点拨】根据垂径定理求出DE＝EF，＝，求出＝，求出AC＝DF，求出EF的长，再求出DF长，即可求出答案．【解析】解：连接OF，∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DE＝EF，＝，∵D为弧AC的中点，∴＝，∴＝，∴AC＝DF，∵⊙O的直径为15，∴OF＝OA＝，∵AE＝3，∴OE＝OA﹣AE＝，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF＝＝＝6，∴DE＝EF＝6，∴AC＝DF＝DE+EF＝6+6＝12，故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识点，解此题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，是中考常见题目．21．如图，AB是圆O的直径，AB＝8，点M在圆O上，∠MOB＝60°，N是的中点，P为AB上一动点，则PM+PN的最小值是4．【思路点拨】作点M关于AB的对称点M'，连接NM'，交AB于点P，此时PM+PN有最小值，连接ON，OM，利用垂径定理，求出∠M'OB＝∠MOB＝60°，进一步求出∠NOM'＝90°，在等腰直角三角形NOM'中求出NM'的长度即可．【解析】解：如图，作点M关于AB的对称点M'，连接NM'，交AB于点P，此时PM+PN有最小值，连接ON，OM，则OB垂直平分MM'，，∴∠M'OB＝∠MOB＝60°，∵N是的中点，∴，∴∠MON＝∠BON＝∠MOB＝30°，∴∠NOM'＝∠NOB+∠M'OB＝90°，∵AB＝8，∴ON＝OM'＝4，在等腰Rt△ONM'中，NM'＝ON＝4，∵MP＝M'P，∴MP+NP＝M'N＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了圆的有关性质，垂径定理，轴对称称的性质，解直角三角形等，解题的关键是灵活运两点之间线段最短这一定理．22．如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的半径为5，DE＝1，求AE的长．【思路点拨】（1）欲证明AB＝CD，只需证得＝；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC