广东省珠海市斗门区2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷

2022—2023学年度第一学期学生学业质量监测九年级数学试题一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1.下列是有关北京2022年冬奥会的图片，其中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项B能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：B．【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，该图形绕这个点旋转180度后能与自身重合．2.抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（）A.(﹣3，2) B.(3，2) C.(﹣3，﹣2) D.(3，﹣2)【答案】B【解析】【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）可得答案．【详解】解：抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2），故选：B【点睛】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数由解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D=85°，则∠B的度数为（）A.95° B.105° C.115° D.125°【答案】A【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质可进行求解．【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠D=85°，∴；故选A．【点睛】本题主要考查圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．4.将二次函数的图象向下平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后的二次函数的解析式为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】试题解析：抛物线y=x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为y=（x3）22．故选D．5.一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根据正多边形的中心角＝计算即可．【详解】解：设正多边形的边数为n．由题意可得：＝72°，∴n＝5，故选：B．【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角＝．6.一个不透明的袋子中有黄色和若干个白色的两种小球，这些球除颜色外其他完全相同，已知黄球有9个，每次摸球前先将袋子中的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后，放回袋中，再摇匀，再摸，通过大量重复摸球后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计袋子中白球的个数是A.15 B.18 C.20 D.21【答案】D【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率即可．【详解】解：∵通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，∴根据题意任意摸出1个，摸到黄色乒乓球的概率是：，设袋中白色乒乓球的个数为a个，则．解得：，经检验符合题意，白色乒乓球的个数为：21个．故选D．【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率是解题关键．7.一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（）A有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.不能确定【答案】A【解析】【分析】根据根的判别式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案．【详解】解：根据题意得：△＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣1）＝49+8＝57＞0，即该方程有两个不相等的实数根，故选A．【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b24ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．8.如图，在中，，，D是边上一点．将绕着点C顺时针旋转至．若，则的大小是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由∠BCA＝90°，∠1＝20°，可得∠BDC＝70°，然后根据旋转的性质得出答案．【详解】解：∵∠BCA＝90°，∠1＝20°，∴∠BDC＝70°，∵将△BCD绕着点C顺时针旋转90°至△ACE，∴∠E＝∠BDC＝70°，故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转不改变图形的大小与形状．9.如图，点A、B、C是半径为8的⊙O上的三点．如果∠ACB＝45°，那么的长为（）A.90° B.2π C.3π D.4π【答案】D【解析】【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理可得出，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：如图，连接OA、OB，∵，∴，∵，∴弧AB的长为：，故选：D．【点睛】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握弧长公式．10.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A.①③ B.②④ C.③④ D.②③【答案】D【解析】【分析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后将由对称可知a＝b，从而可判断答案．【详解】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①不符合题意．②由题意可知：＝，∴b＝a，故②符合题意．③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，∴4a﹣2b+c＝0，∵a＝b，∴2a+c＝0，故③符合题意．④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，令y＝1代入y＝ax2+bx+c，∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，本题属于基础题型．二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）11.如果是一元二次方程，则__________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程的定义可知的次数为2，列出方程求解即可得出答案．【详解】解：∵是一元二次方程，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题重点考查一元二次方程定义，理解一元二次方程的三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程；其中理解特点（2）是解决这题的关键．12.已知圆锥的侧面积为50π，底面圆半径为5，则此圆锥的母线长为_______________．【答案】10【解析】【分析】直接利用圆锥的侧面积等于底面圆的周长乘以母线长的一半即可求解．【详解】设圆锥的母线长为l，则，∴，解得，故答案为：【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．13.若点、是二次函数图象上的两点，那么与的大小关系是________（填、或）．【答案】【解析】【分析】分别将、代入计算即可判断大小关系．【详解】解：将代入，得：，将代入，得：，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，将图象上的点的坐标代入函数关系计算是解决本题的关键．14.如图，是的两条切线，A、B是切点，若，，则的半径等于____．【答案】1【解析】【分析】根据切线的性质求得，，再由直角三角形的性质得．【详解】解：∵是的两条切线，∴，，∵，∴，∵，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质和直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．15.如图，二次函数与一次函数的图象相交于点，，则不等式的解集是__________．【答案】或【解析】【分析】利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应自变量的范围即可．【详解】解：由图象可得，的解集就是二次函数的图象在一次函数的图象上方，所以的解集是或，故答案为：或．【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数（、、是常数，）与不等式的关系可以利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．三．解答题（一）（每小题6分，共4小题，共24分）16.已知是关于x的一元二次方程，若是方程的一个实数根，求m的值及另一个根．【答案】的值为1，另一个根为0．【解析】【分析】设方程的另一根为，由根与系数的关系可得到关于和的方程，可求得答案．【详解】解：设方程的另一根为，由根与系数的关系可得，，即：，，解得，，故：的值为1，另一个根为0．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，掌握方程两根与方程系数之间的关系是解题的关键，本题也可先把实数根代入方程先求的值，再解方程．17.二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，已知点A在点B的左侧，求点A和点B的坐标．【答案】，【解析】【分析】通过解方程及点A在点B的左侧，可得，坐标．【详解】解：当时，，解得，，所以，．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．18.英语26个字母中包含5个元音字母和21个辅音字母，其中元音字母分别是：A、E、I、O、U．现有甲、乙两个不透明的袋子，分别装有若干个除标记的字母外完全相同的小球，其中，甲袋装有2个小球，小球上分别写有字母A和B；乙袋装有3个小球，小球上分别写有字母C、D和E．（1）从乙袋中随机地摸出1个小球，恰好写有辅音字母的概率是__________；（2）将两个袋子摇匀后，然后从这两个袋中各随机地摸出1个小球，求摸出的2个小球上全是元音字母的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得取出2个小球上全是辅元音字母的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【小问1详解】解：（1）从乙袋中随机地摸出1个小球，恰好写有辅音字母的概率是，故答案为：；【小问2详解】画树状图得：∵共有6种等可能的结果，取出的2个小球上全是元音字母的有1种情况，∴取出的2个小球上全是元音字母的概率是：．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．19.如图，三个顶点的坐标分别为，，．（1）请写出点A绕点O逆时针旋转度得到的对应点的坐标为__________；（2）请画出关于原点O成中心对称的图形，并写出、两个点的坐标．【答案】（1）；（2）作图见解析；，．【解析】【分析】（1）连接，将绕点O逆时针旋转度得到A的对应点，根据坐标系写出坐标即可；（2）分别找到A、B、C关于原点的对称点然后顺次连接即可，并结合坐标系写出相应点的坐标即可．【小问1详解】解：如图，将点A绕点O逆时针旋转度得到的对应点的坐标为：故答案为：【小问2详解】如图，为所求，，．【点睛】本题考查了关于原点的旋转和中心对称；找到对应点是解题的关键．四．解答题（二）（每小题8分，共3小题，共24分）20.如图，为的直径，P在的延长线上，C为圆上一点，且．（1）求证：与相切；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接，因为为的直径，所以，则，即可证明与相切；（2）由，得，则，所以，再根据等角的余角相等证明，则，所以，即可根据勾股定理求得．【小问1详解】证明：连接，则，∴，∵为的直径，∴，∴，∴，∴，∵经过的半径的外端，且，∴与相切．【小问2详解】∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴的长是．【点睛】此题重点考查圆的切线的判定、等腰三角形的判定与性质、等角的余角相等、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．21.某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得最大利润，请问每件降价应为多少元？最大利润是多少？【答案】（1）该商品连续两次下降的百分率为；（2）每件降价应为7元，可获最大利润元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解；（2）设降价元，利润为元，根据题意列出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质即可求解．【小问1详解】设每次降价的百分率为，由题意得，（不符合题意，舍去），答：该商品连续两次下降的百分率为；【小问2详解】设降价元，利润为元，由题意得，∴，即售价为元时，可获最大利润元．即：每件降价应为7元，可获最大利润元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，以及二次函数的应用，解决本题的关键是根据题目中的等量关系列出方程和二次函数关系式．22.[如图，△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．（1）将△ADE旋转，使得D、E、B三点在一条直线上时，求证：BD＝CE；（2）在（1）的条件下，当BC＝10，BE＝6时，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）DE＝2【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△DAB≌△EAC，可得BD＝CE；

（2）由全等三角形的性质可得∠DBA＝∠ECA，由余角的性质可证∠BEC＝90°，由勾股定理可求EC＝8，即可求解．【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC＋∠EAB＝∠DAE＋∠EAB，

即∠DAB＝∠EAC，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴DB＝EC；（2）由（1）知△DAB≌△EAB，

∴∠DBA＝∠ECA，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ABC＋∠ACB＝90°，

即∠ABC＋（∠BCE＋∠ACE）＝90°，

∴∠ABC＋∠DBA＋∠BCE＝90°，

即∠DBA＋∠BCE＝90°，

∴∠BEC＝90°，

∵BC＝10，BE＝6，

∴EC2＝BC2−BE2＝102−62＝64，

∴EC＝8，

∴DE＝DB−BE＝DB−CE＝8−6＝2．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用性质进行推理是本题的关键．五．解答题（三）（每小题11分，共2小题，共22分）23.如图1，在中，为弦，为直径，且，垂足为E，P为优弧ACB上的动点（不与端点重合），连接PD．（1）求证：；（2）在线段上有一点I，连接．且平分，求证：；（3）如图2，在（2）的条件下，若，的半径为2，过点D作的切线交的延长线于点F；当时，求的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）．【解析】【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可证明；（2）证明，进而命题可证；（3）连接，先计算得出是等边三角形，作于点E，求得的长，证明，从而求得结果．【小问1详解】证明：∵为弦，为直径，且，∴，∴；【小问2详解】证明：∵，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴；【小问3详解】解：连接，∵，，∴，∴，∵，∴等边三角形，∴，，∵是的切线，∴，，∵且，∴，∴，∴，由（2）得，作于点E，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，即，∴．【点睛】本题考查了切线的性质定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．24.如图1，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，顶点为．（1）求抛物线的解析式和顶点的坐标；（2）如图2，若点P为抛物线在直线上方图象上一动点，过点P作轴交直线于点Q，当四边形是平行四边形时，求点P的横坐标；（3）抛物线沿直线方向向下平移，当平移后的抛物线与x轴只有一个交点时，求出抛物线上A、M两点之间的部分所扫过的